四川省南充市高三第一次高考适应性考试数学理试题解析

四川省南充市高三第一次高考适应性考试数学理试题解析

2016 年四川省南充市高考数学一模试卷 一、选择题：本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分，在每个小题给出的四个选项在，只有一项是 符合题目要求的. 1．设集合 A={x|1＜x＜4}，集合 B={x|（x﹣3）（x+1）＜0}，则 A∩B=（ ） A．{x|﹣1＜x＜4}B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜3} D．{x|﹣1＜x＜3} 2．设 i 是虚数单位，则复数 =（ ） A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i 3．已知命题 P： ∀ x ∈ R，ex﹣x﹣1＞0，则￢P 是（ ） A． ∀ x ∈ R，ex﹣x﹣1＜0 B． ∃ x0 ∈ R，e ﹣x0﹣1≤0 C． ∃ x0 ∈ R，e ﹣x0﹣1＜0 D． ∀ x ∈ R，ex﹣x﹣1≤0 4．下列函数中，满足“f（xy）=f（x）+f（y）”的单调递减函数是（ ） A．f（x）=lnx B．f（x）=﹣x3 C．f（x）=log x D．f（x）=3﹣x 5．如图的程序图的算法思路中是一种古老而有效的算法﹣﹣辗转相除法，执行改程序框图，若输入 的 m，n 的值分别为 30，42，则输出的 m=（ ） A．10 B．12 C．13 D．16 6．为了得到函数 y= sin4x﹣ cos4x 的图象，可以将函数 y=sin4x 的图象（ ） A．向右平移 个单位B．向左平移 个单位 C．向右平移 个单位D．向左平移 个单位 7．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于（ ） A．45 B．36 C．30 D．6 8．春节前，某市一过江大桥上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的 6 秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以 6 秒内间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们 第一次闪亮的时刻相差不超过 3 秒的概率是（ ） A． B． C． D． 9．已知 F 是抛物线 y2=4x 的焦点，点 A，B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，OA⊥OB（其中 O 为 坐标原点），则△AOB 与△AOF 面积之和的最小值是（ ） A．16 B．8 C．8 D．18 10．函数 f′（x）是奇函数 f（x）（x ∈ R）的导函数，f（1）=0，当 x＜0 时，xf′（x）+f（x）＞0， 则使得 f（x）＜0 成立的 x 的取值范围是（ ） A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣1，0）∪（0，1） 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 11．在（3﹣x）5 的展开式中，含 x3 的项的系数是 （用数字作答） 12．已知α ∈ （0， ），β ∈ （0， ），且 cosα= ，cos（α+β）=﹣ ，则 sinβ= ． 13．已知实数 x，y 满足 ，则 x2+y2 的最大值为 ． 14．设四边形 ABCD 为平行四边形，| |=8，| |=3，若点 M，N 满足 =3 ， =2 ，则 • = ． 15．设 S 为复数集 C 的非空子集．如果 （1）S 含有一个不等于 0 的数； （2） ∀ a，b ∈ S，a+b，a﹣b，ab ∈ S； （3） ∀ a，b ∈ S，且 b≠0， ∈ S，那么就称 S 是一个数域． 现有如下命题： ①如果 S 是一个数域，则 0，1 ∈ S； ②如果 S 是一个数域，那么 S 含有无限多个数； ③复数集是数域； ④S={a+b |a，b ∈ Q，}是数域； ⑤S={a+bi|a，b ∈ Z}是数域． 其中是真命题的有 （写出所有真命题的序号）． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．已知数列{an}满足 a1=1，an+1=2an+1． （1）求数列{an}的通项公式； （2）令 bn= n（an+1），求数列{bn}的前 n 项和 Tn． 17．某高校文学院和理学院的学生组队参加大学生电视辩论赛，文学院推荐了 2 名男生，3 名女生， 理学院推荐了 4 名男生，3 名女生，文学院和理学院所推荐的学生一起参加集训，由于集训后学生 水平相当，从参加集训的男生中随机抽取 3 人，女生中随机抽取 3 人组成代表队． （1）求文学院至少有一名学生入选代表队的概率； （2）某场比赛前，从代表队的 6 名学生在随机抽取 4 名参赛，记 X 表示参赛的男生人数，求 X 的 分布列与数学期望． 18．已知函数 f（x）=sinx（sinx+ cosx）． （1）求 f（x）的最小正周期和最大值； （2）在锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 f（ ）=1，a=2 ，求三角形 ABC 面积的最大值． 19．如图，在四棱锥 S﹣ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，SD=DC=2AD，侧棱 SD⊥底面 ABCD，点 E 是 SC 的中点，点 F 在 SB 上，且 EF⊥SB． （1）求证：SA∥平面 BDE； （2）求证 SB⊥平面 DEF； （3）求二面角 C﹣SB﹣D 的余弦值． 20．已知圆 F1：（x+1）2+y2=1，圆 F2：（x﹣1）2+y2=25，动圆 P 与圆 F1 外切并且与圆 F2 内切， 动圆圆心 P 的轨迹为曲线 C． （Ⅰ）求曲线 C 的方程； （Ⅱ）若曲线 C 与 x 轴的交点为 A1，A2，点 M 是曲线 C 上异于点 A1，A2 的点，直线 A1M 与 A2M 的斜率分别为 k1，k2，求 k1k2 的值． （Ⅲ）过点（2，0）作直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，在曲线 C 上是否存在点 N，使 + = ？ 若存在，请求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由． 21．设函数 f（x）= +k（ +lnx）（k 为常数）． （1）当 k=0 时，求曲线 y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）当 k≥0 时，求函数 f（x）的单调区间； （3）若函数 f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求 k 的取值范围． 2016 年四川省南充市高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分，在每个小题给出的四个选项在，只有一项是 符合题目要求的. 1．设集合 A={x|1＜x＜4}，集合 B={x|（x﹣3）（x+1）＜0}，则 A∩B=（ ） A．{x|﹣1＜x＜4}B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜3} D．{x|﹣1＜x＜3} 【考点】交集及其运算． 【专题】计算题；方程思想；定义法；集合． 【分析】利用不等式性质和集合定义求解． 【解答】解：（1）∵集合 A={x|1＜x＜4}， 集合 B={x|（x﹣3）（x+1）＜0}={x|﹣1＜x＜3}， ∴A∩B={x|1＜x＜3}． 故选：C． 【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的定义的合理运用． 2．设 i 是虚数单位，则复数 =（ ） A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【专题】计算题；方程思想；数系的扩充和复数． 【分析】直接利用复数的除法与乘方运算法则化简求解即可． 【解答】解：复数 = =i（1+i）=﹣1+i． 故选：D． 【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查． 3．已知命题 P： ∀ x ∈ R，ex﹣x﹣1＞0，则￢P 是（ ） A． ∀ x ∈ R，ex﹣x﹣1＜0 B． ∃ x0 ∈ R，e ﹣x0﹣1≤0 C． ∃ x0 ∈ R，e ﹣x0﹣1＜0 D． ∀ x ∈ R，ex﹣x﹣1≤0 【考点】命题的否定． 【专题】计算题；规律型；简易逻辑． 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可． 【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题 P： ∀ x ∈ R，ex﹣x﹣1＞0，则￢P 是 ∃ x0 ∈ R， e ﹣x0﹣1≤0． 故选：B． 【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题． 4．下列函数中，满足“f（xy）=f（x）+f（y）”的单调递减函数是（ ） A．f（x）=lnx B．f（x）=﹣x3 C．f（x）=log x D．f（x）=3﹣x 【考点】抽象函数及其应用． 【专题】构造法；函数的性质及应用． 【分析】根据条件可知，对数函数符合条件，f（xy）=f（x）+f（y），再给出证明，最后根据函数 的单调性确定选项． 【解答】解：对数函数符合条件 f（xy）=f（x）+f（y），证明如下： 设 f（x）=logax，其中，x＞0，a＞0 且 a≠1， 则 f（xy）=logaxy=logax+logay=f（x）+f（y）， 即对数函数 f（x）=logax，符合条件 f（xy）=f（x）+f（y）， 同时，f（x）单调递减，则 a ∈ （0，1）， 综合以上分析，对数函数 f（x）= 符合题意， 故答案为：C． 【点评】本题主要考查了抽象函数及其应用，涉及抽象函数的运算和函数模型的确定，以及对数的 运算性质，属于基础题． 5．如图的程序图的算法思路中是一种古老而有效的算法﹣﹣辗转相除法，执行改程序框图，若输入 的 m，n 的值分别为 30，42，则输出的 m=（ ） A．10 B．12 C．13 D．16 【考点】程序框图． 【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图． 【分析】模拟程序框图的运行过程，该程序执行的是欧几里得辗转相除法，求出运算结果即可． 【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下； m=30，n=42，30÷42=0，余数是 30，r=30，不满足条件 r=0， m=42，n=30，42÷30=1，余数是 12，r=12，不满足条件 r=0， m=30，n=12，30÷12=2，余数是 6，r=6，不满足条件 r=0， m=12，n=6，12÷6=2，余数是 0，r=0，满足条件 r=0，退出循环，输出 m 的值为 12． 故选：B． 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的答 案，是基础题． 6．为了得到函数 y= sin4x﹣ cos4x 的图象，可以将函数 y=sin4x 的图象（ ） A．向右平移 个单位B．向左平移 个单位 C．向右平移 个单位D．向左平移 个单位 【考点】函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【专题】计算题；方程思想；转化思想；三角函数的图像与性质． 【分析】化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后平移平移关系判断选项即可． 【解答】解：函数 y= sin4x﹣ cos4x=sin（4x﹣ ）， ∵sin（4x﹣ ）=sin[4（x﹣ ） ] ， ∴为了得到函数 y= sin4x﹣ cos4x 的图象，可以将函数 y=sin4x 的图象向右平移 个单位． 故选：A． 【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的图象平移，考查计算能力． 7．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于（ ） A．45 B．36 C．30 D．6 【考点】由三视图求面积、体积． 【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离． 【分析】该几何体为长方体切去一个三棱锥剩下的几何体． 【解答】解：由三视图可知该几何体为长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 切去一个三棱锥 B1﹣A1BC1 剩下 的几何体． ∴V=4×3×3﹣ =30． 故选：C． 【点评】本题考查了空间几何体的三视图与体积计算，属于基础题． 8．春节前，某市一过江大桥上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的 6 秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以 6 秒内间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们 第一次闪亮的时刻相差不超过 3 秒的概率是（ ） A． B． C． D． 【考点】古典概型及其概率计算公式． 【专题】数形结合；数形结合法；概率与统计． 【分析】作出基本事件对应的平面区域和符合条件的平面区域，求出对应的几何度量． 【解答】解：设两串彩灯分别在通电后 x 秒，y 秒第一次闪亮， 则所有的可能情况对应的平面区域为正方形 OABC， 作出直线 x﹣y=3 和直线 y﹣x=3，则两灯在第一次闪亮时刻不超过 3 秒对应的平面区域为六边形 ODEBGF， ∴P= = = ． 故选 B． 【点评】本题考查了几何概型的概率计算，作出对应的平面区域是关键． 9．已知 F 是抛物线 y2=4x 的焦点，点 A，B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，OA⊥OB（其中 O 为 坐标原点），则△AOB 与△AOF 面积之和的最小值是（ ） A．16 B．8 C．8 D．18 【考点】抛物线的简单性质． 【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达 定理及 • =0，消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题． 【解答】解：设直线 AB 的方程为：x=ty+m， 点 A（x1，y1），B（x2，y2），直线 AB 与 x 轴的交点为 M（m，0）， x=ty+m 代入 y2=4x，可得 y2﹣4ty﹣4m=0， 根据韦达定理有 y1•y2=﹣4m， ∵OA⊥OB， ∴ • =0， ∴x1•x2+y1•y2=0，从而（ y1• y2）2+y1•y2=0， ∵点 A，B 位于 x 轴的两侧， ∴y1•y2=﹣16，故 m=4． 不妨令点 A 在 x 轴上方，则 y1＞0， 又 F（1，0）， ∴S△ABO+S△AFO= ×4×（y1﹣y2）+ ×y1= y1+ ≥8 ， 当且仅当 y1= ，即 y1= 时，取“=”号， ∴△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是 8 ， 故选：C． 【点评】求解本题时，应考虑以下几个要点： 1、联立直线与抛物线的方程，消 x 或 y 后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是 处理此类问题的常见模式． 2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高． 3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”． 10．函数 f′（x）是奇函数 f（x）（x ∈ R）的导函数，f（1）=0，当 x＜0 时，xf′（x）+f（x）＞0， 则使得 f（x）＜0 成立的 x 的取值范围是（ ） A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣1，0）∪（0，1） 【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的单调性与导数的关系． 【专题】数形结合；构造法；转化法；导数的概念及应用． 【分析】根据题意构造函数 g（x）=xf（x），由求导公式和法则求出 g′（x），结合条件判断出 g′ （x）的符号，即可得到函数 g（x）的单调区间，根据 f（x）奇函数判断出 g（x）是偶函数，将不等式进行转化，由图象求出不等式成立时 x 的取值范围． 【解答】解：设 g（x）=xf（x），则 g′（x）=xf′（x）+f（x）， ∵当 x＜0 时，xf′（x）+f（x）＞0， ∴则当 x＜0 时，g′（x）＞0， ∴函数 g（x）=xf（x）在（﹣∞，0）上为增函数， ∵函数 f（x）是奇函数，∴g（﹣x）=（﹣x）f（﹣x）=（﹣x）[﹣f（x） ] =xf（x）=g（x）， ∴函数 g（x）为定义域上的偶函数， 由 f（1）=0 得，g（1）=0，函数 g（x）的图象大致如右图： ∵不等式 f（x）＜0 ⇔ ＜0， ∴ 或 ， 由函数的图象得，﹣1＜x＜0 或 x＞1， ∴使得 f（x）＜0 成立的 x 的取值范围是：（﹣1，0）∪（1，+∞）， 故选：B． 【点评】本题考查利用导数判断函数的单调性，由函数的奇偶性、单调性解不等式，考查构造函数 法，转化思想和数形结合思想，属于综合题． 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 11．在（3﹣x）5 的展开式中，含 x3 的项的系数是 ﹣90 （用数字作答） 【考点】二项式系数的性质． 【专题】对应思想；转化法；二项式定理． 【分析】根据二项式展开式的通项公式，确定 r 的值，即可求出含 x3 的项的系数． 【解答】解：（3﹣x）5 的展开式中，通项公式是 Tr+1= •35﹣r•（﹣1）r•xr， 令 r=3，得含 x3 的项的系数是 •32•（﹣1）3=﹣90． 故答案为：﹣90． 【点评】本题考查了二项式展开式的通项公式的应用问题，是基础题目． 12．已知α ∈ （0， ），β ∈ （0， ），且 cosα= ，cos（α+β）=﹣ ，则 sinβ= ． 【考点】两角和与差的正弦函数． 【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值． 【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式，以及三角函数在各个象限中的 符号，求得 sinβ=sin[（α+β）﹣α ] 的值． 【解答】解：∵已知α ∈ （0， ），β ∈ （0， ），且 cosα= ，cos（α+β）=﹣ ， ∴sinα= = ，sin（α+β）= = ， 则 sinβ=sin[（α+β）﹣α ] =sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα = • ﹣（﹣ ）• = ， 故答案为： ． 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式，以及三角函数在各个象限中 的符号，属于基础题． 13．已知实数 x，y 满足 ，则 x2+y2 的最大值为 13 ． 【考点】简单线性规划的应用；简单线性规划． 【专题】计算题． 【分析】先根据条件画出可行域，z=x2+y2，再利用几何意义求最值，只需求出可行域内的点到原点 距离的最值，从而得到 z 最大值即可． 【解答】解：先根据约束条件画出可行域， 而 z=x2+y2， 表示可行域内点到原点距离 OP 的平方， 点 P 在黄色区域里运动时，点 P 跑到点 C 时 OP 最大 当在点 C（2，3）时，z 最大，最大值为 22+32=13， 故答案为：13 【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．解决时，首先 要解决的问题是明白题目中目标函数的意义． 14．设四边形 ABCD 为平行四边形，| |=8，| |=3，若点 M，N 满足 =3 ， =2 ，则 • = 9 ． 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用． 【分析】用 表示出 ，代入数量积计算． 【解答】解：∵ =3 ， =2 ，∴ = = ， = ， = =﹣ =﹣ ， ∴ = = ， = = ． • =（ ）•（ ）= ﹣ = ×82﹣ ×32=9． 故答案为：9． 【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，是基础题． 15．设 S 为复数集 C 的非空子集．如果 （1）S 含有一个不等于 0 的数； （2） ∀ a，b ∈ S，a+b，a﹣b，ab ∈ S； （3） ∀ a，b ∈ S，且 b≠0， ∈ S，那么就称 S 是一个数域． 现有如下命题： ①如果 S 是一个数域，则 0，1 ∈ S； ②如果 S 是一个数域，那么 S 含有无限多个数； ③复数集是数域； ④S={a+b |a，b ∈ Q，}是数域； ⑤S={a+bi|a，b ∈ Z}是数域． 其中是真命题的有 ①②③④ （写出所有真命题的序号）． 【考点】命题的真假判断与应用；元素与集合关系的判断；复数的基本概念． 【专题】简易逻辑；推理和证明；数系的扩充和复数． 【分析】根据已知中数域的概念，逐一分析 5 个命题的真假，综合讨论结果，可得答案． 【解答】解：由已知中（1）S 含有一个不等于 0 的数； （2） ∀ a，b ∈ S，a+b，a﹣b，ab ∈ S； （3） ∀ a，b ∈ S，且 b≠0， ∈ S，那么就称 S 是一个数域． 令 a=b≠0， 则 a﹣b=0 ∈ S； =1 ∈ S，故①正确； na ∈ S，n ∈ Z，故②正确； 复数集 C 满足 3 个条件，故复数集是数域，故③正确； S={a+b |a，b ∈ Q，}满足 3 个条件，故 S 是数域，故④正确； S={a+bi|a，b ∈ Z}不满足条件（3），故 S 不是数域，故⑤错误； 故答案为：①②③④ 【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了数域的概念，正确理解数域的概念，是解答 的关键． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．已知数列{an}满足 a1=1，an+1=2an+1． （1）求数列{an}的通项公式； （2）令 bn= n（an+1），求数列{bn}的前 n 项和 Tn． 【考点】数列的求和；数列递推式． 【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列． 【分析】（1）通过对 an+1=2an+1 变形可知 an+1+1=2（an+1），进而可知数列{an+1}是首项、公比均 为 2 的等比数列，计算即得结论； （2）通过（1）可知 bn=n•2n﹣1，进而利用错位相减法计算即得结论． 【解答】解：（1）∵an+1=2an+1， ∴an+1+1=2（an+1）， 又∵a1=1， ∴数列{an+1}是首项、公比均为 2 的等比数列， ∴an+1=2n， ∴an=﹣1+2n； （2）由（1）可知 bn= n（an+1）= n•2n=n•2n﹣1， ∴Tn=1•20+2•2+…+n•2n﹣1， 2Tn=1•2+2•22…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n， 错位相减得：﹣Tn=1+2+22…+2n﹣1﹣n•2n = ﹣n•2n =﹣1﹣（n﹣1）•2n， 于是 Tn=1+（n﹣1）•2n． 【点评】本题考查数列的通项及前 n 项和，考查运算求解能力，考查错位相减法，对表达式的灵活 变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题． 17．某高校文学院和理学院的学生组队参加大学生电视辩论赛，文学院推荐了 2 名男生，3 名女生， 理学院推荐了 4 名男生，3 名女生，文学院和理学院所推荐的学生一起参加集训，由于集训后学生 水平相当，从参加集训的男生中随机抽取 3 人，女生中随机抽取 3 人组成代表队． （1）求文学院至少有一名学生入选代表队的概率； （2）某场比赛前，从代表队的 6 名学生在随机抽取 4 名参赛，记 X 表示参赛的男生人数，求 X 的 分布列与数学期望． 【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变 量及其分布列． 【专题】应用题；方程思想；综合法；概率与统计． 【分析】（1）求出文学院至少有一名学生入选代表队的对立事件的概率，然后求解概率即可； （2）求出 X 表示参赛的男生人数的可能值，求出概率，得到 X 的分布列，然后求解数学期望． 【解答】解：（1）由题意，参加集训的男、女学生共有 6 人，参赛学生全从理学院中抽出（等价于 文学院中没有学生入选代表队）的概率为： = ，因此文学院至少有一名学生入选代表队的 概率为：1﹣ = ； （Ⅱ）某场比赛前，从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛，X 表示参赛的男生人数， 则 X 的可能取值为：1，2，3， P（X=1）= = ，P（X=2）= = ，P（X=3）= = ． X 的分布列： X 1 2 3 P 和数学期望 EX=1× +2× +3× =2． 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，考查古典概型概率的求法，考查分析问 题解决问题的能力． 18．已知函数 f（x）=sinx（sinx+ cosx）． （1）求 f（x）的最小正周期和最大值； （2）在锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 f（ ）=1，a=2 ，求三角形 ABC 面积的最大值． 【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象． 【专题】函数思想；综合法；三角函数的求值；解三角形． 【分析】（1）利用二倍角公式化简 f（x）； （2）求出 A，根据余弦定理和基本不等式得出 bc 的最大值，代入面积公式即可． 【解答】解：（1）f（x）=sin2x+ sinxcosx= ﹣ cos2x+ sin2x=sin（2x﹣ ） ． ∴f（x）的最小正周期 T= =π，f（x）的最大值是 ． （2）∵f（ ）=sin（A﹣ ）+ =1，∴sin（A﹣ ）= ，∴A= ． ∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴12=b2+c2﹣bc，∴b2+c2=12+bc≥2bc，∴bc≤12． ∴S= = bc≤3 ． ∴三角形 ABC 面积的最大值是 3 ． 【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的性质，解三角形，属于中档题． 19．如图，在四棱锥 S﹣ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，SD=DC=2AD，侧棱 SD⊥底面 ABCD，点 E 是 SC 的中点，点 F 在 SB 上，且 EF⊥SB． （1）求证：SA∥平面 BDE； （2）求证 SB⊥平面 DEF； （3）求二面角 C﹣SB﹣D 的余弦值． 【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定． 【专题】数形结合；空间角；立体几何． 【分析】（1）连接 AC 交 BD 于点 O，连接 OE．然后利用三角形中位线的性质可得 OE∥SA，再由 线面平行的判定定理证得 SA∥平面 BDE； （2）由 SD=DC，E 是 SC 的中点可得 DE⊥SC，再由面面垂直的判定和性质得到 BC⊥平面 SDC， 从而得到 BC⊥DE，进一步得到 SB⊥DE，结合已知 EF⊥SB，由线面垂直的判定得结论； （3）根据二面角的定义得到∠EFD 是二面角 C﹣SB﹣D 的平面角，根据三角形的边角关系进行求 解即可． 【解答】（1）证明：如图， 连接 AC 交 BD 于点 O，连接 OE． ∵点 O、E 分别为 AC、SC 的中点， ∴OE∥SA，又 OE ⊂ 平面 BDE，SA ⊄ 平面 BDE， ∴SA∥平面 BDE； （2）证明：∵SD=DC，E 是 SC 的中点，∴DE⊥SC， 又 SD⊥底面 ABCD，∴平面 SDC⊥平面 ABCD， ∵底面 ABCD 是矩形，∴BC⊥平面 SDC， ∴BC⊥DE， 又 SC∩BC=C，∴DE⊥平面 SBC， 又 SB ⊂ 平面 SBC，∴SB⊥DE， 又 EF⊥SB， EF∩ED=E， ∴SB⊥平面 EFD； （3）∵EF⊥SB，SB⊥平面 EFD， ∴∠EFD 是二面角 C﹣SB﹣D 的平面角， 设 AD=1，则 SD=CD=2， 则 SC=2 ，SB= =3，BD= = = ，DE= ， 在三角形 SDB 中，SB•DF=SD•BD，即 DF= = = ， 在三角形 SBC 中，sinCSB= ，即 EF= SE= ， 在三角形 DEF 中， cosEFD= = = = = ， 即二面角 C﹣SB﹣D 的余弦值是 ． 【点评】本题综合考查空间中线线、线面的位置关系和空间中角的计算，涉及二面角的平面角，传 统方法和坐标向量法均可，考查的知识面较广，综合性较强，运算量较大． 20．已知圆 F1：（x+1）2+y2=1，圆 F2：（x﹣1）2+y2=25，动圆 P 与圆 F1 外切并且与圆 F2 内切， 动圆圆心 P 的轨迹为曲线 C． （Ⅰ）求曲线 C 的方程； （Ⅱ）若曲线 C 与 x 轴的交点为 A1，A2，点 M 是曲线 C 上异于点 A1，A2 的点，直线 A1M 与 A2M 的斜率分别为 k1，k2，求 k1k2 的值． （Ⅲ）过点（2，0）作直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，在曲线 C 上是否存在点 N，使 + = ？ 若存在，请求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由． 【考点】直线与圆锥曲线的关系；轨迹方程． 【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）通过设 P（x，y）、动圆 P 的比较为 r，利用圆与圆的位置关系可知|PF1|=1+r、|PF2|=5 ﹣r，进而化简可知动圆圆心 P 的轨迹是以 F1（﹣1，0）、F2（1，0）为焦点、长轴长为 6 的椭圆， 计算即得结论； （Ⅱ）通过（I）可知 A1（﹣3，0）、A2（3，0），通过设 M（x，y），利用 + =及 k1k2= • 化简计算即得结论； （Ⅲ）通过设过点（2，0）的直线 l 方程为 x=my+2，并与曲线 C 方程联立，利用韦达定理及 N（x1+x2， y1+y2）在曲线 C 上化简计算即得结论． 【解答】解：（Ⅰ）依题意，F1（﹣1，0），F2（1，0）， 设 P（x，y），动圆 P 的比较为 r，则|PF1|=1+r，|PF2|=5﹣r， ∴|PF1|+|PF2|=6， ∴动圆圆心 P 的轨迹是以 F1（﹣1，0）、F2（1，0）为焦点，长轴长为 6 的椭圆， 则 b2=a2﹣c2=9﹣1=8， 于是曲线 C 的方程为： + =1； （Ⅱ）由（I）可知 A1（﹣3，0），A2（3，0）， 设 M（x，y），则 + =1， 于是 k1k2= • = = =﹣ ； （Ⅲ）结论：在曲线 C 上存在点 N，使 + = ． 理由如下： 设过点（2，0）的直线 l 方程为：x=my+2， 联立直线 l 与曲线 C 的方程，消去 x，整理得： （9+8m2）y2+32my﹣40=0， 设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣ ， ∵ + = ， ∴N（x1+x2，y1+y2）在曲线 C 上， ∴ + =1， 又∵x1+x2=m（y1+y2）+4=4﹣ = ， ∴ • + • =1， 整理得：9+8m2=16， 解得：m=± ， 于是在曲线 C 上存在点 N，使 + = ． 【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中 档题． 21．设函数 f（x）= +k（ +lnx）（k 为常数）． （1）当 k=0 时，求曲线 y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）当 k≥0 时，求函数 f（x）的单调区间； （3）若函数 f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求 k 的取值范围． 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】计算题；作图题；数形结合；导数的概念及应用；导数的综合应用． 【分析】（1）求导 f′（x）= ，从而可得 f（1）=e，f′（1）=﹣e，从而确定切线方程； （2）求导 f′（x）=（x﹣2） ，从而判断导数的正负以确定函数的单调性； （3）求导 f′（x）=（x﹣2） ，从而可得 h（x）=ex+kx 在（0，2）内存在两个零点，从而化 为 y=ex 与 y=﹣kx 的图象在（0，2）内有两个交点，从而利用数形结合求解． 【解答】解：（1）当 k=0 时，f（x）= ，f′（x）= ， 故 f（1）=e，f′（1）=﹣e， 故曲线 y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 y﹣e=﹣e（x﹣1）， 即切线方程为：ex+y﹣2e=0； （2）f（x）= +k（ +lnx）的定义域为（0，+∞）， f′（x）= +k（﹣ + ）=（x﹣2） ， ∵k≥0，且 x ∈ （0，+∞），∴ ＞0， 故当 x ∈ （0，2）时，f′（x）＜0，当 x ∈ （2，+∞）时，f′（x）＞0； 故函数 f（x）的单调减区间为（0，2），单调增区间为（2，+∞）； （3）由（2）知，f′（x）=（x﹣2） ， ∵ ＜0 在（0，2）上恒成立， 又∵函数 f（x）在（0，2）内存在两个极值点， ∴h（x）=ex+kx 在（0，2）内存在两个零点， ∴y=ex 与 y=﹣kx 的图象在（0，2）内有两个交点， 作 y=ex 与 y=﹣kx 的图象如图， 相切时，设切点为（x，ex）， 则 =ex， 故 x=1； 故 k1=e； k2= = ， 故 e＜﹣k＜ ， 故﹣ ＜k＜﹣e． 【点评】本题考查了导数的综合应用及数形结合的思想应用，同时考查了导数的几何意义的应用．