山东省高考数学试卷文科

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文档介绍

山东省高考数学试卷文科

‎2017年山东省高考数学试卷(文科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.(5分)设集合M={x||x﹣1|<1},N={x|x<2},则M∩N=(  )‎ A.(﹣1,1) B.(﹣1,2) C.(0,2) D.(1,2)‎ ‎2.(5分)已知i是虚数单位,若复数z满足zi=1+i,则z2=(  )‎ A.﹣2i B.2i C.﹣2 D.2‎ ‎3.(5分)已知x,y满足约束条件则z=x+2y的最大值是(  )‎ A.﹣3 B.﹣1 C.1 D.3‎ ‎4.(5分)已知cosx=,则cos2x=(  )‎ A.﹣ B. C.﹣ D.‎ ‎5.(5分)已知命题p:∃x∈R,x2﹣x+1≥0.命题q:若a2<b2,则a<b,下列命题为真命题的是(  )‎ A.p∧q B.p∧¬q C.¬p∧q D.¬p∧¬q ‎6.(5分)若执行右侧的程序框图,当输入的x的值为4时,输出的y的值为2,则空白判断框中的条件可能为(  )‎ A.x>3 B.x>4 C.x≤4 D.x≤5‎ ‎7.(5分)函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为(  )‎ A. B. C.π D.2π ‎8.(5分)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位:件).若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x和y的值分别为(  )‎ A.3,5 B.5,5 C.3,7 D.5,7‎ ‎9.(5分)设f(x)=若f(a)=f(a+1),则f()=(  )‎ A.2 B.4 C.6 D.8‎ ‎10.(5分)若函数exf(x)(e=2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质,下列函数中具有M性质的是(  )‎ A.f(x)=2﹣x B.f(x)=x2 C.f(x)=3﹣x D.f(x)=cosx ‎ ‎ 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分 ‎11.(5分)已知向量=(2,6),=(﹣1,λ),若,则λ=   .‎ ‎12.(5分)若直线=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为   .‎ ‎13.(5分)由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为   .‎ ‎14.(5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x﹣2).若当x∈‎ ‎[﹣3,0]时,f(x)=6﹣x,则f(919)=   .‎ ‎15.(5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为   .‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎16.(12分)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.‎ ‎(Ⅰ)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;‎ ‎(Ⅱ)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.‎ ‎17.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=3,=﹣6,S△ABC=3,求A和a.‎ ‎18.(12分)由四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥C1﹣B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD 的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD,‎ ‎(Ⅰ)证明:A1O∥平面B1CD1;‎ ‎(Ⅱ)设M是OD的中点,证明:平面A1EM⊥平面B1CD1.‎ ‎19.(12分)已知{an}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=6,a1a2=a3.‎ ‎(1)求数列{an}通项公式;‎ ‎(2){bn} 为各项非零的等差数列,其前n项和为Sn,已知S2n+1=bnbn+1,求数列的前n项和Tn.‎ ‎20.(13分)已知函数f(x)=x3﹣ax2,a∈R,‎ ‎(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;‎ ‎(2)设函数g(x)=f(x)+(x﹣a)cosx﹣sinx,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.‎ ‎21.(14分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)动直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点,⊙N的半径为|NO|.设D为AB的中点,DE,DF与⊙N分别相切于点E,F,求∠EDF的最小值.‎ ‎ ‎ ‎2017年山东省高考数学试卷(文科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.(5分)设集合M={x||x﹣1|<1},N={x|x<2},则M∩N=(  )‎ A.(﹣1,1) B.(﹣1,2) C.(0,2) D.(1,2)‎ ‎【分析】解不等式求出集合M,结合集合的交集运算定义,可得答案.‎ ‎【解答】解:集合M={x||x﹣1|<1}=(0,2),‎ N={x|x<2}=(﹣∞,2),‎ ‎∴M∩N=(0,2),‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查的知识点是绝对值不等式的解法,集合的交集运算,难度不大,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)已知i是虚数单位,若复数z满足zi=1+i,则z2=(  )‎ A.﹣2i B.2i C.﹣2 D.2‎ ‎【分析】根据已知,求出z值,进而可得答案.‎ ‎【解答】解:∵复数z满足zi=1+i,‎ ‎∴z==1﹣i,‎ ‎∴z2=﹣2i,‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的乘除运算,难度不大,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)已知x,y满足约束条件则z=x+2y的最大值是(  )‎ A.﹣3 B.﹣1 C.1 D.3‎ ‎【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的最优解求解即可.‎ ‎【解答】解:x,y满足约束条件的可行域如图:目标函数z=x+2y经过可行域的A时,目标函数取得最大值,‎ 由:解得A(﹣1,2),‎ 目标函数的最大值为:﹣1+2×2=3.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查线性规划的简单应用,确定目标函数的最优解是解题的关键,考查计算能力.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)已知cosx=,则cos2x=(  )‎ A.﹣ B. C.﹣ D.‎ ‎【分析】利用倍角公式即可得出.‎ ‎【解答】解:∵根据余弦函数的倍角公式cos2x=2cos2x﹣1,且cosx=,‎ ‎∴cos2x=2×﹣1=.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查了倍角公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)已知命题p:∃x∈R,x2﹣x+1≥0.命题q:若a2<b2,则a<b,下列命题为真命题的是(  )‎ A.p∧q B.p∧¬q C.¬p∧q D.¬p∧¬q ‎【分析】‎ 先判断命题p,q的真假,进而根据复合命题真假的真值表,可得答案.‎ ‎【解答】解:命题p:∃x=0∈R,使x2﹣x+1≥0成立.‎ 故命题p为真命题;‎ 当a=1,b=﹣2时,a2<b2成立,但a<b不成立,‎ 故命题q为假命题,‎ 故命题p∧q,¬p∧q,¬p∧¬q均为假命题;‎ 命题p∧¬q为真命题,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了复合命题,特称命题,不等式与不等关系,难度中档.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)若执行右侧的程序框图,当输入的x的值为4时,输出的y的值为2,则空白判断框中的条件可能为(  )‎ A.x>3 B.x>4 C.x≤4 D.x≤5‎ ‎【分析】方法一:由题意可知:输出y=2,则由y=log2x输出,需要x>4,则判断框中的条件是x>4,‎ 方法二:采用排除法,分别进行模拟运算,即可求得答案.‎ ‎【解答】解:方法一:当x=4,输出y=2,则由y=log2x输出,需要x>4,‎ 故选B.‎ 方法二:若空白判断框中的条件x>3,输入x=4,满足4>3,输出y=4+‎ ‎2=6,不满足,故A错误,‎ 若空白判断框中的条件x>4,输入x=4,满足4=4,不满足x>3,输出y=y=log24=2,故B正确;‎ 若空白判断框中的条件x≤4,输入x=4,满足4=4,满足x≤4,输出y=4+2=6,不满足,故C错误,‎ 若空白判断框中的条件x≤5,输入x=4,满足4≤5,满足x≤5,输出y=4+2=6,不满足,故D错误,‎ 故选B.‎ ‎【点评】本题考查程序框图的应用,考查计算能力,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为(  )‎ A. B. C.π D.2π ‎【分析】利用辅助角公式,化简函数的解析式,进而根据ω值,可得函数的周期.‎ ‎【解答】解:∵函数y=sin2x+cos2x=2sin(2x+),‎ ‎∵ω=2,‎ ‎∴T=π,‎ 故选:C ‎【点评】本题考查的知识点是三角函数的周期性及其求法,难度不大,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位:件).若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x和y的值分别为(  )‎ A.3,5 B.5,5 C.3,7 D.5,7‎ ‎【分析】‎ 由已知有中这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,可得x,y的值.‎ ‎【解答】解:由已知中甲组数据的中位数为65,‎ 故乙组数据的中位数也为65,‎ 即y=5,‎ 则乙组数据的平均数为:66,‎ 故x=3,‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查的知识点是茎叶图,平均数和中位数,难度不大,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)设f(x)=若f(a)=f(a+1),则f()=(  )‎ A.2 B.4 C.6 D.8‎ ‎【分析】利用已知条件,求出a的值,然后求解所求的表达式的值即可.‎ ‎【解答】解:当a∈(0,1)时,f(x)=,若f(a)=f(a+1),可得=2a,‎ 解得a=,则:f()=f(4)=2(4﹣1)=6.‎ 当a∈[1,+∞)时.f(x)=,若f(a)=f(a+1),‎ 可得2(a﹣1)=2a,显然无解.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查分段函数的应用,考查转化思想以及计算能力.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)若函数exf(x)(e=2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质,下列函数中具有M性质的是(  )‎ A.f(x)=2﹣x B.f(x)=x2 C.f(x)=3﹣x D.f(x)=cosx ‎【分析】根据已知中函数f(x)具有M性质的定义,可得f(x)=2﹣x时,满足定义.‎ ‎【解答】解:当f(x)=2﹣x时,函数exf(x)=()x在R上单调递增,函数f(x)具有M性质,‎ 故选:A ‎【点评】本题考查的知识点是函数单调性的性质,难度不大,属于基础题.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分 ‎11.(5分)已知向量=(2,6),=(﹣1,λ),若,则λ= ﹣3 .‎ ‎【分析】利用向量共线定理即可得出.‎ ‎【解答】解:∵,∴﹣6﹣2λ=0,解得λ=﹣3.‎ 故答案为:﹣3.‎ ‎【点评】本题考查了向量共线定理,考查了推理能力语音计算能力,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)若直线=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为 8 .‎ ‎【分析】将(1,2)代入直线方程,求得+=1,利用“1”代换,根据基本不等式的性质,即可求得2a+b的最小值.‎ ‎【解答】解:直线=1(a>0,b>0)过点(1,2),则+=1,‎ 由2a+b=(2a+b)×(+)=2+++2=4++≥4+2=4+4=8,‎ 当且仅当=,即a=,b=1时,取等号,‎ ‎∴2a+b的最小值为8,‎ 故答案为:8.‎ ‎【点评】本题考查基本不等式的应用,考查“1”代换,考查计算能力,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎13.(5分)由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为 2+ .‎ ‎【分析】由三视图可知:长方体长为2,宽为1,高为1,圆柱的底面半径为1,高为1圆柱的,根据长方体及圆柱的体积公式,即可求得几何体的体积.‎ ‎【解答】解:由长方体长为2,宽为1,高为1,则长方体的体积V1=2×1×1=2,‎ 圆柱的底面半径为1,高为1,则圆柱的体积V2=×π×12×1=,‎ 则该几何体的体积V=V1+2V1=2+,‎ 故答案为:2+.‎ ‎【点评】本题考查利用三视图求几何体的体积,考查长方体及圆柱的体积公式,考查计算能力,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x﹣2).若当x∈[﹣3,0]时,f(x)=6﹣x,则f(919)= 6 .‎ ‎【分析】由题意可知:(x+6)=f(x),函数的周期性可知:f(x)周期为6,则f(919)=f(153×6+1)=f(1),由f(x)为偶函数,则f(1)=f(﹣1),即可求得答案.‎ ‎【解答】解:由f(x+4)=f(x﹣2).则f(x+6)=f(x),‎ ‎∴f(x)为周期为6的周期函数,‎ f(919)=f(153×6+1)=f(1),‎ 由f(x)是定义在R上的偶函数,则f(1)=f(﹣1),‎ 当x∈[﹣3,0]时,f(x)=6﹣x,‎ f(﹣1)=6﹣(﹣1)=6,‎ ‎∴f(919)=6,‎ 故答案为:6.‎ ‎【点评】本题考查函数的周期性及奇偶性的应用,考查计算能力,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 y=±x .‎ ‎【分析】把x2=2py(p>0)代入双曲线=1(a>0,b>0),可得:a2y2﹣2pb2y+a2b2=0,利用根与系数的关系、抛物线的定义及其性质即可得出.‎ ‎【解答】解:把x2=2py(p>0)代入双曲线=1(a>0,b>0),‎ 可得:a2y2﹣2pb2y+a2b2=0,‎ ‎∴yA+yB=,‎ ‎∵|AF|+|BF|=4|OF|,∴yA+yB+2×=4×,‎ ‎∴=p,‎ ‎∴=.‎ ‎∴该双曲线的渐近线方程为:y=±x.‎ 故答案为:y=±x.‎ ‎【点评】本题考查了抛物线与双曲线的标准方程定义及其性质、一元二次方程的根与系数的关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎16.(12分)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.‎ ‎(Ⅰ)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;‎ ‎(Ⅱ)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.‎ ‎【分析】(Ⅰ)从这6个国家中任选2个,基本事件总数n==15,这2个国家都是亚洲国家包含的基本事件个数m=,由此能求出这2个国家都是亚洲国家的概率.‎ ‎(Ⅱ)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,利用列举法能求出这2个国家包括A1但不包括B1的概率.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.‎ 从这6个国家中任选2个,基本事件总数n==15,‎ 这2个国家都是亚洲国家包含的基本事件个数m=,‎ ‎∴这2个国家都是亚洲国家的概率P===.‎ ‎(Ⅱ)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,包含的基本事件个数为9个,分别为:‎ ‎(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),‎ ‎(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),‎ 这2个国家包括A1但不包括B1包含的基本事件有:(A1,B2),(A1,B3),共2个,‎ ‎∴这2个国家包括A1但不包括B1的概率P=.‎ ‎【点评】本题考查概率的求法,涉及到古典概型、排列、组合、列举举等知识点,考查运算求解能力,考查集合思想,是基础题.‎ ‎ ‎ ‎17.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=3,=﹣6,S△ABC=3,求A和a.‎ ‎【分析】根据向量的数量积和三角形的面积公式可得tanA=﹣1,求出A和c的值,再根据余弦定理即可求出a.‎ ‎【解答】解:由=﹣6可得bccosA=﹣6,①,‎ 由三角形的面积公式可得S△ABC=bcsinA=3,②‎ ‎∴tanA=﹣1,‎ ‎∵0<A<180°,‎ ‎∴A=135°,‎ ‎∴c==2,‎ 由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=9+8+12=29‎ ‎∴a=‎ ‎【点评】本题考查了向量的数量积公式和三角形的面积公式和余弦定理,考查了学生的运算能力,属于中档题 ‎ ‎ ‎18.(12分)由四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥C1﹣B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD 的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD,‎ ‎(Ⅰ)证明:A1O∥平面B1CD1;‎ ‎(Ⅱ)设M是OD的中点,证明:平面A1EM⊥平面B1CD1.‎ ‎【分析】(Ⅰ)取B1D1中点G,连结A1G、CG,推导出A1GOC,从而四边形OCGA1是平行四边形,进而A1O∥CG,由此能证明A1O∥平面B1CD1.‎ ‎(Ⅱ)推导出BD⊥A1E,AO⊥BD,EM⊥BD,从而BD⊥平面A1EM,再由BD∥B1D1,得B1D1⊥平面A1EM,由此能证明平面A1EM⊥平面B1CD1.‎ ‎【解答】证明:(Ⅰ)取B1D1中点G,连结A1G、CG,‎ ‎∵四边形ABCD为正方形,O为AC与BD 的交点,‎ ‎∴四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥C1﹣B1CD1后,A1GOC,‎ ‎∴四边形OCGA1是平行四边形,∴A1O∥CG,‎ ‎∵A1O⊄平面B1CD1,CG⊂平面B1CD1,‎ ‎∴A1O∥平面B1CD1.‎ ‎(Ⅱ)四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥C1﹣B1CD1后,BDB1D1,‎ ‎∵M是OD的中点,O为AC与BD 的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD,‎ 又BD⊂平面ABCD,∴BD⊥A1E,‎ ‎∵四边形ABCD为正方形,O为AC与BD 的交点,‎ ‎∴AO⊥BD,‎ ‎∵M是OD的中点,E为AD的中点,∴EM⊥BD,‎ ‎∵A1E∩EM=E,∴BD⊥平面A1EM,‎ ‎∵BD∥B1D1,∴B1D1⊥平面A1EM,‎ ‎∵B1D1⊂平面B1CD1,‎ ‎∴平面A1EM⊥平面B1CD1.‎ ‎【点评】本题考查线面平行的证明,考查面面垂直的证明,涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系等知识点,考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想,是中档题.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)已知{an}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=6,a1a2=a3.‎ ‎(1)求数列{an}通项公式;‎ ‎(2){bn} 为各项非零的等差数列,其前n项和为Sn,已知S2n+1=bnbn+1,求数列的前n项和Tn.‎ ‎【分析】(1)通过首项和公比,联立a1+a2=6、a1a2=a3,可求出a1=q=2,进而利用等比数列的通项公式可得结论;‎ ‎(2)利用等差数列的性质可知S2n+1=(2n+1)bn+1,结合S2n+1=bnbn+1可知bn=2n+1,进而可知=,利用错位相减法计算即得结论.‎ ‎【解答】解:(1)记正项等比数列{an}的公比为q,‎ 因为a1+a2=6,a1a2=a3,‎ 所以(1+q)a1=6,q=q2a1,‎ 解得:a1=q=2,‎ 所以an=2n;‎ ‎(2)因为{bn} 为各项非零的等差数列,‎ 所以S2n+1=(2n+1)bn+1,‎ 又因为S2n+1=bnbn+1,‎ 所以bn=2n+1,=,‎ 所以Tn=3•+5•+…+(2n+1)•,‎ Tn=3•+5•+…+(2n﹣1)•+(2n+1)•,‎ 两式相减得:Tn=3•+2(++…+)﹣(2n+1)•,‎ 即Tn=3•+(+++…+)﹣(2n+1)•,‎ 即Tn=3+1++++…+)﹣(2n+1)•=3+﹣(2n+1)•‎ ‎=5﹣.‎ ‎【点评】本题考查数列的通项及前n项和,考查等差数列的性质,考查错位相减法,注意解题方法的积累,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎20.(13分)已知函数f(x)=x3﹣ax2,a∈R,‎ ‎(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;‎ ‎(2)设函数g(x)=f(x)+(x﹣a)cosx﹣sinx,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.‎ ‎【分析】(1)根据导数的几何意义即可求出曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程,‎ ‎(2)先求导,再分类讨论即可求出函数的单调区间和极值 ‎【解答】解:(1)当a=2时,f(x)=x3﹣x2,‎ ‎∴f′(x)=x2﹣2x,‎ ‎∴k=f′(3)=9﹣6=3,f(3)=×27﹣9=0,‎ ‎∴曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程y=3(x﹣3),即3x﹣y﹣9=0‎ ‎(2)函数g(x)=f(x)+(x﹣a)cosx﹣sinx=x3﹣ax2+(x﹣a)cosx﹣sinx,‎ ‎∴g′(x)=(x﹣a)(x﹣sinx),‎ 令g′(x)=0,解得x=a,或x=0,‎ ‎①若a>0时,当x<0时,g′(x)>0恒成立,故g(x)在(﹣∞‎ ‎,0)上单调递增,‎ 当x>a时,g′(x)>0恒成立,故g(x)在(a,+∞)上单调递增,‎ 当0<x<a时,g′(x)<0恒成立,故g(x)在(0,a)上单调递减,‎ ‎∴当x=a时,函数有极小值,极小值为g(a)=﹣a3﹣sina 当x=0时,有极大值,极大值为g(0)=﹣a,‎ ‎②若a<0时,当x>0时,g′(x)>0恒成立,故g(x)在(﹣∞,0)上单调递增,‎ 当x<a时,g′(x)>0恒成立,故g(x)在(﹣∞,a)上单调递增,‎ 当a<x<0时,g′(x)<0恒成立,故g(x)在(a,0)上单调递减,‎ ‎∴当x=a时,函数有极大值,极大值为g(a)=﹣a3﹣sina 当x=0时,有极小值,极小值为g(0)=﹣a ‎③当a=0时,g′(x)=x(x+sinx),‎ 当x>0时,g′(x)>0恒成立,故g(x)在(0,+∞)上单调递增,‎ 当x<0时,g′(x)>0恒成立,故g(x)在(﹣∞,0)上单调递增,‎ ‎∴g(x)在R上单调递增,无极值.‎ ‎【点评】本题考查了导数的几何意义和导数和函数的单调性和极值的关系,关键是分类讨论,考查了学生的运算能力和转化能力,属于难题 ‎ ‎ ‎21.(14分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)动直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点,⊙N的半径为|NO|.设D为AB的中点,DE,DF与⊙N分别相切于点E,F,求∠EDF的最小值.‎ ‎【分析】(Ⅰ)首先根据题中信息可得椭圆C过点(,1),然后结合离心率可得椭圆方程;‎ ‎(Ⅱ)可将题目所求角度的最小值转化为求角度正弦的最小值,结合题目信息可求得D、N坐标及⊙N半径,进而将DN长度表示出来,可求∠EDF最小值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)∵椭圆C的离心率为,‎ ‎∴=,a2=2b2,‎ ‎∵椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2,‎ ‎∴椭圆C过点(,1),‎ ‎∴+=1,‎ ‎∴b2=2,a2=4,‎ ‎∴椭圆C的方程为+=1.‎ ‎(Ⅱ)设A,B的横坐标为x1,x2,‎ 则A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m),D(,+m),‎ 联立可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣4=0,‎ ‎∴x1+x2=﹣,‎ ‎∴D(﹣,),‎ ‎∵M(0,m),则N(0,﹣m),‎ ‎∴⊙N的半径为|m|,‎ ‎|DN|==,‎ 设∠EDF=α,‎ ‎∴sin====,‎ 令y=,则y′=,‎ 当k=0时,sin取得最小值,最小值为.‎ ‎∴∠EDF的最小值是60°.‎ ‎【点评】本题考查圆锥曲线的最值问题,重要的是能将角度的最小值进行转化求解.‎ ‎ ‎
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