三维设计广东文人教版2014高考数学第一轮复习考案 双曲线的简单几何性质 文

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三维设计广东文人教版2014高考数学第一轮复习考案 双曲线的简单几何性质 文

第66课 双曲线的简单几何性质 ‎ ‎1.(2019湖南高考)已知双曲线 :的焦距为 ,点在 的渐近线上,则的方程为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】设双曲线的半焦距为,.‎ 又∵的渐近线为,‎ 点在 的渐近线上,‎ ‎∴,即.‎ 又∵,∴,‎ ‎∴的方程为.‎ ‎2.(2019浙江高考) 如图,中心均为原点的双曲线与椭圆有公共焦点,是双曲线的两顶点.若将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】设椭圆的长轴为,双曲线的长轴为,‎ 由将椭圆长轴四等分,则,即,‎ ‎∵双曲线与椭圆有公共焦点,设焦距均为,‎ ‎∴双曲线的离心率为,,.‎ ‎3.(2019惠州一模)设和为双曲线的两个焦点,若,是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵,∴,‎ ‎4.(2019汕头一模)已知、分别是双曲线的左、右焦点,是双曲线上的一点,若,且的三条边长成等差数列,则双曲线的离心率是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】不妨设是双曲线右支上的一点, 设,‎ ‎∵的三条边长成等差数列,,‎ ‎∴,或(舍去).‎ ‎5.(2019湛江二模)已知椭圆: 的左、右顶点分别是、,是双曲线: ‎ 右支轴上方的一点,连结交椭圆于点,连结并延长交椭圆于点.‎ ‎(1)若,求椭圆及双曲线的离心率;‎ ‎(2)若和的面积相等,求点的坐标(用,表示).‎ ‎【解析】(1)∵,‎ ‎∴在椭圆中,,‎ ‎∴椭圆的离心率为,‎ ‎∴在双曲线中,,‎ ‎∴椭圆的离心率为.‎ ‎(2)设、的坐标分别为、,‎ 依题意:、的坐标分别为、,‎ ‎∵和的面积相等,∴,‎ 代人椭圆方程,得 即,①‎ 由在双曲线的右支上,‎ 得,②‎ 将②代人①化简得:,‎ ‎∴或(舍去),‎ ‎∴点的坐标为.‎ ‎6.(2019上海高考)在平面直角坐标系中,已知双曲线.‎ ‎ (1)设是的左焦点,是右支上一点. 若,求过点的坐标; ‎ ‎(2)过的左顶点作的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的面积; ‎ ‎ (3)设斜率为的直线交于、两点,若与圆相切,求证:.‎ ‎【解析】(1)双曲线:,左焦点.‎ ‎ 设,则, ‎ ‎ 由是右支上一点,知,‎ ‎∴,得. ∴. ‎ ‎ (2)左顶点,渐近线方程:.‎ ‎ 过与渐近线平行的直线方程为.‎ ‎ 解方程组,得. ‎ ‎ 所求平行四边形的面积为. ‎ ‎ (3)设直线的方程是.‎ ‎∵直线与已知圆相切,∴,即 (*).‎ 由,得.‎ ‎ 设,则.‎ ‎ 由(*)知,∴. ‎
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