高考数学考点归纳之 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

高考数学考点归纳之 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

高考数学考点归纳之 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 一、基础知识 1．简单的逻辑联结词 (1)命题中的“且”“或”“非”❶叫做逻辑联结词． ①用联结词“且”把命题 p 和命题 q 联结起来，得到复合命题“p 且 q”，记作 p∧q； ②用联结词“或”把命题 p 和命题 q 联结起来，得到复合命题“p 或 q”，记作 p∨q； ③对命题 p 的结论进行否定，得到复合命题“非 p”，记作非 p.❷ ❶“且”的数学含义是几个条件同时满足，“且”在集合中的解释为“交集”；“或” 的数学含义是至少满足一个条件，“或”在集合中的解释为“并集”；“非”的含义是否定， “非 p”只否定 p 的结论，“非”在集合中的解释为“补集”. ❷“命题的否定”与“否命题”的区别 (1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论． (2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假 无必然联系． (2)命题真值表： p q p∧q p∨q 非 p 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 假 假 假 真 命题真假的判断口诀 p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p 与非 p→真假相反. 2．全称量词与存在量词 量词名称 常见量词 表示符号 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 ∀ 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 ∃ 3.全称命题与特称命题 命题名称 命题结构 命题简记 全称命题 对 M 中任意一个 x，有 p(x)成立 ∀x∈M，p(x) 特称命题 存在 M 中的一个 x0，使 p(x0)成立 ∃x0∈M，p(x0) 4．全称命题与特称命题的否定 命题 命题的否定 ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，非 p(x0) ∃x0∈M，p(x0) ∀x∈M，非 p(x) 二、常用结论 含逻辑联结词命题真假的等价关系 (1)p∨q 真⇔p，q 至少一个真⇔(非 p)∧(非 q)假． (2)p∨q 假⇔p，q 均假⇔(非 p)∧(非 q)真． (3)p∧q 真⇔p，q 均真⇔(非 p)∨(非 q)假． (4)p∧q 假⇔p，q 至少一个假⇔(非 p)∨(非 q)真． 考点一 判断含有逻辑联结词命题的真假 [典例] (1)(2017·山东高考)已知命题 p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题 q：若 a>b，则 a2>b2. 下列命题为真命题的是( ) A．p∧q B．p∧非 q C．非 p∧q D．非 p∧非 q (2)(2019·安徽安庆模拟)设命题 p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋1 x0 >3；命题 q：∀x∈(2，＋∞)， x2>2x，则下列命题为真的是( ) A．p∧(非 q) B．(非 p)∧q C．p∧q D．(非 p)∨q [解析] (1)当 x>0 时，x＋1>1，因此 ln(x＋1)>0，即 p 为真命题；取 a＝1，b＝－2，这 时满足 a>b，显然 a2>b2 不成立，因此 q 为假命题．由复合命题的真假性，知 B 为真命题． (2)对于命题 p，当 x0＝4 时，x0＋1 x0 ＝17 4 >3，故命题 p 为真命题；对于命题 q，当 x＝4 时，24＝42＝16，即∃x0∈(2，＋∞)，使得 2x0＝x 20成立，故命题 q 为假命题，所以 p∧ (非 q)为真命题，故选 A. [答案] (1)B (2)A [题组训练] 1．(2019·惠州调研)已知命题 p，q，则“非 p 为假命题”是“p∧q 是真命题”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选 B 充分性：若非 p 为假命题，则 p 为真命题，由于不知道 q 的真假性，所以 推不出 p∧q 是真命题．必要性：p∧q 是真命题，则 p，q 均为真命题，则非 p 为假命题．所 以“非 p 为假命题”是“p∧q 是真命题”的必要不充分条件． 2．已知命题 p：“若 x2－x>0，则 x>1”；命题 q：“若 x，y∈R，x2＋y2＝0，则 xy＝0”．下 列命题是真命题的是( ) A．p∨(非 q) B．p∨q C．p∧q D．(非 p)∧(非 q) 解析：选 B 若 x2－x>0，则 x>1 或 x<0，故 p 是假命题；若 x，y∈R，x2＋y2＝0，则 x ＝0，y＝0，xy＝0，故 q 是真命题．则 p∨q 是真命题． 考点二 全称命题与特称命题 [典例] (1)命题∀x∈R，ex－x－1≥0 的否定是( ) A．∀x∈R，ex－x－1≤0 B．∀x∈R，ex－x－1≥0 C．∃x0∈R，e x0－x0－1≤0 D．∃x0∈R，e x0－x0－1<0 (2)对命题∃x0>0，x20>2 x0，下列说法正确的是( ) A．真命题，其否定是∃x0≤0，x20≤2 x0 B．假命题，其否定是∀x>0，x2≤2x C．真命题，其否定是∀x>0，x2≤2x D．真命题，其否定是∀x≤0，x2≤2x [解析] (1)改全称量词为存在量词，把不等式中的大于或等于改为小于．故选 D. (2)已知命题是真命题，如 32＝9>8＝23，其否定是∀x>0，x2≤2x.故选 C. [答案] (1)D (2)C [题组训练] 1．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得 n≤x2”的否定形式是( ) A．∀x∈R，∃n∈N*，使得 n>x2 B．∀x∈R，∀n∈N*，使得 n>x2 C．∃x0∈R，∃n∈N*，使得 n>x20 D．∃x0∈R，∀n∈N*，使得 n>x20 解析：选 D ∀改写为∃，∃改写为∀，n≤x2 的否定是 n>x2，则该命题的否定形式为 “∃x0∈R，∀n∈N*，使得 n>x20”． 2．已知命题 p：∃n∈R，使得 f(x)＝nxn2＋2n 是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增； 命题 q：“∃x0∈R，x20＋2>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2<3x”．则下列命题为真命题的 是( ) A．p∧q B．(非 p)∧q C．p∧(非 q) D．(非 p)∧(非 q) 解析：选 C 当 n＝1 时，f(x)＝x3 为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故 p 是真命题， 则非 p 是假命题；“∃x0∈R，x20＋2>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2≤3x”，故 q 是假命题， 非 q 是真命题．所以 p∧q，(非 p)∧q，(非 p)∧(非 q)均为假命题，p∧(非 q)为真命题，选 C. 考点三 根据命题的真假求参数的取值范围 [典例] 已知 p：存在 x0∈R，mx20＋1≤0，q：任意 x∈R，x2＋mx＋1>0.若 p 或 q 为假 命题，求实数 m 的取值范围． [解] 依题意知 p，q 均为假命题， 当 p 是假命题时，则 mx2＋1>0 恒成立，则有 m≥0； 当 q 是真命题时，则Δ＝m2－4<0，－20， 所以 m>2 或 m<－2.由 m≥0， －2≤m≤2， 得 0≤m≤2， 所以 m 的取值范围为[0,2]． 答案：[0,2] [课时跟踪检测] 1．(2019·西安摸底)命题“∀x>0， x x－1 >0”的否定是( ) A．∃x0≥0， x0 x0－1 ≤0 B．∃x0>0,0≤x0≤1 C．∀x>0， x x－1 ≤0 D．∀x<0,0≤x≤1 解析：选 B ∵ x x－1>0，∴x<0 或 x>1，∴ x x－1>0 的否定是 0≤x≤1， ∴命题的否定是“∃x0>0,0≤x0≤1”． 2．下列命题中，假命题的是( ) A．∀x∈R,21－x>0 B．∃a0∈R，y＝xa0 的图象关于 y 轴对称 C．函数 y＝xa 的图象经过第四象限 D．直线 x＋y＋1＝0 与圆 x2＋y2＝1 2 相切 解析：选 C 对于 A，由指数函数的性质可知为真命题；对于 B，当 a＝2 时，其图象 关于 y 轴对称；对于 C，当 x>0 时，y>0 恒成立，从而图象不过第四象限，故为假命题；对 于 D，因为圆心(0,0)到直线 x＋y＋1＝0 的距离等于 1 2 ，等于圆的半径，命题成立． 3．(2019·陕西质检)已知命题 p：对任意的 x∈R，总有 2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不 必要条件，则下列命题为真命题的是( ) A．p∧q B．(非 p)∧(非 q) C．(非 p)∧q D．p∧(非 q) 解析：选 D 由指数函数的性质知命题 p 为真命题．易知 x>1 是 x>2 的必要不充分条件， 所以命题 q 为假命题．由复合命题真值表可知 p∧(非 q)为真命题． 4．(2018·湘东五校联考)下列说法中正确的是( ) A．“a>1，b>1”是“ab>1”成立的充分条件 B．命题 p：∀x∈R,2x>0，则非 p：∃x0∈R,2 x0<0 C．命题“若 a>b>0，则1 a<1 b ”的逆命题是真命题 D．“a>b”是“a2>b2”成立的充分不必要条件 解析：选 A 对于选项 A，由 a>1，b>1，易得 ab>1，故 A 正确．对于选项 B，全称命 题的否定是特称命题，所以命题 p：∀x∈R,2x>0 的否定是非 p：∃x0∈R,2 x0≤0，故 B 错误．对 于选项 C，其逆命题：若1 a<1 b ，则 a>b>0，可举反例，如 a＝－1，b＝1，显然是假命题，故 C 错误．对于选项 D，由“a>b”并不能推出“a2>b2”，如 a＝1，b＝－1，故 D 错误．故选 A. 5．(2019·唐山五校联考)已知命题 p：“a>b”是“2a>2b”的充要条件；命题 q：∃x0∈R，|x0 ＋1|≤x0，则( ) A．(非 p)∨q 为真命题 B．p∧(非 q)为假命题 C．p∧q 为真命题 D．p∨q 为真命题 解析：选 D 由题意可知命题 p 为真命题．因为|x＋1|≤x 的解集为空集，所以命题 q 为假命题，所以 p∨q 为真命题． 6．下列说法错误的是( ) A．命题“若 x2－5x＋6＝0，则 x＝2”的逆否命题是“若 x≠2，则 x2－5x＋6≠0” B．若命题 p：存在 x0∈R，x20＋x0＋1<0，则非 p：对任意 x∈R，x2＋x＋1≥0 C．若 x，y∈R，则“x＝y”是“xy≥ x＋y 2 2”的充要条件 D．已知命题 p 和 q，若“p 或 q”为假命题，则命题 p 与 q 中必一真一假 解析：选 D 由原命题与逆否命题的关系，知 A 正确；由特称命题的否定知 B 正确； 由 xy≥ x＋y 2 2⇔4xy≥(x＋y)2⇔4xy≥x2＋y2＋2xy⇔(x－y)2≤0⇔x＝y，知 C 正确；对于 D， 命题“p 或 q”为假命题，则命题 p 与 q 均为假命题，所以 D 不正确． 7．(2019·长沙模拟)已知命题“∀x∈R，ax2＋4x＋1>0”是假命题，则实数 a 的取值范 围是( ) A．(4，＋∞) B．(0,4] C．(－∞，4] D．[0,4) 解析：选 C 当原命题为真命题时，a>0 且Δ<0，所以 a>4，故当原命题为假命题时， a≤4. 8．下列命题为假命题的是( ) A．存在 x>y>0，使得 ln x＋ln y<0 B．“φ＝π 2 ”是“函数 y＝sin(2x＋φ)为偶函数”的充分不必要条件 C．∃x0∈(－∞，0)，使 3x0<4x0 成立 D．已知两个平面α，β，若两条异面直线 m，n 满足 m⊂α，n⊂β且 m∥β，n∥α，则α ∥β 解析：选 C 对于 A 选项，令 x＝1，y＝1 e ，则 ln x＋ln y＝－1<0 成立，故排除 A.对于 B 选项，“φ＝π 2 ”是“函数 y＝sin(2x＋φ)为偶函数”的充分不必要条件，正确，故排除 B. 对于 C 选项，根据幂函数 y＝xα，当α<0 时，函数单调递减，故不存在 x0∈(－∞，0)，使 3x0<4x0 成立，故 C 错误．对于 D 选项，已知两个平面α，β，若两条异面直线 m，n 满足 m⊂α，n ⊂β且 m∥β，n∥α，可过 n 作一个平面与平面α相交于直线 n′.由线面平行的性质定理可得 n′∥n，再由线面平行的判定定理可得 n′∥β，接下来由面面平行的判定定理可得α∥β， 故排除 D，选 C. 9 ． 若 命 题 p 的 否 定 是 “ ∀ x ∈ (0 ， ＋ ∞) ， x ＞ x ＋ 1” ， 则 命 题 p 可 写 为 ________________________． 解析：因为 p 是非 p 的否定，所以只需将全称量词变为特称量词，再对结论否定即可． 答案：∃x0∈(0，＋∞)， x0≤x0＋1 10．已知命题 p：x2＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且“p∧q”与“非 q”同时为假命题，则 x ＝________. 解析：若 p 为真，则 x≥－1 或 x≤－3， 因为“非 q”为假，则 q 为真，即 x∈Z， 又因为“p∧q”为假，所以 p 为假，故－3＜x＜－1， 由题意，得 x＝－2. 答案：－2 11．已知 p：a<0，q：a2>a，则非 p 是非 q 的________条件(填：充分不必要、必要不充 分、充要、既不充分也不必要)． 解析：由题意得非 p：a≥0，非 q：a2≤a，即 0≤a≤1.因为{a|0≤a≤1} {a|a≥0}，所 以非 p 是非 q 的必要不充分条件． 答案：必要不充分 12．已知命题 p：a2≥0(a∈R)，命题 q：函数 f(x)＝x2－x 在区间[0，＋∞)上单调递增， 则下列命题： ①p∨q；②p∧q；③(非 p)∧(非 q)；④(非 p)∨q. 其中为假命题的序号为________． 解析：显然命题 p 为真命题，非 p 为假命题． ∵f(x)＝x2－x＝ x－1 2 2－1 4 ， ∴函数 f(x)在区间 1 2 ，＋∞ 上单调递增． ∴命题 q 为假命题，非 q 为真命题． ∴p∨q 为真命题，p∧q 为假命题，(非 p)∧(非 q)为假命题，(非 p)∨q 为假命题． 答案：②③④ 13．设 t∈R，已知命题 p：函数 f(x)＝x2－2tx＋1 有零点；命题 q：∀x∈[1，＋∞)， 1 x －x≤4t2－1. (1)当 t＝1 时，判断命题 q 的真假； (2)若 p∨q 为假命题，求 t 的取值范围． 解：(1)当 t＝1 时， 1 x －x max＝0，1 x －x≤3 在[1，＋∞)上恒成立，故命题 q 为真命题． (2)若 p∨q 为假命题，则 p，q 都是假命题． 当 p 为假命题时，Δ＝(－2t)2－4<0，解得－1

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