高考一轮复习专题导数及其应用

高考一轮复习专题导数及其应用

导数及其应用 考点一：导数概念与运算 ‎（一）知识清单 ‎1．导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）－f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=。如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f’（x）或y’|。‎ 即f（x）==。‎ 说明：‎ ‎（1）函数f（x）在点x处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数。‎ ‎（2）是自变量x在x处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。‎ 由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x处的导数的步骤：‎ ‎（1）求函数的增量=f（x+）－f（x）；‎ ‎（2）求平均变化率=；‎ ‎（3）取极限，得导数f’(x)=。‎ ‎2．导数的几何意义 函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率是f’（x）。相应地，切线方程为y－y=f/（x）（x－x）。‎ ‎3．几种常见函数的导数: ‎ ‎① ② ③; ④;‎ ‎⑤⑥; ⑦; ⑧.‎ ‎4．两个函数的和、差、积的求导法则 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，‎ 即： (‎ 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：‎ 若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： ‎ 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：‘=（v0）。‎ 形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y＇|= y＇| ·u＇|‎ ‎（二）典型例题分析 题型一：导数的概念及其运算 例1. 如果质点A按规律运动，则在t=3 s时的瞬时速度为（ ）‎ A. ‎6m/s B. ‎18m/s C. ‎54m/s D. ‎81m/s 变式：定义在D上的函数，如果满足：，常数，‎ 都有≤M成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.‎ ‎【文】（1）若已知质点的运动方程为，要使在上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a的取值范围.‎ ‎【理】（2）若已知质点的运动方程为，要使在上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a的取值范围.‎ 例2. 已知的值是（ ）‎ ‎ A. B. ‎2 C. D. －2‎ 变式1：（ ）‎ ‎ A．－１ Ｂ．－‎2 ‎C．－3 D．1‎ 变式2：（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 例1. ‎ 求所给函数的导数：‎ 变式：设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,＞0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是（ ）‎ A．(－3,0)∪(3,+∞) B．(－3,0)∪(0, 3)‎ C．(－∞,－ 3)∪(3,+∞) D．(－∞,－ 3)∪(0, 3)‎ 题型二：导数的几何意义 ① 已知切点，求曲线的切线方程；‎ 注：此类题较为简单，只须求出曲线的导数，并代入点斜式方程即可．‎ 例2. 曲线在点处的切线方程为（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ② 已知斜率，求曲线的切线方程；‎ 注：此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．‎ 例3. 与直线的平行的抛物线的切线方程是（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ① 已知过曲线外一点，求切线方程；‎ 此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．‎ 例1. 求过点且与曲线相切的直线方程．‎ 变式1、已知函数的图象在点处的切线方程是，则 。‎ 变式2、‎ 考点二：导数应用 ‎（一）知识清单 1． 单调区间：一般地，设函数在某个区间可导，‎ 如果，则为增函数；‎ 如果，则为减函数；‎ 如果在某区间内恒有，则为常数；‎ ‎2．极点与极值：‎ 曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；‎ ‎3．最值：‎ 一般地，在区间[a，b]上连续的函数f在[a，b]上必有最大值与最小值。‎ ‎①求函数ƒ在(a，b)内的极值；‎ ‎②求函数ƒ在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)；‎ ‎③将函数ƒ 的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。‎ ‎4．定积分 ‎（1）概念：设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x01‎ ‎(Ⅰ)讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 课后作业 ‎1、曲线在点处的切线方程是 。‎ ‎2、.已知曲线C：，直线，且直线与曲线C相切于点，求直线的方程及切点坐标。‎ ‎3、设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为。（1）求，，的值；‎ ‎（2）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值。‎ ‎4、设函数，已知是奇函数。‎ ‎（1）求、的值。‎ ‎（2）求的单调区间与极值。‎ ‎5、已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．‎ ‎6、已知函数 ．‎ ‎ （I）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值； （II）若函数在区间上不单调，求的取值范围．‎ ‎7、已知函数.‎ (1) 设，求函数的极值；‎ (2) 若，且当时，‎12a恒成立，试确定的取值范围.‎ ‎8、若函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，求实数的取值范围．‎ 附加：‎ ‎1．（福建）已知对任意实数，有，且时，，则时（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2．（海南）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ‎3．（海南）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ‎4．（江苏）已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．若，则下列命题中正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（江西）若，则下列命题正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（辽宁）已知与是定义在上的连续函数，如果与仅当时的函数值为0，且，那么下列情形不可能出现的是（ ）‎ A．0是的极大值，也是的极大值 B．0是的极小值，也是的极小值 C．0是的极大值，但不是的极值 D．0是的极小值，但不是的极值 ‎8．（全国一）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（全国二）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）‎ A．1 B．‎2 ‎ C．3 D．4‎ ‎10．（浙江）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）‎ ‎11． (北京)是的导函数，则的值是 ‎ ‎12．（广东）函数的单调递增区间是 ‎ ‎13．（江苏）已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则 ‎ ‎14．（福建）设函数．‎ ‎（Ⅰ）求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若对恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎15．(广东)已知是实数，函数．如果函数在区间上有零点，求的取值范围．‎