高考试题——数学理辽宁卷解析版
2009年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
数学（理工农医类）
一- 选择题（每小题5分，共60分）
（1）已知集合M={x|－3
0,V=S－T
(B) A<0,V=S－T
(C) A>0, V=S+T w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（D）A<0, V=S+T
【解析】月总收入为S,因此A＞0时归入S,判断框内填A＞0
支出T为负数,因此月盈利V＝S＋T
【答案】C
（11）正六棱锥P－ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D－GAC与三棱锥P－GAC体积之比为
（A）1：1 (B) 1：2 (C) 2：1 (D) 3：2
【解析】由于G是PB的中点,故P－GAC的体积等于B－GAC的体积
A
B
C
D
E
F
H
在底面正六边形ABCDER中
BH＝ABtan30°＝AB
而BD＝AB
故DH＝2BH
于是VD－GAC＝2VB－GAC＝2VP－GAC
【答案】C
（12）若满足2x+=5, 满足2x+2(x－1)=5, +＝
（A） (B)3 (C) (D)4
【解析】由题意 ①
②
所以,
即2
令2x1＝7－2t,代入上式得7－2t＝2log2(2t－2)＝2＋2log2(t－1)
∴5－2t＝2log2(t－1)与②式比较得t＝x2
于是2x1＝7－2x2
【答案】C
（13）某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1：2：1，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品中共取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980h，1020h，1032h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为 h.
【解析】＝1013
【答案】1013
（14）等差数列的前项和为，且则
【解析】∵Sn＝na1＋n(n－1)d
∴S5＝5a1＋10d,S3＝3a1＋3d
∴6S5－5S3＝30a1＋60d－(15a1＋15d)＝15a1＋45d＝15(a1＋3d)＝15a4
【答案】
（15）设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
则该几何体的体积为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【解析】这是一个三棱锥,高为2,底面三角形一边为4,这边上的高为3,
体积等于×2×4×3＝4
【答案】4
（16）以知F是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 。
【解析】注意到P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F’(4,0),
于是由双曲线性质|PF|－|PF’|＝2a＝4
而|PA|＋|PF’|≥|AF’|＝5
两式相加得|PF|＋|PA|≥9,当且仅当A、P、F’三点共线时等号成立.
【答案】9
（17）（本小题满分12分）
如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，1.414，2.449）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(17)解:
在△ABC中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30,
所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°，
故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA， ……5分
在△ABC中，
即AB=
因此，BD=
故B，D的距离约为0.33km。 ……12分
（18）（本小题满分12分）
如图，已知两个正方行ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点 。
（I）若平面ABCD ⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正值弦；
（II）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（18）（I）解法一：
取CD的中点G，连接MG，NG。
设正方形ABCD，DCEF的边长为2，
则MG⊥CD，MG=2，NG=.
因为平面ABCD⊥平面DCED，
所以MG⊥平面DCEF，
可得∠MNG是MN与平面DCEF所成的角。因为MN=，所以sin∠MNG=为MN与平面DCEF所成角的正弦值 ……6分
解法二：
设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系如图.
则M（1,0,2）,N(0,1,0),可得=(－1,1,2).
又=（0，0，2）为平面DCEF的法向量，
可得cos(,)=·
所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为
cos· ……6分
(Ⅱ)假设直线ME与BN共面， ……8分
则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN
由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF。
又AB//CD，所以AB//平面DCEF。面EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，
所以AB//EN。
又AB//CD//EF，
所以EN//EF，这与EN∩EF=E矛盾，故假设不成立。
所以ME与BN不共面，它们是异面直线. ……12分
（19）（本小题满分12分）
某人向一目射击4次，每次击中目标的概率为。该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1：3：6。击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比。
（Ⅰ）设X表示目标被击中的次数，求X的分布列；
（Ⅱ）若目标被击中2次，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P（A）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（19）解：
（Ⅰ）依题意X的分列为
………………6分
（Ⅱ）设A1表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2.
B1表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2.
依题意知P（A1）=P(B1)=0.1，P（A2）=P(B2)=0.3，
,
所求的概率为
………12分
（20）（本小题满分12分）
已知，椭圆C过点A，两个焦点为（－1，0），（1，0）。
（1） 求椭圆C的方程；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（2） E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。
（20）解：
（Ⅰ）由题意，c=1,可设椭圆方程为，解得，（舍去）
所以椭圆方程为。 ……………4分
（Ⅱ）设直线AE方程为：，代入得
设,,因为点在椭圆上，所以
………8分
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以—K代K，可得
所以直线EF的斜率
即直线EF的斜率为定值，其值为。 ……12分
（21）（本小题满分12分）
已知函数f(x)=x－ax+(a－1)，。
（1）讨论函数的单调性；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（2）证明：若，则对任意x，x，xx，有。
(21)解：(1)的定义域为。
2分
（i）若即,则
故在单调增加。
(ii)若,而,故,则当时，;
当及时，
故在单调减少，在单调增加。
(iii)若,即,同理可得在单调减少，在单调增加.
(II)考虑函数
则
由于1
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