高考数学总复习提能拔高限时训练单元检测—圆锥曲线方程练习详细答案大纲人教版
单元检测(八) 圆锥曲线方程
(满分:150分 时间:120分钟)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率等于（ ）
A. B. C. D.
解析:设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a、2b、2c,
则由题意,得2a=2×2ba=2ba2=4b2a2=4(a2-c2) e=.
答案:D
2.椭圆(a>b>0)的焦点为F1、F2,两条准线与x轴的交点分别为M、N.若|MN|≤2|F1F2|,则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A.(0,］ B.(0,］
C.［,1) D.［,1)
解析:由题意,有|MN|≤2|F1F2|≤2ca2≤2c2≥,
又,∴.故选D.
答案:D
3.若双曲线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上,则p的值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.
解析:双曲线的标准方程为
故,即.
由于抛物线的准线方程为,它与x轴的交点的横坐标为,
而双曲线的左焦点在抛物线的准线上,
因此p>0.
解得p=4,故选C.
答案:C
4.设O是坐标原点,F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,A是抛物线上的一点,与x轴正向的夹角为60°,则为（ ）
A. B. C. D.
解析:依题意F(,0),直线FA的倾斜角即为与x轴正向的夹角,所以其斜率k=tan60°=.故FA的方程为.
由,可解得直线与抛物线的交点A的坐标为,
所以
答案:B
5.已知倾斜角α≠0的直线l过椭圆(a>b>0)的右焦点交椭圆于A、B两点,P为右准线上任意一点,则∠APB为（ ）
A.钝角 B.直角 C.锐角 D.都有可能
解析:如图,设M为AB的中点,过点M作MM1垂直于准线于点M1,分别过A、B作AA1、BB1垂直于准线于A1、B1两点.
则
∴以AB为直径的圆与右准线相离.
∴∠APB为锐角.
答案:C
6.设F为抛物线y2=4x的焦点,A、B、C为该抛物线上三点,若=0,则等于（ ）
A.9 B.6 C.4 D.3
解析:由于抛物线y2=4x的焦点坐标为F(1,0),
由=0,
可设A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),
得(x1-1)+(x2-1)+(x3-1)=0,x1+x2+x3=3,
又由抛物线定义知=x1+1,=x2+1,=x3+1,
∴=(x1+x2+x3)+3=6.
答案:B
7.(2009河南郑州高中毕业班第一次质检)斜率为2的直线l过双曲线(a>0,b>0)的右焦点,且与双曲线的左右两支分别相交,则双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A.e< B.1
解析:依题意,双曲线的一条渐近线的斜率必大于2,即>2,因此该双曲线的离心率
答案:D
8.已知双曲线(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
A.(1,2］ B.(1,2) C.［2,+∞) D.(2,+∞)
解析:∵渐近线与过焦点F的直线l平行,或渐近线从该位置绕原点按逆时针方向旋转时,直线l与双曲线的右支交于一个点.
∴,即c2=a2+b2≥4a2.
∴e≥2,故选C.
答案:C
9.椭圆(a1>b>0)与双曲线,它们的离心率分别为e1、e2,以a1、a2、b为边长(其中a1为斜边)可构成直角三角形的充要条件是（ ）
A.e1e2=1 B.e22-e12=1 C.e2=e1 D.e12+e22=2
解析:由题意,知a12=a22+b2,
,
又∵∴e12e22=1,即e1e2=1.
答案:A
10.设e1,e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率,P为两曲线的一个公共点,且满足=0,则的值为（ ）
A.1 B. C.2 D.不确定
解析:设=m,=n,
设椭圆的长轴长为2a1,
双曲线的实轴长为2a2,|F1F2|=2c,
则,
由此可得4a12-4c2=4c2-4a22,
即a12+a22=2c2.
将,代入,选C.
答案:C
11.如图,过抛物线x2=4py(p>0)焦点的直线依次交抛物线与圆x2+(y-p)2=p2于点A、B、C、D,则的值是（ ）
A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2
解析:-p=yA,-p=yB,
=yAyB=p2.
因为的方向相同,
所以=yAyB=p2.
故选D.
答案:D
12.若点P在抛物线y=3x2+4x+2上,A(0,-3)、B(-1,-1),使△ABP的面积最小,则P点的坐标是（ ）
A. B. C.(-1,1) D.(0,2)
解析:设点P到AB所在直线的距离为d,
则S△ABP=×AB×d=,当d取到最小值时,S△ABP的面积即为最小.
设P(x,3x2+4x+2),直线AB的方程为2x+y+3=0.
.
当x=-1时,dmin=,此时y=1.
所以点P的坐标为(-1,1)时,S△ABP的面积最小.
答案:C
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.椭圆上的一点P到两焦点的距离的乘积为m,则当m取最大值时,点P的坐标是_________.
解析:m=|PF1|·|PF2|≤为定值,等号成立时|PF1|=|PF2|,P为短轴端点(±3,0).
答案:(±3,0)
14.已知圆C:(x+1)2+y2=8,定点A(1,0),M为圆C上一动点,点P是线段AM的中点,点N在CM上,且满足NP⊥AM,则点N的轨迹方程为________.
解析:由已知,得|CM|=|NC|+|NM|=|NC|+|NA|=>|AC|=2,
因此动点N的轨迹是以点A(1,0)、C(-1,0)为焦点、长轴长2a=的椭圆,其中a=,c=1,b2=a2-c2=1,故动点N的轨迹方程是(y≠0).
答案:(y≠0)
15.已知抛物线y2=4x的焦点为F,AB是过焦点F的弦,且AB的倾斜角为30°,则△OAB的面积为____________.
解析:由y2=4x,得焦点坐标为F(1,0),直线AB的方程为.
由
得,
由得(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=(4)2+42=64,
∴|y1-y2|=8.
∴S△AOB=×|OF|×|y1-y2|=×1×8=4.
答案:4
16.P是双曲线(a>0,b>0)右支上一点,F为其右焦点,M是右准线l:x=与x轴的交点,若∠PMF=60°,∠PFM=45°,则双曲线的方程为________.
解析:如图,作PN垂直于右准线于N点,有,
在△PMN中,d=|PM|sin30°,
∴|PF|=e·|PM|·sin30°.
在△PMF中,由正弦定理
∴.
又右准线l:x=,即,
又,
∴
∴双曲线方程为.
答案:
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(本小题满分10分)已知椭圆(a>b>0)的中心在坐标原点O,一条准线的方程为x=4,过椭圆的左焦点F,且方向向量为a=(1,1)的直线l交椭圆于A、B两点,AB的中点为M.
(1)求直线OM的斜率(用a、b表示);
(2)设直线AB与OM的夹角为α,当tanα=7时,求椭圆的方程.
解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),
∵A、B在椭圆上,
∴.
两式相减,得.
∵,
∴kOM=.
(2)∵直线AB与OM的夹角为α,且tanα=7,
由(1)知kAB=1,kOM=,
∴.①
又椭圆中心在坐标原点O处,一条准线的方程是x=4,
∴.②
在椭圆中,a2=b2+c2.③
联立①②③,解得
∴椭圆的方程为.
18.(本小题满分12分)设F是抛物线G:x2=4y的焦点.
(1)过点P(0,-4)作抛物线G的切线,求切线方程;
(2)设A、B为抛物线G上异于原点的两点,且满足=0,延长AF、BF分别交抛物线G于点C、D,求四边形ABCD面积的最小值.
解:(1)设切点,
由y′=知,抛物线G在Q点处的切线斜率为,
故所求切线方程为,
即.
因为点P(0,-4)在切线上,
所以x02=16,x0=±4.
故切线斜率为.
所以所求切线方程为y=±2x-4.
(2)设A(x1,y1),C(x2,y2),
由题设知,直线AC的斜率k存在,由对称性,不妨设k>0.
因直线AC过焦点F(0,1),
所以直线AC的方程为y=kx+1.
点A、C的坐标满足方程组
得x2-4kx-4=0,
由根与系数的关系,知
|AC|=
=4(1+k2).
因为AC⊥BD,
所以BD的斜率为.
从而BD的方程为.
同理可求得|BD|=4［1+()2］=.
所以S四边形ABCD=|AC|·|BD|
≥32.
当k=1时,等号成立.
所以四边形ABCD面积的最小值为32.
19.(本小题满分12分)已知椭圆的左、右两个焦点为F1、F2,离心率为,又抛物线C2:y2=4mx(m>0)与椭圆C1有公共焦点F2(1,0).
(1)求椭圆和抛物线的方程;
(2)设直线l经过椭圆的左焦点F1且与抛物线交于不同两点P、Q,且满足,求实数λ的取值范围.
解:(1)在椭圆中,c=1,,
所以,
故椭圆方程为.
抛物线中,,所以p=2,
故抛物线方程为y2=4x.
(2)设直线l的方程为y=k(x+1)和抛物线方程联立,得
消去y,整理,得k2x2+(2k2-4)x+k2=0.
因为直线和抛物线有两个交点,
所以k≠0,(2k2-4)2-4k4>0.
解得-10且λ≠1.
20.(本小题满分12分)
已知双曲线C:(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l1、l2,过双曲线的右焦点F作直线l,使l垂直l1于P点,且与双曲线交于点A.
(1)当l1与l2的夹角为60°,且双曲线的焦距为4时,求该双曲线的方程;
(2)若双曲线的离心率e∈［,］时,求的取值范围.
解:(1)∵l1与l2的夹角为60°,
∴或=tan60°.
∴a=b或b=a.
又c=2,
∴
∴双曲线方程为.
(2)不妨设F(c,0),直线l的方程为,则由,得点P的横坐标为.
∴点P在双曲线C的右准线上.过点A作右准线的垂线并交右准线于点Q,
则=e·sin∠APQ.
又∠APQ=∠POF,且tan∠POF=(O为坐标原点),
∴sin∠APQ=.
∴
而e2=1+,且e∈［,］,
∴.
∴的取值范围是［1,］.
21.(本小题满分12分)设直线l:y=k(x+1)与椭圆x2+3y2=a2(a>0)相交于A、B两个不同的点,与x轴相交于点C,记O为坐标原点.
(1)证明
(2)若,求△OAB的面积取得最大值时的椭圆方程.
(1)证明:依题意,直线l显然不平行于坐标轴,
故y=k(x+1),可化为x=y-1(k≠0).
将x=y-1代入x2+3y2=a2,
消去x,得
①
由直线l与椭圆相交于两个不同的点,得
Δ=,
整理,得,
即.
(2)解:设A(x1,y1),B(x2,y2).
由①,得y1+y2=,②
由,得y1=-2y2,
代入②,得y2=.
于是△OAB的面积.
其中,上式取等号的条件是3k2=1,即.
由,可得.
将这两组值分别代入①,均可解出a2=5.
所以△OAB的面积取得最大值时椭圆的方程是x2+3y2=5.
22.(本小题满分12分)(理)如图,设抛物线方程为x2=2py(p>0),M为直线y=-2p上任意一点,过M引抛物线的切线,切点分别为A、B.
(1)求证:A、M、B三点的横坐标成等差数列;
(2)已知当M点的坐标为(2,-2p)时,|AB|=,求此时抛物线的方程;
(3)是否存在点M,使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x2=2py(p>0)上,其中,点C满足(O为坐标原点)?若存在,求出所有适合题意的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)证明:由题意,设A(x1,),B(x2,),x1
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