2012年重庆市高考数学试卷(文科)答案与解析

2012年重庆市高考数学试卷(文科)答案与解析

‎2012年重庆市高考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1．（5分）（2012•重庆）命题“若p则q”的逆命题是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 若q则p B．‎ 若￢p则￢q C．‎ 若￢q则￢p D．‎ 若p则￢q 考点：‎ 四种命题．菁优网版权所有 专题：‎ 简易逻辑．‎ 分析：‎ 将原命题的条件与结论互换，可得逆命题，从而可得 解答：‎ 解：将原命题的条件与结论互换，可得逆命题，‎ 则命题“若p则q”的逆命题是若q则p．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了命题与逆命题的相互关系的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2012•重庆）不等式＜0的解集为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎（1，+∞）‎ B．‎ ‎（﹣∞，﹣2）‎ C．‎ ‎（﹣2，1）‎ D．‎ ‎（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）‎ 考点：‎ 其他不等式的解法．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 直接转化分式不等式为二次不等式求解即可．‎ 解答：‎ 解：不等式＜0等价于（x﹣1）（x+2）＜0，所以表达式的解集为：{x|﹣2＜x＜1}．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查分式不等式的求法，考查转化思想计算能力．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2012•重庆）设A，B为直线y=x与圆x2+y2=1的两个交点，则|AB|=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎2‎ 考点：‎ 直线与圆相交的性质．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 由圆的方程找出圆心坐标和半径r，根据圆心在直线y=x上，得到AB为圆的直径，根据直径等于半径的2倍，可得出|AB|的长．‎ 解答：‎ 解：由圆x2+y2=1，得到圆心坐标为（0，0），半径r=1，‎ ‎∵圆心（0，0）在直线y=x上，‎ ‎∴弦AB为圆O的直径，‎ 则|AB|=2r=2．‎ 故选D 点评：‎ 此题考查了直线与圆相交的性质，以及圆的标准方程，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2012•重庆）（1﹣3x）5的展开式中x3的系数为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣270‎ B．‎ ‎﹣90‎ C．‎ ‎90‎ D．‎ ‎270‎ 考点：‎ 二项式系数的性质．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 由（1﹣3x）5的展开式的通项公式Tr+1=•（﹣3x）r，令r=3即可求得x3的系数．‎ 解答：‎ 解：设（1﹣3x）5的展开式的通项公式为Tr+1，‎ 则Tr+1=•（﹣3x）r，‎ 令r=3，得x3的系数为：‎ ‎（﹣3）3•=﹣27×10=﹣270．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查二项式系数的性质，着重考查二项式（1﹣3x）5的展开式的通项公式的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2012•重庆）=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣‎ B．‎ ‎﹣‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 两角和与差的正弦函数．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 将原式分子第一项中的度数47°=17°+30°，然后利用两角和与差的正弦函数公式化简后，合并约分后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．‎ 解答：‎ 解：‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=sin30°=．‎ 故选C 点评：‎ 此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2012•重庆）设x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则|+|=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ ‎2‎ D．‎ ‎10‎ 考点：‎ 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 通过向量的垂直，求出向量，推出，然后求出模．‎ 解答：‎ 解：因为x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，‎ 所以x﹣2=0，所以=（2，1），‎ 所以=（3，﹣1），‎ 所以|+|=，‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查向量的基本运算，模的求法，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2012•重庆）已知a=log23+log2，b=，c=log32则a，b，c的大小关系是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ a=b＜c B．‎ a=b＞c C．‎ a＜b＜c D．‎ a＞b＞c 考点：‎ 不等式比较大小．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 利用对数的运算性质可求得a=log23，b=log23＞1，而0＜c=log32＜1，从而可得答案．‎ 解答：‎ 解：∵a=log23+log2=log23，b===＞1，‎ ‎∴a=b＞1，又0＜c=log32＜1，‎ ‎∴a=b＞c．‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 本题考查不等式比较大小，掌握对数的运算性质既对数函数的性质是解决问题之关键，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2012•重庆）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 专题：‎ 证明题．‎ 分析：‎ 利用函数极小值的意义，可知函数f（x）在x=﹣2左侧附近为减函数，在x=﹣2右侧附近为增函数，从而可判断当x＜0时，函数y=xf′（x）的函数值的正负，从而做出正确选择．‎ 解答：‎ 解：∵函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，‎ ‎∴f′（﹣2）=0，‎ 且函数f（x）在x=﹣2左侧附近为减函数，在x=﹣2右侧附近为增函数，‎ 即当x＜﹣2时，f′（x）＜0，当x＞﹣2时，f′（x）＞0，‎ 从而当x＜﹣2时，y=xf′（x）＞0，当﹣2＜x＜0时，y=xf′（x）＜0，‎ 对照选项可知只有C符合题意．‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 本题主要考查了导函数与原函数图象间的关系，函数极值的意义及其与导数的关系，筛选法解图象选择题，属基础题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2012•重庆）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎（0，）‎ B．‎ ‎（0，）‎ C．‎ ‎（1，）‎ D．‎ ‎（1，）‎ 考点：‎ 异面直线的判定；棱锥的结构特征．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 先在三角形BCD中求出a的范围，再在三角形AED中求出a的范围，二者相结合即可得到答案．‎ 解答：‎ 解：设四面体的底面是BCD，BC=a，BD=CD=1，顶点为A，AD=‎ 在三角形BCD中，因为两边之和大于第三边可得：0＜a＜2 （1）‎ 取BC中点E，∵E是中点，直角三角形ACE全等于直角DCE，‎ 所以在三角形AED中，AE=ED=‎ ‎∵两边之和大于第三边 ‎∴＜2 得0＜a＜ （负值0值舍）（2）‎ 由（1）（2）得0＜a＜．‎ 故选：A．‎ 点评：‎ 本题主要考察三角形三边关系以及异面直线的位置．解决本题的关键在于利用三角形两边之和大于第三边这一结论．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2012•重庆）设函数f（x）=x2﹣4x+3，g（x）=3x﹣2，集合M={x∈R|f（g（x））＞0}，N={x∈R|g（x）＜2}，则M∩N为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎（1，﹢∞）‎ B．‎ ‎（0，1）‎ C．‎ ‎（﹣1，1）‎ D．‎ ‎（﹣∞，1）‎ 考点：‎ 指、对数不等式的解法；交集及其运算；一元二次不等式的解法．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 利用已知求出集合M中g（x）的范围，结合集合N，求出g（x）的范围，然后求解即可．‎ 解答：‎ 解：因为集合M={x∈R|f（g（x））＞0}，所以（g（x））2﹣4g（x）+3＞0，‎ 解得g（x）＞3，或g（x）＜1．‎ 因为N={x∈R|g（x）＜2}，M∩N={x|g（x）＜1}．‎ 即3x﹣2＜1，解得x＜1．‎ 所以M∩N={x|x＜1}．‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 本题考查集合的求法，交集的运算，考查指、对数不等式的解法，交集及其运算，一元二次不等式的解法，考查计算能力．‎ ‎　‎ 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）‎ ‎11．（5分）（2012•重庆）首项为1，公比为2的等比数列的前4项和S4=　15　．‎ 考点：‎ 等比数列的前n项和．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 把已知的条件直接代入等比数列的前n项和公式，运算求得结果．‎ 解答：‎ 解：首项为1，公比为2的等比数列的前4项和S4==15，‎ 故答案为 15．‎ 点评：‎ 本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2012•重庆）若f（x）=（x+a）（x﹣4）为偶函数，则实数a=　4　．‎ 考点：‎ 函数奇偶性的性质．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 由题意可得，f（﹣x）=f（x）对于任意的x都成立，代入整理可得（a﹣4）x=0对于任意的x都成立，从而可求a 解答：‎ 解：∵f（x）=（x+a）（x﹣4）为偶函数 ‎∴f（﹣x）=f（x）对于任意的x都成立 即（x+a）（x﹣4）=（﹣x+a）（﹣x﹣4）‎ ‎∴x2+（a﹣4）x﹣4a=x2+（4﹣a）x﹣4a ‎∴（a﹣4）x=0‎ ‎∴a=4‎ 故答案为：4．‎ 点评：‎ 本题主要考查了偶函数的定义的应用，属于基础试题 ‎　‎ ‎13．（5分）（2012•重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，b=2，cosC=，则sinB=　　．‎ 考点：‎ 余弦定理；同角三角函数间的基本关系．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 由C为三角形的内角，及cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，再由a与b的值，利用余弦定理列出关于c的方程，求出方程的解得到c的值，再由sinC，c及b的值，利用正弦定理即可求出sinB的值．‎ 解答：‎ 解：∵C为三角形的内角，cosC=，‎ ‎∴sinC==，‎ 又a=1，b=2，‎ ‎∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：c2=1+4﹣1=4，‎ 解得：c=2，‎ 又sinC=，c=2，b=2，‎ ‎∴由正弦定理=得：sinB===．‎ 故答案为：‎ 点评：‎ 此题考查了同角三角函数间的基本关系，正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及基本关系是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2012•重庆）设P为直线y=x与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）左支的交点，F1是左焦点，PF1垂直于x轴，则双曲线的离心率e=　　．‎ 考点：‎ 直线与圆锥曲线的关系；双曲线的简单性质．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 设F1（﹣c，0），利用F1是左焦点，PF1垂直于x轴，P为直线y=x上的点，可得（﹣c，）在双曲线﹣=1上，由此可求双曲线的离心率．‎ 解答：‎ 解：设F1（﹣c，0），则 ‎∵F1是左焦点，PF1垂直于x轴，P为直线y=x上的点 ‎∴（﹣c，）在双曲线﹣=1上 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴=‎ 故答案为：‎ 点评：‎ 本题考查双曲线的标准方程与几何性质，考查双曲线的离心率，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）（2012•重庆）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为　　（用数字作答）‎ 考点：‎ 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有 专题：‎ 概率与统计．‎ 分析：‎ 语文、数学、外语三门文化课两两不相邻的排法可分为两步，先把其它三门艺术课排列有种排法，第二步把语文、数学、外语三门文化课插入由那三个隔开的四个空中，有种排法，由此可求得在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率．‎ 解答：‎ 解：语文、数学、外语三门文化课两两不相邻的排法可分为两步，先把其它三门艺术课排列有种排法，第二步把语文、数学、外语三门文化课插入由那三个隔开的四个空中，有种排法，故所有的排法种数为．‎ ‎∴在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为．‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 本题考查概率的求法，解题的关键是根据具体情况选用插空法，属于基础题．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分75分）‎ ‎16．（13分）（2012•重庆）已知{an}为等差数列，且a1+a3=8，a2+a4=12．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式 ‎（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk+2成等比数列，求正整数k的值．‎ 考点：‎ 等比数列的性质；等差数列的通项公式．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）设等差数列{an}的公差等于d，则由题意可得，解得 a1=2，d=2，从而得到{an}的通项公式．‎ ‎（Ⅱ） 由（Ⅰ）可得 {an}的前n项和为Sn ==n（n+1），再由=a1 Sk+2 ，求得正整数k的值．‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差等于d，则由题意可得，解得 a1=2，d=2．‎ ‎∴{an}的通项公式 an =2+（n﹣1）2=2n．‎ ‎（Ⅱ） 由（Ⅰ）可得 {an}的前n项和为Sn ==n（n+1）．‎ ‎∵若a1，ak，Sk+2成等比数列，∴=a1 Sk+2 ，‎ ‎∴4k2 =2（k+2）（k+3），k=6 或k=﹣1（舍去），故 k=6．‎ 点评：‎ 本题主要考查等比数列的定义和性质，等差数列的通项公式，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎17．（13分）（2012•重庆）已知函数f（x）=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c﹣16．‎ ‎（Ⅰ）求a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）有极大值28，求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．‎ 考点：‎ 利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．菁优网版权所有 专题：‎ 综合题；探究型；方程思想；转化思想．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）由题设f（x）=ax3+bx+c，可得f′（x）=3ax2+b，又函数在点x=2处取得极值c﹣16，可得解此方程组即可得出a，b的值；‎ ‎（II）结合（I）判断出f（x）有极大值，利用f（x）有极大值28建立方程求出参数c的值，进而可求出函数f（x）在[﹣3，3]上的极小值与两个端点的函数值，比较这此值得出f（x）在[﹣3，3]上的最小值即可．‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）由题f（x）=ax3+bx+c，可得f′（x）=3ax2+b，又函数在点x=2处取得极值c﹣16‎ ‎∴，即，化简得 解得a=1，b=﹣12‎ ‎（II）由（I）知f（x）=x3﹣12x+c，f′（x）=3x2﹣12=3（x+2）（x﹣2）‎ 令f′（x）=3x2﹣12=3（x+2）（x﹣2）=0，解得x1=﹣2，x2=2‎ 当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0，故f（x）在∈（﹣∞，﹣2）上为增函数；当x∈（﹣2，2）时，f′（x）＜0，故f（x）在（﹣2，2）上为减函数；‎ 当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（2，+∞）上为增函数；‎ 由此可知f（x）在x1=﹣2处取得极大值f（﹣2）=16+c，f（x）在x2=2处取得极小值f（2）=c﹣16，‎ 由题设条件知16+c=28得，c=12‎ 此时f（﹣3）=9+c=21，f（3）=﹣9+c=3，f（2）=﹣16+c=﹣4‎ 因此f（x）在[﹣3，3]上的最小值f（2）=﹣4‎ 点评：‎ 本题考查利用导数求闭区间上函数的最值及利用导数求函数的极值，解第一小题的关键是理解“函数在点x=2处取得极值c﹣16”，将其转化为x=2处的导数为0与函数值为c﹣16两个等量关系，第二小时解题的关键是根据极大值为28建立方程求出参数c的值．本题考查了转化的思想及方程的思想，计算量大，有一定难度，易因为不能正确转化导致无法下手求解及计算错误导致解题失败，做题时要严谨认真，严防出现在失误．此类题是高考的常考题，平时学习时要足够重视．‎ ‎　‎ ‎18．（13分）（2012•重庆）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球三次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．‎ ‎（Ⅰ）求乙获胜的概率；‎ ‎（Ⅱ）求投篮结束时乙只投了2个球的概率．‎ 考点：‎ 相互独立事件的概率乘法公式；概率的基本性质．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）分别求出乙第一次投球获胜的概率、乙第二次投球获胜的概率、乙第三次投球获胜的概率，相加即得所求．‎ ‎（Ⅱ）由于投篮结束时乙只投了2个球，说明第一次投球甲乙都没有投中，第二次投球甲没有投中、乙投中，或第三次投球甲投中了，把这两种情况的概率相加，即得所求．‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）∵乙第一次投球获胜的概率等于 =，乙第二次投球获胜的概率等于••=，乙第三次投球获胜的概率等于=，‎ 故 乙获胜的概率等于 ++=．‎ ‎（Ⅱ）由于投篮结束时乙只投了2个球，说明第一次投球甲乙都没有投中，第二次投球甲没有投中、乙投中，或第三次投球甲投中了．‎ 故投篮结束时乙只投了2个球的概率等于 +×=．‎ 点评：‎ 本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2012•重庆）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）其中A＞0，ω＞0，﹣π＜φ≤π）在x=处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的解析式；‎ ‎（Ⅱ）求函数g（x）=的值域．‎ 考点：‎ 三角函数中的恒等变换应用；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．菁优网版权所有 专题：‎ 三角函数的图像与性质．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）通过函数的周期求出ω，求出A，利用函数经过的特殊点求出φ，推出f（x）的解析式；‎ ‎（Ⅱ）利用（Ⅰ）推出函数g（x）=的表达式，通过cos2x∈[0，1]，且，求出g（x）的值域．‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）由题意可知f（x）的周期为T=π，即=π，解得ω=2．‎ 因此f（x）在x=处取得最大值2，所以A=2，从而sin（）=1，‎ 所以，又﹣π＜φ≤π，得φ=，‎ 故f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+）；‎ ‎（Ⅱ）函数g（x）=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ 因为cos2x∈[0，1]，且，‎ 故g（x）的值域为．‎ 点评：‎ 本题考查三角函数中的恒等变换应用，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2012•重庆）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点．‎ ‎（Ⅰ）求异面直线CC1和AB的距离；‎ ‎（Ⅱ）若AB1⊥A1C，求二面角A1﹣CD﹣B1的平面角的余弦值．‎ 考点：‎ 用空间向量求平面间的夹角；点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；证明题；压轴题．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）先根据条件得到CD⊥AB以及CC1⊥CD，进而求出C的长即可；‎ ‎（Ⅱ）解法一；先根据条件得到∠A1DB1为所求的二面角A1﹣CD﹣B1的平面角，再根据三角形相似求出棱柱的高，进而在三角形A1DB1中求出结论即可；‎ 解法二：过D作DD1∥AA1交A1B1于D1，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量的坐标，最后代入向量的夹角计算公式即可求出结论．‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）解：因为AC=BC，D为AB的中点，故CD⊥AB，‎ 又直三棱柱中，CC1⊥面ABC，故CC1⊥CD，‎ 所以异面直线CC1和AB的距离为：CD==．‎ ‎（Ⅱ）解法一；由CD⊥AB，CD⊥BB1，故CD⊥平面A1ABB1，‎ 从而CD⊥DA1，CD⊥DB1，故∠A1DB1为所求的二面角A1﹣CD﹣B1的平面角．‎ 因A1D是A1C在面A1ABB1上的射影，‎ 又已知AB1⊥A1C，由三垂线定理的逆定理得AB1⊥A1D，‎ 从而∠A1AB1，∠A1DA都与∠B1AB互余，‎ 因此∠A1AB1=∠∠A1DA，‎ 所以RT△A1AD∽RT△B1A1A，‎ 因此=，得=AD•A1B1=8，‎ 从而A1D==2，B1D=A1D=2．‎ 所以在三角形A1DB1中，cos∠A1DB1==．‎ 解法二：过D作DD1∥AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，‎ 由第一问知：DB，DC，DD1两两垂直，以D为原点，射线DB，DC，DD1分别为X轴，Y轴，Z轴建立空间直角坐标系D﹣XYZ．．‎ 设直三棱柱的高为h，则A（﹣2，0，0），A1（﹣2，0，h）．B1（2，0，h）．C（0，，0）‎ 从而=（4，0，h），=（2，，﹣h）．‎ 由AB1⊥A1C得•=0，即8﹣h2=0，因此h=2，‎ 故=（﹣1，0，2），=（2，0，2），=（0，，0）．‎ 设平面A1CD的法向量为=（x，y，z），则⊥，⊥，即取z=1，得=（，0，1），‎ 设平面B1CD的法向量为=（a，b，c），则⊥，，即取c=﹣1得=（，0，﹣1），‎ 所以cos＜，＞===．‎ 所以二面角的平面角的余弦值为．‎ 点评：‎ 本题主要考察异面直线间的距离计算以及二面角的平面角及求法．在求异面直线间的距离时，关键是求出异面直线的公垂线．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2012•重庆）如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．‎ ‎（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过B1作直线交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求△PB2Q的面积．‎ 考点：‎ 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．菁优网版权所有 专题：‎ 综合题；压轴题．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）设椭圆的方程为，F2（c，0），利用△AB1B2是的直角三角形，|AB1|=AB2|，可得∠B1AB2为直角，从而，利用c2=a2﹣b2，可求，又S=|B1B2||OA|==4，故可求椭圆标准方程；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知B1（﹣2，0），B2（2，0），由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为x=my﹣2，代入椭圆方程，消元可得（m2+5）y2﹣4my﹣16﹣0，利用韦达定理及PB2⊥QB2，利用可求m的值，进而可求△PB2Q的面积．‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，F2（c，0）‎ ‎∵△AB1B2是的直角三角形，|AB1|=AB2|，∴∠B1AB2为直角，从而|OA|=|OB2|，即 ‎∵c2=a2﹣b2，∴a2=5b2，c2=4b2，∴‎ 在△AB1B2中，OA⊥B1B2，∴S=|B1B2||OA|=‎ ‎∵S=4，∴b2=4，∴a2=5b2=20‎ ‎∴椭圆标准方程为；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知B1（﹣2，0），B2（2，0），由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为x=my﹣2‎ 代入椭圆方程，消元可得（m2+5）y2﹣4my﹣16=0①‎ 设P（x1，y1），Q（x2，y2），‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴=‎ ‎∵PB2⊥QB2，∴‎ ‎∴，∴m=±2‎ 当m=±2时，①可化为9y2±8y﹣16﹣0，‎ ‎∴|y1﹣y2|==‎ ‎∴△PB2Q的面积S=|B1B2||y1﹣y2|=×4×=．‎ 点评：‎ 本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查三角形的面积计算，综合性强．‎ ‎　‎