全国高考数学试题分类汇编114变量间的相关关系与统计案例

全国高考数学试题分类汇编114变量间的相关关系与统计案例

‎11.4变量间的相关关系与统计案例 考点一 变量间的相关关系 ‎1.(2015湖北,4,5分)已知变量x和y满足关系y=-0.1x+1,变量y与z正相关.下列结论中正确的是(　　)‎ A.x与y正相关,x与z负相关 ‎ B.x与y正相关,x与z正相关 C.x与y负相关,x与z负相关 ‎ D.x与y负相关,x与z正相关 答案　C　‎ ‎8.(2015课标Ⅰ,19,12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.‎ ‎(xi-)2‎ ‎(wi-)2‎ ‎(xi-)(yi-)‎ ‎(wi-)(yi-)‎ ‎46.6‎ ‎563‎ ‎6.8‎ ‎289.8‎ ‎1.6‎ ‎1 469‎ ‎108.8‎ 表中wi=,=wi.‎ ‎(1)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)‎ ‎(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;‎ ‎(3)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题:‎ ‎(i)年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?‎ ‎(ii)年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?‎ 附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ‎=,=- .‎ 解析　(1)由散点图可以判断,y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.(2分)‎ ‎(2)令w=,先建立y关于w的线性回归方程.‎ 由于===68,‎ ‎=- =563-68×6.8=100.6,‎ 所以y关于w的线性回归方程为=100.6+68w,‎ 因此y关于x的回归方程为=100.6+68.(6分)‎ ‎(3)(i)由(2)知,当x=49时,年销售量y的预报值 ‎=100.6+68=576.6,‎ 年利润z的预报值 ‎=576.6×0.2-49=66.32.(9分)‎ ‎(ii)根据(2)的结果知,年利润z的预报值 ‎=0.2(100.6+68)-x=-x+13.6+20.12.‎ 所以当==6.8,即x=46.24时,取得最大值.‎ 故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.(12分)‎ ‎9.(2015重庆,17,13分)随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表:‎ 年份 ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ 时间代号t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 储蓄存款y(千亿元)‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎ (1)求y关于t的回归方程=t+;‎ ‎(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t=6)的人民币储蓄存款.‎ 附:回归方程=t+中,‎ ‎==-.‎ 解析　(1)列表计算如下:‎ i ti yi tiyi ‎1‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎12‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎21‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎8‎ ‎16‎ ‎32‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎25‎ ‎50‎ ‎15‎ ‎36‎ ‎55‎ ‎120‎ 这里n=5,=ti==3,=yi==7.2.‎ 又ltt=-n=55-5×32=10,lty=tiyi-n　=120-5×3×7.2=12,‎ 从而===1.2,=-=7.2-1.2×3=3.6,‎ 故所求回归方程为=1.2t+3.6.‎ (2) 将t=6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为=1.2×6+3.6=10.8(千亿元).‎ ‎2017高考理科数学《变量间的相关关系、统计案例》练习题 ‎[A组　基础演练·能力提升]‎ 一、选择题 ‎1．判断两个分类变量是彼此相关还是相互独立的常用方法中，最为精确的是(　　)‎ A．三维柱形图　　　　　　　 B．二维条形图 C．等高条形图 D．独立性检验 解析：前三种方法只能直观地看出两个分类变量x与y是否相关，但看不出相关的程度．独立性检验通过计算得出相关的可能性，较为准确．‎ 答案：D ‎2．(2014年广州调研)已知x，y的取值如下表：‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎2.2‎ ‎4.3‎ ‎4.8‎ ‎6.7‎ 从所得的散点图分析，y与x线性相关，且＝0.95x＋，则＝(　　)‎ A．2.1 B．2.2‎ C．2.4 D．2.6‎ 解析：由题意得＝2，＝4.5，将(2,4.5)代入＝0.95x＋可得＝2.6.‎ 答案：D ‎3．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：‎ 优秀 非优秀 总计 甲班 ‎10‎ b 乙班 c ‎30‎ 总计 ‎105‎ 已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是(　　)‎ A．列联表中c的值为30，b的值为35‎ B．列联表中c的值为15，b的值为50‎ C．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”‎ D．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”‎ 解析：由题意知，成绩优秀的学生人数是30，成绩非优秀的学生数是75，所以c＝20，b＝45，选项A，B错误．根据列联表中的数据，得到K2的观测值为k＝≈6.109>3.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”，选项C正确，选项D错误．‎ 答案：C ‎4．(2014年通州一模)对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则下列说法中不正确的是(　　)‎ A．由样本数据得到的回归方程＝x＋必过样本点的中心(，)‎ B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2的值越小，说明模型的拟合效果越好 D．若变量y和x之间的相关系数r＝－0.936 2，则变量y与x之间具有线性相关关系 解析：R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好，故选C.‎ 答案：C ‎5．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：‎ 男 女 总计 爱好 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 不爱好 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 总计 ‎60‎ ‎50‎ ‎110‎ 由K2＝算得，‎ K2＝≈7.8.‎ 附表：‎ P(K2≥k)‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 参照附表，得到的正确结论是(　　)‎ A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”‎ B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”‎ C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”‎ D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”‎ 解析：根据独立性检验的定义，由K2≈7.8＞6.635可知我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选C.‎ 答案：C ‎6．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：‎ 广告费用x(万元)‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 销售额y(万元)‎ ‎49‎ ‎26‎ ‎39‎ ‎54‎ 根据上表可得回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为(　　)‎ A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元 解析：∵＝＝3.5(万元)，‎ ＝＝42，‎ 又＝x＋必过(，)，∴42＝×9.4＋，∴＝9.1.‎ ‎∴线性回归方程为＝9.4x＋9.1，‎ ‎∴当x＝6时，＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．‎ 答案：B 二、填空题 ‎7．(2014年韶关模拟)某市居民2008～2012年家庭年平均收入x(单位：万元)与年平均支出y(单位：万元)的统计资料如下表所示：‎ 年份 ‎2008‎ ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ 收入x ‎11.5‎ ‎12.1‎ ‎13‎ ‎13.3‎ ‎15‎ 支出y ‎6.8‎ ‎8.8‎ ‎9.8‎ ‎10‎ ‎12‎ 根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是________，家庭年平均收入与年平均支出有________线性相关关系．‎ 解析：由中位数的定义知，总体个数为奇数个时按大小顺序排列后中间一个是中位数，而偶数个时需取中间两数的平均数．由统计资料可以看出，当年平均收入增多时，年平均支出也增多，因此两者之间具有正线性相关关系．‎ 答案：13　正 ‎8．(2014年甘肃部分示范校模拟)为了均衡教育资源，加大对偏远地区的教育投入，调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年教育支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年教育支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：＝0.15x＋0.2.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年教育支出平均增加________万元．‎ 解析：由题意知0.15(x＋1)＋0.2－0.15x－0.2＝0.15.‎ 答案：0.15‎ ‎9．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：‎ 理科 文科 男 ‎13‎ ‎10‎ 女 ‎7‎ ‎20‎ 已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.‎ 根据表中数据，得到k＝≈4.844.‎ 则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为________．‎ 解析：∵K2≈4.844，这表明小概率事件发生．根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性约为5%.‎ 答案：5%‎ 三、解答题 ‎10．(2013年高考重庆卷)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得xi＝80，yi＝20，xiyi＝184，x＝720.‎ ‎(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y＝bx＋a；‎ ‎(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；‎ ‎(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．‎ 附：线性回归方程y＝bx＋a中，‎ b＝，a＝－b，‎ 其中，为样本平均值．线性回归方程也可写为＝x＋.‎ 解析：(1)由题意知n＝10，＝xi＝＝8，＝yi＝＝2，‎ 又lxx＝x－n2＝720－10×82＝80，‎ lxy＝xiyi－n　＝184－10×8×2＝24，‎ 由此得b＝＝＝0.3，a＝－b＝2－0.3×8＝－0.4，‎ 故所求线性回归方程为y＝0.3x－0.4.‎ ‎(2)由于变量y的值随x的值增加而增加(b＝0.3>0)，故x与y之间是正相关．‎ ‎(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．‎ ‎11．一商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比，得到如下表格：‎ 人数xi ‎10‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎35‎ ‎40‎ 件数yi ‎4‎ ‎7‎ ‎12‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎23‎ ‎27‎ 其中i＝1,2,3,4,5,6,7.‎ ‎(1)以每天进店人数为横轴，每天商品销售件数为纵轴，画出散点图；‎ ‎(2)求回归直线方程．(结果保留到小数点后两位)‎ ‎(3)预测进店人数为80人时，商品销售的件数．(结果保留整数)‎ 解析：(1)散点图如图．‎ ‎(2)∵xiyi＝3 245，＝25，＝15.43，x＝5 075，7()2＝4 375,7　＝2 695，‎ ‎∴＝≈0.79，‎ ＝－b＝－4.32，‎ ‎∴回归直线方程是＝0.79x－4.32.‎ ‎(3)进店人数为80人时，商品销售的件数y＝0.79×80－4.32≈59.‎ ‎12．(能力提升)(2013年高考福建卷)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．‎ ‎(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；‎ ‎(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？‎ 附：2＝ P(2≥k)‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎(注：此公式也可以写成K2＝)‎ 解析：(1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名．‎ 所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，记为A1，A2，A3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B1，B2.‎ 从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．‎ 其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．故所求的概率P＝.‎ ‎(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：‎ 生产能手 非生产能手 合计 ‎25周岁以上组 ‎15‎ ‎45‎ ‎60‎ ‎25周岁以下组 ‎15‎ ‎25‎ ‎40‎ 合计 ‎30‎ ‎70‎ ‎100‎ 所以得K2＝＝‎ ＝≈1.79.‎ 因为1.79<2.706，‎ 所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．‎ ‎[B组　因材施教·备选练习]‎ ‎1．已知数组(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x10，y10)满足线性回归方程＝x＋，则“(x0，y0)满足线性回归方程＝x＋”是“x0＝，y0＝”的(　　)‎ A．充分不必要条件　　　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：x0，y0为这10组数据的平均值，又因为线性回归方程＝x＋必过样本中心点(，)，因此(，)一定满足线性回归方程，但满足线性回归方程的数组除了(，)外，可能还有其他样本点．‎ 答案：B ‎2．(2014年江西重点中学盟校第二次联考)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程＝0.67x＋54.9.‎ 零件数x(个)‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ 加工时间y(min)‎ ‎62‎ ‎75‎ ‎81‎ ‎89‎ 现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为________．‎ 解析：由已知可计算求出＝30，而回归直线方程必过点(，)，则＝0.67×30＋54.9＝75，设模糊数字为a，则 ＝75，计算得a＝68.‎ 答案：68‎ ‎3．某超市为了了解热茶的销售量y(单位：杯)与气温x(单位：℃)之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：‎ 气温(℃)‎ ‎18‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎－1‎ 杯数 ‎24‎ ‎34‎ ‎38‎ ‎64‎ 由表中数据算得线性回归方程＝bx＋a中的b≈－2，预测当气温为－5 ℃时，热茶销售量为________杯．‎ 解析：根据表格中的数据可得，＝×(18＋13＋10－1)＝10，＝×(24＋34＋38＋64)＝40.‎ 则a＝－b＝40－(－2)×10＝60，故＝－2x＋60.‎ 当x＝－5时，＝－2×(－5)＋60＝70.‎ 答案：70‎