高考数学单元复习训练不等式的证明

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高考数学单元复习训练不等式的证明

课时训练37 不等式的证明(二)‎ ‎【说明】 本试卷满分100分,考试时间90分钟.‎ 一、选择题(每小题6分,共42分)‎ ‎1.设0<x<1,a、b为正常数,的最小值是( )‎ A.4ab B.2(a2+b2)‎ C.(a+b)2 D.(a-b)2‎ 答案:C 解析:令x=cos2θ,θ∈(0,),则=a2sec2θ+b2csc2θ=a2+b2+a2tan2θ+b2cot2θ≥a2+b2+2ab=(a+b)2.‎ ‎2.若a、b∈R,a2+b2=10,则a-b的取值范围是( )‎ A.[-2,2] B.[-2,2]‎ C.[-,] D.[0,]‎ 答案:A 解析:设a=cosθ,b=sinθ,则a-b= (cosθ-sinθ)=2·cos(θ+)∈[-2,2].‎ ‎3.已知a∈R+,则下列各式中成立的是( )‎ A.cos2θ·lga+sin2θ·lgb<lg(a+b) B.cos2θ·lga+sin2θ·lgb>lg(a+b)‎ C.=a+b D.>a+b 答案:A 解析:cos2θlga+sin2θlgb<cos2θlg(a+b)+sin2θlg(a+b)=lg(a+b).‎ ‎4.设函数f(x)=ax+b(0≤x≤1),则a+2b>0是f(x)>0在[0,1]上恒成立的( )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:B 解析:a+2b>0a·+b>0f()>0,不能推出f(x)>0,x∈[0,1];反之,f(x)>0,x∈[0,1]f()>0a+2b>0.‎ ‎5.(2010重庆万州区一模,7)已知函数y=f(x)满足:①y=f(x+1)是偶函数;②在[1,+∞)上为增函数.若x1<0,x2>0,且x1+x2<-2,则f(-x1)与f(-x2)的大小关系是( )‎ A.f(-x1)>f(-x2) B.f(-x1)<f(-x2)‎ C.f(-x1)=f(-x2) D.f(-x1)与f(-x2)的大小关系不能确定 答案:A 解析:y=f(x+1)是偶函数f(x+1)=f(-x+1)f(x+2)=f(-x).‎ 又x1+x2<-2,-x1>2+x2>2,‎ 故f(-x1)>f(2+x2)=f(-x2).‎ ‎6.(2010湖北十一校大联考,9)定义在R上的偶函数y=f(x)满足f(x+2)=-f(x)对所有实数x都成立,且在[-2,0]上单调递增,a=f(),b=f(),c=f(8),则下列成立的是( )‎ A.a>b>c B.b>c>a C.b>a>c D.c>a>b 答案:B 解析:由f(x+2)=-f(x)有f(x+4)=f(x),‎ ‎∴T=4,而f(x)在R上为偶函数又在[-2,0]上单调递增,所以f(x)在[0,2]上单调递减.‎ b=f()=f(-)=f(),c=f(8)=f(-3)=f(1),a=f().‎ ‎∵>1>,∴b>c>a.‎ ‎7.设a、b、c、d∈R,m=+,n=,则( )‎ A.m<n B.m>n C.m≤n D.m≥n 答案:D 解析:设A(a,b),B(c,d),O(0,0),‎ ‎∵|OA|+|OB|≥|AB|,‎ ‎∴得m≥n.‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎8.设x>0,y>0,A=,B=,则A,B的大小关系是__________________.‎ 答案:A<B 解析:A==B.‎ ‎9.已知x2+y2=1,对于任意实数x,y恒有不等式x+y-k≥0成立,则k的最大值是____________.‎ 答案:-‎ 解析:设x=cosθ,y=sinθ,k≤x+y=sinθ+cosθ=sin(θ+),∴k≤-.∴k的最大值为-.‎ ‎10.设{an}是等差数列,且a12+a112≤100,记S=a1+a2+…+a11则S的取值范围是______________.‎ 答案:[-55,55]‎ 解析:由≥()2∈[-5,5].‎ ‎∴S=a1+a2+…+a11‎ ‎=(a1+a11)+(a2+a10)+…+(a5+a7)+a6‎ ‎=(a1+a11)∈[-55,55].‎ 三、解答题(11—13题每小题10分,14题13分,共43分)‎ ‎11.若x,y均为正数,且x+y>2.‎ 求证:与中至少有一个小于2.‎ 证明:假设与均不小于2,即≥2且≥2,则1+y≥2x,1+x≥2y.相加得2+x+y≥2(x+y),‎ 推出x+y≤2,与题设x+y≥2矛盾.故假设错误.‎ ‎12.已知an=+…+(n∈N*),求证:<an<对n∈N*恒成立.‎ 证明:an>+…+=1+2+3+…+n=,‎ 而an<[(1+2)+(2+3)+…+(n+(n+1))]=+(1+2+3+…+n)=<.‎ ‎13.若a,b,c为三角形三边,x,y,z∈R,x+y+z=0,‎ 求证:a2yz+bzzx+c2xy≤0.‎ 证明:∵z=-x-y,‎ ‎∴a2yz+b2zx+c2xy=a2y(-x-y)+b2x(-x-y)+c2xy=-b2x2-(a2+b2-c2)yx-a2y2,‎ ‎∴原不等式f(x)=b2x2+(a2+b2-c2)yx+a2y2≥0. (*)‎ ‎∵Δ=(a2+b2-c2)2-4a2b2=[(a2+b2+2ab)-c2][(a2+b2-2ab)-c2]=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c),‎ a,b,c为三角三边,∴Δ<0.‎ ‎∴b2>0,∴f(x)>0对x∈R恒成立,即(*)表示,‎ ‎∴原不等式得证.‎ ‎14.已知:a∈R+,求证:a+≥.‎ 证明:∵a∈R+,设t=a+4a≥2=4,则左式=f(t)=t+(t≥4)‎ ‎∴f(t)=()2+2在t≥4上递增.‎ ‎∴f(t)≥f(4)=4+=得证.‎
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