高考数学二轮复习微专题强化练习题随机变量及其分布列理

高考数学二轮复习微专题强化练习题随机变量及其分布列理

‎1．离散型随机变量及其分布列 ‎⑴离散型随机变量 如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量来表示，并且是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母表示．‎ 如果随机变量的所有可能的取值都能一一列举出来，则称为离散型随机变量．‎ ‎⑵离散型随机变量的分布列 将离散型随机变量所有可能的取值与该取值对应的概率列表表示：‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ 我们称这个表为离散型随机变量的概率分布，或称为离散型随机变量的分布列．‎ ‎2．几类典型的随机分布 ‎⑴两点分布 如果随机变量的分布列为 其中，，则称离散型随机变量服从参数为的二点分布．‎ 二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为，不合格记为，已知产品的合格率为，随机变量为任意抽取一件产品得到的结果，则的分布列满足二点分布．‎ 两点分布又称分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布．‎ ‎⑵超几何分布 一般地，设有总数为件的两类物品，其中一类有件，从所有物品中任取件，这件中所含这类物品件数是一个离散型随机变量，它取值为时的概率为 ‎，为和中较小的一个．‎ 我们称离散型随机变量的这种形式的概率分布为超几何分布，也称服从参数为，，的超几何分布．在超几何分布中，只要知道，和，就可以根据公式求出取不同值时的概率，从而列出的分布列．‎ ‎⑶二项分布 ‎1．独立重复试验 如果每次试验，只考虑有两个可能的结果及，并且事件发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为次独立重复试验．次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为．‎ ‎2．二项分布 若将事件发生的次数设为，事件不发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率是，其中．于是得到的分布列 ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ 由于表中的第二行恰好是二项展开式 各对应项的值，所以称这样的散型随机变量服从参数为，的二项分布，‎ 记作．‎ 二项分布的均值与方差：‎ 若离散型随机变量服从参数为和的二项分布，则 ‎，．‎ ‎⑷正态分布 1． 概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，‎ 直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量，则这条曲线称为的概率密度曲线．‎ 曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是，而随机变量落在指定的两个数之间的概率就是对应的曲边梯形的面积．‎ ‎2．正态分布 ‎⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布．‎ 服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量．‎ 正态变量概率密度曲线的函数表达式为，，其中，是参数，且，．‎ 式中的参数和分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为、标准差为的正态分布通常记作．‎ 正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．‎ ‎⑵标准正态分布：我们把数学期望为，标准差为的正态分布叫做标准正态分布．‎ ‎⑶重要结论：‎ ‎①正态变量在区间，，内，取值的概率分别是，，．‎ ‎②正态变量在内的取值的概率为，在区间之外的取值的概率是，故正态变量的取值几乎都在距三倍标准差之内，这就是正态分布的原则．‎ ‎⑷若，为其概率密度函数，则称为概率分布函数，特别的，，称为标准正态分布函数．‎ ‎．‎ 标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得．‎ 分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可．‎ ‎3．离散型随机变量的期望与方差 ‎1．离散型随机变量的数学期望 定义：一般地，设一个离散型随机变量所有可能的取的值是，，…，，这些值对应的概率是，，…，，则，叫做这个离散型随机变量的均值或数学期望（简称期望）．‎ 离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平．‎ ‎2．离散型随机变量的方差 一般地，设一个离散型随机变量所有可能取的值是，，…，，这些值对应的概率是，，…，，则叫做这个离散型随机变量的方差．‎ 离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度）．‎ 的算术平方根叫做离散型随机变量的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的量．‎ ‎3．为随机变量，为常数，则；‎ ‎4． 典型分布的期望与方差：‎ ‎⑴二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量的期望取值为，在次二点分布试验中，离散型随机变量的期望取值为．‎ ‎⑵二项分布：若离散型随机变量服从参数为和的二项分布，则，．‎ ‎⑶超几何分布：若离散型随机变量服从参数为的超几何分布，‎ 则，．‎ ‎4．事件的独立性 如果事件是否发生对事件发生的概率没有影响，即，‎ 这时，我们称两个事件，相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．‎ 如果事件，，…，相互独立，那么这个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即，并且上式中任意多个事件换成其对立事件后等式仍成立．‎ ‎5．条件概率 对于任何两个事件和，在已知事件发生的条件下，事件发生的概率叫做条件概率，用符号“”来表示．把由事件与的交（或积），记做（或）．‎ 一、解答题 ‎1．(2014·安徽理，17)甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 5 局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．‎ ‎(1)求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率；‎ ‎(2)记 X 为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望)．‎ ‎2．(2015·重庆理，17)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．‎ ‎(1)求三种粽子各取到1个的概率；‎ ‎(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．‎ ‎3．(2014·石家庄质检)某商场为了了解顾客的购物信息，随机的在商场收集了100位顾客购物的相关数据，整理如下：‎ 一次购物款 ‎(单位：元)‎ ‎[0,50)‎ ‎[50,100)‎ ‎[100,150)‎ ‎[150,200)‎ ‎[200，＋∞)‎ 顾客人数 m ‎20‎ ‎30‎ n ‎10‎ 统计结果显示：100位顾客中购物款不低于100元的顾客占60%.据统计该商场每日大约有5000名顾客，为了增加商场销售额度，对一次性购物不低于100元的顾客发放纪念品(每人一件)．(注：视频率为概率) ‎ ‎(1)试确定m、n的值，并估计该商场每日应准备纪念品的数量；‎ ‎(2)现有4人去该商场购物，求获得纪念品的人数ξ的分布列与数学期望．‎ ‎4.为了了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的身体素质，学校对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为123，其中第2小组的频数为12.‎ ‎(1)求该校报考飞行员的总人数；‎ ‎(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中(人数很多)任选3人，设X表示体重超过60kg的学生人数，求X的分布列和数学期望．‎ ‎5一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：‎ 老板根据销售量给予店员奖励，具体奖励规定如下表 销售量X个 X<100‎ ‎100≤X<150‎ ‎150≤X<200‎ X≥200‎ 奖励金额(元)‎ ‎0‎ ‎50‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎(1)求在未来连续3天里，店员共获得奖励150元的概率；‎ ‎(2)记未来连续2天，店员获得奖励X元，求随机变量X的分布列及数学期望E(X)．‎ ‎6．(2015·石家庄市一模)集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为，，，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需费用为100元．‎ ‎(1)求集成电路E需要维修的概率；‎ ‎(2)若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X的分布列和期望．‎ ‎7．(2014·郑州市质检)为了迎接2014年3月30日在郑州举行的“中国郑州国际马拉松赛”，举办单位在活动推介晚会上进行嘉宾现场抽奖活动. 抽奖盒中装有6个大小相同的小球，分别印有“郑开马拉松”和“美丽绿城行”两种标志. 摇匀后，参加者每次从盒中同时抽取两个小球(取出后不再放回)，若抽到两个球都印有“郑开马拉松”标志即可获奖，并停止取球；否则继续抽取．第一次取球就抽中获一等奖，第二次取球抽中获二等奖，第三次取球抽中获三等奖，没有抽中不获奖．活动开始后，一位参赛者问：“盒中有几个印有‘郑开马拉松’的小球？”主持人说“我只知道第一次从盒中同时抽两球，不都是‘美丽绿城行’标志的概率是.”‎ ‎(1)求盒中印有“郑开马拉松”小球的个数； ‎ ‎(2)若用η表示这位参加者抽取的次数，求η的分布列及期望．‎ ‎8.(2014·福建理，18)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．‎ ‎(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：‎ ‎①顾客所获的奖励额为60元的概率；‎ ‎②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；‎ ‎(2)商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．‎