高考数学资料——5年高考题3年模拟题分类汇编专题7导数部分

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高考数学资料——5年高考题3年模拟题分类汇编专题7导数部分

第三章 导数及其应用 第一部分 五年高考荟萃 一、选择题 ‎1.(2009年广东卷文)函数的单调递增区间是 ( )‎ A. B.(0,3) C.(1,4) D. ‎ ‎2.(2009全国卷Ⅰ理) 已知直线y=x+1与曲线相切,则α的值为( ) ‎ ‎3.(2009安徽卷理)已知函数在R上满足,则曲线 在点处的切线方程是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ 答案 A 解析 由得几何,‎ 即,∴∴,∴切线方程,即选A ‎4.(2009江西卷文)若存在过点的直线与曲线和都相切,则等于 ( ) ‎ A.或 B.或 C.或 D.或 答案 A 解析 设过的直线与相切于点,所以切线方程为 即,又在切线上,则或,‎ 当时,由与相切可得,‎ 当时,由与相切可得,所以选.‎ ‎5.(2009江西卷理)设函数,曲线在点处的切线方程为 ‎,则曲线在点处切线的斜率为 ( )‎ A.   B.   C.    D.‎ 答案 A 解析 由已知,而,所以故选A 力。‎ ‎6.(2009全国卷Ⅱ理)曲线在点处的切线方程为 ( ) ‎ A. B. C. D. ‎ 答案 B 解 ,‎ 故切线方程为,即 故选B.‎ ‎7.(2009湖南卷文)若函数的导函数在区间上是增函数,‎ 则函数在区间上的图象可能是 ( )‎ y a b a b a o x o x y b a o x y o x y b A . B. C. D.‎ ‎8.(2009辽宁卷理)若满足2x+=5, 满足2x+2(x-1)=5, += ( )‎ A. B‎.3 C. D.4‎ 答案 C 解析 由题意 ①‎ ‎ ②‎ ‎ 所以,‎ ‎ 即2‎ ‎ 令2x1=7-2t,代入上式得7-2t=2log2(2t-2)=2+2log2(t-1)‎ ‎ ∴5-2t=2log2(t-1)与②式比较得t=x2 于是2x1=7-2x2‎ ‎9.(2009天津卷理)设函数则 ( )‎ A在区间内均有零点。 ‎ B在区间内均无零点。‎ C在区间内有零点,在区间内无零点。‎ D在区间内无零点,在区间内有零点。 ‎ ‎【考点定位】本小考查导数的应用,基础题。‎ 解析 由题得,令得;令得;得,故知函数在区间上为减函数,在区间 为增函数,在点处有极小值;又 ‎,故选择D。‎ 二、填空题 ‎10.(2009辽宁卷文)若函数在处取极值,则 ‎ 解析 f’(x)=‎ ‎ f’(1)==‎0 Þ a=3‎ 答案 3‎ ‎11.若曲线存在垂直于轴的切线,则实数的取值范围是 .‎ 解析 解析 由题意该函数的定义域,由。因为存在垂直于轴的切线,故此时斜率为,问题转化为范围内导函数存在零点。‎ 解法1 (图像法)再将之转化为与存在交点。当不符合题意,当时,如图1,数形结合可得显然没有交点,当 如图2,此时正好有一个交点,故有应填 或是。‎ 解法2 (分离变量法)上述也可等价于方程在内有解,显然可得 ‎12.(2009江苏卷)函数的单调减区间为 . ‎ 解析 考查利用导数判断函数的单调性。 ‎ ‎,‎ 由得单调减区间为。亦可填写闭区间或半开半闭区间。‎ ‎13.(2009江苏卷)在平面直角坐标系中,点P在曲线上,且在第二象限内,已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为 . ‎ 解析 考查导数的几何意义和计算能力。 ‎ ‎,又点P在第二象限内,点P的坐标为(-2,15)‎ 答案 : ‎ ‎【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答.‎ ‎14.(2009福建卷理)若曲线存在垂直于轴的切线,则实数取值范围是_____________.‎ 答案 ‎ ‎ 解析 由题意可知,又因为存在垂直于轴的切线,‎ 所以。‎ ‎15.(2009陕西卷理)设曲线在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为,令,则的值为 . ‎ 答案 -2‎ ‎16.(2009四川卷文)设是已知平面上所有向量的集合,对于映射,记的象为。若映射满足:对所有及任意实数都有,则称为平面上的线性变换。现有下列命题:‎ ‎①设是平面上的线性变换,,则 ‎ ‎②若是平面上的单位向量,对,则是平面上的线性变换; ‎ ‎③对,则是平面上的线性变换; ‎ ‎④设是平面上的线性变换,,则对任意实数均有。‎ 其中的真命题是 (写出所有真命题的编号)‎ 答案 ①③④‎ 解析 ①:令,则故①是真命题 同理,④:令,则故④是真命题 ‎③:∵,则有 是线性变换,故③是真命题 ‎②:由,则有 ‎∵是单位向量,≠0,故②是假命题 ‎【备考提示】本小题主要考查函数,对应及高等数学线性变换的相关知识,试题立意新颖,‎ 突出创新能力和数学阅读能力,具有选拔性质。‎ ‎17.(2009宁夏海南卷文)曲线在点(0,1)处的切线方程为 。‎ 答案 ‎ 解析 ,斜率k==3,所以,y-1=3x,即 三、解答题 ‎18.(2009全国卷Ⅰ理)本小题满分12分。(注意:在试题卷上作答无效)‎ 设函数在两个极值点,且 ‎(I)求满足的约束条件,并在下面的坐标平面内,画出满足这些条件的点的区域;‎ ‎(II)证明:‎ 分析(I)这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。‎ 大部分考生有思路并能够得分。由题意知方程有两个根 则有 故有 ‎ 右图中阴影部分即是满足这些条件的点的区域。‎ ‎(II)这一问考生不易得分,有一定的区分度。主要原因是含字母较多,不易找到突破口。此题主要利用消元的手段,消去目标中的,(如果消会较繁琐)再利用的范围,并借助(I)中的约束条件得进而求解,有较强的技巧性。‎ 解析 由题意有............①‎ 又.....................②‎ 消去可得.‎ 又,且 ‎ ‎19.(2009浙江文)(本题满分15分)已知函数 .‎ ‎ (I)若函数的图象过原点,且在原点处的切线斜率是,求的值;‎ ‎ (II)若函数在区间上不单调,求的取值范围.‎ 解析 (Ⅰ)由题意得 ‎ 又 ,解得,或 ‎ (Ⅱ)函数在区间不单调,等价于 ‎ 导函数在既能取到大于0的实数,又能取到小于0的实数 ‎ 即函数在上存在零点,根据零点存在定理,有 ‎ , 即:‎ ‎ 整理得:,解得 ‎20.(2009北京文)(本小题共14分)‎ 设函数.‎ ‎(Ⅰ)若曲线在点处与直线相切,求的值;‎ ‎(Ⅱ)求函数的单调区间与极值点.‎ 解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力.‎ ‎(Ⅰ),‎ ‎∵曲线在点处与直线相切,‎ ‎∴‎ ‎(Ⅱ)∵,‎ 当时,,函数在上单调递增,‎ 此时函数没有极值点.‎ 当时,由,‎ 当时,,函数单调递增,‎ 当时,,函数单调递减,‎ 当时,,函数单调递增,‎ ‎∴此时是的极大值点,是的极小值点.‎ ‎21.(2009北京理)(本小题共13分)‎ 设函数 ‎(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)求函数的单调区间;‎ ‎(Ⅲ)若函数在区间内单调递增,求的取值范围.‎ ‎ 解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识,考查 综合分析和解决问题的能力.‎ ‎(Ⅰ),‎ 曲线在点处的切线方程为.‎ ‎(Ⅱ)由,得,‎ ‎ 若,则当时,,函数单调递减,‎ 当时,,函数单调递增,‎ ‎ 若,则当时,,函数单调递增,‎ ‎ 当时,,函数单调递减,‎ ‎(Ⅲ)由(Ⅱ)知,若,则当且仅当,‎ 即时,函数内单调递增,‎ 若,则当且仅当,‎ 即时,函数内单调递增,‎ 综上可知,函数内单调递增时,的取值范围是.‎ ‎22.(2009山东卷文)(本小题满分12分)‎ ‎ 已知函数,其中 ‎ ‎(1)当满足什么条件时,取得极值?‎ ‎(2)已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.‎ 解: (1)由已知得,令,得,‎ 要取得极值,方程必须有解,‎ 所以△,即, 此时方程的根为 ‎,,‎ 所以 ‎ 当时,‎ x ‎(-∞,x1)‎ x 1‎ ‎(x1,x2)‎ x2‎ ‎(x2,+∞)‎ f’(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f (x)‎ 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.‎ 当时, ‎ x ‎(-∞,x2)‎ x 2‎ ‎(x2,x1)‎ x1‎ ‎(x1,+∞)‎ f’(x)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f (x)‎ 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数 所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.‎ 综上,当满足时, 取得极值. ‎ ‎(2)要使在区间上单调递增,需使在上恒成立.‎ 即恒成立, 所以 设,,‎ 令得或(舍去), ‎ 当时,,当时,单调增函数;‎ 当时,单调减函数,‎ 所以当时,取得最大,最大值为.‎ 所以 当时,,此时在区间恒成立,所以在区间上单调递增,当时最大,最大值为,所以 综上,当时, ; 当时, ‎ ‎【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.‎ ‎22.设函数,其中常数a>1‎ ‎(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;‎ ‎(Ⅱ)若当x≥0时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围。 ‎ 解析 本题考查导数与函数的综合运用能力,涉及利用导数讨论函数的单调性,第一问关键是通过分析导函数,从而确定函数的单调性,第二问是利用导数及函数的最值,由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。‎ 解析 (I) ‎ ‎ 由知,当时,,故在区间是增函数;‎ 当时,,故在区间是减函数;‎ ‎ 当时,,故在区间是增函数。‎ ‎ 综上,当时,在区间和是增函数,在区间是减函数。‎ ‎ (II)由(I)知,当时,在或处取得最小值。‎ 由假设知 ‎ ‎ 即 解得 11时, ‎ 当x变化时,与的变化情况如下表:‎ x ‎+‎ ‎-‎ ‎+‎ 单调递增 单调递减 单调递增 由此得,函数的单调增区间为和,单调减区间为。‎ ‎②当时,此时有恒成立,且仅在处,故函数的单调增区间为R ‎③当时,同理可得,函数的单调增区间为和,单调减区间为 ‎ 综上:‎ 当时,函数的单调增区间为和,单调减区间为;‎ 当时,函数的单调增区间为R;‎ 当时,函数的单调增区间为和,单调减区间为 ‎.‎ ‎(Ⅱ)由得令得 由(1)得增区间为和,单调减区间为,所以函数在处取得极值,故M()N()。‎ 观察的图象,有如下现象:‎ ‎①当m从-1(不含-1)变化到3时,线段MP的斜率与曲线在点P处切线的斜率之差Kmp-的值由正连续变为负。‎ ‎②线段MP与曲线是否有异于H,P的公共点与Kmp-的m正负有着密切的关联;‎ ‎③Kmp-=0对应的位置可能是临界点,故推测:满足Kmp-的m就是所求的t最小值,下面给出证明并确定的t最小值.曲线在点处的切线斜率;‎ 线段MP的斜率Kmp 当Kmp-=0时,解得 直线MP的方程为 ‎ 令 当时,在上只有一个零点,可判断函数在上单调递增,在上单调递减,又,所以在上没有零点,即线段MP与曲线没有异于M,P的公共点。‎ 当时,.‎ 所以存在使得 即当MP与曲线有异于M,P的公共点 ‎ 综上,t的最小值为2.‎ ‎(2)类似(1)于中的观察,可得m的取值范围为 解法二:‎ ‎(1)同解法一.‎ ‎(2)由得,令,得 由(1)得的单调增区间为和,单调减区间为,所以函数在处取得极值。故M().N()‎ ‎ (Ⅰ) 直线MP的方程为 由 得 线段MP与曲线有异于M,P的公共点等价于上述方程在(-1,m)上有根,即函数 上有零点.‎ 因为函数为三次函数,所以至多有三个零点,两个极值点.‎ 又.因此, 在上有零点等价于在内恰有一个极大值点和一个极小值点,即内有两不相等的实数根.‎ 等价于 即 又因为,所以m 的取值范围为(2,3)‎ 从而满足题设条件的r的最小值为2.‎ ‎36.(2009辽宁卷文)(本小题满分12分)‎ 设,且曲线y=f(x)在x=1处的切线与x轴平行。‎ ‎(2)求a的值,并讨论f(x)的单调性;‎ ‎(1)证明:当 ‎ 解析 (Ⅰ).有条件知,‎ ‎,故. ………2分 于是.‎ 故当时,<0; ‎ 当时,>0.‎ 从而在,单调减少,在单调增加. ………6分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知在单调增加,故在的最大值为,‎ 最小值为. ‎ 从而对任意,,有. ………10分 ‎ 而当时,.‎ ‎ 从而 ………12分 ‎37.(2009辽宁卷理)(本小题满分12分)‎ 已知函数f(x)=x-ax+(a-1),。‎ ‎(1)讨论函数的单调性; ‎ ‎(2)证明:若,则对任意x,x,xx,有。‎ 解析 (1)的定义域为。‎ ‎2分 ‎(i)若即,则 故在单调增加。‎ ‎(ii)若,而,故,则当时,;‎ 当及时,‎ 故在单调减少,在单调增加。‎ ‎(iii)若,即,同理可得在单调减少,在单调增加.‎ ‎(II)考虑函数 ‎ 则 由于11,证明对任意的c,都有M>2: ‎ ‎ (Ⅲ)若M≧K对任意的b、c恒成立,试求k的最大值。‎ 本小题主要考察函数、函数的导数和不等式等基础知识,考察综合运用数学知识进行推理 论证的能力和份额类讨论的思想(满分14分)‎ ‎(I)解析 ,由在处有极值 可得 解得或 若,则,此时没有极值;‎ 若,则 当变化时,,的变化情况如下表:‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ 极小值 极大值 当时,有极大值,故,即为所求。‎ ‎(Ⅱ)证法1:‎ 当时,函数的对称轴位于区间之外。‎ 在上的最值在两端点处取得 故应是和中较大的一个 即 证法2(反证法):因为,所以函数的对称轴位于区间之外,‎ 在上的最值在两端点处取得。‎ 故应是和中较大的一个 假设,则 ‎ ‎ 将上述两式相加得:‎ ‎,导致矛盾,‎ ‎(Ⅲ)解法1:‎ ‎(1)当时,由(Ⅱ)可知;‎ ‎(2)当时,函数)的对称轴位于区间内, ‎ 此时 由有 ‎①若则,‎ 于是 ‎②若,则 于是 综上,对任意的、都有 而当时,在区间上的最大值 故对任意的、恒成立的的最大值为。 ‎ 解法2:‎ ‎(1)当时,由(Ⅱ)可知; ‎ ‎(2)当时,函数的对称轴位于区间内,‎ 此时 ‎ ‎ ‎,即 下同解法1‎ ‎43.(2009宁夏海南卷文)(本小题满分12分)‎ 已知函数.‎ (1) 设,求函数的极值;‎ (2) 若,且当时,12a恒成立,试确定的取值范围.‎ 请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 ‎ ‎(21)解析 ‎ ‎(Ⅰ)当a=1时,对函数求导数,得 ‎ ‎ 令 ‎ 列表讨论的变化情况:‎ ‎(-1,3)‎ ‎3‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ 极大值6‎ 极小值-26‎ 所以,的极大值是,极小值是 ‎(Ⅱ)的图像是一条开口向上的抛物线,关于x=a对称.‎ 若上是增函数,从而 ‎ 上的最小值是最大值是 由于是有 ‎ 由 所以 ‎ 若a>1,则不恒成立.‎ 所以使恒成立的a的取值范围是 ‎ ‎44.(2009天津卷理)(本小题满分12分)‎ ‎ 已知函数其中 ‎(1)当时,求曲线处的切线的斜率; ‎ ‎(2)当时,求函数的单调区间与极值。 ‎ 本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。‎ ‎(I)解析 ‎ ‎(II) ‎ 以下分两种情况讨论。‎ ‎(1)>,则<.当变化时,的变化情况如下表:‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎ ‎ ‎(2)<,则>,当变化时,的变化情况如下表:‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎ ‎ ‎45.(2009四川卷理)(本小题满分12分)‎ 已知函数。‎ ‎(I)求函数的定义域,并判断的单调性;‎ ‎(II)若 ‎(III)当(为自然对数的底数)时,设,若函数的极值存在,求实数的取值范围以及函数的极值。‎ 本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运算能力。‎ 解析 (Ⅰ)由题意知 当 当 当….(4分)‎ ‎(Ⅱ)因为 由函数定义域知>0,因为n是正整数,故00,‎ ‎1036时,V′>0,‎ 所以,当x=10,V有极大值V(10)=1960…………………………………………………10分 又V(0)=0,V(24)=0, ……………………………………………………………………11分 所以当x=10,V有最大值V(10)=1960 …………………………………………………12分 第二部分 三年联考汇编 ‎2009年联考题 一、选择题 ‎1.(2009威海二模)右图是函数f(x)=x2+ax+b的部分图象,则 函数的零点所在的区间是 ( )‎ A. B.‎ C. D.‎ 答案 C ‎2.(2009天津重点学校二模)已知函数是定义在R上的奇函数,且当 时不等式成立, 若, ‎ ‎,则的大小关系是 ( )‎ A. B. C. D.‎ 答案 C ‎3.(2009嘉兴一中一模)下列图像中有一个是函数 的导数 的图像,则 ( )‎ A. B. C. D.或 答案 B ‎-2‎ ‎4‎ ‎4.(2009年乐陵一中)图中,阴影部分的面积是 ( )‎ A.16 B.18 ‎ ‎ C.20 D.22‎ 答案 B 二、填空题 ‎-2‎ x y O ‎5.(北京市东城区2009年3月高中示范校高三质量检测理)已知函数f(x)的定义域为[-2,+∞),部分对应值如下表,为f(x)的导函数,函数的图象如右图所示,若两正数a,b满足,则的取值范围是   .‎ 答案 ‎ ‎6.(湖北省黄冈市2009年3月份高三年级质量检测文)设函数 ‎(c<0)单调递增区间是 .‎ 答案 ‎ 三、解答题 ‎7.(2009厦门北师大海沧附属实验中学)已知函数,其中为实数.‎ ‎(Ⅰ) 若在处取得的极值为,求的值;‎ ‎(Ⅱ)若在区间上为减函数,且,求的取值范围.‎ 解 (Ⅰ)由题设可知:‎ 且, ……………… 2分 即,解得 ……………… 4分 ‎(Ⅱ), ……………… 5分 又在上为减函数, ‎ 对恒成立, ……………… 6分 即对恒成立.‎ 且, ……………… 10分 即,‎ 的取值范围是 ……………… 12分 ‎8.(2009厦门大同中学)设函数 ‎(1)求函数的极大值;‎ ‎(2)若时,恒有成立(其中是函数的导函数),‎ 试确定实数a的取值范围.‎ 解 (1)∵,且,………………………………1分 当时,得;当时,得;‎ ‎∴的单调递增区间为;‎ 的单调递减区间为和.…………………………………3分 故当时,有极大值,其极大值为. …………………4分 ‎(2)∵,‎ 当时,,‎ ‎∴在区间内是单调递减.…………………………………………6分 ‎∴.‎ ‎∵,∴‎ 此时,.…………………………………………………………………………9分 当时,.‎ ‎∵,∴即 ……11分 此时,.……………………………………………………………13分 综上可知,实数的取值范围为.………………………………… 14分 ‎9月份更新 ‎1.(2009东北育才、天津耀华、大连育明、哈三中联考)已知函数,若的单调减区间恰为(0,4)。‎ ‎ (I)求的值:‎ ‎ (Ⅱ)若对任意的,关于的方程总有实数解,求实数的取值范围。‎ 解:(1)‎ ‎ 又 ‎ (Ⅱ)时时 ‎ 且 8分 ‎ 解得 ‎2.(2009天津六校联考)已知函数 ‎(1)若 时,函数 在其定义域内是增函数,求b的取值范围;‎ ‎(2)在(1)的结论下,设函数 ,求函数的最 ‎3.(2009汉沽一中第六次月考)已知,.‎ ‎(Ⅰ)当时,求证:在上是减函数;‎ ‎(Ⅱ)如果对不等式恒成立,求实数的取值范围.‎ 解:(Ⅰ)当时, ‎ ‎∵ ‎ ‎ ‎ ‎∴在上是减函数 ‎ ‎(Ⅱ)∵不等式恒成立 即不等式恒成立 ‎∴不等式恒成立 ‎ 当时, 不恒成立 ‎ 当时,不等式恒成立 ‎ 即 ‎∴ ‎ 当时,不等式不恒成立 综上所述,的取值范围是 ‎ ‎4.(2009和平区一模)已知函数 ‎(Ⅰ)求的值域;‎ ‎(Ⅱ)设,函数.若对任意,总存在,使,求实数的取值范围.‎ 解:(Ⅰ),‎ ‎ 令,得或. ‎ ‎ 当时,在上单调递增;‎ ‎ 当时,在上单调递减,‎ ‎ 而,‎ ‎ 当时,的值域是. ‎ ‎(Ⅱ)设函数在上的值域是A,‎ 若对任意.总存在1,使,‎ ‎. ‎ ‎.‎ ‎①当时,,‎ ‎ 函数在上单调递减.‎ ‎ ,‎ · 当时,不满足; ‎ ‎②当时,,‎ 令,得或(舍去) ‎ ‎(i)时,的变化如下表:‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎.‎ ‎,解得. ‎ ‎(ii)当时,‎ ‎ 函数在上单调递减.‎ ‎ ,当时,不满.‎ 综上可知,实数的取值范围是. ‎ ‎5.(2009河北区一模)已知函数 ‎(I)若是的极值点,求在上的最小值和最大值;‎ ‎(Ⅱ)若上是增函数,求实数的取值范围。‎ 解:(I)‎ ‎ 有极大值点,极小值点。‎ ‎ 此时在上是减函数,在上是增函数。‎ 在上的最小值是-18,最大值是-6‎ ‎(Ⅱ)‎ ‎ ‎ ‎ 当时,是增函数,其最小值为 ‎ ‎ ‎ 时也符合题意,‎ ‎ ‎ ‎6.(2009河东区一模)设函数 ‎(1)求的最小值;‎ ‎(2)若对时恒成立,求实数的取值范围 解:(1)‎ 时,取得最小值,‎ 即 ‎(2)令 由,得或(舍去)‎ ‎(0,1)‎ ‎1‎ ‎(1,2)‎ ‎0‎ 增 极大值 减 在内有最大值,‎ 对时恒成立等价于恒成立。‎ 即 ‎7.(2009河西区一模)已知函数,其中实数,‎ ‎ (I)求函数的单调区间;‎ ‎ (Ⅱ)若与在区间内均为增函数,求的取值范围。‎ 解:(I)‘ ‎ 又令,得 ‎①若,则当或时。当时,‎ 在和内是增函数,在内是减函数,‎ ‎②若则当或时,当时,‎ 在和内是增函数,在内是减函数 ‎(Ⅱ)当时,在和内是增函数,故 在内是增函数。‎ 由题意得 解得 当时,在和内是增函数,在内是增函数。‎ 由题意得 解得 综上知实数的取值范围为 ‎ 2007—2008年联考题 一、选择题 ‎1.(江苏省启东中学2008年高三综合测试一)函数y=2x3-3x2-12x+5在区间[0,3]上最大值与最小值分别 是 ( )‎ A. 5,-15 B. 5,‎-4 ‎ C. -4,-15 D. 5,-16 ‎ 答案 A ‎2.(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)若存在,则不可 能为 ( )‎ A.;      B.;     C.;      D.;‎ 答案 B ‎3.(江西省五校2008届高三开学联考)设函数 的最大值为3,则f(x)的图象的一条对称轴的方程是 ( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 答案 C ‎4.(江西省五校2008届高三开学联考)已知 ( )‎ A.-4 B.‎8 ‎ C.0 D.不存在 答案 B x y x4‎ O oO ‎5.(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知函数的导函数的图像如下,则 ( )‎ ‎ A.函数有1个极大值点,1个极小值点 ‎ B.函数有2个极大值点,2个极小值点 C.函数有3个极大值点,1个极小值点 D.函数有1个极大值点,3个极小值点 答案 A 二、填空题 ‎6.(2008年高考数学各校月考)定积分的值是 .‎ 答案 3 ‎ ‎7.(四川省成都市新都一中高2008级12月月考)已知函数在 x=-1时有极值0,则m=_________;n=_________;‎ 本题主要考查函数、导数、极值等基本概念和性质0‎ 答案 m=2,n=9.‎ 解析 =3x2+6mx+n 由题意,=3-‎6m+n=‎0 ‎f(-1)=-1+‎3m-n+m2=0 解得或 但m=1,n=3时,=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0恒成立 即x=-1时不是f(x)的极值点,应舍去 ‎8.(北京市十一学校2008届高三数学练习题)如图为函数的图象,‎ 为函数的导函数,则不等式的解集为______ ______.‎ 答案 ‎ 三、解答题 ‎8.(2007年江苏省淮安市)已知函数F(x)=|2x-t|-x3+x+1(x∈R,t为常数,t∈R)‎ ‎(1)写出此函数F(x)在R上的单调区间;‎ ‎(2)若方程F(x)-m=0恰有两解,求实数m的值。‎ 解 (1)∴ ‎ 由-3x2+3=0 得x1=-1,x2=1,而-3x2-1<0恒成立 ‎∴ i) 当<-1时,F(x)在区间(-∞,-1)上是减函数 在区间(-1,1)上是增函数,在区间(1,+∞)上是减函数 ii) 当1>≥-1时,F(x)在区间(-∞,)上是减函数 在区间(,1)上是增函数,在区间(1,+∞)上是减函数 iii) 当≥1时,F(x)在(-∞,+∞)上是减函数 ‎ (2)由(1)可知 i) 当<-1时,F(x)在x=-1处取得极小值-1-t,‎ 在x=1处取得极大值3-t,若方程F(x)-m=0恰有两解,‎ 此时m=-1-t或m=3-t ii) 当-1≤<1,F(x)在x=处取值为,‎ 在x=1处取得极大值3-t,若方程F(x)-m=0恰有两解,‎ 此时m=或m=3-t ‎9.(2008年四川省成都市一诊)已知函数是定义域为R的偶函数,其图像均在x轴 的上方,对任意的,都有,且,又当时,其导函数恒成立。‎ ‎(Ⅰ)求f(0)、f(-1)的值;‎ ‎(Ⅱ)解关于x的不等式:,其中 解 (1)由f(m·n)=[f(m)]n得:f(0)=f(0×0)=[f(0)]0 ∵函数f(x)的图象均在x轴的上方,∴f(0)>0,∴f(0)=1 ……………………………3分 ∵f(2)=f(1×2)=[f(1)]2=4,又f(x)>0∴f(1)=2,f(-1)=f(1)=2 …………………3分 (2)‎ 又当时,其导函数恒成立,∴在区间上为单调递增函数 ‎∴‎ ‎①当时,;‎ ‎②当时,,∴;‎ ‎③当时,,∴‎ 综上所述:当时,;当时,;‎ 当时,。‎
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