山东省高考数学试卷文科

山东省高考数学试卷文科

‎2017年山东省高考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．（5分）设集合M={x||x﹣1|＜1}，N={x|x＜2}，则M∩N=（　　）‎ A．（﹣1，1） B．（﹣1，2） C．（0，2） D．（1，2）‎ ‎2．（5分）已知i是虚数单位，若复数z满足zi=1+i，则z2=（　　）‎ A．﹣2i B．2i C．﹣2 D．2‎ ‎3．（5分）已知x，y满足约束条件则z=x+2y的最大值是（　　）‎ A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3‎ ‎4．（5分）已知cosx=，则cos2x=（　　）‎ A．﹣ B． C．﹣ D．‎ ‎5．（5分）已知命题p：∃x∈R，x2﹣x+1≥0．命题q：若a2＜b2，则a＜b，下列命题为真命题的是（　　）‎ A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q ‎6．（5分）若执行右侧的程序框图，当输入的x的值为4时，输出的y的值为2，则空白判断框中的条件可能为（　　）‎ A．x＞3 B．x＞4 C．x≤4 D．x≤5‎ ‎7．（5分）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为（　　）‎ A． B． C．π D．2π ‎8．（5分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（　　）‎ A．3，5 B．5，5 C．3，7 D．5，7‎ ‎9．（5分）设f（x）=若f（a）=f（a+1），则f（）=（　　）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎10．（5分）若函数exf（x）（e=2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质，下列函数中具有M性质的是（　　）‎ A．f（x）=2﹣x B．f（x）=x2 C．f（x）=3﹣x D．f（x）=cosx ‎　‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 ‎11．（5分）已知向量=（2，6），=（﹣1，λ），若，则λ=　 　．‎ ‎12．（5分）若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a+b的最小值为　 　．‎ ‎13．（5分）由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为　 　．‎ ‎14．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+4）=f（x﹣2）．若当x∈‎ ‎[﹣3，0]时，f（x）=6﹣x，则f（919）=　 　．‎ ‎15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线=1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎16．（12分）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．‎ ‎（Ⅰ）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；‎ ‎（Ⅱ）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．‎ ‎17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=3，=﹣6，S△ABC=3，求A和a．‎ ‎18．（12分）由四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥C1﹣B1CD1后得到的几何体如图所示，四边形ABCD为正方形，O为AC与BD 的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD，‎ ‎（Ⅰ）证明：A1O∥平面B1CD1；‎ ‎（Ⅱ）设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1．‎ ‎19．（12分）已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6，a1a2=a3．‎ ‎（1）求数列{an}通项公式；‎ ‎（2）{bn} 为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn，已知S2n+1=bnbn+1，求数列的前n项和Tn．‎ ‎20．（13分）已知函数f（x）=x3﹣ax2，a∈R，‎ ‎（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；‎ ‎（2）设函数g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．‎ ‎21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）动直线l：y=kx+m（m≠0）交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M．点N是M关于O的对称点，⊙N的半径为|NO|．设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求∠EDF的最小值．‎ ‎　‎ ‎2017年山东省高考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．（5分）设集合M={x||x﹣1|＜1}，N={x|x＜2}，则M∩N=（　　）‎ A．（﹣1，1） B．（﹣1，2） C．（0，2） D．（1，2）‎ ‎【分析】解不等式求出集合M，结合集合的交集运算定义，可得答案．‎ ‎【解答】解：集合M={x||x﹣1|＜1}=（0，2），‎ N={x|x＜2}=（﹣∞，2），‎ ‎∴M∩N=（0，2），‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，集合的交集运算，难度不大，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）已知i是虚数单位，若复数z满足zi=1+i，则z2=（　　）‎ A．﹣2i B．2i C．﹣2 D．2‎ ‎【分析】根据已知，求出z值，进而可得答案．‎ ‎【解答】解：∵复数z满足zi=1+i，‎ ‎∴z==1﹣i，‎ ‎∴z2=﹣2i，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的乘除运算，难度不大，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）已知x，y满足约束条件则z=x+2y的最大值是（　　）‎ A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3‎ ‎【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．‎ ‎【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x+2y经过可行域的A时，目标函数取得最大值，‎ 由：解得A（﹣1，2），‎ 目标函数的最大值为：﹣1+2×2=3．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查线性规划的简单应用，确定目标函数的最优解是解题的关键，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）已知cosx=，则cos2x=（　　）‎ A．﹣ B． C．﹣ D．‎ ‎【分析】利用倍角公式即可得出．‎ ‎【解答】解：∵根据余弦函数的倍角公式cos2x=2cos2x﹣1，且cosx=，‎ ‎∴cos2x=2×﹣1=．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）已知命题p：∃x∈R，x2﹣x+1≥0．命题q：若a2＜b2，则a＜b，下列命题为真命题的是（　　）‎ A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q ‎【分析】‎ 先判断命题p，q的真假，进而根据复合命题真假的真值表，可得答案．‎ ‎【解答】解：命题p：∃x=0∈R，使x2﹣x+1≥0成立．‎ 故命题p为真命题；‎ 当a=1，b=﹣2时，a2＜b2成立，但a＜b不成立，‎ 故命题q为假命题，‎ 故命题p∧q，￢p∧q，￢p∧￢q均为假命题；‎ 命题p∧￢q为真命题，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，特称命题，不等式与不等关系，难度中档．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）若执行右侧的程序框图，当输入的x的值为4时，输出的y的值为2，则空白判断框中的条件可能为（　　）‎ A．x＞3 B．x＞4 C．x≤4 D．x≤5‎ ‎【分析】方法一：由题意可知：输出y=2，则由y=log2x输出，需要x＞4，则判断框中的条件是x＞4，‎ 方法二：采用排除法，分别进行模拟运算，即可求得答案．‎ ‎【解答】解：方法一：当x=4，输出y=2，则由y=log2x输出，需要x＞4，‎ 故选B．‎ 方法二：若空白判断框中的条件x＞3，输入x=4，满足4＞3，输出y=4+‎ ‎2=6，不满足，故A错误，‎ 若空白判断框中的条件x＞4，输入x=4，满足4=4，不满足x＞3，输出y=y=log24=2，故B正确；‎ 若空白判断框中的条件x≤4，输入x=4，满足4=4，满足x≤4，输出y=4+2=6，不满足，故C错误，‎ 若空白判断框中的条件x≤5，输入x=4，满足4≤5，满足x≤5，输出y=4+2=6，不满足，故D错误，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查程序框图的应用，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为（　　）‎ A． B． C．π D．2π ‎【分析】利用辅助角公式，化简函数的解析式，进而根据ω值，可得函数的周期．‎ ‎【解答】解：∵函数y=sin2x+cos2x=2sin（2x+），‎ ‎∵ω=2，‎ ‎∴T=π，‎ 故选：C ‎【点评】本题考查的知识点是三角函数的周期性及其求法，难度不大，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（　　）‎ A．3，5 B．5，5 C．3，7 D．5，7‎ ‎【分析】‎ 由已知有中这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，可得x，y的值．‎ ‎【解答】解：由已知中甲组数据的中位数为65，‎ 故乙组数据的中位数也为65，‎ 即y=5，‎ 则乙组数据的平均数为：66，‎ 故x=3，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是茎叶图，平均数和中位数，难度不大，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）设f（x）=若f（a）=f（a+1），则f（）=（　　）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎【分析】利用已知条件，求出a的值，然后求解所求的表达式的值即可．‎ ‎【解答】解：当a∈（0，1）时，f（x）=，若f（a）=f（a+1），可得=2a，‎ 解得a=，则：f（）=f（4）=2（4﹣1）=6．‎ 当a∈[1，+∞）时．f（x）=，若f（a）=f（a+1），‎ 可得2（a﹣1）=2a，显然无解．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查分段函数的应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）若函数exf（x）（e=2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质，下列函数中具有M性质的是（　　）‎ A．f（x）=2﹣x B．f（x）=x2 C．f（x）=3﹣x D．f（x）=cosx ‎【分析】根据已知中函数f（x）具有M性质的定义，可得f（x）=2﹣x时，满足定义．‎ ‎【解答】解：当f（x）=2﹣x时，函数exf（x）=（）x在R上单调递增，函数f（x）具有M性质，‎ 故选：A ‎【点评】本题考查的知识点是函数单调性的性质，难度不大，属于基础题．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 ‎11．（5分）已知向量=（2，6），=（﹣1，λ），若，则λ=　﹣3　．‎ ‎【分析】利用向量共线定理即可得出．‎ ‎【解答】解：∵，∴﹣6﹣2λ=0，解得λ=﹣3．‎ 故答案为：﹣3．‎ ‎【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力语音计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a+b的最小值为　8　．‎ ‎【分析】将（1，2）代入直线方程，求得+=1，利用“1”代换，根据基本不等式的性质，即可求得2a+b的最小值．‎ ‎【解答】解：直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则+=1，‎ 由2a+b=（2a+b）×（+）=2+++2=4++≥4+2=4+4=8，‎ 当且仅当=，即a=，b=1时，取等号，‎ ‎∴2a+b的最小值为8，‎ 故答案为：8．‎ ‎【点评】本题考查基本不等式的应用，考查“1”代换，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为　2+　．‎ ‎【分析】由三视图可知：长方体长为2，宽为1，高为1，圆柱的底面半径为1，高为1圆柱的，根据长方体及圆柱的体积公式，即可求得几何体的体积．‎ ‎【解答】解：由长方体长为2，宽为1，高为1，则长方体的体积V1=2×1×1=2，‎ 圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的体积V2=×π×12×1=，‎ 则该几何体的体积V=V1+2V1=2+，‎ 故答案为：2+．‎ ‎【点评】本题考查利用三视图求几何体的体积，考查长方体及圆柱的体积公式，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+4）=f（x﹣2）．若当x∈[﹣3，0]时，f（x）=6﹣x，则f（919）=　6　．‎ ‎【分析】由题意可知：（x+6）=f（x），函数的周期性可知：f（x）周期为6，则f（919）=f（153×6+1）=f（1），由f（x）为偶函数，则f（1）=f（﹣1），即可求得答案．‎ ‎【解答】解：由f（x+4）=f（x﹣2）．则f（x+6）=f（x），‎ ‎∴f（x）为周期为6的周期函数，‎ f（919）=f（153×6+1）=f（1），‎ 由f（x）是定义在R上的偶函数，则f（1）=f（﹣1），‎ 当x∈[﹣3，0]时，f（x）=6﹣x，‎ f（﹣1）=6﹣（﹣1）=6，‎ ‎∴f（919）=6，‎ 故答案为：6．‎ ‎【点评】本题考查函数的周期性及奇偶性的应用，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线=1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为　y=±x　．‎ ‎【分析】把x2=2py（p＞0）代入双曲线=1（a＞0，b＞0），可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，利用根与系数的关系、抛物线的定义及其性质即可得出．‎ ‎【解答】解：把x2=2py（p＞0）代入双曲线=1（a＞0，b＞0），‎ 可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，‎ ‎∴yA+yB=，‎ ‎∵|AF|+|BF|=4|OF|，∴yA+yB+2×=4×，‎ ‎∴=p，‎ ‎∴=．‎ ‎∴该双曲线的渐近线方程为：y=±x．‎ 故答案为：y=±x．‎ ‎【点评】本题考查了抛物线与双曲线的标准方程定义及其性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎16．（12分）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．‎ ‎（Ⅰ）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；‎ ‎（Ⅱ）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．‎ ‎【分析】（Ⅰ）从这6个国家中任选2个，基本事件总数n==15，这2个国家都是亚洲国家包含的基本事件个数m=，由此能求出这2个国家都是亚洲国家的概率．‎ ‎（Ⅱ）从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，利用列举法能求出这2个国家包括A1但不包括B1的概率．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．‎ 从这6个国家中任选2个，基本事件总数n==15，‎ 这2个国家都是亚洲国家包含的基本事件个数m=，‎ ‎∴这2个国家都是亚洲国家的概率P===．‎ ‎（Ⅱ）从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，包含的基本事件个数为9个，分别为：‎ ‎（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），‎ ‎（A2，B3），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），‎ 这2个国家包括A1但不包括B1包含的基本事件有：（A1，B2），（A1，B3），共2个，‎ ‎∴这2个国家包括A1但不包括B1的概率P=．‎ ‎【点评】本题考查概率的求法，涉及到古典概型、排列、组合、列举举等知识点，考查运算求解能力，考查集合思想，是基础题．‎ ‎　‎ ‎17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=3，=﹣6，S△ABC=3，求A和a．‎ ‎【分析】根据向量的数量积和三角形的面积公式可得tanA=﹣1，求出A和c的值，再根据余弦定理即可求出a．‎ ‎【解答】解：由=﹣6可得bccosA=﹣6，①，‎ 由三角形的面积公式可得S△ABC=bcsinA=3，②‎ ‎∴tanA=﹣1，‎ ‎∵0＜A＜180°，‎ ‎∴A=135°，‎ ‎∴c==2，‎ 由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=9+8+12=29‎ ‎∴a=‎ ‎【点评】本题考查了向量的数量积公式和三角形的面积公式和余弦定理，考查了学生的运算能力，属于中档题 ‎　‎ ‎18．（12分）由四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥C1﹣B1CD1后得到的几何体如图所示，四边形ABCD为正方形，O为AC与BD 的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD，‎ ‎（Ⅰ）证明：A1O∥平面B1CD1；‎ ‎（Ⅱ）设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1．‎ ‎【分析】（Ⅰ）取B1D1中点G，连结A1G、CG，推导出A1GOC，从而四边形OCGA1是平行四边形，进而A1O∥CG，由此能证明A1O∥平面B1CD1．‎ ‎（Ⅱ）推导出BD⊥A1E，AO⊥BD，EM⊥BD，从而BD⊥平面A1EM，再由BD∥B1D1，得B1D1⊥平面A1EM，由此能证明平面A1EM⊥平面B1CD1．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）取B1D1中点G，连结A1G、CG，‎ ‎∵四边形ABCD为正方形，O为AC与BD 的交点，‎ ‎∴四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥C1﹣B1CD1后，A1GOC，‎ ‎∴四边形OCGA1是平行四边形，∴A1O∥CG，‎ ‎∵A1O⊄平面B1CD1，CG⊂平面B1CD1，‎ ‎∴A1O∥平面B1CD1．‎ ‎（Ⅱ）四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥C1﹣B1CD1后，BDB1D1，‎ ‎∵M是OD的中点，O为AC与BD 的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD，‎ 又BD⊂平面ABCD，∴BD⊥A1E，‎ ‎∵四边形ABCD为正方形，O为AC与BD 的交点，‎ ‎∴AO⊥BD，‎ ‎∵M是OD的中点，E为AD的中点，∴EM⊥BD，‎ ‎∵A1E∩EM=E，∴BD⊥平面A1EM，‎ ‎∵BD∥B1D1，∴B1D1⊥平面A1EM，‎ ‎∵B1D1⊂平面B1CD1，‎ ‎∴平面A1EM⊥平面B1CD1．‎ ‎【点评】本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系等知识点，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6，a1a2=a3．‎ ‎（1）求数列{an}通项公式；‎ ‎（2）{bn} 为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn，已知S2n+1=bnbn+1，求数列的前n项和Tn．‎ ‎【分析】（1）通过首项和公比，联立a1+a2=6、a1a2=a3，可求出a1=q=2，进而利用等比数列的通项公式可得结论；‎ ‎（2）利用等差数列的性质可知S2n+1=（2n+1）bn+1，结合S2n+1=bnbn+1可知bn=2n+1，进而可知=，利用错位相减法计算即得结论．‎ ‎【解答】解：（1）记正项等比数列{an}的公比为q，‎ 因为a1+a2=6，a1a2=a3，‎ 所以（1+q）a1=6，q=q2a1，‎ 解得：a1=q=2，‎ 所以an=2n；‎ ‎（2）因为{bn} 为各项非零的等差数列，‎ 所以S2n+1=（2n+1）bn+1，‎ 又因为S2n+1=bnbn+1，‎ 所以bn=2n+1，=，‎ 所以Tn=3•+5•+…+（2n+1）•，‎ Tn=3•+5•+…+（2n﹣1）•+（2n+1）•，‎ 两式相减得：Tn=3•+2（++…+）﹣（2n+1）•，‎ 即Tn=3•+（+++…+）﹣（2n+1）•，‎ 即Tn=3+1++++…+）﹣（2n+1）•=3+﹣（2n+1）•‎ ‎=5﹣．‎ ‎【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查等差数列的性质，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（13分）已知函数f（x）=x3﹣ax2，a∈R，‎ ‎（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；‎ ‎（2）设函数g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．‎ ‎【分析】（1）根据导数的几何意义即可求出曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程，‎ ‎（2）先求导，再分类讨论即可求出函数的单调区间和极值 ‎【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=x3﹣x2，‎ ‎∴f′（x）=x2﹣2x，‎ ‎∴k=f′（3）=9﹣6=3，f（3）=×27﹣9=0，‎ ‎∴曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程y=3（x﹣3），即3x﹣y﹣9=0‎ ‎（2）函数g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx=x3﹣ax2+（x﹣a）cosx﹣sinx，‎ ‎∴g′（x）=（x﹣a）（x﹣sinx），‎ 令g′（x）=0，解得x=a，或x=0，‎ ‎①若a＞0时，当x＜0时，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（﹣∞‎ ‎，0）上单调递增，‎ 当x＞a时，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（a，+∞）上单调递增，‎ 当0＜x＜a时，g′（x）＜0恒成立，故g（x）在（0，a）上单调递减，‎ ‎∴当x=a时，函数有极小值，极小值为g（a）=﹣a3﹣sina 当x=0时，有极大值，极大值为g（0）=﹣a，‎ ‎②若a＜0时，当x＞0时，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，‎ 当x＜a时，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（﹣∞，a）上单调递增，‎ 当a＜x＜0时，g′（x）＜0恒成立，故g（x）在（a，0）上单调递减，‎ ‎∴当x=a时，函数有极大值，极大值为g（a）=﹣a3﹣sina 当x=0时，有极小值，极小值为g（0）=﹣a ‎③当a=0时，g′（x）=x（x+sinx），‎ 当x＞0时，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（0，+∞）上单调递增，‎ 当x＜0时，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，‎ ‎∴g（x）在R上单调递增，无极值．‎ ‎【点评】本题考查了导数的几何意义和导数和函数的单调性和极值的关系，关键是分类讨论，考查了学生的运算能力和转化能力，属于难题 ‎　‎ ‎21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）动直线l：y=kx+m（m≠0）交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M．点N是M关于O的对称点，⊙N的半径为|NO|．设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求∠EDF的最小值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）首先根据题中信息可得椭圆C过点（，1），然后结合离心率可得椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）可将题目所求角度的最小值转化为求角度正弦的最小值，结合题目信息可求得D、N坐标及⊙N半径，进而将DN长度表示出来，可求∠EDF最小值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C的离心率为，‎ ‎∴=，a2=2b2，‎ ‎∵椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2，‎ ‎∴椭圆C过点（，1），‎ ‎∴+=1，‎ ‎∴b2=2，a2=4，‎ ‎∴椭圆C的方程为+=1．‎ ‎（Ⅱ）设A，B的横坐标为x1，x2，‎ 则A（x1，kx1+m），B（x2，kx2+m），D（，+m），‎ 联立可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，‎ ‎∴x1+x2=﹣，‎ ‎∴D（﹣，），‎ ‎∵M（0，m），则N（0，﹣m），‎ ‎∴⊙N的半径为|m|，‎ ‎|DN|==，‎ 设∠EDF=α，‎ ‎∴sin====，‎ 令y=，则y′=，‎ 当k=0时，sin取得最小值，最小值为．‎ ‎∴∠EDF的最小值是60°．‎ ‎【点评】本题考查圆锥曲线的最值问题，重要的是能将角度的最小值进行转化求解．‎ ‎　‎