江苏高考向量复习

江苏高考向量复习

大方向教育个性化辅导教案 教师： 徐琨 学生： 学科： 数学 时间： ‎ 课 题（课型）‎ 平面向量的概念及其线性运算 教学方法：‎ 知识梳理、例题讲解、归纳总结、巩固训练 ‎[最新考纲]‎ ‎1．了解向量的实际背景．‎ ‎2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．‎ ‎3．理解向量的几何表示．‎ ‎4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．‎ ‎5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．‎ ‎6．了解向量线性运算的性质及其几何意义.‎ 知 识 梳 理 ‎1．向量的有关概念 名称 定义 备注 平行向量 方向相同或相反的非零向量 ‎0与任一向量平行或共线 共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 ‎0的相反向量为0‎ ‎2.向量的线性运算 向量 运算 定　义 法则(或几何意义)‎ 运算律 加法 求两个向量 和的运算 三角形法则 平行四边形法则 ‎(1)交换律：‎ a＋b＝b＋a.‎ ‎(2)结合律：‎ ‎(a＋b)＋c＝‎ a＋(b＋c)‎ 减法 求a与b的 相反向量 ‎－b的和的 运算叫做 a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b)‎ 数乘 求实数λ与 向量a的积 的运算 ‎(1)|λa|＝|λ||a|；‎ ‎(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0‎ λ(μa)＝λμa；‎ ‎(λ＋μ)a＝λa＋μa；‎ λ(a＋b)＝λa＋λb ‎3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.‎ 辨 析 感 悟 ‎1．对共线向量的理解 ‎(1)若向量a，b共线，则向量a，b的方向相同． ( )‎ ‎(2)若a∥b，b∥c，则a∥c. ( )‎ ‎(3)(2013·郑州调研改编)设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与2a－b共线，则λ＝－. ( )‎ ‎(4)(2013·陕西卷改编)设a，b为向量，则“|a·b|＝|a|·|b|”是“a∥b”的充分必要条件． ( )‎ ‎2．对向量线性运算的应用 ‎(5)＋＋＝. ( )‎ ‎(6)(教材习题改编)在△ABC中，D是BC的中点，则＝(＋)． ( )‎ 学生用书第69页 ‎[感悟·提升]‎ ‎1．一个区别　两个向量共线与两条线段共线不同，前者的起点可以不同，而后者必须在同一直线上．同样，两个平行向 量与两条平行直线也是不同的，因为两个平行向量可以移到同一直线上．‎ ‎2．两个防范　一是两个向量共线，则它们的方向相同或相反；如(1)；二是注重零向量的特殊性，如(2).‎ 考点一　平面向量的有关概念 ‎【例1】 给出下列命题：‎ ‎①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中真命题的序号是________．‎ 规律方法 对于向量的概念应注意以下几条：‎ ‎(1)向量的两个特征：有大小和方向，向量既可以用有向线段和字母表示，也可以用坐标表示；‎ ‎(2)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量；‎ ‎(3)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小．‎ ‎【训练1】 设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是 ．‎ 考点二　平面向量的线性运算 例2】 如图，在平行四边形OADB中，设＝a， ＝b，B＝ ， ＝ .试用a，b表示， 及.‎ 规律方法 (1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．‎ ‎(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．‎ ‎【训练2】(2013·四川卷)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ ，则λ＝________.‎ 考点三　向量共线定理及其应用 ‎【例3】 (2013·郑州一中月考)设两个非零向量a与b不共线．‎ ‎(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；‎ ‎(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．‎ ‎【训练3】 (2014·西安模拟)已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d同向，则实数λ的值为_____．‎ ‎1．向量的加、减法运算，要在所表达的图形上多思考，多联系相关的几何图形，比如平行四边形、菱形、三角形等，可多记忆一些有关的结论．‎ ‎2．对于向量共线定理及其等价定理，关键要理解为位置(共线或不共线)与向量等式之间所建立的对应关系．要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式b＝λa，再结合条件或图形有无公共点证明几何位置．　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 方法优化3——准确把握平面向量的概念和运算 ‎【典例】 (2012·浙江卷)设a，b是两个非零向量．(　　)．‎ A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|‎ C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|‎ ‎[反思感悟] 部分学生做错的主要原因是：题中的条件“|a＋b|＝|a|－|b|”在处理过程中误认为“|a＋b|＝|a－b|”，从而得到“a⊥b”这个错误的结论．‎ ‎【自主体验】‎ 在△OAB中，＝a，＝b，OD是AB边上的高，若＝λ，则实数λ＝ (　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎ 基础巩固题组 一、填空题 ‎1．(2014·湖州月考)给出下列命题：‎ ‎①向量的长度与向量的长度相等；‎ ‎②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；‎ ‎③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；‎ ‎④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；‎ ‎⑤向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上．‎ 其中不正确命题的序号是________．‎ ‎2．(2014·泰安模拟)设a，b是两个不共线向量，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为________．‎ ‎3．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)．‎ 二、解答题 ‎4．在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设＝a，＝b，试用a，b表示，.‎ ‎5.若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上？‎ ‎6.在△ABC中，E，F分别为AC，AB的中点，BE与CF相交于G点，设＝a，＝b，试用a，b表示.‎ 平面向量基本定理及坐标表示 ‎[最新考纲]‎ ‎1．了解平面向量的基本定理及其意义．‎ ‎2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．‎ ‎3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．‎ ‎4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件.‎ 知 识 梳 理 ‎1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.‎ 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．‎ ‎2．平面向量的坐标运算 ‎(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.‎ ‎(2)向量坐标的求法 ‎①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．‎ ‎②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.‎ ‎3．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.‎ 辨 析 感 悟 ‎1．对平面向量基本定理的理解 ‎(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底． ( )‎ ‎(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2. ( )‎ ‎ (3)(2013·广东卷改编)已知a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解，有下列四个命题，请判断它们的正误：‎ ‎①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c. ( )‎ ‎②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；( )‎ ‎③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc； ( )‎ ‎④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc. ( )‎ ‎2．平面向量的坐标运算 ‎(4)(教材习题改编)已知点A(2,1)，B(－1,3)，则＝(－3,2)． ( )‎ ‎(5)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝. ( )‎ ‎(6)(2013·湘潭调研改编)已知向量a＝(4，x)，b＝(－4,4)，若a∥b，则x的值为－4.( )‎ ‎[感悟·提升]‎ ‎1．向量坐标与点的坐标的区别　在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量＝a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x，y)，向量a＝＝(x，y)．‎ 当平面向量平行移动到时，向量不变即＝＝(x，y)，但的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化．‎ ‎2．两个防范　一是注意能作为基底的两个向量必须是不共线的，如(1)．二是注意运用两个向量a，b共线坐标表示的充要条件应为x1y2－x2y1＝0，如(5).‎ 考点一　平面向量基本定理的应用 ‎【例1】 如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示，.‎ 规律方法 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．‎ ‎(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．‎ ‎【训练1】 在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若A ＝λ＋μ，则λ＋μ＝ ‎ 考点二　平面向量的坐标运算 ‎【例2】 已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.‎ ‎(1)求3a＋b－3c；‎ ‎(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；‎ ‎(3)求M，N的坐标及向量的坐标．‎ 规律方法 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及运算法则的正确使用．‎ ‎【训练2】 (1)已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量a－b＝ ‎ (2) 在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝ ‎ 考点三　平面向量共线的坐标表示 ‎【例3】 平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．‎ ‎(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；‎ ‎(2)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d的坐标．‎ ‎【训练3】 (1)(2014·衡水中学一检)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝ ‎ ‎(2)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________．‎ ‎1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．‎ ‎2．向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理，从而向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题．‎ ‎3．在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ‎ 思想方法3——方程思想在平面向量线性运算中的应用 ‎【典例】 (2013·北京卷)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.‎ ‎【自主体验】‎ ‎1．设e1，e2是平面内一组基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基底a，b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b.‎ ‎2．已知向量a＝，b＝(x,1)，其中x>0，若(a－2b)∥(2a＋b)，则x＝________.‎ 基础巩固题组 ‎1．如图，设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，下列向量组：①与；②与；③与；④与，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是 ‎ 2． 已知点A(－1,5)和向量a＝(2,3)，若＝3a，则点B的坐标为 ．‎ 3． 如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x ＋y ，且＝2 ，则 x= ,y= ‎ 4． 已知向量a＝(－1,1)，b＝(3，m)，a∥(a＋b)，则m＝ ‎ 5． 在△ABC中，点P在BC上，且＝2P，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则等于 ‎ 6． 若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值为________．‎ 7． 已知向量＝(3，－4)，＝(0，－3)，＝(5－m，－3－m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m满足的条件是________．‎ 8． ‎(2013·江苏卷)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1 ＋λ2 (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．‎ ‎9．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？‎ ‎10．已知点O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，＝t1 ＋t2 .‎ ‎(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；‎ ‎(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B，M三点都共线．‎ 能力提升题组 1. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为 ‎ 2. 设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为________．‎ ‎3.如图，已知点A(1,0)，B(0,2)，C(－1，－2)，求以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．‎ 教师评定：‎ ‎1、学生上次作业评价： ○好 ○较好 ○一般 ○差 ‎2、学生本次上课情况评价：○好 ○较好 ○一般 ○差 教师签字：‎ ‎ 教导主任签字：‎ 大方向教育教务