高考物理曲线运动及天体运动规律的应用复习
2010届高考物理专题复习精品学案――曲线运动及天体运动规律的应用
【命题趋向】
《大纲》对匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度等考点为Ⅰ类要求，对运动的合成与分解，抛体运动，匀速圆周运动的向心力等考点均为Ⅱ类要求。对万有引力定律及其应用，环绕速度等考点均为Ⅱ类要求，对第二宇宙速度和第三宇宙速度等考点为Ⅰ类要求。
抛体运动与圆周运动是高中阶段学习的两种重要的运动形式，是历年高考重点考查的内容之一。平抛运动、匀速圆周运动的规律及物体做曲线运动的条件是考查的重点和难点，
万有引力定律与天体问题是历年高考必考内容。考查形式多以选择、计算等题型出现。本部分内容常以天体问题（如双星、黑洞、恒星的演化等）或人类航天（如卫星发射、空间站、探测器登陆等）为背景，考查向心力、万有引力、圆周运动等知识。这类以天体运动为背景的题目，是近几年高考命题的热点，特别是近年来我们国家在航天方面的迅猛发展，更会出现各类天体运动方面的题。
【考点透视】
1．理解曲线运动的条件和特点
（1）曲线运动的条件：运动物体所受合外力的方向跟其速度方向不在一条直线上时，物体做曲线运动。
（2）曲线运动的特点：在曲线运动中，运动质点在某一点的瞬时速度方向，就是通过这一点的曲线的切线方向。②曲线运动是变速运动，这是因为曲线运动的速度方向是不断变化的。做曲线运动的质点，其所受的合外力一定不为零，一定具有加速度。
2．理解运动的合成与分解
物体的实际运动往往是由几个独立的分运动合成的，由已知的分运动求跟它们等效的合运动叫做运动的合成；由已知的合运动求跟它等效的分运动叫做运动的分解。
运动的合成与分解基本关系：分运动的独立性；运动的等效性（合运动和分运动是等效替代关系，不能并存）；运动的等时性；运动的矢量性（加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则。）
3.理解平抛物体的运动的规律
（1）物体做平抛运动的条件：只受重力作用，初速度不为零且沿水平方向。
物体受恒力作用，且初速度与恒力垂直，物体做类平抛运动。
（2）平抛运动的处理方法
通常，可以把平抛运动看作为两个分运动的合动动：一个是水平方向（垂直于恒力方向）的匀速直线运动，一个是竖直方向（沿着恒力方向）的匀加速直线运动。
(3)平抛运动的规律
以抛出点为坐标原点，水平初速度V0
方向为沿x轴正方向，竖直向下的方向为y轴正方向，建立如图所示的坐标系，在该坐标系下，对任一时刻t.
①位移
分位移,
合位移,.
为合位移与x轴夹角.
②速度
分速度, Vy=gt,
合速度,.
为合速度V与x轴夹角
(4)．平抛运动的性质
做平抛运动的物体仅受重力的作用，故平抛运动是匀变速曲线运动。
4.理解圆周运动的规律
(1)匀速圆周运动：质点沿圆周运动，如果在相等的时间里通过的弧长相等，这种运动就叫做匀速周圆运动。
(2)描述匀速圆周运动的物理量
①线速度，物体在一段时间内通过的弧长S与这段时间的比值，叫做物体的线速度，即V=S/t。线速度是矢量，其方向就在圆周该点的切线方向。线速度方向是时刻在变化的，所以匀速圆周运动是变速运动。
②角速度，连接运动物体和圆心的半径在一段时间内转过的角度θ与这段时间的比值叫做匀速圆周运动的角速度。即=θ/t。对某一确定的匀速圆周运动来说，角速度是恒定不变的，角速度的单位是rad/s。
③周期T和频率
(3)描述匀速圆周运动的各物理量间的关系:
(4)向心力：是按作用效果命名的力，其动力学效果在于产生向心加速度，即只改变线速度方向，不会改变线速度的大小。对于匀速圆周运动物体其向心力应由其所受合外力提供。.
5.理解万有引力定律
（1）万有引力定律：
自然界的一切物体都相互吸引，两个物体间的引力的大小，跟它们的质量乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比。
公式：，G=6.67×10-11N.m2/kg2.
适用条件：适用于相距很远，可以看做质点的两物体间的相互作用，质量分布均匀的球体也可用此公式计算，其中r指球心间的距离。
（2）万有引力定律的应用：
讨论重力加速度g随离地面高度h的变化情况： 物体的重力近似为地球对物体的引力，即mg=G。所以重力加速度g= G，可见，g随h的增大而减小。
求天体的质量：通过观天体卫星运动的周期T和轨道半径r或天体表面的重力加速度g和天体的半径R，就可以求出天体的质量M。
求解卫星的有关问题：根据万有引力等于卫星做圆周运动的向心力可求卫星的速度、周期、动能、动量等状态量。由G=m得V=，由G= mr(2π/T)2得T=2π。由G= mrω2得ω=，由Ek=mv2=G。
(3)三种宇宙速度：第一宇宙速度V1=7.9Km/s,人造卫星的最小发射速度；第二宇宙速度V2=11.2km/s,使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度；（3）第三宇宙速度V3=16.7km/s,使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。
【例题解析】
类型一：运动的合成与分解的应用
例1．一条宽度为L的河流，水流速度为Vs,已知船在静水中的速度为Vc，那么：
（1）怎样渡河时间最短？
（2）若Vc>Vs,怎样渡河位移最小？
（3）若Vc
Vs时，船才有可能垂直于河岸横渡。
（3）如果水流速度大于船上在静水中的航行速度，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游。怎样才能使漂下的距离最短呢？如图丙所示，设船头Vc与河岸成θ角，合速度V与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以Vs的矢尖为圆心，以Vc为半径画圆，当V与圆相切时，α角最大，根据cosθ=Vc/Vs,船头与河岸的夹角应为：θ=arccosVc/Vs.
船漂的最短距离为：.
B
M
C
A
R
O
ω
α
此时渡河的最短位移为：.
针对训练1：如图所示，杆OA长为R，可绕过O点的水平轴在竖直平面内转动，其端点A系着一跨过定滑轮B、C的不可伸长的轻绳，绳的另一端系一物块M。滑轮的半径可忽略，B在O的正上方，OB之间的距离为H。某一时刻，当绳的BA段与OB之间的夹角为α时，杆的角速度为ω，求此时物块M的速率Vm。
类型二：平抛运动的相关问题
例2．如图所示，一足够长的固定光滑斜面与水平面的夹角为53°，物体A以初速度v1从斜面顶端水平抛出，物体B在斜面上距顶端L=20m处同时以速度v2沿斜面向下匀加速运动，经历时间t物体A和物体B在斜面上相遇，则下列各组速度和时间中满足条件的是（cos53°=0.6，sin53°=0.8，g=10 m/s2）
A．v1=15m/s，v2=4 m/s，t=4s
B．v1=15 m/s，v2=6 m/s，t=3s
C．v1=18 m/s，v2=4 m/s，t=4s
D．v1=18m/s，v2=6 m/s，t=3s
解析：由平抛运动知识得，得4v1＝15t，把各选项中的时间t和速度v1代入上式，只有A项能使关系式有解。故正确答案为A。
答案：A。
点评：本题考查考点“平抛运动”，涉及到运动的合成与分解、匀变速直线运动等知识。本题重在考查考生对“物体A和物体B在斜面上相遇”这一条件的理解应用能力。本题不仅考查对平抛运动规律的应用，同时考查考生应用多种方法解决问题的能力。如果不采用代入法而自接推导会复杂得多。平抛运动还可结合牛顿运动定律、天体运行、电场等知识进行综合命题。
θ
B
A
V0
V0
Vy1
针对训练2：如图在倾角为θ的斜面顶端A处以速度V0水平抛出一小球，落在斜面上的某一点B处，设空气阻力不计，求（1）小球从A运动到B处所需的时间；（2）从抛出开始计时，经过多长时间小球离斜面的距离达到最大？
类型三：匀速圆周运动的特点分析求解皮带传动和摩擦传动问题
a
b
c
d
例3．如图所示装置中，三个轮的半径分别为r、2r、4r，b点到圆心的距离为r，求图中a、b、c、d各点的线速度之比、角速度之比、加速度之比。
解析：因va= vc，而vb∶vc∶vd =1∶2∶4，所以va∶ vb∶vc∶vd =2∶1∶2∶4；ωa∶ωb=2∶1，而ωb=ωc=ωd ，所以ωa∶ωb∶ωc∶ωd =2∶1∶1∶1；再利用a=vω，可得aa∶ab∶ac∶ad=4∶1∶2∶4。
针对训练3：如图所示，一种向自行车车灯供电的小发电机的上端有一半径r0=1.0cm的摩擦小轮，小轮与自行车车轮的边缘接触。当车轮转动时，因摩擦而带动小轮转动，从而为发电机提供动力。自行车车轮的半径R1=35cm，小齿轮的半径R2=4.0cm，大齿轮的半径R3=10.0cm。求大齿轮的转速n1和摩擦小轮的转速n2之比。（假定摩擦小轮与自行车轮之间无相对滑动）
大齿轮
小齿轮
车轮
小发电机
摩擦小轮
链条
类型四：水平面内和竖直面内的圆周运动问题
B
A
m
例4．如图所示，两绳系一质量为m=0.1kg的小球，两绳的另一端分别固定于轴的AB两处，上面绳长l=2m，两绳拉直时与轴的夹角分别为30°和45°，问球的角速度在什么范围内两绳始终有张力?
解析：设两细线都拉直时，A、B绳的拉力分别为、，小球的质量为m，A线与竖直方向的夹角为，B线与竖直方向的夹角为，受力分析，由牛顿第二定律得：
当B线中恰无拉力时， ①
②
由①、②解得rad/s
当A线中恰无拉力时， ③
④ （3分）
由③、④解得rad/s
所以，两绳始终有张力，角速度的范围是rad/s rad/s
点评：本题以圆周运动为情境，要求考生熟练掌握并灵活应用匀速圆周运动的规律，不仅考查考生对牛顿第二定律的应用，同时考查考生应用多种方法解决问题的能力。比如正交分解法、临界分析法等。综合性强，能考查考生多方面的能力，能真正考查考生对知识的掌握程度。体现了对考生分析综合能力和应用数学知识解决物理问题能力的考查。解决本题的关键，一是利用几何关系确定小球圆周运动的半径；二是对小球进行受力分析时，先假定其中一条绳上恰无拉力，通过受力分析由牛顿第二定律求出角速度的一个取值，再假定另一条绳上恰无拉力，求出角速度的另一个取值，则角速度的范围介于这两个值之间时两绳始终有张力。
D
d
L
O
m
B
C
A
针对训练4：小球A用不可伸长的细绳悬于O点，在O点的正下方有一固定的钉子B，OB=d，初始时小球A与O同水平面无初速度释放，
绳长为L，为使小球能绕B点做完整的圆周运动，
如图所示。试求d的取值范围。
类型五：会用万有引力定律求天体的质量和密度
例5．宇航员在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球。经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为L。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G。求该星球的质量M。
解析：设抛出点的高度为h,第一次平抛的水平射程为x,则有
x2+h2=L2
由平抛运动规律得知，当初速度增大到2倍时，其水平射程也增大到2x,可得 （2x）2+h2=(L)2
设该星球上的重力加速度为g，由平抛运动的规律得：
h=gt2
由万有引力定律与牛顿第二定律得：
mg= G
联立以上各式解得M=。
针对训练5：如果某行星有一颗卫星沿非常靠近此恒星的表面做匀速圆周运动的周期为T，则可估算此恒星的密度为多少?
类型六：卫星运动及航天技术
例6．2006年9月3日欧洲航天局的第一枚月球探测器“智能1号”成功撞上月球。已知“智能1号”月球探测器环绕月球沿椭圆轨道运动，用m表示它的质量，h表示它近月点的高度，ω表示它在近月点的角速度，a表示它在近月点的加速度，R表示月球的半径，g表示月球表面处的重力加速度。忽略其他星球对“智能1号”的影响。则“智能1号”在近月点所受月球对它的万有引力的大小等于 （ ）
A．ma B．m
C．m D．以上结果都不对
解析：“智能1号”在近月点所受月球对它的万有引力，即为它所受的合外力，由牛顿第二定律得，，故A正确。由万有引力定律得，，又月球表面上，，由以上两式得 m，故B选项正确；由于“智能1号”月球探测器环绕月球沿椭圆轨道运动，在近月点上万有引力小于其所需的向心力，故C选项错误。
答案：AB。
题后反思：本题以2006年9月3日欧洲航天局的月球探测器“智能1号”撞击月球为背景，考查学生多万有引力定律及牛顿第二定律的理解。试题难度不大，但要求考生有一定的理解能力。
针对训练6：某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，试问，春分那天（太阳光直射赤道）在日落12小时内有多长时间该观察者看不见此卫星？已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g,地球自转周期为T，不考虑大气对光的折射。
【专题训练与高考预测】
1．如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动
而未滑动。当圆筒的角速度增大以后，下列说法正确的是（ ）
A．物体所受弹力增大，摩擦力也增大了
B．物体所受弹力增大，摩擦力减小了
C．物体所受弹力和摩擦力都减小了
D．物体所受弹力增大，摩擦力不变
2．如图所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上。物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足 （ ）
A．tanφ=sinθ
B．tanφ=cosθ
C．tanφ=tanθ
D．tanφ=2tanθ
3．某同学对着墙壁练习打网球，假定球在墙面上以25m/s的速度沿水平方向反弹，落地点到墙面的距离在10m至15m之间，忽略空气阻力，取g=10m/s2，球在墙面上反弹点的高度范围是 （ ）
A．0.8m至1.8m B．0.8m至1.6m
C．1.0m至1.6m D．1.0m至1.8m
4．火星的质量和半径分别约为地球的和，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重力加速度约为 （ ）
A．0.2g B．0.4g C．2.5g D．5g
5．据媒体报道,嫦娥一号卫星环月工作轨道为圆轨道,轨道高度200 km,运用周期127分钟。若还知道引力常量和月球平均半径,仅利用以上条件不能求出的是 （ ）
A．月球表面的重力加速度 B．月球对卫星的吸引力
C．卫星绕月球运行的速度 D．卫星绕月运行的加速度
6．图是“嫦娥一导奔月”示意图，卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星，并开展对月球的探测，下列说法正确的是（ ）
A．发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度
B．在绕月圆轨道上，卫星周期与卫星质量有关
C．卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比
D．在绕圆轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的引力
7．据报道，我国数据中继卫星“天链一号01星”于2008年4月25日在西昌卫星发射中心发射升空，经过4次变轨控制后，于5月1日成功定点在东经77赤道上空的同步轨道。关于成功定点后的“天链一号01星”，下列说法正确的是 （ ）
A．运行速度大于7.9 km/s
B．离地面高度一定，相对地面静止
C．绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大
D．向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等
8．已知太阳到地球与地球到月球的距离的比值约为390，月球绕地球旋转的周期约为27天.利用上述数据以及日常的天文知识，可估算出太阳对月球与地球对月球的万有引力的比值约为 （ ）
A．0.2 B．2 C．20 D．200
9． 1990年4月25日，科学家将哈勃天文望远镜送上距地球表面约600 km的高空，使得人类对宇宙中星体的观测与研究有了极大的进展。假设哈勃望远镜沿圆轨道绕地球运行。已知地球半径为6.4×106m，利用地球同步卫星与地球表面的距离为3.6×107m这一事实可得到哈勃望远镜绕地球运行的周期。以下数据中最接近其运行周期的是 （ ）
A．0.6小时 B．1.6小时 C．4.0小时 D．24小时
10．一均匀球体以角速度ω绕自己的对称轴自转，若维持球体不被瓦解的唯一作用力是万有引力，则此球的最小密度是多少？
11．图中滑块和小球的质量均为m，滑块可在水平放置的光滑固定导轨上自由滑动，小球与滑块上的悬点O由一不可伸长的轻绳相连，轻绳长为l1．开始时，轻绳处于水平拉直状态，小球和滑块均静止．现将小球由静止释放，当小球到达最低点时，滑块刚好被一表面涂有粘住物质的固定挡板粘住，在极短的时间内速度减为零，小球继续向左摆动，当轻绳与竖直方向的夹角θ＝60°时小球达到最高点．求：
⑴从滑块与挡板接触到速度刚好变为零的过程中，挡板阻力对滑块的冲量；
⑵小球从释放到第一次到达最低点的过程中，绳的拉力对小球做功的大小．
滑块
O
12．某兴趣小组设计了如图所示的玩具轨道，其中“2008”四个等高数字用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，固定在竖直平面内（所有数字均由圆或半圆组成，圆半径比细管的内径大得多），底端与水平地面相切．弹射装置将一个小物体（可视为质点）以va＝5 m/s的水平初速度由a点弹出，从b点进入轨道，依次经过“8002”后从p点水平抛出．小物体与地面ab段间的动摩擦因数μ＝0.3，不计其它机械能损失．已知ab段长L＝1. 5 m，数字“0”的半径R＝0.2 m，小物体质量m＝0.01 kg，g＝10 m/s2．求：
⑴小物体从p点抛出后的水平射程．
⑵小物体经过数字“0”的最高点时管道对小物体作用力的大小和方向．
b
a
p
va
13．我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形的轨道绕月飞行。为了获得月球表面全貌的信息，让卫星轨道平面缓慢变化。卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球。设地球和月球的质量分别为M和m，地球和月球的半径分别为R和R1，月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为r和r1，月球绕地球转动的周期为T。假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面，求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间（用M、m、R、R1、r、r1和T表示，忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影）。
14．⑴为了响应国家的“节能减排”号召，某同学采用了一个家用汽车的节能方法．在符合安全行驶要求的情况下，通过减少汽车后备箱中放置的不常用物品和控制加油量等措施，使汽车负载减少．假设汽车以72 km/h的速度匀速行驶时，负载改变前、后汽车受到的阻力分别为2 000 N和1950 N，请计算该方法使汽车发动机输出功率减少了多少？
⑵有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ，不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系．
参考答案
变式训练
1．解：杆的端点A点绕O点作圆周运动，其速度VA的方向与杆OA垂直，在所考察时其速度大小为：
VA=ωR
对于速度VA作如图所示的正交分解，即沿绳BA方向和垂直于BA方向进行分解，沿绳BA方向的分量就是物块M的速率VM，因为物块只有沿绳方向的速度，所以
M
C
A
R
O
ω
α
VA
β
B
VM=VAcosβ
由正弦定理知，
由以上各式得VM=ωHsinα.
2．解：（1）小球做平抛运动，同时受到斜面体的限制，
设从小球从A运动到B处所需的时间为t,则：
水平位移为x=V0t
竖直位移为y=
由数学关系得到:
（2）从抛出开始计时，经过t1时间小球离斜面的距离达到最大,当小球的速度与斜面平行时，小球离斜面的距离达到最大。因Vy1=gt1=V0tanθ,所以。
3．解：大小齿轮间、摩擦小轮和车轮之间和皮带传动原理相同，两轮边缘各点的线速度大小相等，由v=2πnr可知转速n和半径r成反比；小齿轮和车轮同轴转动，两轮上各点的转速相同。由这三次传动可以找出大齿轮和摩擦小轮间的转速之比n1∶n2=2∶175
4．解: 为使小球能绕B点做完整的圆周运动，则小球在D对绳的拉力F1应该大于或等于零，即有：
根据机械能守恒定律可得
由以上两式可求得：
5．解：设此恒星的半径为R，质量为M，由于卫星做匀速圆周运动，则有 G=mR, 所以，M=
而恒星的体积V=πR3，所以恒星的密度ρ==。
6．解：设所求的时间为t，用m、M分别表示卫星和地球的质量，r表示卫星到地心的距离.有
太阳光
E
O
S
A
R
r
θ
春分时，太阳光直射地球赤道，如图所示，图中圆E表示
赤道，S表示卫星，A表示观察者，O表示地心. 由图17
可看出当卫星S绕地心O转到图示位置以后（设地球自转
是沿图中逆时针方向），其正下方的观察者将看不见它. 据
此再考虑到对称性，有
由以上各式可解得
专题训练与高考预测
1．答案：D
解析：物体随圆筒一起转动时，受到三个力的作用：重力G、筒
壁对它的弹力FN、和筒壁对它的摩擦力F1（如图13所示）。其
中G和F1是一对平衡力，筒壁对它的弹力FN提供它做匀速圆周
运动的向心力。当圆筒匀速转动时，不管其角速度多大，只要物
体随圆筒一起转动而未滑动，则物体所受的（静）摩擦力F1大
小等于其重力。而根据向心力公式，，当角速度较
大时也较大。故本题应选D。
2．答案：D
解析：竖直速度与水平速度之比为：tanφ = ,竖直位移与水平位移之比为：tanθ = ，故tanφ =2 tanθ ，D正确。
3．答案：A
4．答案：B
解析：考查万有引力定律。星球表面重力等于万有引力，G = mg，故火星表面的重力加速度 = = 0.4，故B正确。
5．答案：B
解析：为不知道卫星的质量，所以不能求出月球对卫星的吸引力。
6．答案：C
解析：射“嫦娥一号”的速度如果达到第三宇宙速度，那么“嫦娥一号”就会离开太阳系。A错。根据万有引力公式G=m，m约去了，所以卫星周期与卫星质量无关，B错。卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星可知在绕圆轨道上，卫星受地球的引力可以小于受月球的引力。D错。只有C对。
7．答案：BC
解析：题目可以后出“天链一号卫星”是地球同步卫星，运行速度要小于7.9
,而他的位置在赤道上空，高度一定，A错B对。由可知，C对。由可知，D错。
8．答案：B
解析：太阳质量M，地球质量m，月球质量m 0，日地间距离为R，月地间距离为r，日月之间距离近似等于R，地球绕太阳的周期为T约为360天，月球绕地球的周期为t=27天。对地球绕着太阳转动，由万有引力定律：G=m，同理对月球绕着地球转动：G=m0，则太阳质量与地球质量之比为M : m=；太阳对月球的万有引力F= G，地球对月球的万有引力f= G，故F : f= ，带入太阳与地球质量比，计算出比值约为2，B对。
9．答案：B
解析：开普勒行星运动定律可知，恒量，所以，r为地球的半径，h1、t1、h2、t2分别表示望远镜到地表的距离，望远镜的周期、同步卫星距地表的距离、同步卫星的周期（24h），代入数据得：t1=1.6h．
10．解：设球体质量为M，半径为R，设想有一质量为m的质点绕此球体表面附近做匀速圆周运动，则
G=mω02R, 所以，ω02=πGρ。
由于ω≤ω0得ω2≤πGρ，则ρ≥，即此球的最小密度为。
11．解：⑴小球第一次到达最低点时，滑块和小球速度的大小分别为v1、v2，有
小球由最低点向左摆动到最高点时，有
解得：
挡板阻力对滑块的冲量为I，有
⑵小球从开始释放到第一次到达最低点的过程中，绳拉力对小球做功为W，有
解得：
绳拉力对小球做功大小为
12．解：⑴设小物体运动到p点时的速度大小为v，对小物体由a到p过程应用动能定理得：
s＝vt
解得：s＝0.8 m
⑵设在数字“0”的最高点时管道对小物体的作用力大小为F，有：
解得：F＝0.3 N 方向竖直向下
13．解：如图，O和O′分别表示地球和月球的中心。在卫星轨道平面上，A是地月连心级OO′与地月球面的公切线ACD的交点，D、C和B分别是该公切线与地球表面、月球表面和卫星圆轨道的交点，根据对称性，过A点在另一侧作地月球面的公切线，交卫星轨道于E点。卫星在上运动时发出的信号被遮挡。
设探月卫星的质量为m0,万有引力常量为G，根据万有引力定律有
①
②
式中，T1是探月卫星绕月球转动的周期。由①②式得 ③
设卫星的微波信号被遮挡的时间为t，则由于卫星绕月球做匀速圆周运动，应有
④
式中，α=∠CO′A，β=∠CO′B。由几何关系得
⑤ ⑥
由③④⑤⑥式得 ⑦
评分参考：①②式各4分，④式5分，⑤⑥式各2分，⑦式3分。得到结果
的也同样给分。
14．解：，由得
① ② 故
（2）解析：设转盘转动角速度时，夹角θ夹角θ
座椅到中心轴的距离： ① 对座椅分析有： ②
联立两式 得
