2020-2021学年高考数学（理）考点：参数方程与普通方程的互化与应用

2020-2021学年高考数学（理）考点：参数方程与普通方程的互化与应用

‎2020-2021学年高考数学（理）考点：参数方程与普通方程的互化与应用 ‎1.必记的曲线参数方程 已知条件 普通方程 参数方程 经过点P(x0，y0)，倾斜角为α (α为参数)‎ 圆心在点M0(x0，y0)，半径为r (θ为参数)‎ 长半轴a和短半轴b 椭圆＋＝1(a＞b＞0)‎ (θ为参数)‎ 实轴a和虚轴b 双曲线－＝1(a＞0，b＞0)‎ (θ为参数)‎ 已知p 抛物线y2＝2px(p＞0)‎ 2. 参数方程与普通方程的转化 （1） 参数方程转化成普通方程 类型一：含t的消参 思路：含有t的参数方程消参时，想办法把参数t消掉就可以啦，有两个思路：‎ 思路一：代入消元法，把两条式子中比较简单的一条式子转化成t=f(x)或t=f(y)，‎ 思路二：加减消元：让含有t前面的系数相同或成相反数后相加减。‎ 例如：曲线C：‎ 解：思路一：代入消元：∵x＝2＋t，∴t＝x－2，代入y＝1＋t，得y＝x－1，‎ 即x－y－1＝0.‎ ‎ 思路二：加减消元：两式相减，x－y－1＝0.‎ 类型二：含三角函数的消参 思路：三角函数类型的消参一般的步骤就是：移项-化同-平方-相加 移项：把除了三角函数的其他相加减数字移动左边 化同：把三角函数前面的系数化成相同 平方：两道式子左右同时平方 相加：平方后的式子进行相加 ‎（注：有时候并不需要全部步骤）‎ 例如：圆消参数θ，化为普通方程是(x－1)2＋(y＋2)2＝1.‎ 解：移项：（三角函数前面系数已经相同，省去化同，直接平方）‎ 平方：‎ 相加：‎ 2. 参数方程涉及题型 （1） 直线参数方程的几何意义 （2） 距离最值（点到点、曲线点到线、）‎ 距离的最值： ---用“参数法”‎ ‎1.曲线上的点到直线距离的最值问题 ‎2.点与点的最值问题 ‎“参数法”：设点---套公式--三角辅助角 ‎①设点： 设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设 ‎②套公式：利用点到线的距离公式 ‎③辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一 直线参数方程的几何意义.经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：‎ ‎(1)t0=；(2)|PM|=|t0|=；(3)|AB|=|t2－t1|；(4)|PA|·|PB|=|t1·t2|‎ ‎（5）‎ ‎（注：记住常见的形式，P是定点，A、B是直线与曲线的交点，P、A、B三点在直线上）‎ ‎【特别提醒】1.直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且其几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|=|t|.‎ 直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为，则弦长；‎ 2. 解题思路 第一步：曲线化成普通方程，直线化成参数方程 第二步：将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于t的一元二次方程：‎ 第三步：韦达定理：‎ 第四步：选择公式代入计算。‎ ‎3.直线与两曲线分别相交，求交点间的距离：‎ 思路：一般采用直线极坐标与曲线极坐标联系方程求出2个交点的极坐标，利用极径相减即可。‎ ‎4.面积的最值问题：‎ 面积最值问题一般转化成弦长问题+点到线的最值问题 真题演练 ‎1．（2020•上海）已知直线方程的一个参数方程可以是　　‎ A．为参数） B．为参数） ‎ C．为参数） D．为参数）‎ ‎【答案】B ‎【解析】为参数）的普通方程为：，即，不正确；‎ 为参数）的普通方程为：，即，正确；‎ 为参数）的普通方程为：，即，不正确；‎ 为参数）的普通方程为：，即，不正确；‎ 故选．‎ ‎2．（2019•北京）已知直线的参数方程为为参数），则点到直线的距离是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由为参数），消去，可得．‎ 则点到直线的距离是．‎ 故选．‎ ‎3．（2019•天津）设，直线和圆为参数）相切，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，直线和圆为参数）相切，‎ 圆心到直线的距离：‎ ‎，‎ 解得．‎ 故答案为：．‎ ‎4．（2020•新课标Ⅲ）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数且，与坐标轴交于，两点．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程．‎ ‎【解析】（1）当时，可得舍去），代入，可得，‎ 当时，可得舍去），代入，可得，‎ 所以曲线与坐标轴的交点为，，‎ 则；‎ ‎（2）由（1）可得直线过点，，‎ 可得的方程为，‎ 即为，‎ 由，，‎ 可得直线的极坐标方程为．‎ ‎5．（2020•新课标Ⅱ）已知曲线，的参数方程分别为为参数），为参数）．‎ ‎（1）将，的参数方程化为普通方程；‎ ‎（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．设，的交点为 ‎，求圆心在极轴上，且经过极点和的圆的极坐标方程．‎ ‎【解析】（1）曲线，参数方程为：为参数），转换为直角坐标方程为：，‎ 所以的普通方程为．‎ 曲线的参数方程：为参数）．‎ 所以①②整理得直角坐标方程为，‎ 所以的普通方程为．‎ ‎（2）法一：由，得，即的直角坐标为．‎ 设所求圆的圆心的直角坐标为，，由题意得，‎ 解得，‎ 因此，所求圆的极坐标方程为．‎ 法二：由，整理得，解得：，即．‎ 设圆的方程，‎ 由于圆经过点和原点，‎ 所以，解得，‎ 故圆的方程为：，即，转换为极坐标方程为．‎ ‎6．（2020•新课标Ⅰ）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）当时，是什么曲线？‎ ‎（2）当时，求与的公共点的直角坐标．‎ ‎【解析】（1）当时，曲线的参数方程为，为参数），‎ 消去参数，可得，‎ 故是以原点为圆心，以1为半径的圆；‎ ‎（2）法一：当时，，消去得到的直角坐标方程为，‎ 的极坐标方程为可得的直角坐标方程为，‎ ‎，解得．‎ 与的公共点的直角坐标为．‎ 法二：当时，曲线的参数方程为，为参数），‎ 两式作差可得，‎ ‎，得，‎ 整理得：，．‎ 由，又，，‎ ‎．‎ 联立，解得（舍，或．‎ 与的公共点的直角坐标为．‎ ‎7．（2019•新课标Ⅰ）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求和的直角坐标方程；‎ ‎（2）求上的点到距离的最小值．‎ ‎【解析】（1）由为参数），得，‎ 两式平方相加，得，‎ 的直角坐标方程为，‎ 由，得．‎ 即直线的直角坐标方程为得；‎ ‎（2）法一、设上的点，，‎ 则到直线得的距离为：‎ ‎．‎ 当时，有最小值为．‎ 法二、设与直线平行的直线方程为，‎ 联立，得．‎ 由△，得．‎ 当时，直线与曲线的切点到直线的距离最小，为．‎ ‎8．（2018•新课标Ⅲ）在平面直角坐标系中，的参数方程为为参数），过点且倾斜角为的直线与交于，两点．‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）求，中点的轨迹的参数方程．‎ ‎【解析】（1）的参数方程为为参数），‎ 的普通方程为，圆心为，半径，‎ 当时，过点且倾斜角为的直线的方程为，成立；‎ 当时，过点且倾斜角为的直线的方程为，‎ 倾斜角为的直线与交于，两点，‎ 圆心到直线的距离，‎ ‎，或，‎ 或，‎ 综上的取值范围是，．‎ ‎（2）的参数方程为，为参数，，‎ 设，，对应的参数分别为，，，则，‎ 且，满足，‎ ‎，‎ 满足，‎ 中点的轨迹的参数方程为：，为参数，．‎ ‎9．（2018•新课标Ⅱ）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，为参数），直线的参数方程为，为参数）．‎ ‎（1）求和的直角坐标方程；‎ ‎（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．‎ ‎【解析】（1）曲线的参数方程为为参数），‎ 转换为直角坐标方程为：．‎ 直线的参数方程为为参数）．‎ 转换为直角坐标方程为：或．‎ ‎（2）把直线的参数方程为参数），‎ 代入椭圆的方程得到：‎ 整理得：，‎ 则：，（由于和为、对应的参数）‎ 由于为中点坐标，‎ 所以利用中点坐标公式，‎ 则：，‎ 解得：，‎ 即：直线的斜率为．‎ ‎10．（2017•江苏）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为为参数），曲线的参数方程为为参数）．设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值．‎ ‎【解析】直线的直角坐标方程为，‎ 到直线的距离，‎ 当时，取得最小值．‎ ‎11．（2017•新课标Ⅰ）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，为参数），直线的参数方程为，为参数）．‎ ‎（1）若，求与的交点坐标；‎ ‎（2）若上的点到距离的最大值为，求．‎ ‎【解析】（1）曲线的参数方程为为参数），化为标准方程是：；‎ 时，直线的参数方程化为一般方程是；‎ 联立方程，解得或，‎ 所以椭圆和直线的交点为和，．‎ ‎（2）的参数方程为参数）化为一般方程是：，‎ 椭圆上的任一点可以表示成，，，‎ 所以点到直线的距离为：‎ ‎，‎ 满足，且的的最大值为．‎ ‎①当时，即时，‎ 解得和，符合题意．‎ ‎②当时，即时 ‎，‎ 解得和18，符合题意．‎ 综上，或．‎ ‎12．（2017•新课标Ⅲ）在直角坐标系中，直线的参数方程为，为参数），直线的参数方程为，为参数）．设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线．‎ ‎（1）写出的普通方程；‎ ‎（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，为与的交点，求的极径．‎ ‎【解析】（1）直线的参数方程为，为参数），‎ 消掉参数得：直线的普通方程为：①；‎ 又直线的参数方程为，为参数），‎ 同理可得，直线的普通方程为：②；‎ 联立①②，消去得：，即的普通方程为；‎ ‎（2）的极坐标方程为，‎ 其普通方程为：，‎ 联立得：，‎ ‎．‎ 与的交点的极径为．‎ 强化训练 ‎1．（2020•杨浦区校级模拟）已知曲线的参数方程为，其中参数，则曲线　　‎ A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．没有对称性 ‎【答案】C ‎【解析】由于为奇函数，‎ 为奇函数，‎ 故曲线关于原点对称．‎ 故选．‎ ‎2．（2020•杨浦区二模）已知曲线的参数方程为是参数），曲线的参数方程为是参数），则和的两个交点之间的距离为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由曲线的参数方程是参数），得其普通方程为，‎ 由曲线的参数方程是参数），得其普通方程为，‎ 则曲线是以为圆心，半径的圆，‎ 圆心到直线的距离，‎ 和的两个交点之间的距离为．‎ 故答案为：．‎ ‎3．（2020•奉贤区二模）已知圆的参数方程为为参数），则此圆的半径是 ‎__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】圆的参数方程为为参数），转换为直角坐标方程为，‎ 所以该圆为以为圆心，2为半径的圆．‎ 故答案为：2．‎ ‎4．（2020•长宁区二模）直线是参数）的斜率为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】直线是参数），消去参数为：，可得斜率．‎ 故答案为：2．‎ ‎5．（2020•浦东新区模拟）若点在曲线为参数，上，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由为参数，可得：‎ 因此可以看作与圆：上的点的连线的直线的斜率的取值范围．‎ 设过点的直线方程为：，化为，‎ ‎，解得．‎ 解得．‎ 的取值范围是．‎ 故答案为：．‎ ‎6．（2020•武汉模拟）已知曲线的参数方程为为参数），曲线的参数方程为 为参数），以直角坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求曲线和曲线的的极坐标方程；‎ ‎（2）射线与曲线和曲线分别交于，，已知点，求的面积．‎ ‎【解析】（1）曲线的参数方程为为参数），‎ 由于①，，②，‎ ‎①②得：．‎ 根据整理得．‎ 曲线的参数方程为为参数），转换为普通方程为．‎ 转换为极坐标方程为．‎ ‎（2）射线与曲线和曲线分别交于，，‎ 所以，，‎ 所以，‎ 则的面积为．‎ ‎7．（2020•韩城市模拟）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），曲线的参数方程为，，为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）求，的值；‎ ‎（Ⅱ）已知点的直角坐标为，直线与曲线交于，两点，求．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由，得，‎ 又，，‎ 曲线的直角坐标方程为，‎ 即．‎ 又曲线的参数方程为，‎ 化为普通方程，即，‎ ‎，，；‎ ‎（Ⅱ）将直线的参数方程为参数）代入即，‎ 得．‎ 设，对应的参数分别为，，则，．‎ ‎．‎ ‎8．（2020•沙坪坝区校级模拟）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以为极点，正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线与曲线交于，两点，点是的中点，点，求的取值范围．‎ ‎【解析】（1）由题意可得，，‎ 所以曲线的直角坐标方程为．‎ ‎（2）联立方程，‎ 得到，‎ 设，对应的参数分别为，，‎ 则 因为是，的中点，‎ 所以 当时，‎ 当时，，‎ 因为，，所以，．‎ 综上所述，，．‎ ‎9．（2020•汉阳区校级模拟）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为：，．‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程并指出曲线类型；‎ ‎（2）若曲线与直线交于不同的两点、，，求的值．‎ ‎【解析】（1）由，消去参数，得，‎ 令，，‎ 则有，‎ 即，曲线为等轴双曲线；‎ ‎（2）将直线的极坐标方程代入，得，‎ 曲线与曲线交于不同的两点、，‎ 则，‎ 又，可得或，‎ 设，，，，‎ 则，‎ 解得：，‎ 或，得或．‎ ‎10．（2020•运城模拟）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）求曲线上的点到直线的距离的最大值．‎ ‎【解析】（1）曲线的参数方程为为参数），消去参数得到普通方程为．‎ 直线的极坐标方程为．根据转换为普通方程为．‎ ‎（2）设点，则点到直线的距离，‎ 当时，点到直线的距离的最大值为．‎ ‎11．（2020•金凤区校级四模）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为 ‎．‎ ‎（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线与轴，轴分别交于，两点，点是曲线上任意一点，求面积的最大值．‎ ‎【解析】（1）曲线的参数方程为为参数），消去参数得：．‎ 直线的极坐标方程为．根据转换为直角坐标方程为．‎ ‎（2）直线与轴的交点坐标为与轴的交点坐标为，‎ 设点到直线的距离，‎ 由于，‎ 所以．‎ ‎12．（2020•湖北模拟）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设，直线与曲线的交点为，，线段的中点为，求．‎ ‎【解析】（1）直线的参数方程为为参数），转换为普通方程为；‎ 曲线的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为 ‎．‎ ‎（2）将代入到中得到 设，所对应的参数分别为，，则 线段的中点所对应的参数为 ‎13．（2020•香坊区校级一模）已知曲线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）写出曲线的极坐标方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若射线与曲线交于，两点，与直线交于点，射线与曲线交于，两点，求的面积．‎ ‎【解析】（Ⅰ），，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎，，‎ ‎，‎ 又直线的极坐标方程为，‎ ‎．‎ 曲线的极坐标方程为，‎ 直线的直角坐标方程为．‎ ‎（Ⅱ）由题意可知，设点的极坐标为，点的极坐标为，点的极坐标为 ‎．‎ ‎．‎ 点到直线的距离为，‎ ‎．‎ ‎14．（2020•衡阳三模）在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）写出直线及曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若上的点到的距离的最小值为，求实数的值 ‎【解析】（1）直线的参数方程为为参数），消去可得：直线直角坐标方程为 依题：，‎ 由及可得：曲线的直角坐标方程为 ‎（2）令曲线上动点，‎ 则到直线的距离 ‎（其中，，‎ 因为，‎ 所以 ‎．当时，，‎ 解得或（舍去）‎ ‎．当时，，‎ 解得或（舍去）‎ 故所求的值为9或 ‎15．（2020•襄州区校级四模）在平面直角坐标中，直线的参数方程为为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设，直线与曲线的交点为、，线段的中点为，求的值．‎ ‎【解析】（1）直线的参数方程为为参数）．消去参数可得直线的普通方程为，‎ 由，得，‎ 则有，‎ 即，‎ 则曲线的直角坐标方程为．‎ ‎（2）将的参数方程代入，得，设两根为，，则；‎ 所以，线段的中点为对应的参数为，‎ 所以，．‎ ‎16．（2020•武昌区校级模拟）在平面直角坐标系中，已知曲线为参数），为参数）．‎ ‎（1）将，的参数方程化为普通方程；‎ ‎（2）曲线与交于，两点，点，求的值．‎ ‎【解析】（1）已知曲线为参数），转换为直角坐标方程为．‎ 曲线为参数）．转换为直角坐标方程为．‎ ‎（2）把直线的参数方程代入，‎ 整理得，即，‎ 所以，．‎ 则．‎