高考数学函数专题习题及详细答案

高考数学函数专题习题及详细答案

函数专题练习 ‎1.函数的反函数是(　　　)‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎　‎ ‎2.已知是上的减函数，那么的取值范围是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎3.在下列四个函数中，满足性质：“对于区间上的任意，恒成立”的只有 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎4.已知是周期为2的奇函数，当时，设则 ‎(A)　　　(B)　　　(C)　　　(D)‎ ‎5.函数的定义域是 A. B. C. D. ‎ ‎6、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A. B. C. D. ‎ ‎7、函数的反函数的图像与轴交于点 ‎(如右图所示)，则方程在上的根是 A.4 B‎.3 C. 2 D.1‎ ‎8、设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是 ‎ (A)是奇函数 (B)是奇函数 ‎ ‎(C) 是偶函数 (D) 是偶函数 ‎9、已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎10、设 ‎(A)0 　(B)1 (C)2 (D)3‎ ‎11、对a，bR，记max{a，b}＝，函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(xR)的最小值是 ‎(A)0 (B) (C) (D)3‎ ‎12、关于的方程，给出下列四个命题：‎ ‎①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；‎ ‎②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；‎ ‎③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；‎ ‎④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根；‎ 其中假命题的个数是 A．0 B．‎1 C．2 D．3‎ （一） 填空题(4个)‎ ‎1.函数对于任意实数满足条件，若则_______________。‎ ‎2设则__________‎ ‎3.已知函数，若为奇函数，则________。‎ ‎4. 设，函数有最小值，则不等式的解集为 。‎ （二） 解答题(6个)‎ ‎1. 设函数.‎ ‎(1)在区间上画出函数的图像；‎ ‎(2)设集合. 试判断集合和之间的关系，并给出证明；‎ ‎(3)当时，求证：在区间上，的图像位于函数图像的上方.‎ ‎ ‎ ‎2、设f(x)＝3ax，f(0)＞0，f(1)＞0，求证：‎ ‎(Ⅰ)a＞0且－2＜＜－1；‎ ‎(Ⅱ)方程f(x)＝0在(0，1)内有两个实根. ‎ ‎3. 已知定义域为的函数是奇函数。‎ ‎(Ⅰ)求的值；‎ ‎(Ⅱ)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；‎ ‎4.设函数f(x)＝其中a为实数.‎ ‎(Ⅰ)若f(x)的定义域为R，求a的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)当f(x)的定义域为R时，求f(x)的单减区间.‎ ‎5. 已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．‎ ‎(I)用表示，并求的最大值；‎ ‎(II)求证：()．‎ ‎6. 已知函数，是方程f(x)＝0的两个根，是f(x)的导数；设，(n＝1，2，……)‎ ‎ (1)求的值；‎ ‎ (2)证明：对任意的正整数n，都有＞a；‎ ‎ (3)记(n＝1，2，……)，求数列{bn}的前n项和Sn。‎ 解答：‎ 一、选择题 ‎1解：由得：，所以为所求，故选D。‎ ‎２解：依题意，有‎0‎7a－1，当x>1时，logax<0，所以‎7a－1³0解得x³故选C ‎３解：|>1<1 |<|x1－x2|故选A ‎４解：已知是周期为2的奇函数，当时，设，，＜0，∴，选D.‎ ‎５解：由，故选B.‎ ‎６解：B在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义域内既是奇函数又是增函数;D在其定义域内不是奇函数，是减函数;故选A.‎ ‎７解：的根是2，故选C ‎８解：A中则，‎ 即函数为偶函数，B中，此时与的关系不能确定，即函数的奇偶性不确定，‎ C中，，即函数为奇函数，D中，，即函数为偶函数，故选择答案D。‎ ‎９解：函数的图象与函数的图象关于直线对称，所以是的反函数，即＝，∴ ，选D.‎ ‎１０解：f(f(2))＝f(1)＝2，选C ‎１１解：当x<－1时，|x＋1|＝－x－1，|x－2|＝2－x，因为(－x－1)－(2－x)＝－3<0，所以2－x>－x－1；当－1£x<时，|x＋1|＝x＋1，|x－2|＝2－x，因为(x＋1)－(2－x)＝2x－1<0，x＋1<2－x；当£x<2时，x＋1³2－x；当x³2时，|x＋1|＝x＋1，|x－2|＝x－2，显然x＋1>x－2；‎ 故据此求得最小值为。选C ‎１２解：关于x的方程可化为…(1)‎ 或(－11，所以不等式可化为x－1>1，即x>2.‎ 三、解答题 ‎１解：(1)‎ ‎ ‎ ‎ (2)方程的解分别是和，由于在和上单调递减，在和上单调递增，因此 ‎. ‎ ‎ 由于. ‎ ‎ (3)[解法一] 当时，.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ， ‎ ‎ . 又，‎ ‎ ① 当，即时，取，‎ ‎ .‎ ‎ ，‎ ‎ 则. ‎ ‎ ② 当，即时，取， ＝.‎ ‎ 由 ①、②可知，当时，，.‎ ‎ 因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方.‎ ‎ [解法二] 当时，.‎ 由 得，‎ ‎ 令 ，解得 或， ‎ 在区间上，当时，的图像与函数的图像只交于一点； 当时，的图像与函数的图像没有交点. ‎ 如图可知，由于直线过点，当时，直线是由直线绕点逆时针方向旋转得到. 因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方. ‎ ‎2(I)证明：因为，所以.‎ 由条件，消去，得；‎ 由条件，消去，得，.‎ 故.‎ ‎(II)抛物线的顶点坐标为，‎ 在的两边乘以，得.‎ 又因为而 所以方程在区间与内分别有一实根。‎ 故方程在内有两个实根.‎ ‎3解：(Ⅰ)因为是奇函数，所以＝0，即 ‎ 又由f(1)＝ －f(－1)知 ‎ (Ⅱ)解法一：由(Ⅰ)知，易知在上 为减函数。又因是奇函数，从而不等式： ‎ 等价于，因为减函数，由上式推得：‎ ‎．即对一切有：，‎ 从而判别式 解法二：由(Ⅰ)知．又由题设条件得：　　　　　　　　　，‎ ‎　　即　：，‎ 整理得　‎ 上式对一切均成立，从而判别式 ‎4解：(Ⅰ)的定义域为，恒成立，，‎ ‎，即当时的定义域为．‎ ‎(Ⅱ)，令，得．‎ 由，得或，又，‎ 时，由得；‎ 当时，；当时，由得，‎ 即当时，的单调减区间为；‎ 当时，的单调减区间为．‎ ‎5解：(Ⅰ)设与在公共点处的切线相同．‎ ‎，，由题意，．‎ 即由得：，或(舍去)．‎ 即有．‎ 令，则．于是 当，即时，；‎ 当，即时，．‎ 故在为增函数，在为减函数，‎ 于是在的最大值为．‎ ‎(Ⅱ)设，‎ 则．‎ 故在为减函数，在为增函数，‎ 于是函数在上的最小值是．‎ 故当时，有，即当时，．‎ ‎6解析：(1)∵，是方程f(x)＝0的两个根，‎ ‎∴；‎ ‎ (2)，‎ ‎＝，∵，∴有基本不等式可知(当且仅当时取等号)，∴同，样，……，(n＝1，2，……)，‎ ‎ (3)，而，即，‎ ‎，同理，，又 四、 创新试题 ‎１解：依题意，有x1＝50＋x3－55＝x3－5，x1

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