高考数学压轴题突破训练——圆锥曲线含详解

高考数学压轴题突破训练——圆锥曲线含详解

高考数学压轴题突破训练：圆锥曲线 A D M B N l2‎ l1‎ ‎1. 如图，直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A，点B、D在直线l1上(B、D 位于点A右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M是该平面上的一个动点，M在l1上的射影点是N，且|BN|=2|DM|.w.w.w.k.s.5.u.c.o.‎ ‎(Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M的轨迹C的方程．‎ ‎(Ⅱ)过点D且不与l1、l2垂直的直线l交(Ⅰ)中的轨迹C于E、F两点；另外平面上的点G、H满足：‎ 求点G的横坐标的取值范围．‎ 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程.‎ ‎3. 已知椭圆的一条准线方程是其左、右顶点分别 是A、B；双曲线的一条渐近线方程为3x－5y=0.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率；‎ ‎（Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若. 求证：‎ ‎4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为a.‎ ‎ （1）用半焦距c表示椭圆的方程及tg;‎ ‎ （2）若20,b>0）的右准线一条渐近线交于两点P、Q，F是双曲线的右焦点。‎ ‎（I）求证：PF⊥；‎ ‎（II）若△PQF为等边三角形，且直线y=x+b交双曲线于A，B两点，且，求双曲线的方程；‎ ‎（III）延长FP交双曲线左准线和左支分别为点M、N，若M为PN的中点，求双曲线的离心率e。‎ ‎22. 已知又曲线 在左右顶点分别是A，B，点P是其右准线上的一点，若点A关于点P的对称点是M，点P关于点B的对称点是N，且M、N都在此双曲线上。 （I）求此双曲线的方程； （II）求直线MN的倾斜角。‎ ‎23. 如图，在直角坐标系中，点A（-1，0），B（1，0），P（x，y）（）。设与x轴正方向的夹角分别为α、β、γ，若。‎ ‎ （I）求点P的轨迹G的方程；‎ ‎ （II）设过点C（0，-1）的直线与轨迹G交于不同两点M、N。问在x轴上是否存在一点，使△MNE为正三角形。若存在求出值；若不存在说明理由。‎ 23‎ ‎24. 设椭圆过点，且焦点为。‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）当过点的动直线与椭圆相交与两不同点A、B时，在线段上取点，‎ 满足，证明：点总在某定直线上。‎ ‎25. 平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0）、B（0，‎ ‎－2），点C满足、‎ ‎ （1）求点C的轨迹方程；‎ ‎（2）设点C的轨迹与双曲线交于两点M、N，且以MN为直径的圆过原点，求证：.‎ ‎26. 设，、分别为轴、轴上的点，且，动点满足：.‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）过定点任意作一条直线与曲线交与不同的两点、，问在轴上是否存在一定点，使得直线、的倾斜角互补？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由 C B D A ‎27. 如图，直角梯形ABCD中，∠，AD∥BC，AB=2，AD=，BC=‎ 椭圆F以A、B为焦点，且经过点D， ‎ ‎（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求椭圆F的方程；‎ ‎（Ⅱ）是否存在直线与两点，且线段，若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由.‎ ‎28. 如图所示，B（– c，0），C（c，0），AH⊥BC，垂足为H，且．‎ ‎ （1）若= 0，求以B、C为焦点并且经过点A的椭圆的离心率；‎ ‎ （2）D分有向线段的比为，A、D同在以B、C为焦点的椭圆上，‎ 当 ―5≤≤ 时，求椭圆的离心率e的取值范围．‎ ‎29. 在直角坐标平面中，的两个顶点的坐标分别为，，平面内两点同时满足下列条件：‎ ‎①；②；③∥‎ ‎（1）求的顶点的轨迹方程；‎ 23‎ ‎（2）过点的直线与（1）中轨迹交于两点，求的取值范围 答案：‎ ‎1.解：(Ⅰ) 以A点为坐标原点，l1为x轴，建立如图所示的坐标系，则D(1，0)，B(4，0)，设M（x，y），‎ 则N（x，0）. ‎ ‎∵|BN|=2|DM|，‎ ‎∴|4－x|=2,‎ 整理得3x2+4y2=12,‎ ‎∴动点M的轨迹 方程为. ‎ ‎(Ⅱ)∵‎ ‎∴A、D、G三点共线，即点G在x轴上；又∵∴H点为线段EF的中点；又∵∴点G是线段EF的垂直平分线GH与x轴的交点。 ‎ 设l：y=k(x－1)(k≠0)，代入3x2+4y2=12得 ‎(3+4k2)x2－8k2x+4k2－12=0，由于l过点D(1，0)是椭圆的焦点，‎ ‎∴l与椭圆必有两个交点，‎ 设E(x1，y1)，F(x2，y2)，EF的中点H的坐标为（x0，y0），‎ ‎∴x1+x2= ，x1x2= ， ‎ x0= = ，y0=k(x0－1)= ， ‎ ‎∴线段EF的垂直平分线为 y－ y0 =－ (x－x0)，令y=0得，‎ 点G的横坐标xG = ky0+x0 = + = ‎= －，‎ ‎∵k≠0，∴k2>0，∴3+4k2>3，0<<，∴－<－<0，‎ ‎∴xG= －(0，）‎ ‎∴点G的横坐标的取值范围为(0，）. ‎ ‎2.解：∵，∴ ‎ ‎ 由得 ‎ ‎ ∴设椭圆的方程为（）‎ 即（）‎ 设是椭圆上任意一点，则 ‎ （）‎ 若即，则当时，‎ ‎ 由已知有，得； ‎ 若即，则当时，‎ ‎ 由已知有，得（舍去）. ‎ 综上所述，，. ‎ 所以，椭圆的方程为. ‎ 23‎ ‎3.解：（I）由已知 ‎∴椭圆的方程为，双曲线的方程.‎ 又 ∴双曲线的离心率 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）A（－5，0），B（5，0） 设M得M为AP的中点 ‎∴P点坐标为 将M、p坐标代入c1、c2方程得 消去y0得 解之得 由此可得P（10，‎ 当P为（10， 时 PB： 即 代入 ‎ MN⊥x轴 即 ‎4.解：（1）由题意可知所以椭圆方程为 ‎ 设，将其代入椭圆方程相减，将 代入 可化得 ‎ ‎（2）若2|CA|=2，于是点 Q的轨迹是以点C，A为焦点，半焦距c=1，长半轴a=的椭圆，短半轴 点Q的轨迹E方程是：. ‎ ‎ （2）设Ｆ（x1，y1）H（x2，y2），则由，‎ ‎ 消去y得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又点O到直线FH的距离d=1，‎ ‎ ‎ ‎18.解：（1）以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A（－c，0），B（c，0）‎ 依题意：‎ ‎∴点P的轨迹为以A、B为焦点，实半轴为a，虚半轴为的双曲线右支 ‎∴轨迹方程为：。‎ ‎（2）法一：设M（，），N（，）‎ 依题意知曲线E的方程为 ‎，l的方程为 设直线m的方程为 由方程组，消去y得 23‎ ‎ ①‎ ‎∴‎ ‎∵直线与双曲线右支交于不同的两点 ‎∴及，从而 由①得 解得且 当x＝2时，直线m垂直于x轴，符合条件，∴‎ 又设M到l的距离为d，则 ‎∵‎ ‎∴‎ 设，‎ 由于函数与均为区间的增函数 ‎∴在单调递减 ‎∴的最大值＝‎ 又∵‎ 而M的横坐标，∴‎ 法二：为一条渐近线 ‎①m位于时，m在无穷远，此时 ‎②m位于时，，d较大 由 点M ‎ 23‎ ‎∴‎ 故 ‎ ‎19.解：(1) 曲线表示以为圆心,以3为半径的圆, 圆上两点P、Q满足关于直线对称,则圆心在直线上,代入解得 ‎ ‎(2)直线PQ与直线垂直,所以设PQ方程为 ‎,.‎ 将直线与圆的方程联立得 由解得.‎ ‎.‎ 又以PQ为直径的圆过O点 解得 故所求直线方程为 ‎20.解：（1）∵，且， ∴动点到两个定点的距离的和为4，‎ ‎∴轨迹是以为焦点的椭圆，方程为 ‎ ‎（2）设，直线的方程为，代入， 消去得 ，‎ ‎ 由得 ， 且， ‎ ‎ ∴ ‎ ‎ 设点，由可得 ‎ ‎∵点在上，‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴，‎ 又因为的任意性，∴， ‎ ‎∴，又， 得 ，‎ 23‎ ‎ 代入检验，满足条件，故的值是。‎ ‎21.解：(1) 不妨设.‎ ‎, F.(c,0)‎ 设 k2= ∴k1k2=－1.‎ 即PF⊥. ‎ ‎（2）由题 ‎. x2－bx－b2=0, ‎ ‎∴a=1, ∴双曲线方程为 ‎（3） y=－ M(－ ‎ ‎ ∴N（－）.‎ 又N在双曲线上。∴‎ ‎∴e= ‎ ‎22.解：（I）点A、B的坐标为A（-3，0），B（3，0），设点P、M、N的坐标依次为 　　 则有 　　　　　 　　 ② 4-①得 ，解得c=5 　　 故所求方程是 　　　 （II）由②得， 　　　 ‎ 23‎ ‎　　 所以，M、N的坐标为 　　 　　 所以MN的倾斜角是 ‎ ‎23.解：（I）由已知，当时，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当时，，也满足方程<1>‎ ‎ ∴所求轨迹G方程为 ‎ （II）假设存在点，使为正△‎ ‎ 设直线方程：代入 ‎ 得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ∴MN中点 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 在正△EMN中，‎ ‎ ‎ 23‎ ‎ ‎ ‎ 与矛盾 ‎ ∴不存在这样的点使△MNE为正△‎ ‎24.解：（1）由题意： ，解得，‎ 所求椭圆方程为 ‎ ‎（2）解：设过P的直线方程为：，‎ 设，，‎ 则 ‎，‎ ‎∵，∴，即，‎ 化简得：，‎ ‎∴，‎ 去分母展开得：‎ 化简得：，解得：‎ 又∵Q在直线上，‎ ‎∴，∴‎ 即，‎ ‎∴Q恒在直线上。‎ ‎25.解：（1）解：设 即点C的轨迹方程为x+y=1 ‎ 23‎ ‎ ‎ ‎26.解：（1）设，则、，‎ 又，，即. ‎ ‎（2）设直线的方程为：，、‎ 假设存在点满足题意，则，‎ ‎，即，，‎ ‎，又 ‎， ‎ 由于，则 对不同的值恒成立，即对不同的值恒成立，‎ 则，即，故存在点符合题意.‎ ‎27.解：（Ⅰ）以AB中点为原点O，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图 ‎ 则A（-1,0） B(1,0) D(-1,) ‎ ‎ 设椭圆F的方程为 ‎ ‎ 得 ‎ ‎ 得 23‎ ‎ 所求椭圆F方程 ‎ ‎（Ⅱ）解：若存在这样的直线l，依题意，l不垂直x轴 ‎ 设 l方程 ‎ ‎ 代入 ‎ ‎ 设、 有 ‎ ‎ 得 ‎ ‎ 又内部 故所求直线l方程 ‎ ‎（Ⅱ）解法2：若存在这样的直线l，设，‎ 有 ‎ 两式相减得 ‎ 有 ‎ 得 即l斜率为 ‎ 又，故所求直线l方程 ‎ ‎28.解：（1）因为，所以H ，又因为AH⊥BC，所以设A，由　得 即　　　　　3分　　‎ 所以|AB| = ，|AC | =‎ ‎ 椭圆长轴2a = |AB| + |AC| = (+ 1)c，　　　　所以，．　‎ ‎（2）设D (x1，y1)，因为D分有向线段的比为，所以，，　　‎ ‎　设椭圆方程为= 1 (a > b > 0)，将A、D点坐标代入椭圆方程得 .①‎ ‎ …………………………….. ②‎ 由①得，代入②并整理得，　　　‎ 23‎ ‎ 因为 – 5≤≤，所以，又0 < e < 1，所以≤e≤．‎ ‎29.解：（1）设 ‎ ， 点在线段的中垂线上 由已知；又∥，‎ 又　‎ ‎ ‎ ‎ ，顶点的轨迹方程为 .‎ ‎(2)设直线方程为：，，‎ 由 消去得： ①‎ ‎ ， ‎ 而 由方程①知 ＞＜‎ ‎ ，＜＜， .‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 23‎