2017年度高考数学（文）二模试题（上海市浦东新区）

2017年度高考数学（文）二模试题（上海市浦东新区）

上海市浦东新区2014届高三二模 数学（文）试题 一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.‎ ‎1. 已知全集，若集合，则=_____‎ ‎2. 双曲线的渐近线方程为 .‎ ‎3.函数的最大值为__5_____‎ ‎4.已知直线和，若，则.‎ ‎5.函数的反函数为，如果函数的图像过点，那么函数的图像一定过点______.‎ ‎6. 已知数列为等差数列，若，，则的前项的和_____.‎ ‎7.一个与球心距离为的平面截球所得的圆的面积为，则球的体积为 ____ ．‎ ‎8.(文) 把3本不同的语文书、7本不同的数学书随机的排在书架上，则语文书排在一起的概率是____‎ ‎9.设，的二项展开式中含项的系数为7，则____．‎ ‎10.(文) 一个用若干块大小相同的立方块搭成的立体图形，主视图和俯视图是同一图形(如图)，那么搭成这样一个立体图形最少需要 5 个小立方块．‎ ‎11.(文) 已知数据的均值为6，方差为8，则=____2 _.‎ ‎12.在中, 角所对的边长,的面积为,外接圆半径，则的周长为_______‎ ‎13．抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，又点，则的最小值为 .‎ ‎14.(文) 已知函数的定义域为，值域为集合的非空真子集，设点，，，且，则满足条件的函数有＿12＿个．‎ 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.‎ ‎15. “”是“”的(　A　) ‎ ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎16. （文）设x、y均是实数，i是虚数单位，复数的实部大于0，虚部不小于0，则复数在复平面上的点集用阴影表示为下图中的（ A ）‎ ‎17.能够把椭圆的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“可分函数”，下列函数不是椭圆的“可分函数”为（ D ）‎ ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎18. （文）方程的解的个数为（ C ）‎ ‎ （A）2 (B）4 （C）6 （D）8‎ 三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤.‎ ‎19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分.‎ ‎（文）如图，在直三棱柱中，，‎ ‎，，是的中点，点M在线段上.‎ ‎（1）当为中点时，求异面直线与所成角的大小.‎ ‎（2）指出直线与平面的位置关系（不用证明），并求三棱锥的体积.‎ 解：（1）∵‎ ‎∴或其补角是异面直线与 所成的角. …………………………………3分 连接，则三角形为直角三角形，且，， ‎ ‎∴ …………………………5分 ‎∴异面直线与所成的角为.………6分 ‎（2）//平面即∥平面（不必证明）…………………………7分 ‎∵， ，平面 所以到平面的距离为CA=1. ‎ ‎∥平面，‎ 可知到平面的距离与到平面的距离相等，为CA=1. …………9分 又，∴的面积……………………………11分 ‎.……………………………………………12分 ‎20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.‎ B D C A Q P 如图，ABCD是边长为‎10海里的正方形海域.现有一架飞机在该海域失事，两艘海事搜救船在处同时出发，沿直线、向前联合搜索，且（其中点、分别在边、上），搜索区域为平面四边形围成的海平面.设，搜索区域的面积为.‎ ‎（1）试建立与的关系式，并指出的取值范围；‎ ‎（2）求的最大值，并求此时的值.‎ 解：（1） ……………………………………………………2分 ‎ ……………………………………………4分 ‎ …………………………………6分 ‎（2）令 …………………………………………………………8分 ‎ ……………10分 ‎，（当且仅当时，即，等号成立）…12分 当时，搜索区域面积的最大值为（平方海里）‎ 此时， …………………………………………………………14分 ‎21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.‎ ‎（文）已知定义在上的函数，对任意正整数、，都有，且.‎ ‎（1）若对任意正整数，有，求、的值，并证明为等比数列；‎ ‎（2）若对任意正整数，使得不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ 解：（1）令，得，‎ 则， …………………………………………………………1分 令，得，则， ……2分 令，得，‎ 即， ……………………………………………………………4分 则，‎ 所以，数列是等比数列，公比，首项. …………………………6分 ‎（2）令，得，即 则是等差数列，公差为2，首项.‎ 故. …………………………………………………8分 ‎ 设，则 当时，，即 当时，，即时，是递减数列.‎ 所以，………………………………………………………………11分 从而，即…………………………………………12分 则，解得．……………………………………………………14分 ‎22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分.‎ ‎（文）定义区间，，，的长度均为，其中．‎ ‎（1）已知函数的定义域为，值域为，写出区间长度的最大值与最小值.‎ ‎（2）已知函数，将函数的图像的每点横坐标缩短到原来的倍，然后向左平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图像，区间（且）满足：在上至少含有个零点，在所有满足上述条件的中，求区间长度的最小值．‎ ‎（3）已知函数的定义域为实数集,满足 (是的非空真子集) . 集合, ,求的值域所在区间长度的总和． ‎ 解：（1），解得或，‎ ‎，解得，……………………2分 画图可得：区间长度的最大值为，最小值为. …………………4分 ‎（2）……………………………6分 或，‎ 即的零点相离间隔依次为和， …………………………………………8分 故若在上至少含有个零点，则的最小值为 ‎．…………………………………………………………10分 ‎（3）…………………………………………………12分 当，，………………………………………………………13分 当，，……………………………………………………14分 所以时， ……………………………………15分 所以值域区间长度总和为。 ……………………………………………………16分 ‎23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分.‎ ‎（文）已知中心在原点，左焦点为的椭圆的左顶点为，上顶点为，到直线的距离为.‎ ‎(1) 求椭圆的方程；‎ x y mx N M O ‎(2) 过的直线交椭圆于、两点，交直线于点，若是、的等比中项，求直线的方程；‎ ‎(3) 圆以椭圆的两焦点为直径，圆的任意一条切线交椭圆于两点、，试求弦长的取值范围.‎ 解：(1)设椭圆方程为：（）‎ 所以直线方程为：………………………………………………1分 ‎∴到直线距离为……2分 又，解得：， ……………………………………………3分 故：椭圆方程为：.………………………………………………… 4分 ‎(2) 当直线与轴重合时，，而，所以 故可设直线方程为：，………………………………………………… 5分 代人椭圆的方程，得：，即： ‎ ‎ ∴‎ 记，， ∴，……… 7分 ‎∵，即，∴‎ ‎∴，解得：，符合，所以…………… 9分 故直线的方程为，即：……………………… 10分 ‎ (3) 椭圆的两焦点为、，所以圆的方程为：‎ ‎①若切线垂直于轴，则其方程为：，易求得……………… 11分 ‎②若切线不垂直于轴，可设其方程为：‎ 所以 将代人椭圆方程，得：‎ ‎ ∴（*）…13分 记、两点的坐标分别为、‎ ‎ 此时：，‎ ‎∴ ………………15分 ‎ 令，所以，‎ ‎ ∴ ‎ ‎ …………17分 综合①②,得：弦长的取值范围为.………………………………………18分