高考天津卷数学文
2005年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数 学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试用时120分钟.
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么
P(A＋B)＝P(A)＋P(B).
如果事件A、B相互独立，那么
P(A·B)＝P(A)·P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
Pn(k)＝CPk(1－P)n－k
球的体积公式
V球＝πR3
其中R表示球的半径.
柱体(棱柱、圆柱)的体积公式
V柱体＝Sh.
其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高.
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.
1.集合A＝{x|0≤x<3且x∈N}的真子集的个数是( )
A.16 B.8
C.7 D.4
2.已知logb
2a>2c B.2a>2b>2c
C.2c>2b>2a D.2c>2a>2b
3.某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为( )
A. B.
C. D.
4.将直线2x－y＋λ＝0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相切，则实数λ的值为( )
A.－3或7 B.－2或8
C.0或10 D.1或11
5.设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是( )
A.α⊥β，α∩β＝l，m⊥l B.α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γ
C.α⊥γ，β⊥γ，m⊥α D.n⊥α，n⊥β，m⊥α
6.设双曲线以椭圆＋＝1长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为( )
A.±2 B.±
C± D.±
7.给出下列三个命题：
①若a≥b>－1，则≥.
②若正整数m和n满足m≤n，则≤.
③设P(x1，y1)为圆O1：x2＋y2＝9上任一点，圆O2以Q(a，b)为圆心且半径为1.当(a－x1)2＋(b－y1)2＝1时，圆O1与圆O2相切.
其中假命题的个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
8.
函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<，x∈R)的部分图象如图所示，则函数表达式为( )
A.y＝－4sin(x＋)
B.y＝4sin(x－)
C.y＝－4sin(x－)
D.y＝4sin(x＋)
9.若函数f(x)＝loga(2x2＋x)(a>0，a≠1)在区间(0，)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为( )
A.(－∞，－) B.(－，＋∞)
C.(0，＋∞) D.(－∞，－)
10.设f(x)是定义在R上以6为周期的函数，f(x)在(0,3)内单调递减，且y＝f(x)的图象关于直线x＝3对称，则下面正确的结论是( )
A.f(1.5)200).
由经过两点的直线的斜率公式
kPC＝＝，
kPB＝＝.
由直线PC到直线PB的角的公式得
tan∠BPC＝＝＝＝(x>200).
要使tan∠BPC达到最大，只须x＋－288达到最小.由均值不等式
x＋－288≥2－288，当且仅当x＝时上式取得等号.故当x＝320时tan∠BPC最大.这时，点P的纵坐标y为y＝＝60.
由此实际问题知，0<∠BPC<，所以tan∠BPC最大时，∠BPC最大.故当此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角∠BPC最大.
21.解：(1)由题设x1和x2是方程x2－ax－2＝0的两个实根，得
x1＋x2＝a且x1x2＝－2，所以|x1－x2|＝＝.当a∈[－1,1]时，a2＋8的最大值为9，即|x1－x2|≤3.
由题意，不等式|m2－5m－3|≥|x1－x2|对任意实数a∈[－1,1]恒成立的m的解集等于不等式|m2－5m－3|≥3的解集.
由此不等式得m2－5m－3≤－3 ①或m2－5m－3≥3. ②
不等式①的解为0≤m≤5.不等式②的解为m≤－1或m≥6.因此，当m≤－1或0≤m≤5或m≥6时，P是正确的.
(2)对函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋)x＋6求导f′(x)＝3x2＋2mx＋m＋.令f′(x)＝0，即3x2＋2mx＋m＋＝0.
此一元二次方程的判别式△＝4m2－12(m＋)＝4m2－12m－16.
若△＝0，则f′(x)＝0有两个相等的实根x0，且f′(x)的符号如下：
x
(－∞，x0)
x0
(x0，＋∞)
f′(x)＝
＋
0
＋
因此，f(x0)不是函数f(x)的极值.
若△>0，则f′(x)＝0有两个不相等的实根x1和x2(x10时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上有极值.由△＝4m2－12m－16>0得m<－1或m>4，因此，当m<－1或m>4时，Q是正确的.综上，使P正确且Q正确时，实数m的取值范围为(－∞，－1)∪(4,5]∪[6，＋∞).
22.(Ⅰ)解：由抛物线C的方程y＝ax2(a＜0)得，焦点坐标为(0，)，准线方程为y＝－.
(Ⅱ)证明：设直线PA的方程为y－y0＝k1(x－x0)，直线PB的方程为
y－y0＝k2(x－x0).
点P(x0，y0)和点A(x1，y1)的坐标是方程组
的解.将②式代入①式得ax2－k1x＋k1x0－y0＝0，于是x1＋x0＝，
故x1＝－x0 ③
又点P(x0，y0)和点B(x2，y2)的坐标是方程组
的解.将⑤式代入④式得ax2－k2x＋k2x0－y0＝0，于是x2＋x0＝，
故x2＝－x0
由已知得，k2＝－λk1，则x2＝－k1－x0. ⑥
设点M的坐标为(xM，yM)，由＝λ，则
xM＝
将③式和⑥式代入上式得
xM＝＝－x0，
即xM＋x0＝0.所以，线段PM的中点在y轴上.
(Ⅲ)解：因为点P(1，－1)在抛物线y＝ax2上，所以a＝－1，
抛物线方程为y＝－x2.
由③式知x1＝－k1－1，代入y＝－x2得y1＝－(k1＋1)2.
将λ＝1代入⑥式得x2＝k1－1，代入y＝－x2得y2＝－(k1－1)2.
因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为
A(－k1－1，－k－2k1－1)，B(k1－1，－k＋2k1－1).
于是
＝(k1＋2，k＋2k1)，
＝(2k1,4k1)，
·＝2k1(k1＋2)＋4k1(k＋2k1)
＝2k1(k1＋2)(2k1＋1).
因∠PAB为钝角且P、A、B三点互不相同，故必有·＜0，即
k1(k1＋2)(2k1＋1)<0.
求得k1的取值范围为k1<－2或－
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