高考数学圆锥曲线分类汇编理

高考数学圆锥曲线分类汇编理

‎2011-2018新课标(理科)圆锥曲线分类汇编 一、选择填空 ‎【2011新课标】7. 设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于 A,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（ B ）‎ ‎（A） （B） （C）2 （D）3‎ ‎【2011新课标】14. 在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在 轴上，离心率为。过的直线 交于两点，且的周长为16，那么的方程为 。‎ ‎【2012新课标】4. 设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点， 是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ C ）‎ ‎ ‎ ‎【解析】 是底角为的等腰三角形 ‎【2012新课标】8. 等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为（ C ）‎ ‎ ‎ ‎【解析】设交的准线于 得：‎ ‎【2013新课标1】4. 已知双曲线C:－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为‎5‎‎2‎，则C的渐近线方程为( C )‎ A、y=±‎1‎‎4‎x （B）y=±‎1‎‎3‎x （C）y=±‎1‎‎2‎x （D）y=±x ‎【解析】由题知，，即==，∴=，∴=，∴的渐近线方程为，故选.‎ ‎【2013新课标1】10、已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点。若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 ( D )‎ A、＋＝1 B、＋＝1‎1‎‎2‎ C、＋＝1 D、＋＝1‎ ‎【解析】设，则=2，=－2，‎ ‎ ① ②‎ ‎①－②得，‎ ‎∴===，又==，∴=，又9==，‎ 解得=9，=18，∴椭圆方程为，故选D.‎ ‎【2013新课标2】11. 设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为(　C　)．‎ A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x ‎【解析】设点M的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|＝x0＋＝5，则x0＝5－.‎ 又点F的坐标为，所以以MF为直径的圆的方程为(x－x0)＋(y－y0)y＝0.‎ 将x＝0，y＝2代入得px0＋8－4y0＝0，即－4y0＋8＝0，所以y0＝4.‎ 由＝2px0，得，解之得p＝2，或p＝8.‎ 所以C的方程为y2＝4x或y2＝16x.故选C.‎ ‎【2013新课标2】12. 已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是(　B　)．‎ A．(0,1) B． C． D．‎ ‎【2014新课标1】4. 已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（　A　）‎ A. ‎3‎ B. 3 C. ‎3‎m D. 3m ‎ ‎【解析】双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化为，‎ ‎ ∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为=0，‎ ‎ ∴点F到C的一条渐近线的距离为=．故选：A．‎ ‎【2014新课标1】10. 已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（　　B ）‎ A. ‎7‎‎2‎ B. 3 C. ‎5‎‎2‎ D. 2 ‎ ‎【解析】设Q到l的距离为d，则|QF|=d， ∵=4， ∴|PQ|=3d，‎ ‎ ∴直线PF的斜率为﹣2， ∵F（2，0），∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），‎ 与y2=8x联立可得x=1，∴|QF|=d=1+2=3，故选：B．‎ ‎【2014新课标2】10. 设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ D ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【2014新课标2】16. 设点M（,1），若在圆O:上存在点N，使得∠OMN=45°，则的取值范围是___[-1,1]_____.‎ ‎【2015新课标1】5. 已知M（x0，y0）是双曲线C：上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（ A ）‎ ‎（A）（-，） （B）（-，） （C）（，） （D）（，）‎ ‎【解析】‎ ‎【2015新课标1】14. 一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为 。‎ ‎【解析】设圆心为（，0），则半径为，则，解得，故圆的方程为。‎ ‎【2015新课标2】7. 过三点A（1,3），B（4,2），C（1,-7）的圆交于y轴于M、N两点，则=（ C ）‎ ‎（A）2 （B）8 （C）4 （D）10‎ ‎【2015新课标2】11. 已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E 上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（ ）‎ ‎（A）√5 （B）2 （C）√3 （D）√2‎ ‎【2016新课标1】5. 已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（ A ）‎ ‎（A）(–1,3) （B）(–1,) （C）(0,3) （D）(0,)‎ ‎【解析】由题意知：，解得，，解得，故A选项正确.‎ ‎【2016新课标1】10. 以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的标准线于D、E两点.已知|AB|=，|DE|=，则C的焦点到准线的距离为（ B ） ‎ ‎(A)2 (B)4 (C)6 (D)8‎ ‎【解析】令抛物线方程为，D点坐标为（，），则圆的半径为，‎ ‎，即A点坐标为（，），所以，解得，‎ 故B选项正确.‎ ‎【2016新课标2】4. 圆的圆心到直线 的距离为1，则a=（ A ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）2‎ ‎【解析】圆化为标准方程为：，‎ 故圆心为，，解得，故选A ‎【2016新课标2】11. 已知，是双曲线E：的左，右焦点，点M在E上，与轴垂直，sin ,则E的离心率为（ A ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）2‎ ‎【解析】离心率，由正弦定理得．故选A．‎ ‎【2016新课标3】11. 已知O为坐标原点，F是椭圆C:＋＝1(a＞b＞0)左焦点，A、B分别为C的左、右顶点，P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于E，若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（ A ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎【2016新课标3】16. 已知直线l:mx＋y＝3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A、B两点，过A、B分别作l的垂线与x轴并于C、D两点，若|AB|＝2，则|CD|＝___4____‎ ‎【2017新课标1】10. 已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ A ）‎ A．16 B．14 C．12 D．10‎ ‎【2017新课标1】15. 已知双曲线C：（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点。若∠MAN=60°，则C的离心率为________。‎ ‎【2017新课标2】9. 若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（ A ）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【解析】双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，‎ 圆（x﹣2）2+y2=4的圆心（2，0），半径为：2，双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：=，解得：，可得e2=4，即e=2．故选：A．‎ ‎【2017新课标2】16. 已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则 6 ．‎ ‎【解析】抛物线C：y2=8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若 M为FN的中点，可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为：，‎ ‎|FN|=2|FM|=2=6．‎ ‎【2017新课标3】5. 已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点．则的方程为（ B ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为，则①‎ 又∵椭圆与双曲线有公共焦点，易知，则② ‎ 由①②解得，则双曲线的方程为，故选B.‎ ‎【2017新课标3】10．已知椭圆（）的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为（ A ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】∵以为直径为圆与直线相切，∴圆心到直线距离等于半径，‎ ‎∴ , 又∵，则上式可化简为 ‎∵，可得，即 ∴，故选A ‎【2018新课标1】8．设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于，两点，则（ ）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【答案】D ‎【2018新课标1】11．已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，．若为直角三角形，则（ ）‎ A． B．3 C． D．4‎ ‎【答案】B ‎【2018新课标2】5．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【2018新课标2】12．已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（ ）‎ A. B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【2018新课标3】6．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【2018新课标3】11．设是双曲线（）的左，右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ）‎ A． B．2 C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【2018新课标3】16．已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．‎ ‎【答案】2‎ 二、解答题 ‎【2011新课标】20. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足MB//OA， MA•AB = MB•BA，M点的轨迹为曲线C。‎ ‎（1）求C的方程；‎ ‎（2）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。‎ ‎【解析】(1)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1). 所以=（-x,-1-y）, =(0,-3-y), =(x,-2).‎ 由题意得知（+）•=0,即（-x,-4-2y）•(x,-2)=0. 所以曲线C的方程式为y=x-2.‎ ‎(2)设P(x,y)为曲线C：y=x-2上一点，因为y=x,所以的斜率为x 因此直线的方程为，即。‎ 则O点到的距离.又，‎ 所以，‎ 当=0时取等号，所以O点到距离的最小值为2.‎ ‎【2012新课标】20. 设抛物线的焦点为，准线为，，已知以为圆心，为半径的圆交于两点；‎ ‎（1）若，的面积为；求的值及圆的方程；‎ ‎（2）若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到距离的比值。‎ ‎【解析】（1）由对称性知：是等腰直角，斜边 点到准线的距离， ‎ ‎∴ 圆的方程为 ‎（2）由对称性设，则 点关于点对称得：‎ 得：，直线 切点 直线 坐标原点到距离的比值为。‎ ‎【2013新课标1】20. 已知圆M：(x＋1)2＋y2=1，圆N：(x－1)2＋y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线 C。‎ ‎（1）求C的方程；‎ ‎（2）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|. ‎ ‎【解析】由已知得圆的圆心为（-1，0）,半径=1，圆的圆心为(1,0),半径=3.‎ 设动圆的圆心为（，），半径为R.‎ ‎（1）∵圆与圆外切且与圆内切，∴|PM|+|PN|===4，‎ 由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，场半轴长为2，短半轴长为 的椭圆(左顶点除外)，其方程为.‎ ‎（2）对于曲线C上任意一点（，），由于|PM|-|PN|=≤2，∴R≤2，当且仅当圆P的圆心为（2，0）时，R=2.‎ ‎∴当圆P的半径最长时，其方程为，‎ 当的倾斜角为时，则与轴重合，可得|AB|=.‎ 当的倾斜角不为时，由≠R知不平行轴，设与轴的交点为Q，则=，可求得Q（-4，0），∴设：，由于圆M相切得，解得.‎ 当=时，将代入并整理得，解得=，∴|AB|==.‎ 当=－时，由图形的对称性可知|AB|=。 综上，|AB|=或|AB|=.‎ ‎【2013新课标2】20. 平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：(a＞b＞0)右焦点的直线交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.‎ ‎(1)求M的方程；‎ ‎(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．‎ ‎【解析】‎ ‎(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则，，，‎ 由此可得. 因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，，‎ 所以a2＝2b2. 又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2－b2＝3.‎ 因此a2＝6，b2＝3. 所以M的方程为.‎ ‎(2)由 解得或 因此|AB|＝.‎ 由题意可设直线CD的方程为 y＝，‎ 设C(x3，y3)，D(x4，y4)．‎ 由得3x2＋4nx＋2n2－6＝0. 于是x3,4＝.‎ 因为直线CD的斜率为1， 所以|CD|＝.‎ 由已知，四边形ACBD的面积.‎ 当n＝0时，S取得最大值，最大值为. 所以四边形ACBD面积的最大值为.‎ ‎【2014新课标1】20. 已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．‎ ‎（1）求E的方程；‎ ‎（2）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）设F（c，0），∵直线AF的斜率为， ∴，解得c=．‎ 又，b2=a2﹣c2，解得a=2，b=1．∴椭圆E的方程为；‎ ‎（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由题意可设直线l的方程为：y=kx﹣2．‎ 联立，化为（1+4k2）x2﹣16kx+12=0， 当△=16（4k2﹣3）＞0时，即时，‎ ‎，．‎ ‎∴|PQ|==‎ ‎=， 点O到直线l的距离d=．∴S△OPQ==，‎ 设＞0，则4k2=t2+3，‎ ‎∴==1，当且仅当t=2，即，解得时取等号．‎ 满足△＞0，∴△OPQ的面积最大时直线l的方程为：．‎ ‎【2014新课标2】20. 设,分别是椭圆C:的左,右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N.‎ ‎（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；‎ ‎（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）根据c=a‎2‎‎-‎b‎2‎以及题设知M（c，b‎2‎a），2b‎2‎=3ac，将b‎2‎=a‎2‎-c‎2‎代入2b‎2‎=3ac，‎ 解得ca=‎1‎‎2‎，ca=-2（舍去），故C的离心率为‎1‎‎2‎ ‎（2）由题意，原点O的F‎1‎F‎2‎的中点，MF‎2‎∥y轴，所以直线MF‎1‎与y轴的交点D是线段MF‎1‎的中点，故b‎2‎a=4，即 b‎2‎‎=4a ① 由MN=‎5‎F‎1‎N得DF‎1‎=‎F‎1‎N 设N（x，y），由题意可知y<0,则‎2‎-c-x=c‎-2y=2‎ ‎ 即x=-‎‎3c‎2‎y=-1‎ 代入方程C，得‎9‎c‎2‎‎4‎a‎2‎+‎1‎b‎2‎=1 ②‎ 将①以及c=a‎2‎‎-‎b‎2‎代入②得到‎9‎a‎2‎‎-4a‎4‎a‎2‎+‎1‎‎4a=1，解得a=7， ‎b‎2‎‎=4a=28，‎ 故a=7，‎b‎2‎‎=2‎‎7‎ ‎【2015新课标1】20. 在直角坐标系xoy中，曲线C：y=与直线(＞0)交与M,N两点，‎ ‎（1）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；‎ ‎（2）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由。‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题设可得，，或，.‎ ‎∵，故在=处的到数值为，C在处的切线方程为 ‎，即.‎ 故在=-处的到数值为-，‎ C在处的切线方程为，即.‎ 故所求切线方程为或. ‎ ‎（2）存在符合题意的点，证明如下：‎ 设P（0，b）为复合题意得点，，，直线PM，PN的斜率分别为.‎ 将代入C得方程整理得.‎ ‎∴.‎ ‎∴==.‎ 当时，有=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，‎ 故∠OPM=∠OPN，所以符合题意. ‎ ‎【2015新课标2】20. 已知椭圆C：，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M。‎ ‎（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；‎ ‎（2）若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由。‎ ‎【解析】‎ ‎（1）设直线，，，．‎ 将代入得，‎ 故，．‎ 于是直线的斜率，即．‎ 所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值．‎ ‎（2）四边形能为平行四边形．‎ 因为直线过点，所以不过原点且与有两个交点的充要条件是，．‎ 由(1)得的方程为．设点的横坐标为．由 得，即．‎ 将点的坐标代入直线的方程得，因此．‎ 四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，‎ 即．于是．解得，．因为，，，所以当的斜率为或时，四边形为平行四边形．‎ ‎【2016新课标1】20. 设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.‎ ‎（1）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；‎ ‎（2）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）圆心为，圆的半径为，，‎ ‎，又，，‎ ‎，.‎ 所以点E的轨迹是以点和点为焦点，以4为长轴长的椭圆，‎ 即，所以点E的轨迹方程为：.‎ ‎（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，，，此时四边形MPNQ面积为；‎ 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，与椭圆联立得：‎ ‎，设，则 ‎，，‎ 直线方程为，即 所以圆心到直线的距离为，‎ 综上可知四边形MPNQ面积的取值范围为 ‎【2016新课标2】20. 已知椭圆E:的焦点在轴上，A是E的左顶点，斜率为的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.‎ ‎（1）当，时，求△AMN的面积；‎ ‎（2）当时，求k的取值范围.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）当时，椭圆E的方程为，A点坐标为，‎ 则直线AM的方程为．‎ 联立并整理得，‎ 解得或，则 因为，所以 因为，，所以，整理得，‎ 无实根，所以．所以的面积为．‎ ‎（2）直线AM的方程为，‎ 联立并整理得，解得或， ‎ 所以 ，所以 ‎ 因为 所以，整理得，．‎ 因为椭圆E的焦点在x轴，所以，即，整理得，解得．‎ ‎【2016新课标3】20. 已知抛物线C:y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A、B两点，交C的准线于P、Q两点，‎ ‎(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ；‎ ‎(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程。‎ ‎【解析】由题设F (，0)，设l1:y＝a，l2:y＝b，则ab≠0，且 A(，a)，B(，b)，P(－，a)，Q(－，b)，R(－，)‎ 记过A、B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0 ‎ ‎(1)由于F在线段AB上，故1＋ab＝0，记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则 k1＝＝＝＝＝－b＝k2 ∴AR∥FQ ‎ ‎(1)设l与x轴的交点为D(x1，0)，则S△ABF＝|b－a||FD|＝|b－a||x1－|，‎ S△PQF＝，∴x＝0(舍去)，x1＝1‎ 设满足条件的AB的中点为E(x，y)‎ 当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE可得＝(x≠1)而＝y，‎ ‎∴y2＝x－1(x≠1)‎ 当AB与x轴垂直时，E与D重合，∴所求轨迹方程为y2＝x－1‎ ‎【2017新课标1】20. 已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上。‎ ‎（1）求C的方程；‎ ‎（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点。‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.又由知，‎ C不经过点P1，所以点P2在C上，因此，解得，故C的方程为.‎ ‎（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，‎ 如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.，则，得，不符合题设.‎ 从而可设l：（）.将代入得，‎ 由题设可知.，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.‎ 而.‎ 由题设，故.‎ 即，解得.‎ 当且仅当时，，欲使l：，即，‎ 所以l过定点（2，）‎ ‎【2017新课标2】20. 设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足。‎ ‎（1）求点P的轨迹方程；‎ ‎（2）设点Q在直线x=-3上，且。证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。‎ ‎【解析】‎ ‎（1）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），设P（x，y），由点P满足=．‎ 可得（x﹣x0，y）=（0，y0），可得x﹣x0=0，y=y0，即有x0=x，y0=，‎ 代入椭圆方程+y2=1，可得+=1，即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=2。‎ ‎（2）证明：设Q（﹣3，m），P（cosα，sinα），（0≤α＜2π），‎ ‎•=1，可得（cosα，sinα）•（﹣3﹣cosα，m﹣sinα）=1，‎ 即为﹣3cosα﹣2cos2α+msinα﹣2sin2α=1，‎ 解得m=，即有Q（﹣3，），‎ 椭圆+y2=1的左焦点F（﹣1，0），由kOQ=﹣，kPF=，‎ 由kOQ•kPF=﹣1，可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。‎ ‎【2017新课标3】20. 已知抛物线，过点（2，0）的直线交于，两点，圆是以线段为直径的圆。‎ ‎（1）证明：坐标原点在圆上；‎ ‎（2）设圆过点（4，），求直线与圆的方程。‎ ‎【解析】‎ ‎（1）显然，当直线斜率为时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．‎ 设，，，‎ 联立：得，恒大于，，．‎ ‎∴，即在圆上．‎ ‎（2）若圆过点，则，‎ ‎，‎ 化简得解得或 ‎①当时，圆心为，，，‎ 半径，则圆 ‎②当时，圆心为，，，‎ 半径，则圆 ‎【2018新课标1】19. 设椭圆的右焦点为，过的直线与交于，两点，点的坐标为．‎ ‎（1）当与轴垂直时，求直线的方程；‎ ‎（2）设为坐标原点，证明：．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由已知得，l的方程为x=1．‎ 由已知可得，点A的坐标为或．‎ 所以AM的方程为或．‎ ‎（2）当l与x轴重合时，．‎ 当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以．‎ 当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为，，‎ 则，直线MA，MB的斜率之和为．‎ 由得 ．‎ 将代入得 ．‎ 所以，．‎ 则．‎ 从而，故MA，MB的倾斜角互补，所以。‎ 综上，。‎ ‎【2018新课标2】19. 设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题意得，l的方程为.‎ 设，‎ 由得.‎ ‎，故.‎ 所以.‎ 由题设知，解得（舍去），.‎ 因此l的方程为.‎ ‎（2）由（1）得AB的中点坐标为，所以AB的垂直平分线方程为，即.‎ 设所求圆的圆心坐标为，则 解得或 因此所求圆的方程为或.‎ ‎【2018新课标3】20. 已知斜率为的直线与椭圆交于，两点．线段的中点为．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：成等差数列，并求该数列的公差．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）设，则．‎ 两式相减，并由得 ．‎ 由题设知，于是．① 由题设得，故．‎ ‎（2）由题意得，设，则．‎ 由（1）及题设得．‎ 又点P在C上，所以，从而，． ‎ 于是．‎ 同理．所以．‎ 故，即成等差数列．‎ 设该数列的公差为d，则 ‎．②‎ 将代入①得．‎ 所以l的方程为，代入C的方程，并整理得．‎ 故，代入②解得．‎ 所以该数列的公差为或．‎