高考数学题分类汇编函数与导数
2014年高考数学题分类汇编
函数与导数
一、选择题
1.【2014·全国卷Ⅰ（理3，文5）】设函数，的定义域都为R，且时奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
.是偶函数 .||是奇函数
.||是奇函数 .||是奇函数
【答案】C
2. 【2014·全国卷Ⅰ（理6）】如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则=在[0,]上的图像大致为（ ）
【答案】C
3. 【2014·全国卷Ⅰ（理11，文12）】已知函数=，若存在唯一的零点，且＞0，则的取值范围为（ ）
.（2，+∞） .（-∞，-2） .（1，+∞） .（-∞，-1）
【答案】B
4. 【2014·全国卷Ⅱ（理8）】设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】 D
【解析】
5【2014·全国卷Ⅱ（理12）】设函数.若存在的极值点满足，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C。
【解析】
6.【2014·全国卷Ⅱ（文3）】函数在处导数存在，若p：f‘（x0）=0；q：x=x0是的极值点，则
（A）是的充分必要条件
（B）是的充分条件，但不是的必要条件
（C）是的必要条件，但不是 的充分条件
(D) 既不是的充分条件，也不是的必要条件
【答案】C
7.【2014·全国卷Ⅱ（文11）】若函数在区间（1，+）单调递增，则k的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
8. 【2014·全国大纲卷（理7）】曲线在点（1,1）处切线的斜率等于（ ）
A．2e B．e C．2 D．1
【答案】C
9. 【2014·全国大纲卷（理12）】函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的反函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
10.【2014·全国大纲卷（文5）】函数的反函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
11.【2014·全国大纲卷（文12）】奇函数的定义域为R，若为偶函数，且，则（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】D
12. 【2014·山东卷（理3）】函数的定义域为
（A）（B）（C）（D）
13.【2014·山东卷（文3）】函数的定义域为（ ）
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
14.【2014·山东卷（理5）】已知实数满足（），则下列关系式恒成立的是
（A）（B）
（C）（D）
15.【2014·山东卷（文5）】已知实数满足，则下列关系式恒成立的是
(A) (B)
(C) (D)
【答案】A
16.【2014·山东卷（文6）】已知函数的图象如右图，则下列结论成立的是
(A) (B)
(C) (D)
【答案】D
17.【2014·山东卷（文9）】对于函数，若存在常数，使得
取定义域内的每一个值，都有，则称为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是
(A) (B)
(C) (D)
【答案】D
18.【2014·山东卷（理6）】直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为
（A）（B）（C）2（D）4
19.【2014·山东卷（理8）】已知函数，，若有两个不相等的实根，则实数的取值范围是
（A）（B）（C）（D）
20.【2014·安徽卷（理6）】设函数满足.当时，，则( )
A.B.C.D.
【解析】⑴由条件知：，故选A；
21.【2014·安徽卷（文、理9）】若函数的最小值3，则实数的值为（ ）
A.或B.或C.或D.或
【答案】D.
22.【2014·安徽卷（文5）】设，，，则（ ）
A.B.C.D.
【答案】B
23.【2014·浙江卷（理6，文8）】已知函数且，则（ ）
A. B. C. D.
24.【2014·浙江卷（理7，文8）】在同意直角坐标系中，函数的图像可能是（ ）
25.【2014·浙江卷（理10）】设函数，，，记，则
A. B. C. D.
26.【2014·北京卷（理2）】下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）
27.【2014·北京卷（文2）】下列函数中，定义域是且为增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B。
28.【2014·北京卷（文6）】已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
29.【2014·天津卷（理4）】函数的单调递增区间是（ ）
A．B.C. D.
【答案】D.
【解析】函数的定义域为。由于在上单调递减，而在区间上单调递减，故为函数的单调递增区间，选D.
30.【2014·天津卷（文4）】设，，，则（ ）
（A）（B）（C）（D）
【解析】因为，，，所以，选C.
31.【2014·福建卷（理4，文8）】若函数的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（ ）
【答案】B
32.【2014·福建卷（理7，文8）】已知函数则下列结论正确的是（ ）
A. 是偶函数 B. 是增函数 C.是周期函数 D.的值域为
【答案】D
33.【2014·辽宁卷（理3，文3）】已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
34.【2014·辽宁卷（理11）】当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
35.【2014·辽宁卷（理12）】已知定义在上的函数满足：①；
②对所有，且，有.
若对所有，，则k的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
36.【2014·辽宁卷（文10）】已知为偶函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
37.【2014·陕西卷（理3）】定积分的值为（ ）
【答案】C
【解析】，选C。
38.【2014·陕西卷（文、理7）】下列函数中，满足“”的单调递增函数是（ ）
（A） （B） （C）（D）
【答案】D
【解析】
39.【2014·陕西卷（理10）】如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点的水平距离10千米处下降， 已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为（ ）
（A） （B）
（C）（D）
【答案】A
【解析】三次奇函数过点，且为极值点，即，对而言，由于，，，符合题意。
40.【2014·陕西卷（文10）】如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）.已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（ ）
A.B.
C.D.
【答案】A.
【解析】三次函数图象过点，且，，设，则，从而解得，则函数式为，故选A.
41.【2014·湖南卷（理3）】已知分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且＝
A．－3 B．－1 C．1 D．3
42.【2014·湖南卷（文4）】下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）
【答案】A
43.【2014·湖南卷（理10）】已知函数的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题可得存在满足
,当取决于负无穷小时,趋近于,因为函数在定义域内是单调递增的,所以,故选B.
【考点定位】指对数函数 方程
44.【2014·湖南卷（文9）】若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
45【2014·江西卷（理2）】函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
46.【2014·江西卷（理3）】已知函数，，若，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. -1
【答案】A
47.【2014·江西卷（文4）】已知函数，若，则（ ）
【答案】A
48.【2014·江西卷（理8）】若则（ ）
A. B. C. D.1
【答案】B
49.【2014·江西卷（文10）】在同意直角坐标系中，函数与的图像不可能的是（ ）
【答案】B
50.【2014·湖北卷（理6）】若函数满足，则称为区间上的一组正交函数，给出三组函数：①；②；③。其中为区间的正交函数的组数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】C
51.【2014·湖北卷（理10）】已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当时，若则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
52.【2014·湖北卷（文9）】已知是定义在上的奇函数，当时，. 则函数的零点的集合为
A. B.
C. D.
【答案】D
53.【2014·四川卷（理9）】已知，。现有下列命题：
①；②；③。其中的所有正确命题的序号是
A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②
【答案】B
54.【2014·四川卷（文7）】已知，，，，则下列等式一定成立的是（ ）
A、B、C、D、
【答案】B
55.【2014·重庆卷（文4）】下列函数为偶函数的是（）
【答案】D
56.【2014·重庆卷（文9）】若的最小值是（）
A. B. C. D.
【答案】D
57.【2014·重庆卷（文10）】已知函数，且在内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
58.【2014·广东卷（文5）】下列函数为奇函数的是
【答案】A
二、填空题
59.【2014·全国卷Ⅰ（文15）】设函数则使得成立的的取值范围是________.
【答案】
60.【2014·全国卷Ⅱ（理15）】已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】偶函数在区间上单减，且，则，解得
61.【2014·全国卷Ⅱ（文15）】已知函数的图像关于直线=2对称，=3，则_______.
62.【2014·山东卷（理15）】已知函数.对函数，定义关于的“对称函数”为，满足：对任意，两个点，关于点对称.若是关于的“对称函数”，且恒成立，则实数的取值范围是 .
63.【2014·江苏卷（10）】已知函数若对于任意,都有成立,则实数的取值范围是.
64.【2014·江苏卷（13）】已知是定义在R上且周期为3的函数,当时,.若函数在区间上有10个零点(互不相同),则实数的取值范围是▲.
65.【2014·安徽卷（文11）】________.
【答案】
66.【2014·安徽卷（文14）】若函数是周期为的奇函数，且在上的解析式为，则 ___.
【答案】
67.【2014·安徽卷（文15）】若直线与曲线满足下列两个条件：
直线在点处与曲线相切；曲线在附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线.
下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号) .
①直线：在点处“切过”曲线：；
②直线：在点处“切过”曲线：；
③直线：在点处“切过”曲线：；
④直线：在点处“切过”曲线：，
⑤直线：在点处“切过”曲线：
【答案】①③④
68.【2014·浙江卷（理15）】设函数若，则实数的取值范围是______
【解析】不等式可化为或，解得，即
，或
69.【2014·浙江卷（文15）】设函数，若，则.
70.【2014·浙江卷（文16）】已知实数、、满足，，则的最大值为为_______.
71.【2014·天津卷（文12）】函数的单调递减区间值是________.
【解析】由复合函数的单调性知，的单调递减区间是.
72.【2014·天津卷（理14）】已知函数，.若方程
恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为__________.
【答案】或
【解析】显然.
（ⅰ）当与相切时，，此时恰有3个互异的实数根.
（ⅱ）当直线与函数相切时，，此时恰有2个互异的实数根.
结合图象可知或.
解2：显然，所以.
令，则.
因为，
所以.
结合图象可得或.
73.【2014·福建卷（文15）】函数的零点个数是_________
【答案】2
74.【2014·陕西卷（理11，文12）】已知则=________.
【答案】
【解析】
75.【2014·陕西卷（文14）】已知f（x）=，x≥0, f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)),nN+, 则f2014(x)的表达式为__________.
【答案】
【解析】，由于，则，
，…，归纳得。
76.【2014·湖南卷（文15）】若是偶函数，则____________.
【答案】
77.【2014·江西卷（文11）】若曲线处的切线平行于直线的坐标是_______.
【答案】
78.【2014·江西卷（理13）】若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标是________.
【答案】（-ln2,2）
79.【2014·湖北卷（理14）】设是定义在上的函数，且，对任意，若经过点的直线与轴的交点为，则称为关于函数的平均数，记为，例如，当时，可得，即为的算术平均数.
（1） 当时，为的几何平均数；
（2） 当时，为的调和平均数；
（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）
【答案】；x 或；
80.【2014·湖北卷（文15）】如图所示，函数的图象由两条射线和三条线段组成．
第15题图
若，，则正实数的取值范围为．
【答案】
81.【2014·四川卷（理12，文13）】设是定义在R上的周期为2的函数，当时，，则。
【答案】
82.【2014·四川卷（理15，文15）】以表示值域为R的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间。例如，当，时，，。现有如下命题：
①设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，，”；
②函数的充要条件是有最大值和最小值；
③若函数，的定义域相同，且，，则；
④若函数（，）有最大值，则。
其中的真命题有。（写出所有真命题的序号）
【答案】①③④
83.【2014·重庆卷（理12）】.函数的最小值为_________.
【答案】
84.【2014·重庆卷（理16）】若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是____________.
【答案】
85.【2014·广东卷（理11）】曲线在点处的切线方程为。
【答案】
86.【2014·广东卷（文11）】曲线在点处的切线方程为.
【答案】
三、解答题
87.【2014·全国卷Ⅰ（理21）】(本小题满分12分)设函数，曲线在点（1，处的切线为. (Ⅰ)求； （Ⅱ）证明：.
【解析】……5分
……8分
……12分
88.【2014·全国卷Ⅰ（文21）】设函数，曲线处的切线斜率为0
(Ⅰ)求b；
(Ⅱ)若存在使得，求a的取值范围。
【解析】，
由题设知，解得.……4分
（II）的定义域为，由（1）知，，
（ⅰ）若，则，故当时，，在单调递增，
所以，存在，使得的充要条件为，即，
解得.
（ii）若，则，故当时，；
当时，，在单调递减，在单调递增.
所以，存在，使得的充要条件为，
而，所以不合题意.
（iii）若，则.
综上，a的取值范围是.
……12分
89.【2014·全国卷Ⅱ（理21）】已知函数=
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设，当时，,求的最大值；
（Ⅲ）已知，估计ln2的近似值（精确到0.001）
【解析】
（1）
（2）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，.
当b=2时，＞0；＞＞0.6928；
当时，，
=＜0，
＜＜0.6934
所以的近似值为0.693.
90.【2014·全国卷Ⅱ（文21）】已知函数，曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为.
（1） 求；
（2） 证明：当时，曲线与直线只有一个交点.
【解析】（I）=，.
曲线在点（0,2）处的切线方程为。
由题设得，所以a=1.
（Ⅱ）由（I）知，
设
由题设知.
当≤0时，，单调递增，
，所以=0在有唯一实根。
当时，令，则。
，在单调递减，在单调递增，所以
所以在没有实根.
综上，=0在R有唯一实根，即曲线与直线只有一个交点。
91.【2014·全国大纲卷（理22）】（本小题满分12分）函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，证明：.
【解析】（I）的定义域为．
（i）当时，若，则在上是增函数；若则在上是减函数；若则在上是增函数．
（ii）当时,成立当且仅当在上是增函数．
（iii）当时，若，则在是上是增函数；若，则在上是减函数；若，则在上是增函数．
（II）由（I）知，当时，在是增函数．当时，，即．又由（I）知，当时，在上是减函数；当时，，即．下面用数学归纳法证明．
（i）当时，由已知，故结论成立；
（ii）假设当时结论成立，即．当时，
，即当时有，结论成立．根据（i）、（ii）知对任何结论都成立．
92.【2014·全国大纲卷（文21）】函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若函数f(x)在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围.
【解析】（1），的判别式△=36（1-a）.
（i）若a≥1，则，且当且仅当a=1，x=-1，故此时f（x）在R上是增函数.
（ii）由于a≠0，故当a<1时，有两个根：，
若0
0，x>0时,，所以当a>0时，f（x）在区间（1，2）是增函数.
若a<0时，f（x）在区间（1,2）是增函数当且仅当且，解得.
综上，a的取值范围是.
93.【2014·山东卷（理20）】设函数（为常数，是自然对数的底数）.
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围.
【解析】（1），
当时，，
令，得，函数在上单调递减，在上单调递增；
（2）令，则，
令，得。
由于，，
综上知的取值范围是。
94.【2014·山东卷（文20）】（本小题满分13分）设函数，其中为常数.
（Ｉ）若，求曲线在点处的切线方程；
（II）讨论函数的单调性.
【解析】⑴由题意知时，.
此时，可得。
所以在 处的切线方程为
⑵函数的定义域为.
。
当，，函数在上单调递增；
当时，令。
由于，
①当时，，，函数在上单调递减；
②当时，，，则，函数在上单调递减；
③当时，，设是函数的两个零点，
则，，
由。
所以 时，，，函数单调递减；
时， ，函数单调递增；
时，，函数单调递减。
综上所述：
当时，函数在（0，+）上单调递增加；
当时，函数在（0，+）上单调递减；
当时，在,上单调递减，
在上单调递增。
95.【2014·江苏卷（19）】(本小题满分16分)已知函数,其中e是自然对数的底数.
(1)证明:是R上的偶函数；
(2)若关于的不等式≤在上恒成立，求实数的取值范围；
(3)已知正数满足：存在，使得成立.试比较与的大小，并证明你的结论.
【解析】本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基础知识，考查综合运用数学思想
方法分析与解决问题的能力.满分16分.
（1），，∴是上的偶函数
（2）由题意，，即
∵，∴，即对恒成立
令，则对任意恒成立
∵，当且仅当时等号成立
∴
（3），当时，∴在上单调增
令，
∵，∴，即在上单调减
∵存在，使得，∴，即
∵
设，则
当时，，单调增；
当时，，单调减
因此至多有两个零点，而
∴当时，，；
当时，，；
当时，，．
96.【2014·安徽卷（理19，文20）】（本小题满分13分）设函数，其中.
(Ⅰ)讨论在其定义域上的单调性；
(Ⅱ)当时，求取得最大值和最小值时的的值.
【解析】（Ⅰ）的定义域为，
令得
所以
当或时；当时
故在和内单调递减，在内单调递增。
（Ⅱ）∵，∴
（1）当时，由（Ⅰ）知在上单调递增
∴在和处分别取得最小值和最大值。
（2）当时，，
由（Ⅰ）知在上单调递增，在上单调递减
∴在处取得最大值
又
∴当时在处取得最小值
当时在和处同时取得最小值
当时，在取得最小值。
97.【2014·浙江卷（理20）】已知函数
(Ⅰ)若在上的最大值和最小值分别记为，求
(Ⅱ)设，若对恒成立，求得取值范围.
(2)
98.【2014·浙江卷（文21）】已知函数，若在上的最小值记为.
（1）求；
（2）证明：当时，恒有.
【解析】本题主要考查函数最大（最小）值的概念 、利用导数研究函数的单调性等基础知识，同时考查推理论证、分类讨论、分析问题和解决问题等综合解题能力。满分15分。
（1）因为，
①当时，
若，则，，故在上是减函数；
若，则，，故在上是增函数；
所以，.
②当，则，，，故在上是减函数，
所以，
综上所述，.
（2）令，
①当时，，
若，得，所以在上是增函数，所以在上的最大值是，且，所以，
故.
若，，则，所以在上是减函数，
所以在上的最大值是，
令，则，
所以在上是增函数，所以即，
故，
②当时，，所以，得，
此时在上是减函数，因此在上的最大值是，
故，综上所述，当时恒有.
99.【2014·北京卷（理18，文8）】已知函数，
（1）求证：；
（2）若在上恒成立，求的最大值与的最小值.
【解析】（I）由得
。
因为在区间上，所以在区间上单调递减。
从而。
（Ⅱ）当时，“”等价于“”“”等价于“”。
令，则，
当时，对任意恒成立。
当时，因为对任意，，所以在区间上单调递减。从而对任意恒成立。
当时，存在唯一的使得。
与在区间上的情况如下：
→
0
→
↗
↘
因为在区间上是增函数，所以。进一步，“对
任意恒成立”当且仅当，即，
综上所述，当且仅当时，对任意恒成立；当且仅当时，
对任意恒成立。
所以，若对任意恒成立，则a最大值为，b的最小值为1.
100.【2014·北京卷（文20）】已知函数.
（1）求在区间上的最大值；
（2）若过点存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围；
（3）问过点分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）
（I）由得，令，得或，
因为，，，，
所以在区间上的最大值为.
（II）设过点P（1，t）的直线与曲线相切于点，则
，且切线斜率为，所以切线方程为，
因此，整理得：，
设，则“过点存在3条直线与曲线相切”等价于“有3个不同零点”，=，
与的情况如下：
0
1
+
0
0
+
t+3
所以，是的极大值，是的极小值，
当，即时，此时在区间和上分别至多有1个零点，所以
至多有2个零点，
当，时，此时在区间和上分别至多有1个零点，所以
至多有2个零点.
当且，即时，因为，，
所以分别为区间和上恰有1个零点，由于在区间和上单调，所以分别在区间和上恰有1个零点.
综上可知，当过点存在3条直线与曲线相切时，t的取值范围是.
（III）过点A（-1，2）存在3条直线与曲线相切；
过点B（2，10）存在2条直线与曲线相切；
过点C（0，2）存在1条直线与曲线相切.
101.【2014·天津卷（理20）】已知函数，.已知函数有两个零点，且.
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）证明随着的减小而增大；
（Ⅲ）证明 随着的减小而增大.
【解析】本小题主要考查函数的零点、导数的运算、利用导数研究函数的性质等基础知识和方法
. 考查函数思想、化归思想. 考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力. 满分14分.
（Ⅰ）解：由，可得.
下面分两种情况讨论：
（1）时
在上恒成立，可得在上单调递增，不合题意.
（2）时，
由，得.
当变化时，，的变化情况如下表：
＋
0
－
↗
↘
这时，的单调递增区间是；单调递减区间是.
于是，“函数有两个零点”等价于如下条件同时成立：
1°；2°存在，满足；
3°存在，满足.
由，即，解得，而此时，取，满足，且；取，满足，且.
所以，的取值范围是.
（Ⅱ）证明：由，有.
设，由，知在上单调递增，在上单调递减. 并且，当时，；当时，.
由已知，满足，. 由，及的单调性，可得，.
对于任意的，设，，其中；，其中.
因为在上单调递增，故由，即，可得；类似可得.
又由，得.
所以，随着的减小而增大.
（Ⅲ）证明：由，，可得，.
故.
设，则，且解得，.所以，
. ①
令，，则.
令，得.
当时，.因此，在上单调递增，故对于任意的，，由此可得，故在上单调递增.
因此，由①可得随着的增大而增大.
而由（Ⅱ），随着的减小而增大，所以随着的减小而增大.
102.【2014·天津卷（文19）】已知函数，.
（Ⅰ）求的单调区间和极值；
（Ⅱ）若对于任意的，都存在，使得.求的取值范围.
（Ⅰ）解：因为，所以.
令得或.
因为当或时，单调递减，当时，单调递增，
所以，.
（Ⅱ）解：因为，所以.
103.【2014·福建卷（理20）】已知函数（为常数）的图像与轴交于点，曲线在点处
的切线斜率为-1.
（I）求的值及函数的极值；
（II）证明：当时，；
（III）证明：对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有.
【解析】本小题主要考查导数的运算及导数的应用、全称量词等基础知识的考查运用，考查抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想等。 满分14分。
解法一：（I）由，得.又,得.所以.令,得.当时,单调递减;当时,单调递增.所以当时,取得极小值,且极小值为无极大值.
（II）令,则.由（I）得,故在R上单调递增,又,因此,当时,,即.
（III）①若,则.又由（II）知，当时,.所以当时,.取
,当时，恒有.
②若,令,要使不等式成立，只要成立.而要使成立，则只要,只要成立.令,则.所以当时,在内单调递增.取,所以在内单调递增.又.易知.所以.即存在,当时，恒有.
综上，对任意给定的正数c，总存在,当时,恒有.
解法二：（I）同解法一；
（II）同解法一
（III）对任意给定的正数c，取
由（II）知，当x>0时，，所以
当时，
因此，对任意给定的正数c，总存在,当时,恒有.
104.【2014·福建卷（文20）】已知函数（为常数）的图像与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为.
（Ⅰ）求的值及函数的极值；
（Ⅱ）证明：当时，
（Ⅲ）证明：对任意给定的正数c，总存在，使得当时，恒有
【解析】解法一：
（1）由，得.
又，得.
所以，.
令，得.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以当时，有极小值，
且极小值为，
无极大值.
（2）令，则.
由（1）得，，即.
所以在R上单调递增，又，
所以当时，，即.
（3）对任意给定的正数c，取，
由（2）知，当时，.
所以当时，，即.
因此，对任意给定的正数c，总存在，当时，恒有.
解法二：（1）同解法一.
（2）同解法一.
（3）令，要使不等式成立，只要成立.
而要使成立，则只需，即成立.
①若，则，易知当时，成立.
即对任意，取，当时，恒有.
②若，令，则，
所以当时，，在内单调递增.
取，
，
易知，，所以.
因此对任意，取，当时，恒有.
综上，对任意给定的正数c，总存在，当时，恒有.
解法三：（1）同解法一.
（2）同解法一.
（3）①若，取，
由（2）的证明过程知，，
所以当时，有，即.
②若，
令，则，
令得.
当时，，单调递增.
取，
，
易知，又在内单调递增，
所以当时，恒有，即.
综上，对任意给定的正数c，总存在，当时，恒有.
注：对c的分类可有不同的方式，只要解法正确，均相应给分。
105.【2014·辽宁卷（理21）】已知函数，.
证明：（1）存在唯一，使；
（2）存在唯一，使，且对（1）中的.
（Ⅰ）当时，，函数在上为减函数，又，所以存在唯一，使.
（Ⅱ）考虑函数，
令，则时，，
记，则，
由（Ⅰ）得，当时，，当时，.
在上是增函数，又，从而当时，，所以在上无零点.
在上是减函数，由，存在唯一的，使.
所以存在唯一的使.
因此存在唯一的，使.
因为当时，，故与有相同的零点，所以存在唯一的，使.
因，所以
106.【2014·辽宁卷（文8）】已知函数，.
证明：（Ⅰ）存在唯一，使；
（Ⅱ）存在唯一，使，且对（1）中的x0，有.
（Ⅰ）当时，，所以在上为增函数．又．．所以存在唯一，使．
（Ⅱ）当时，化简得．令．记
．．则．由（Ⅰ）得，当时，；当时，．从而在上为增函数，由知，当时，，所以在上无零点．在上为减函数，由及知存在唯一，使得．于是存在唯一，使得．设．
．因此存在唯一的，使得．由于，，所以．
107【2014·陕西卷（理21）】设函数，其中是的导函数.
（1） ，求的表达式；
（2） 若恒成立，求实数的取值范围；
（3）设，比较与的大小，并加以证明.
【解析】，，
（1）
，，，，即，当且仅当时取等号
当时，
当时，
，，即
数列是以为首项，以1为公差的等差数列
，
当时，，
（2）在范围内恒成立，等价于成立
令，即恒成立，
令，即，得
当即时，在上单调递增，
所以当时，在上恒成立；
当即时，在上单调递增，在上单调递减，
所以
设，
因为，所以，即，所以函数在上单调递减
所以，即，所以不恒成立
综上所述，实数的取值范围为；
（3）由题设知：，
比较结果为：
证明如下：上述不等式等价于
在（2）中取，可得
令，则，即
故有
上述各式相加可得：
结论得证.
108.【2014·陕西（文21）】设函数.
（1）当（为自然对数的底数）时，求的最小值；
（2）讨论函数零点的个数；
（3）若对任意恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）由题设，当时，
易得函数的定义域为
当时，，此时在上单调递减；
当时，，此时在上单调递增；
当时，取得极小值
的极小值为2
(2)函数
令，得
设
当时，，此时在上单调递增；
当时，，此时在上单调递减；
所以是的唯一极值点，且是极大值点，因此x=1也是的最大值点，
的最大值为
又，结合y=的图像（如图），可知
① 当时，函数无零点；
②当时，函数有且仅有一个零点；
③当时，函数有两个零点；
④时，函数有且只有一个零点；
综上所述，当时，函数无零点；当或时，函数有且仅有一个零点；当时，函数有两个零点.
（2） 对任意恒成立，等价于恒成立
设，在上单调递减
在恒成立
恒成立
（对，仅在时成立），的取值范围是
109.【2014·湖南卷（理22）】已知常数
（1）讨论在区间上的单调性；
（2）若存在两个极值点且求的取值范围．
【解析】（I）=
当1时，，此时在区间上单调递增。
当0＜a＜1时，由得（舍去）
当时，；当时，
故在区间上单调递增，在区间上单调递增。
综上所述
当时，在区间（0，）上单调递增；
当0＜＜1时，在区间（0，）上单调递减，在区间（，）上单调递增
（II）由（）式知。当，，此时不存在极值点，因而要使得有两个极值点，必有0＜＜1。又的极值点只可能是和，且由的定义可知，＞且—2，所以＞。
—2，解得。此时，由（）式易知，，分别是的极小值点和极大值点，而=（）-+（1+）-
=-
=—=+
令2-1=x,由0＜＜1且知
当0＜＜时,-1＜x＜0; 当＜＜1时。0＜x＜1
记（x）=ln+-2
(i) 当-1＜x＜0时，（x）=2ln(-x)+-2，所以
（x）=-=＜0
因此，（x）在区间（-1,0）上单调递减，从而（x）＜（-1）=-4＜0，故当0＜＜时，；
（ii）当0＜x＜1时，（x）=2lnx+-2,所以，
因此（x）在区间（0,1）上单调递减，从而（x）＞（1）=0.故当＜＜1时，
综上所述。满足条件的a的取值范围为（，1）
110【2014·湖南卷（文21）】已知函数.
（1） 求的单调区间；
（2）记为的从小到大的第个零点，证明：对一切，有
（I）数求导可得,令可得
,当时,.此时;
当时,,此时,
故函数的单调递减区间为,
单调递增区间为.
(II)由(1)可知函数在区间上单调递减,又,所以,
当时,因为,且函数的图像是连续不断的,所以在区间内至少存在一个零点,又在区间上是单调的,故,因此,
当时,;
当时,;
当时,
,
综上所述,对一切的,.
111【2014·江西卷（理18）】已知函数.
（1）当时，求的极值；
(2)若在区间上单调递增，求b的取值范围.
【解析】（1）当时，由得或
当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，故在取极小值，在取极大值4.
（2）因为当时,
依题意当时，有，从而
所以b的取值范围为
112.【2014·江西卷（文18）】已知函数，其中.
（1）当时，求的单调递增区间;
（2）若在区间上的最小值为8，求的值.
当时，由，得或，由得或，
故函数f（x）的单调递增区间为和
（2）因为，a<0，由 得或，当时，单调递增，时，单调递减，当时，单调递增，易知=（2x+a）2，且
当时，即-2a<0时，在上的最小值为，由=4+4a+a2=8，得a=均不符合题意
当时，即，在上的最小值为不符合题意
当时，即，在上的最小值可能在x=1或x=4上取得，而由得或(舍去)，当时，在上单调递减，
在上的最小值为符合题意。综上有，a=-10
113.【2014·湖北卷（理22，文8（Ⅰ）、（Ⅱ））】为圆周率，为自然对数的底数.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）求，，，，，这6个数中的最大数与最小数.
（Ⅲ）将，，，，，这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论。
（I）函数的定义域为，因为，所以，
当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减；
故函数的单调增区间为，单调减区间为.
（II）因为，所以，，即，，
于是根据函数、、在定义域上单调递增，
所以，，
故这6个数的最大数在与之中，最小数在与之中，
由及（I）的结论得，即，
由得，所以，
由得，所以，
综上，6个数中的最大数为，最小数为.
（III）由（II）知，，，又由（II）知，，
故只需比较与和与的大小，
由（I）知，当时，，即，
在上式中，令，又，则，即得①
由①得，，
即，亦即，所以，
又由①得，，即，所以，
综上所述，，即6个数从小到大的顺序为，，，，，.
114.【2014·四川卷（理21）】已知函数，其中，为自然对数的底数。
（1）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；
（2）若，函数在区间内有零点，求的取值范围
解：（1）因为 所以 又
因为， 所以：
①若，则，，
所以函数在区间上单增，
②若，则，
于是当时，当时，
所以函数在区间上单减，在区间上单增，
③若，则，
所以函数在区间上单减，
综上：在区间上的最小值为
（2）由，又
若函数在区间内有零点，则函数在区间内至少有三个单调区间
由（1）知当或时，函数即在区间上单调，不可能满足“函数在区间内至少有三个单调区间”这一要求。
若，则
令（）
则。由
所以在区间上单增，在区间上单减
即恒成立
于是，函数在区间内至少有三个单调区间
又 所以
综上，的取值范围为
115.【2014·四川卷（文21）】已知函数，其中，为自然对数的底数。
（Ⅰ）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；
（Ⅱ）若，函数在区间内有零点，证明：。
【解析】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想，并考查思维的严谨性.
（Ⅰ）
①当时，，所以.
②当时，由得.
若，则；若，则.
所以当时，在上单调递增，所以.
当时，在上单调递减，在上单调递增，所以.
当时，在上单调递减，所以.
（Ⅱ）设为在区间内的一个零点，则由可知，
在区间上不可能单调递增，也不可能单调递减.
则不可能恒为正，也不可能恒为负.故在区间内存在零点.
同理在区间内存在零点.
所以在区间内至少有两个零点.
由（Ⅰ）知，当时，在上单调递增，故在内至多有一个零点.
当时，在上单调递减，故在内至多有一个零点.
所以.
此时，在上单调递减，在上单调递增，因此，必有.
由得：，有
.
解得.
所以，函数在区间内有零点时，.
116.【2014·重庆卷（理20）】已知函数的导函数
为偶函数，且曲线在点处的切线的斜率为.
（1）确定的值；
（2）若，判断的单调性；
（3）若有极值，求的取值范围.
【解析】（Ⅰ）对求导得，由为偶函数，知，
即，因，所以
又，故.
（Ⅱ）当时，，那么
故在上为增函数.
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，而，当时等号成立.
下面分三种情况进行讨论.
当时，对任意，此时无极值；
当时，对任意，此时无极值；
当时，令，注意到方程有两根，
即有两个根或.
当时，；又当时，从而在处取得极小值.
综上，若有极值，则的取值范围为.
117.【2014·重庆卷（文19）】已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于
（1）求的值；
（2）求函数的单调区间和极值。
【解析】（Ⅰ）对求导得，由在点处切线垂直于直线知解得；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则
令，解得或.因不在的定义域内，故舍去.
当时，故在内为减函数；
当时，故在内为增函数；
由此知函数在时取得极小值.
118.【2014·广东卷（理21）】设函数，其中。
（1）求函数的定义域D（用区间表示）；
（2）讨论函数在D上的单调性；
（3）若，求D上满足条件的的集合（用区间表示）。
【解析】解：（１）可知，
，
或，
或，
或，
或或，
所以函数的定义域D为
；
（２），
由得，即，
或，结合定义域知或，
所以函数的单调递增区间为，，
同理递减区间为，；
（３）由得，
，
，
，
或或或，
，，，
，，
结合函数的单调性知的解集为．
119．【2014·广东卷（文21）】已知函数.
（1）求函数的单调区间;
（2）当时,试讨论是否存在,使得.
