新课标备战高考数学二轮专题复习06不等式

新课标备战高考数学二轮专题复习06不等式

‎2012届高考数学二轮复习资料 专题六 不等式（学生版）‎ ‎【考纲解读】‎ 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景;会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型,通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系,会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图;会从实际情境中抽象出二元一次不等式组,了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组,会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决;了解基本不等式的证明过程,会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.学会运用数形结合、分类讨论等数学思想方法分析和解决有关不等式问题，形成良好的思维品质,培养判断推理和逻辑思维能力.‎ 从近几年高考题目来看，不等式的性质和解不等式问题多以一个选择题的形式出现，且多与集合、简易逻辑、函数知识相结合，难度较低.‎ ‎【考点预测】‎ 本章知识的高考命题热点有以下两个方面：‎ ‎1.均值不等式是历年高考的重点考查内容，考查方式多样，在客观题中出现，一般只有一个选择或填空，考查直接，难度较低；在解答题中出现，其应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，难度较高。 ‎ ‎2.不等式证明也是高考的一个重点内容，且多以解答题的一个分支出现，常与函数、导数、数列、解析几何等知识结合，题目往往非常灵活，难度高。线性规划问题是近几年高考的一个新热点，在考题种主要以选择、填空形式出现，当然，也可以实际问题进行考查。考查了优化思想在解决问题的广泛应用，体现了数学的应用价值，从而形成解决简单实际问题的能力，进一步考查了考生的数学应用意识。‎ ‎3.预计在2012年高考中，对不等式的性质和解不等式特别是含参数的不等式的解法，仍会继续渗透在其他知识中进行考查。对不等式的应用，突出渗透数学思想方法和不等式知识的综合应用，特别是求最值问题、不等式证明问题，将继续强调考查逻辑推理能力，尤其是不等式与函数、数列、三角、解析几何的综合题型将会继续出现在高考的中、高档题中。‎ ‎【要点梳理】‎ ‎1.不等式的性质与证明：‎ ‎(1)不等式的基本性质;(2)均值不等式,应用时要特别注意定理成立的三个条件“一正二定三相等”,三者缺一不可;(3)一元二次不等式、二元一次不等式组、简单的一元高次不等式；(4)比较法证明:作差比较与作商比较法;(5)分析法与综合法证明。‎ ‎2.不等式的解法:‎ ‎(1)简单的一元高次不等式的解法:数轴标根法 ‎(2)分式不等式解法;(3)不等式的实际应用题的解题步骤:审题、建立不等式模型、解数学问题、写出答案.‎ 对于不等式的应用题有两类:一类是建立不等式,解不等式;一类是建立函数式,求最大值或最小值.‎ ‎3.二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题.‎ ‎【考点在线】‎ 考点一 　不等式的性质 例1.（2011年高考浙江卷文科6)若为实数,则“”是“”的( )‎ A．充分而不必要条件　　　　 　　B．必要而不充分条件 C．充分必要条件　　　　　　　　 D．即不充分也不必要条件 练习1:（2011年高考全国卷文科5)下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 考点二 　基本不等式的应用 例2. (2011年高考重庆卷理科7)已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是( )‎ ‎（A） （B）4‎ ‎（C） （D）5 ‎ 练习2: 2010年高考山东卷文科14）已知，且满足，则xy的最大值为 .‎ 考点三 　解不等式 高考要求掌握简单不等式的解法.解不等式是研究函数和方法的重要工具，是求函数的定义域、值域、最值、单调性、求反函数和参数的取值范围的重要手段，“不等式的变形”是研究数学的基本手段之一，它渗透到高中数学的每个角落中（如函数、方程、集合、数列、平面向量、三角函数、解析几何、立体几何、概率与统计、导数等），其基本思想是转化思想．转化的方法是: 超越式分式整式（高次）整式（低次）一次(或二次)不等式．其中准确熟练求解一元二次（一次）不等式是解其他不等式的基础，解一元高次不等式的有效方法是序轴法.此外,要重视数形结合、分类讨论思想的运用. 不等式的解法是高考必考内容，直接考查主要以选择题、填空题为主，这类题小巧灵活，常考常新；但有时也以解答题形式出现，主要考查含参数的不等式的解法.间接考查则更多，常以工具作用出现在函数、数列、三角函数、导数、解析几何、平面向量等问题之中,考查时重点考查一元二次不等式、分式不等式、含绝对值不等式，但偶尔也会涉及无理不等式、指数和对数不等式的解法．‎ 例3. (2011年高考辽宁卷理科9)设函数f（x）=则满足f（x）≤2的x的取值范围是（ ）‎ ‎ （A）[-1，2] （B）[0，2] （C）[1，+） （D）[0，+）‎ 练习3：(2011年高考广东卷文科5)不等式的解集是（ ）‎ A． B.‎ 练习4：（2011年高考山东卷文科7)设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为( )‎ ‎ (A)11 (B)10 (C)9 (D)8.5‎ 考点五 不等式的证明 高考要求掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式.不等式证明是高中数学的重要内容，同时也是高中数学的难点，加之题型广泛，涉及面广，证法灵活，因而备受命题者的青睐，成为高考的热点问题.但由于在高考时，涉及到不等式证明的问题往往出现在压轴题上，其综合性强、思维量大，因而不等式证明问题也就成为高考的难点问题.现在的高考没有单独命制不等式证明的试题，而是把它与函数、数列、导数、解析几何、立体几何、概率与统计等问题相结合命制成综合的压轴题，重在考查逻辑思维能力，以及常用的不等式证明方法（基本方法:比较法、综合法、分析法;常用方法:放缩法、换元法、求导法、反证法、数学归纳法等）.‎ 例5.已知a，b∈R，且a+b=1.求证： ‎ 练习5. 已知，求证：≥．‎ ‎【考题回放】‎ ‎1.(2011年高考山东卷理科4)不等式的解集为( )‎ ‎（A）[-5.7] （B）[-4,6] ‎ ‎（C） （D）‎ ‎2.(2011年高考浙江卷理科7)若为实数，则“”是的( )‎ ‎（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要6．(2011年高考广东卷文科6)已知平面直角坐标系上的区域由不等式组给定，若为上的动点，点的坐标为，则的最大值为（ ）‎ ‎ A．3 B．4 C． D． ‎ ‎7.（2011年高考福建卷文科10)若a>0, b>0, 且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在处有极值，则的最大值等于( )‎ A. 2 B. 3‎ C. 6 D. 9‎ ‎8. （2011年高考四川卷文科10)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车，某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需载满且只能送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡需配1名工人；每送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用甲乙卡车的车辆数，可得最大利润( )‎ ‎（A） 4650元 （B）4700元 ‎ (C) 4900元 （D）5000元 ‎ ‎9．（2011年高考湖南卷文科3)的( )‎ A．充分不必要条件　　　　Ｂ．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎10．（2011年高考湖北卷文科8)直线与不等式组表示平面区域的公共点有( )‎ A.0个 B.1个 ‎ C.2个 D.无数个 ‎11.(2011年高考安徽卷文科13)函数的定义域是 . ‎ ‎12．（2011年高考江西卷文科15)对于，不等式的解集为_______.‎ ‎13. （2011年高考海南卷文科14)若变量满足约束条件,则的最小值为 .‎ ‎14．（2011年高考浙江卷文科16)若实数满足，则的最大值是 。‎ ‎15. (2011年高考天津卷文科12)已知,则的最小值为 .‎ ‎16.(2011年高考江苏卷8)在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________.‎ ‎【高考冲策演练】‎ ‎2．（2010年高考福建卷文科5）设x,y,且,则的最小值等于( )‎ A.2 B‎.3 C.5 D.9‎ ‎3．(2010年高考江西卷文科1)对于实数，“”是“”的( )‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．(2010年高考江西卷文科2)若集合，，则( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎5．(2010年高考江西卷文科5)不等式的解集是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎6. (2010年高考浙江卷文科6)设0＜x＜，则“x sin2x＜‎1”‎是“x sinx＜‎1”‎的( )‎ ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎7. (2010年高考宁夏卷文科11)已知ABCD的三个顶点为A（-1，2），B（3，4），C（4，-2），点（x，y）在ABCD的内部，则z=2x-5y的取值范围是( )‎ ‎（A）（-14，16） （B）（-14，20） （C）（-12，18） （D）（-12，20）‎ ‎8．（2010年高考广东卷文科8）“>‎0”‎是“>‎0”‎成立的( )‎ ‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 ‎ C．非充分非必要条件 D．充要条件 ‎9．（2010年高考陕西卷文科6）“a＞‎0”‎是“＞‎0”‎的( )‎ ‎(A)充分不必要条件 （B）必要不充分条件 ‎ （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎10．（ 2010年高考全国Ⅰ卷文科7）已知函数.若且，，则的取值范围是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎11．（ 2010年高考全国Ⅰ卷文科10）设则( )‎ ‎（A）（B） (C) (D) ‎ ‎12. (2011年高考天津卷理科2)设则“且”是“”的( )‎ A. 充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件　　　　　　　　 D．即不充分也不必要条件 二．填空题：‎ ‎13．（2011年高考陕西卷文科12)如图，点在四边形ABCD内部和边界上运动，那么的最小值为 .‎ ‎14．（2011年高考重庆卷文科15)若实数的最大值是 ‎ ‎15．（2011年高考湖南卷文科14)设在约束条件下，目标函数的最大值为4，则的值为 ．‎ ‎16．（2010年高考天津卷文科16）设函数f(x)=x-,对任意x恒成立，则实数m的取值范围是 .‎ 三．解答题：‎ ‎17．(2011年高考安徽卷理科19)‎ ‎（Ⅰ）设证明，‎ ‎（Ⅱ），证明.‎ ‎18. (2011年高考湖北卷理科17)‎ 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为‎60千米,/小时，研究表明：当时，车流速度v是车流密度的一次函数.‎ ‎(Ⅰ)当时，求函数的表达式；‎ ‎(Ⅱ)当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）‎ ‎19．（2010年高考辽宁卷文科24）‎ 已知a,b,c均为正数，证明：a2+b2+c2+≥6，并确定a,b,c为何值时，‎ 等号成立.‎ 价为元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为元，则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和，则他对这两种交易的综合满意度为.‎ 现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为元和元，甲买进A与卖出B的综合满意度为，乙卖出A与买进B的综合满意度为 ‎(1)求和关于、的表达式；当时，求证：=；‎ ‎(2)设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？‎ ‎(3)记(2)中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。‎ ‎22．设为实数，函数.‎ ‎(1)若，求的取值范围；‎ ‎(2)求的最小值；‎ ‎(3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.‎