高考物理一轮复习讲义时交变电流的产生和描述资料

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第1课时　交变电流的产生和描述 考纲解读 1.能掌握交变电流的产生和描述，会写出交变电流的瞬时值表达式.2.能认识交变电流的图象和进行有效值、最大值的计算．‎ ‎1． [交变电流的产生和变化规律]关于线圈在匀强磁场中转动产生的交变电流，下列说法中正确的是 (　　)‎ A．线圈平面每经过中性面一次，感应电流的方向就改变一次，感应电动势的方向不变 B．线圈每转动一周，感应电流的方向改变一次 C．线圈平面每经过中性面一次，感应电动势和感应电流的方向都改变一次 D．线圈每转动一周，感应电动势和感应电流的方向都改变一次 答案　C 解析　依据交流电的变化规律可知，如果从中性面开始计时，有e＝Emsin ωt和i＝Imsin ωt；如果从垂直于中性面的位置开始计时，有e＝Emcos ωt和i＝Imcos ωt.不难看出：线圈平面每经过中性面一次，感应电流的方向就改变一次，感应电动势的方向也改变一次；线圈每转动一周，感应电流的方向和感应电动势的方向都改变两次．故正确答案为C.‎ ‎2． [描述交变电流的物理量]小型交流发电机中，矩形金属线圈在匀 强磁场中匀速转动，产生的感应电动势与时间呈正弦函数关系，如图1所示．此线圈与一个R＝10 Ω的电阻构成闭合电路，不计电路的其他电阻，下列说法正确的是 (　　)‎ A．交变电流的周期为0.125 s 图1‎ B．交变电流的频率为8 Hz ‎ C．交变电流的有效值为 A D．交变电流的最大值为‎4 A 答案　C 解析　由题图可知，交变电流的周期为0.250 s，频率为4 Hz，交变电流的最大值为 A＝‎2 A，有效值为 A＝ A，所以应选C.‎ ‎3． [有效值的计算]电阻R1、R2与交流电源按照如图2甲所示方式连接，R1＝10 Ω、R2＝20 Ω.合上开关S后，通过电阻R2的正弦交变电流i随时间t变化的情况如图乙所示．则 ‎(　　)‎ 图2‎ A．通过R1的电流的有效值是‎1.2 A B．R1两端的电压有效值是6 V C．通过R2的电流的有效值是‎1.2 A D．R2两端的电压有效值是6 V 答案　B 解析　由题图知流过R2交流电电流的最大值I‎2m＝‎0.6 A，有效值I2＝＝‎0.6 A，故选项C错误；由U‎2m＝I2mR2＝12 V知，U2＝12 V，选项D错误；因串联电路电流处处相同，则I‎1m＝‎0.6 A，电流的有效值I1＝＝‎0.6 A，故选项A错误；由U1＝I1R1＝6 V，故选项B正确．‎ 考点梳理 一、交变电流的产生和变化规律 ‎1． 交变电流 大小和方向都随时间做周期性变化的电流．如图3(a)、(b)、(c)、(d)所示都属于交变电流．其中按正弦规律变化的交变电流叫正弦式交变电流，简称正弦式电流，如图(a)所示．‎ 图3‎ ‎2． 正弦交流电的产生和图象 ‎(1)产生：在匀强磁场里，线圈绕垂直于磁场方向的轴匀速转动．‎ ‎(2)中性面 ‎①定义：与磁场方向垂直的平面．‎ ‎②特点 a．线圈位于中性面时，穿过线圈的磁通量最大，磁通量的变化率为零，感应电动势为 零．‎ b．线圈转动一周，两次经过中性面．线圈每经过中性面一次，电流的方向就改变一次．‎ ‎(3)图象：用以描述交流电随时间变化的规律，如果线圈从中性面位置开始计时，其图象为正弦函数曲线．‎ 二、正弦交变电流的函数表达式、峰值和有效值 ‎1． 周期和频率 ‎(1)周期(T)：交变电流完成一次周期性变化(线圈转一周)所需的时间，单位是秒(s)，公式T＝.‎ ‎(2)频率(f)：交变电流在1 s内完成周期性变化的次数．单位是赫兹(Hz)．‎ ‎(3)周期和频率的关系：T＝或f＝.‎ ‎2． 正弦式交变电流的函数表达式(线圈在中性面位置开始计时)‎ ‎(1)电动势e随时间变化的规律：e＝Emsin_ωt.‎ ‎(2)负载两端的电压u随时间变化的规律：u＝Umsin_ωt.‎ ‎(3)电流i随时间变化的规律：i＝Imsin_ωt.其中ω等于线圈转动的角速度，Em＝nBSω.‎ ‎3． 交变电流的瞬时值、峰值、有效值 ‎(1)瞬时值：交变电流某一时刻的值，是时间的函数．‎ ‎(2)峰值：交变电流的电流或电压所能达到的最大值，也叫最大值．‎ ‎(3)有效值：跟交变电流的热效应等效的恒定电流的值叫做交变电流的有效值．对正弦交流电，其有效值和峰值的关系为：E＝，U＝，I＝.‎ ‎(4)平均值：是交变电流图象中波形与横轴所围面积跟时间的比值．‎ ‎4． [瞬时值表达式的书写]如图4所示，图线a是线圈在匀强磁 场中匀速转动时所产生正弦交流电的图象，当调整线圈转速后，所产生正弦交流电的图象如图线b所示，以下关于这两个正弦交流电的说法正确的是 (　　)‎ A．在图中t＝0时刻穿过线圈的磁通量均为零 图4‎ B．线圈先后两次转速之比为3∶2‎ C．交流电a的瞬时值表达式为u＝10sin 5πt (V)‎ D．交流电b的最大值为5 V 答案　BC 解析　t＝0时刻穿过线圈的磁通量最大，磁通量的变化率为零，故电压为零，A错．读图得两次周期之比为2∶3，由转速n＝＝得转速与周期成反比，故B正确．读图得a的最大值为10 V，ω＝5π rad/s，由交流电感应电动势的瞬时值表达式e＝Emsin ωt (V)(从线圈在中性面位置开始计时)得，u＝10sin 5πt (V)，故C正确．交流电的最大值Em＝nBSω，所以根据两次转速的比值可得，交流电b的最大值为×10 V＝ V，故D错．‎ 方法提炼　书写交变电流瞬时值表达式的基本思路 ‎1． 确定正弦交变电流的峰值，根据已知图象读出或由公式Em＝nBSω求出相应峰值．‎ ‎2． 明确线圈的初始位置，找出对应的函数关系式．‎ 如：(1)线圈从中性面位置开始转动，则i－t图象为正弦函数图象，函数式为i＝Imsin ωt.‎ ‎(2)线圈从垂直中性面位置开始转动，则i－t图象为余弦函数图象，函数式为i＝Imcos ωt.‎ 考点一　交变电流的变化规律 ‎1． 正弦式交变电流的变化规律(线圈在中性面位置开始计时)‎ ‎ 规律 物理量 函数 图象 磁通量 Φ＝Φmcos ωt ‎ ＝BScos ωt 电动势 e＝Emsin ωt ‎　 ＝nBSωsin ωt 电压 u＝Umsin ωt ‎　 ＝sin ωt 电流 i＝Imsin ωt ‎　 ＝sin ωt ‎2. 两个特殊位置的特点 ‎(1)线圈平面与中性面重合时，S⊥B，Φ最大，＝0，e＝0，i＝0，电流方向将发生改变．‎ ‎(2)线圈平面与中性面垂直时，S∥B，Φ＝0，最大，e最大，i最大，电流方向不改变．‎ 特别提醒　1.只要线圈平面在匀强磁场中绕垂直于磁场的轴匀速转动，就产生正弦式交流电，其变化规律与线圈的形状、转动轴处于线圈平面内的位置无关．‎ ‎2． Φ－t图象与对应的e－t图象是互余的．‎ 例1　如图5甲所示，一矩形线圈abcd放置在匀强磁场中，并绕过ab、cd中点的轴OO′以角速度ω逆时针匀速转动．若以线圈平面与磁场夹角θ＝45°时(如图乙)为计时起点，并规定当电流自a流向b时，电流方向为正．则下列四幅图中正确的是 (　　)‎ 图5‎ 审题指导　解答本题应注意以下三点：‎ ‎(1)确定t＝0时刻感应电流的方向．‎ ‎(2)利用t＝0时刻的速度确定感应电动势的大小．‎ ‎(3)判定t＝0时刻后短时间内电流的变化趋势．‎ 解析　该题考查交变电流的产生过程．t＝0时刻，根据题图乙表示的转动方向，由右手定则知，此时ad中电流方向由a到d，线圈中电流方向为a→d→c→b→a，与规定的电流正方向相反，电流为负值．又因为此时ad、bc两边的切割速度方向与磁场方向成45°夹角，由E＝2Blv⊥，可得E＝2×Blv＝Em，即此时电流是最大值的倍，由图乙还能观察到，线圈在接下来45°的转动过程中，ad、bc两边的切割速度v⊥越来越小，所以感应电动势应减小，感应电流应减小，故瞬时电流的表达式为i＝－Imcos (＋ωt)，则图象为D图象所描述，故D项正确．‎ 答案　D 突破训练1　如图6所示是一台发电机的结构示意图，其中N、S 是永久磁铁的两个磁极，它们的表面呈半圆柱面形状．M是圆柱形铁芯，它与磁极的柱面共轴，铁芯上有一矩形线框，可绕与铁芯M共轴的固定转动轴旋转．磁极与铁芯之间的缝隙中形 图6‎ 成方向沿半径、大小近似均匀的磁场．若从图示位置开始计时，当线框绕固定转动轴匀速转动时，下列图象中能正确反映线框中感应电动势e随时间t变化规律的是(　　)‎ 答案　D 解析　因发电机的两个磁极N、S呈半圆柱面形状，磁极间的磁感线如图所示，即呈辐向分布磁场，磁感应强度的大小不变，仅方向发生改变，故线框在磁场中转动时垂直切割磁感线，产生的感应电动势的大小不变，线框越过空隙段后，由于线框切割磁感线方向发生变化，所以感应电动势的方向发生变化，综上所述，D正确．‎ 突破训练2　实验室里的交流发电机可简化为如图7所示的模型，正方形 线圈在水平匀强磁场中，绕垂直于磁感线的OO′轴匀速转动．今在发电机的输出端接一个电阻R和理想电压表，并让线圈每秒转25圈，读出电压表的示数为10 V．已知R＝10 Ω，线圈电阻忽略不计，下列说法正确的是 (　　)‎ A．线圈平面与磁场平行时，线圈中的瞬时电流为零 图7‎ B．从线圈平面与磁场平行开始计时，线圈中感应电流瞬时值表达式为i＝sin 50πt A C．流过电阻R的电流每秒钟方向改变25次 D．电阻R上的热功率等于10 W 答案　D 解析　线圈平面与磁场平行时，瞬时感应电流最大，A错．从线圈平面与磁场平行时开始计时，Εm＝10 V，f＝25 Hz，i＝cos 50πt A，B错．电流方向每秒改变50次，C错．PR＝＝10 W，D正确．‎ 考点二　交流电有效值的求解 有效值是交流电中最重要的物理量，必须会求解，特别是正弦交流电的有效值，应记 住公式．求交变电流有效值的方法有：‎ ‎(1)利用I＝，U＝，E＝计算，只适用于正(余)弦式交流电．‎ ‎(2)非正弦式交流电有效值的求解根据电流的热效应进行计算，其中，交变电流的有效值是根据电流通过电阻时产生的热效应定义的，即让交变电流和直流电流通过相同的电阻，在相同的时间里若产生的热量相同，则交变电流(电压)的有效值就等于这个直流电流(电压)的值，即求解交变电流有效值问题必须在相同电阻、相同时间、相同热量的“三同”原则下求解．‎ 例2　如图8所示，图甲和图乙分别表示正弦脉冲波和方波的交变电流与时间的变化关系．若使这两种电流分别通过两个完全相同的电阻，则经过1 min的时间，两电阻消耗的电功之比W甲∶W乙为 (　　)‎ 图8‎ A．1∶ B．1∶‎2 ‎ C．1∶3 D．1∶6‎ 解析　电功的计算中，I要用有效值计算，图甲中，由有效值的定义得()2R×2×10－2＋0＋()2R×2×10－2＝IR×6×10－2，得I1＝ A；图乙中，I的值不变，I2＝‎1 A，由W＝UIt＝I2Rt可以得到W甲∶W乙＝1∶3.‎ 答案　C 突破训练3　如图9甲所示，为一种调光台灯电路示意图，它通过双向可控硅电子器件实现了无级调节亮度．给该台灯接220 V的正弦交流电后加在灯管两端的电压如图乙所示，则此时交流电压表的示数为 (　　)‎ 图9‎ A．220 V B．110 V C. V D. V 答案　B 解析　本题考查电压的有效值的计算．设电压的有效值为U，根据有效值定义有·＝T，解得U＝110 V，则B项正确．‎ 考点三　交变电流的“四值”的比较与理解 ‎1． 交变电流的瞬时值、峰值、有效值和平均值的比较 物理量 物理含义 重要关系 适用情况及说明 瞬时值 交变电流某一时刻的值 e＝Emsin ωt i＝Imsin ωt 计算线圈某时刻的受力情况 峰值 最大的瞬时值 Em＝nBSω Im＝ 讨论电容器的击穿电压 有效值 跟交变电流的热效应等效的恒定电流的值 E＝ U＝ I＝ 适用于正(余)弦式交变电流 ‎(1)计算与电流的热效应有关的量(如电功、电功率、电热等)‎ ‎(2)电气设备“铭牌”上所标的一般是有效值 ‎(3)保险丝的熔断电流为有效值 平均值 交变电流图象中图线与时间轴所夹的面积与时间的比值 ＝Bl ＝n ＝ 计算通过电路截面的电荷量 ‎2. 交变电流瞬时值表达式的求法 ‎(1)先求电动势的最大值Em＝nBSω；‎ ‎(2)求出角速度ω，ω＝；‎ ‎(3)明确从哪一位置开始计时，从而确定是正弦函数还是余弦函数；‎ ‎(4)写出瞬时值的表达式．‎ 例3　如图10所示，线圈abcd的面积是‎0.05 m2‎，共100匝，线圈电阻 为1 Ω，外接电阻R＝9 Ω，匀强磁场的磁感应强度B＝ T，当线圈以300 r/min的转速匀速旋转时．问：‎ ‎(1)若从线圈处于中性面开始计时，写出线圈中感应电动势的瞬时值表达式；‎ ‎(2)线圈转过 s时电动势的瞬时值多大？ 图10‎ ‎(3)电路中，电压表和电流表的示数各是多少？‎ ‎(4)从中性面开始计时，经 s通过电阻R的电荷量是多少？‎ 解析　(1)e＝Emsin ωt＝nBS·2πfsin (2πft)‎ ‎＝100××0.05×2π×sin (2π×t) V ‎＝50sin 10πt V ‎(2)当t＝ s时，e＝50sin (10π×) V≈43.3 V .‎ ‎(3)电动势的有效值为E＝＝ V≈35.4 V，‎ 电流表示数I＝＝ A＝‎3.54 A，‎ 电压表示数U＝IR＝3.54×9 V＝31.86 V.‎ ‎(4) s内线圈转过的角度θ＝ωt＝×2π×＝.‎ 该过程中，ΔΦ＝BS－BScos θ＝BS，‎ 由＝，＝，＝ 得q＝＝＝ C＝ C.‎ 答案　(1)e＝50sin 10πt V　(2)43.3 V ‎(3)31.86 V　‎3.54 A　(4) C 例4　一理想变压器原、副线圈匝数比n1∶n2＝11∶5，原线圈与正弦交变电源连接，‎ 输入电压u如图11所示．副线圈仅接入一个10 Ω的电阻．则 (　　)‎ 图11‎ A．流过电阻的电流是‎20 A B．与电阻并联的电压表的示数是100 V C．经过1分钟电阻发出的热量是6×103 J D．变压器的输入功率是1×103 W 解析　原线圈中电压的有效值是220 V．由变压比知副线圈中电压为100 V，流过电阻的电流是‎10 A；与电阻并联的电压表的示数是100 V；经过1 分钟电阻发出的热量是6×104 J；P入＝P出＝＝ V＝1×103 W．只有D项正确．‎ 答案　D 突破训练4　一正弦交流电的电压随时间变化的规律如图12所示．由图可知 (　　)‎ 图12‎ A．该交流电的电压瞬时值的表达式为u＝100sin (25t) V B．该交流电的频率为25 Hz C．该交流电的电压的有效值为100 V D．若将该交流电压加在阻值为R＝100 Ω的电阻两端，则电阻消耗的功率是50 W 答案　BD 解析　从题图中可知，交流电周期T＝4×10－2 s，峰值电压Um＝100 V，故交流电的频率f＝＝25 Hz，有效值U＝＝50 V．将该交流电压加在R＝100 Ω的电阻两端时，电阻消耗的热功率P＝＝50 W，电压的瞬时值表达式u＝Umsin t＝100sin (50πt) V，故正确选项为B、D.‎ 高考题组 ‎1． (2012·北京理综·15)一个小型电热器若接在输出电压为10 V的直流电源上，消耗电功率为P；若把它接在某个正弦式交流电源上，其消耗的电功率为.如果电热器电阻不变，则此交流电源输出电压的最大值为 (　　)‎ A．5 V B．5 V C．10 V D．10 V 答案　C 解析　根据P＝，对直流电有P＝，对正弦式交流电有＝，所以正弦式交流电的有效值为U′＝ ＝ V，故交流电源输出电压的最大值Um′＝U′＝10 V，故选项C正确，选项A、B、D错误．‎ ‎2． (2012·广东理综·19)某小型发电机产生的交变电动势为e＝50sin 100πt(V)．对此电动势，下列表述正确的有 (　　)‎ A．最大值是50 V B．频率是100 Hz C．有效值是25 V D．周期是0.02 s 答案　CD 解析　交变电动势e＝Emsin ωt或e＝Emcos ωt，其中Em为电动势的最大值，ω为角速度，有效值E＝，周期T＝，频率f＝.由e＝50sin 100πt(V)知，Em＝50 V，E＝ V＝25 V，T＝＝ s＝0.02 s，f＝＝ Hz＝50 Hz，所以选项C、D正确．‎ ‎3． (2011·四川理综·20)如图13所示，在匀强磁场中匀速转动的矩形线圈的 周期为T，转轴O1O2垂直于磁场方向，线圈电阻为2 Ω.从线圈平面与磁场方向平行时开始计时，线圈转过60°时的感应电流为‎1 A．那么 ‎(　　)‎ A．线圈消耗的电功率为4 W B．线圈中感应电流的有效值为‎2 A 图13‎ C．任意时刻线圈中的感应电动势为e＝4cos t D．任意时刻穿过线圈的磁通量为Φ＝sin t 答案　AC 解析　从线圈平面平行于磁感线开始计时，交变电流的感应电动势的表达式为e＝‎ Emcos ωt，则感应电流i＝＝cos θ，由题给条件有：1＝×，解得Em＝4 V，则Im＝‎2 A，I有效＝ A，线圈消耗的电功率P＝IR＝4 W，所以A正确，B错误．e＝‎ ‎4cos ωt＝4cos t，故C正确．由Em＝BSω＝Φm得Φm＝，故任意时刻Φ＝‎ sin t，故D错误．‎ 模拟题组 ‎4． 一台小型发电机产生的电动势随时间变化的正弦规律图象如图14甲所示．电路组成如图乙所示，已知发电机线圈内阻为5.0 Ω，外接灯泡阻值为95.0 Ω，灯泡正常发光，则(　　)‎ 图14‎ A．电压表的示数为220 V B．电路中的电流方向每秒钟改变50次 C．灯泡消耗的功率为509 W D．发电机线圈内阻每秒钟产生的焦耳热为24.2 J 答案　D 解析　电压表的示数应为有效值，U＝·＝209 V，A项错；电路中的电流方向每秒钟改变100次，B项错；P灯＝＝459.8 W，C项错；发电机线圈内阻的发热功率为P′＝I2r＝()2r＝24.2 W，每秒生热24.2 J，D项对．‎ ‎5． 在匀强磁场中，一矩形金属线框绕与磁感线垂直的转轴匀速转动，如图15甲所示，金属线框的总电阻为R，金属线框产生的交变电动势的图象如图乙所示，则 (　　)‎ ‎　‎ ‎　　　　　 　 甲　　　　　　 乙 图15‎ A．t＝0.005 s时线框的磁通量变化率为零 B．t＝0.01 s时线框平面与中性面重合 C．线框中产生的电功率为P＝ D．线框中产生的交变电动势频率为50 Hz 答案　BCD 解析　由题图乙可知在0.005 s时，电动势最大，那么线框的磁通量的变化率应为最大，A项错．在0.01 s时，e＝0，线框位于中性面位置，线框中的电功率为P＝＝()2/R＝，B、C项正确；e的频率f＝＝ Hz＝50 Hz，D项正确．‎ ‎(限时：45分钟)‎ ‎►题组1　对交变电流的产生及图象的考查 ‎1． 如图1甲所示，矩形线圈abcd在匀强磁场中逆时针匀速转动时，线圈中产生的交变电流如图乙所示，设沿abcda方向为电流正方向，则 (　　)‎ 图1‎ A．乙图中Oa时间段对应甲图中A至B图的过程 B．乙图中c时刻对应甲图中的C图 C．若乙图中d等于0.02 s，则1 s内电流的方向改变了50次 D．若乙图中b等于0.02 s，则交流电的频率为50 Hz 答案　A 解析　由交变电流的产生原理可知，甲图中的A、C两图中线圈所在的平面为中性面，线圈在中性面时电流为零，再经过1/4个周期电流达到最大值，再由楞次定律判断出电流的方向，因此甲图中A至B图的过程电流为正，且从零逐渐增大到最大值，A对；甲图中的C图对应的电流为零，B错；每经过中性面一次线圈中的电流方向就要改变一次，所以一个周期内电流方向要改变两次，所以在乙图中对应Od段等于交变电流的一个周期，若已知d等于0.02 s，则频率为50 Hz，1 s内电流的方向将改变100次，C错；若乙图中b等于0.02 s，则交流电的频率应该为25 Hz，D错．‎ ‎2． 如图2所示，矩形线圈abcd在匀强磁场中，可以分别绕垂直于磁 场方向的轴P1和P2以相同的角速度匀速转动，当线圈平面转到与磁场方向平行时 (　　)‎ A．线圈绕P1转动时的电流等于绕P2转动时的电流 B．线圈绕P1转动时的电动势小于绕P2转动时的电动势 ‎ C．线圈绕P1和P2转动时电流的方向相同，都是a→b→c→d 图2‎ D．线圈绕P1转动时dc边受到的安培力大于绕P2转动时dc边受到的安培力 答案　A 解析　‎ 产生正弦交流电的条件是轴和磁感线垂直，与轴的位置和线圈形状无关，两种情况下转到图示位置时产生的电动势E具有最大值Em＝nBSω，由欧姆定律I＝可知此时I相等，A正确，B错误；由右手定则可知电流方向为a→d→c→b，故C错误；两种情况下dc边受的安培力均为F＝BlcdI，故D错误．‎ ‎3． 如图所示，面积均为S的单匝线圈绕其对称轴或中心轴在匀强磁场B中以角速度ω匀速转动，能产生正弦交变电动势e＝BSωsin ωt的图是 (　　)‎ 答案　A 解析　线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的轴(轴在线圈所在平面内)匀速转动，产生的正弦交变电动势为e＝BSωsin ωt，由这一原理可判断，A图中感应电动势为e＝BSωsin ωt；B图中的转动轴不在线圈所在平面内；C、D图转动轴与磁场方向平行，而不是垂直．‎ ‎4． 矩形线框绕垂直于匀强磁场且沿线框平面的轴匀速转动时产生了交变电流，下列说法正确的是 (　　)‎ A．当线框位于中性面时，线框中感应电动势最大 B．当穿过线框的磁通量为零时，线框中的感应电动势也为零 C．每当线框经过中性面时，感应电动势或感应电流方向就改变一次 D．线框经过中性面时，各边不切割磁感线 答案　CD 解析　线框位于中性面时，线框平面与磁感线垂直，穿过线框的磁通量最大，但此时切割磁感线的两边速度方向与磁感线平行，不切割磁感线，穿过线框的磁通量的变化率等于零，所以感应电动势等于零，感应电动势或感应电流的方向在此时刻改变．垂直于中性面时，穿过线框的磁通量为零，切割磁感线的两边的速度与磁感线垂直，有效切割速度最大，此时穿过线框的磁通量的变化率最大，所以感应电动势最大．故C、D正确．‎ ‎5． (2012·安徽理综·23)图3甲是交流发电机模型示意图．在磁感应强度为B的匀强磁场中，有一矩形线圈abcd可绕线圈平面内垂直于磁感线的轴OO′转动，由线圈引出的导线ae和df分别与两个跟线圈一起绕OO′转动的金属圆环相连接，金属圆环又分别与两个固定的电刷保持滑动接触，这样矩形线圈在转动中就可以保持和外电路电阻R 形成闭合电路．图乙是线圈的主视图，导线ab和cd分别用它们的横截面来表示．已知ab长度为L1，bc长度为L2，线圈以恒定角速度ω逆时针转动．(只考虑单匝线圈)‎ ‎　 ‎ 甲　　　　　　　　　　　　乙 丙 图3‎ ‎(1)线圈平面处于中性面位置时开始计时，试推导t时刻整个线圈中的感应电动势e1的表达式；‎ ‎(2)线圈平面处于与中性面成φ0夹角位置时开始计时，如图丙所示，试写出t时刻整个线圈中的感应电动势e2的表达式；‎ ‎(3)若线圈电阻为r，求线圈每转动一周电阻R上产生的焦耳热．(其他电阻均不计)‎ 答案　(1)e1＝BL‎1L2ωsin ωt　(2)e2＝BL‎1L2ωsin (ωt＋φ0)‎ ‎(3) 解析　(1)如图所示，矩形线圈abcd在磁场中转动时，ab、cd切割磁感线，且转动的半径为r＝，‎ 转动时ab、cd的线速度v＝ωr＝，且与磁场方向的夹角为ωt，‎ 所以，整个线圈中的感应电动势e1＝2BL1vsin ωt＝BL‎1L2ωsin ωt.‎ ‎(2)当t＝0时，线圈平面与中性面的夹角为φ0，则t时刻时，线圈平面与中性面的夹角为ωt＋φ0‎ 故此时感应电动势的瞬时值 e2＝2BL1vsin (ωt＋φ0)＝BL‎1L2ωsin (ωt＋φ0)‎ ‎(3)线圈匀速转动时感应电动势的最大值Em＝BL‎1L2ω，故有效值E＝＝ 回路中电流的有效值I＝＝ 根据焦耳定律知转动一周电阻R上的焦耳热为 Q＝I2RT＝[]2R＝.‎ ‎►题组2　对交变电流“四值”的考查 ‎6． 如图4所示，垂直于纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场以虚线为界，‎ 虚线左侧磁场范围足够大，单匝矩形线圈中的轴线与磁场边界重合，线圈以恒定的角速度ω绕中轴线转动，线圈所围面积为S，线圈导线的总电阻为R.t＝0时刻线圈平面与纸面重合，以下说法正确的是(　　)‎ A．时刻t线圈中电流的瞬时值i＝cos ωt ‎ B．线圈中电流的有效值I＝ 图4‎ C．线圈中电流的有效值I＝ D．线圈消耗的电功率P＝ 答案　B 解析　电动势的最大值应为Em＝，t＝0时，e＝0，因此瞬时值表达式应为e＝BSω sin ωt，i＝sin ωt，A项错；电流的有效值I＝＝，B项正确，C项错误；线圈消耗的电功率应为P＝I2R＝，D项错，因此正确选项为B.‎ ‎7. 如图5所示，矩形线圈abcd绕轴OO′匀速转动产生交流电，在图示 位置开始计时，则下列说法正确的是 (　　)‎ A．t＝0时穿过线圈的磁通量最大，产生的感应电流最大 B．t＝(T为周期)时感应电流沿abcda方向 图5‎ C．若转速增大为原来的2倍，则交变电流的频率是原来的2倍 D．若转速增大为原来的2倍，则产生的电流有效值为原来的4倍 答案　BC 解析　图示时刻，ab、cd边切割磁感线的有效速率为零，产生的感应电动势为零，A错 误；根据线圈的转动方向，确定时线圈的位置，用右手定则可以确定线圈中的感应电流方向沿abcda方向，B正确；根据转速和频率的定义可知C正确；根据ω＝2πf，Em＝nBSω，E＝，I＝可知电流有效值变为原来的2倍，D错误．‎ ‎8． 如图6，交流发电机的矩形线圈边长ab＝cd＝‎0.4 m，ad＝bc＝‎0.2 m，‎ 线圈匝数N＝100，电阻r＝1 Ω，线圈在磁感应强度B＝0.2 T的匀强磁场中绕垂直于磁场的轴以ω＝100π rad/s的角速度匀速转动，外接电阻R＝9 Ω，以图示时刻开始计时，则 (　　)‎ A．电动势瞬时值为160πsin (100πt) V B．t＝0时线圈中磁通量变化率最大 图6‎ C．t＝ s时线圈中感应电动势最大 D．交变电流的有效值是8π A 答案　BCD 解析　图示时刻线圈平面垂直于中性面，电动势的瞬时值e＝NBSωcos ωt＝100×0.2×(0.4×0.2)×100πcos (100πt) V＝160πcos (100πt) V，A错误．图示时刻即t＝0时，Φ＝0，但最大，B正确．t＝ s时，e＝Em，C正确，交变电流的有效值是8π A，D正确．‎ ‎9． 如图7所示，矩形线圈面积为S，匝数为N，线圈电阻为r，在磁感 应强度为B的匀强磁场中绕OO′轴以角速度ω匀速转动，外电路电阻为R，当线圈由图示位置转过60°的过程中，下列判断正确的是 (　　)‎ A．电压表的读数为 B．通过电阻R的电荷量为q＝ 图7‎ C．电阻R所产生的焦耳热为Q＝ D．当线圈由图示位置转过60°时的电流为 答案　AB 解析　线圈在磁场中转动产生了正弦交流电，其电动势的最大值Em＝NBSω，电动势的有效值E＝，电压表的读数等于交流电源路端电压，且为有效值，则U＝R，A正确；求通过电阻R的电荷量要用交流电的平均电流，则q＝Δt＝＝＝，故B正确；电阻R上产生的热量应该用有效值来计算，则电阻R产生的热量Q＝I2Rt＝[]2R·＝，故C错误；线圈由图示位置转过60°时的电流为瞬时值，则i＝sin ωt＝sin ＝，故D错误．‎ ‎10．如图8所示，一个半径为r的半圆形线圈，以直径ab为轴匀速转动，转 速为n，ab的左侧有垂直于纸面向里(与ab垂直)的匀强磁场，磁感应强度为B.M和N是两个集流环，负载电阻为R，线圈、电流表和连接导线的电阻不计，求：‎ ‎(1)感应电动势的最大值；‎ ‎(2)从图示位置起转过1/4转的时间内负载电阻R上产生的热量；‎ ‎(3)从图示位置起转过1/4转的时间内通过负载电阻R的电荷量； 图8‎ ‎(4)电流表的示数．‎ 答案　(1)π2Bnr2　(2)　(3)　(4) 解析　(1)‎ 线圈绕轴匀速转动时，在电路中产生如图所示的交变电流．‎ 此交变电动势的最大值为 Em＝BSω＝B··2πn＝π2Bnr2‎ ‎(2)在线圈从图示位置转过1/4转的时间内，电动势的有效值为E＝＝ 电阻R上产生的热量 Q＝()2R·＝ ‎(3)在线圈从图示位置转过1/4转的时间内，电动势的平均值为＝ 通过R的电荷量q＝·Δt＝·Δt＝＝ ‎(4)设此交变电动势在一个周期内的有效值为E′，由有效值的定义得·＝T，解得E′＝ 故电流表的示数为I＝＝.‎