2015高考数学（理）（第八章 中档题目强化练 立体几何）一轮复习题

2015高考数学（理）（第八章 中档题目强化练 立体几何）一轮复习题

中档题目强化练——立体几何 A组　专项基础训练 ‎(时间：40分钟)‎ 一、选择题 ‎1． 以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是 (　　)‎ A．球的三视图总是三个全等的圆 B．正方体的三视图总是三个全等的正方形 C．水平放置的各面均为正三角形的四面体的三视图都是正三角形 D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆 答案　A 解析　画几何体的三视图要考虑视角，但对于球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆．‎ ‎2． 设α、β、γ是三个互不重合的平面，m、n是两条不重合的直线，下列命题中正确的是(　　)‎ A．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ B．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n C．若α⊥β，m⊥α，则m∥β D．若α∥β，m⃘β，m∥α，则m∥β 答案　D 解析　对于A，若α⊥β，β⊥γ，α，γ可以平行，也可以相交，A错；对于B，若m∥α，n∥β，α⊥β，则m，n可以平行，可以相交，也可以异面，B错；对于C，若α⊥β，m⊥α，则m可以在平面β内，C错；易知D正确．‎ ‎3． 设α、β、γ为平面，l、m、n为直线，则m⊥β的一个充分条件为 (　　)‎ A．α⊥β，α∩β＝l，m⊥l B．n⊥α，n⊥β，m⊥α C．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γ D．α⊥γ，β⊥γ，m⊥α 答案　B 解析　如图①知A错；如图②知C错；如图③在正方体中，两侧面α与β相交于l，都与底面γ垂直，γ内的直线m⊥α，但m与β不垂直，故D错；‎ 由n⊥α，n⊥β，得α∥β.又m⊥α，则m⊥β，故B正确．‎ ‎4． 如图，在正四棱柱ABCD－A1B‎1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，‎ 则下列结论不成立的是 (　　)‎ A．EF与BB1垂直 B．EF与BD垂直 C．EF与CD异面 D．EF与A‎1C1异面 答案　D 解析　连接B‎1C，AC，则B‎1C交BC1于F，且F为B‎1C的中点，‎ 又E为AB1的中点，所以EF綊AC，‎ 而B1B⊥平面ABCD，所以B1B⊥AC，‎ 所以B1B⊥EF，A正确；‎ 又AC⊥BD，所以EF⊥BD，B正确；‎ 显然EF与CD异面，C正确；由EF綊AC，AC∥A‎1C1，‎ 得EF∥A‎1C1.故不成立的选项为D.‎ ‎5． 若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是 (　　)‎ A．2 B. C．3 D. 答案　A 解析　由三视图知原几何体可理解为三个部分拼接而成，其中一个棱长为1的正方体，另外两个为正方体的一半．因此易得总体积为2.‎ 二、填空题 ‎6． 三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥P－ABC的体积等于________．‎ 答案　 解析　∵PA⊥底面ABC，‎ ‎∴PA为三棱锥P－ABC的高，且PA＝3.‎ ‎∵底面ABC为正三角形且边长为2，‎ ‎∴底面面积为×22×sin 60°＝，‎ ‎∴VP－ABC＝××3＝.‎ ‎7． 已知四棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，点E、F分别是棱PC、PD的中点，则 ‎①棱AB与PD所在直线垂直；‎ ‎②平面PBC与平面ABCD垂直；‎ ‎③△PCD的面积大于△PAB的面积；‎ ‎④直线AE与直线BF是异面直线．‎ 以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的编号)‎ 答案　①③‎ 解析　由条件可得AB⊥平面PAD，‎ ‎∴AB⊥PD，故①正确；‎ 若平面PBC⊥平面ABCD，由PB⊥BC，‎ 得PB⊥平面ABCD，从而PA∥PB，这是不可能的，故②错；‎ S△PCD＝CD·PD，S△PAB＝AB·PA，‎ 由AB＝CD，PD>PA知③正确；‎ 由E、F分别是棱PC、PD的中点，‎ 可得EF∥CD，又AB∥CD，‎ ‎∴EF∥AB，故AE与BF共面，④错．‎ ‎8． 三棱锥S－ABC中，∠SBA＝∠SCA＝90°，△ABC是斜边AB＝a的等腰直角三角形，则以下结论中：‎ ‎①异面直线SB与AC所成的角为90°；‎ ‎②直线SB⊥平面ABC；‎ ‎③平面SBC⊥平面SAC；‎ ‎④点C到平面SAB的距离是a.‎ 其中正确结论的序号是________．‎ 答案　①②③④‎ 解析　由题意知AC⊥平面SBC，故AC⊥SB，SB⊥平面ABC，平面 SBC⊥平面SAC，①②③正确；取AB的中点E，连接CE，(如图)可 证得CE⊥平面SAB，故CE的长度即为点C到平面SAB的距离a，‎ ‎④正确．‎ 三、解答题 ‎9． 如图，已知在直四棱柱ABCD－A1B‎1C1D1中，AD⊥DC，AB∥DC，‎ DC＝DD1＝2AD＝2AB＝2.‎ ‎(1)求证：DB⊥平面B1BCC1；‎ ‎(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使得D1E∥平面A1BD，‎ 并说明理由．‎ ‎(1)证明　在Rt△ABD中，AB＝AD＝1，BD＝，‎ 又∵BC＝，CD＝2，‎ ‎∴∠DBC＝90°，即BD⊥BC.‎ 又BD⊥BB1，B1B∩BC＝B，‎ ‎∴BD⊥平面B1BCC1.‎ ‎(2)解　DC的中点即为E点，‎ 连接D1E，BE，∵DE∥AB，DE＝AB，‎ ‎∴四边形ABED是平行四边形．‎ ‎∴AD綊BE.‎ 又AD綊A1D1，∴BE綊A1D1，‎ ‎∴四边形A1D1EB是平行四边形．‎ ‎∴D1E∥A1B.‎ ‎∵D1E⃘平面A1BD，A1B平面A1BD，‎ ‎∴D1E∥平面A1BD.‎ ‎10．在正方体ABCD－A′B′C′D′中，棱AB，BB′，B′C′，‎ C′D′的中点分别是E，F，G，H，如图所示．‎ ‎(1)求证：AD′∥平面EFG；‎ ‎(2)求证：A′C⊥平面EFG；‎ ‎(3)判断点A，D′，H，F是否共面？并说明理由．‎ ‎(1)证明　连接BC′.‎ 在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝C′D′，‎ AB∥C′D′，‎ 所以四边形ABC′D′是平行四边形，‎ 所以AD′∥BC′.‎ 因为F，G分别是BB′，B′C′的中点，‎ 所以FG∥BC′，所以FG∥AD′.‎ 因为EF，AD′是异面直线，‎ 所以AD′⃘平面EFG.‎ 因为FG平面EFG，所以AD′∥平面EFG.‎ ‎(2)证明　连接B′C.‎ 在正方体ABCD－A′B′C′D′中，A′B′⊥平面BCC′B′，‎ BC′平面BCC′B′，‎ 所以A′B′⊥BC′.‎ 在正方形BCC′B中，B′C⊥BC′，‎ 因为A′B′平面A′B′C，B′C平面A′B′C，A′B′∩B′C＝B′，‎ 所以BC′⊥平面A′B′C.‎ 因为A′C平面A′B′C，所以BC′⊥A′C.‎ 因为FG∥BC′，所以A′C⊥FG，同理可证A′C⊥EF.‎ 因为EF平面EFG，FG平面EFG，EF∩FG＝F，‎ 所以A′C⊥平面EFG.‎ ‎(3)解　点A，D′，H，F不共面．理由如下：‎ 假设A，D′，H，F共面，连接C′F，AF，HF.‎ 由(1)知，AD′∥BC′，‎ 因为BC′平面BCC′B′，AD′平面BCC′B′.‎ 所以AD′∥平面BCC′B′.‎ 因为C′∈D′H，‎ 所以平面AD′HF∩平面BCC′B′＝C′F.‎ 因为AD′平面AD′HF，‎ 所以AD′∥C′F.‎ 所以C′F∥BC′，而C′F与BC′相交，矛盾．‎ 所以点A，D′，H，F不共面．‎ ‎B组　专项能力提升 ‎(时间：25分钟)‎ ‎1． 已知直线l1，l2与平面α，则下列结论中正确的是 (　　)‎ A．若l1α，l2∩α＝A，则l1，l2为异面直线 B．若l1∥l2，l1∥α，则l2∥α C．若l1⊥l2，l1⊥α，则l2∥α D．若l1⊥α，l2⊥α，则l1∥l2‎ 答案　D 解析　对于选项A，当A∈l1时，结论不成立；对于选项B、C，当l2α时，结论不成立．‎ ‎2． 已知直线l⊥平面α，直线m平面β，有下面四个命题：‎ ‎①α∥β⇒l⊥m；　②α⊥β⇒l∥m；‎ ‎③l∥m⇒α⊥β；　④l⊥m⇒α∥β.‎ 其中正确的命题有 (　　)‎ A．①② B．①③‎ C．②④ D．③④‎ 答案　B 解析　①中，⇒⇒l⊥m，故①正确；‎ ‎②中，l与m相交、平行、异面均有可能，故②错；‎ ‎③中，⇒⇒α⊥β，故③正确；‎ ‎④中，α与β也有可能相交，故④错误．‎ ‎3． 如图所示，是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E、‎ F分别为PA、PD的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：‎ ‎①直线BE与直线CF异面；‎ ‎②直线BE与直线AF异面；‎ ‎③直线EF∥平面PBC；‎ ‎④平面BCE⊥平面PAD.‎ 其中正确的有 (　　)‎ A．①② B．②③ C．①④ D．②④‎ 答案　B 解析　对于①，因为E、F分别是PA、PD的中点，‎ 所以EF∥AD.又因为AD∥BC，‎ 所以EF∥BC.所以BE与CF共面．故①不正确．‎ 对于②，因为BE是平面APD的斜线，AF是平面APD内与BE不相交的直线，所以BE与AF不共面．故②正确．‎ 对于③，由①，知EF∥BC，所以EF∥平面PBC.故③正确．‎ 对于④，条件不足，无法判断两平面垂直．‎ ‎4． 有一个内接于球的四棱锥P－ABCD，若PA⊥底面ABCD，∠BCD＝，∠ABC≠，BC＝3，CD＝4，PA＝5，则该球的表面积为________．‎ 答案　50π 解析　由∠BCD＝90°知BD为底面ABCD外接圆的直径，则2r＝＝5.‎ 又∠DAB＝90°⇒PA⊥AB，PA⊥AD，BA⊥AD.‎ 从而把PA，AB，AD看作长方体的三条棱，设外接球半径为R，则(2R)2＝52＋(2r)2＝52＋52，‎ ‎∴4R2＝50，∴S球＝4πR2＝50π.‎ ‎5． 如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝90°，BC＝CD＝‎ ，AD＝BD，EC⊥底面ABCD，FD⊥底面ABCD，且有EC＝‎ FD＝2.‎ ‎(1)求证：AD⊥BF；‎ ‎(2)若线段EC上一点M在平面BDF上的射影恰好是BF的中点N，试求二面角B－MF－C的余弦值．‎ ‎(1)证明　∵BC⊥DC，且BC＝CD＝，‎ ‎∴BD＝2且∠CBD＝∠BDC＝45°.‎ 又AB∥DC，可知∠DBA＝∠CDB＝45°.‎ ‎∵AD＝BD，‎ ‎∴△ADB是等腰三角形，且∠DAB＝∠DBA＝45°.‎ ‎∴∠ADB＝90°，即AD⊥DB.‎ ‎∵FD⊥底面ABCD于D，AD平面ABCD，‎ ‎∴AD⊥DF.‎ 又DF∩DB＝D1，∴AD⊥平面BDF，‎ ‎∵BF平面DBF，∴AD⊥BF.‎ ‎(2)解　以点C为原点，直线CD、CB、CE方向为x，y，z轴建 系．‎ 则D(，0,0)，B(0，，0)，F(，0,2)，A(2，，0)，‎ ‎∵N恰好为BF的中点，‎ ‎∴N(，，1)．‎ 设M(0,0，z0)，∴＝(，，1－z0)．‎ 由解得z0＝1.‎ 故M为线段CE的中点．‎ 设平面BMF的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，‎ 且＝(，－，2)，＝(0，－，1)，‎ 由可得取x1＝－1，‎ 则得n1＝(－1,1，)．‎ ‎∵平面MFC的一个法向量为n2＝(0,1,0)，‎ ‎∴cos〈n1，n2〉＝＝.‎ 故所求二面角B－MF－C的余弦值为.‎