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文档介绍
高考理科数学模拟试题含答案及解析套
绝密 ★ 启用前 2020 年高考模拟试题（一） 理科数学 时间：120 分钟 分值：150 分 注意事项： 1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的 姓名、考生号填写在答题卡上。 2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。 3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。 4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．已知 a ，b 都是实数，那么“ 2 2a b ”是“ 2 2a b ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 条件 2．抛物线 22 ( 0)x py p 的焦点坐标为（ ） A． ,02 p B． 1 ,08p C． 0, 2 p D． 10, 8p 3．十字路口来往的车辆，如果不允许掉头，则行车路线共有（ ） A．24 种 B．16 种 C．12 种 D．10 种 4．设 x ， y 满足约束条件 3 6 0 2 0 0, 0 x y x y x y ≤ ≥ ≥ ≥ ，则目标函数 2z x y 的最小值为（ ） A． 4 B． 2 C． 0 D． 2 5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数 学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马” 的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为 1），则该“阳马”最长的棱长为（ ） A．5 B． 34 C． 41 D．5 2 6． sin ,0 0,xf x xx 大致的图象是（ ） A． B． C． D． 7．函数 sin cos ( 0)f x x x 在 ,2 2 上单调递增，则 的取值不可能为 （ ） A． 1 4 B． 1 5 C． 1 2 D． 3 4 8．运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为 A ，从集合 A 中任取一个元素 a ， 则函数 ay x ， 0,x 是增函数的概率为（ ） A． 3 5 B． 4 5 C． 3 4 D． 3 7 9．已知 A ， B 是函数 2xy 的图象上的相异两点，若点 A ， B 到直线 1 2y 的距离相等， 则点 A ， B 的横坐标之和的取值范围是（ ） A． , 1 B． , 2 C． , 3 D． , 4 10．在四面体 ABCD 中，若 3AB CD ， 2AC BD ， 5AD BC ，则四面 体 ABCD 的外接球的表面积为（ ） A． 2 B． 4 C． 6 D．8 11．设 1x 是函数 3 2 1 2 1n n nf x a x a x a x n N 的极值点， 数列 na 满足 1 1a ， 2 2a ， 2 1logn nb a ，若 x 表示不超过 x 的最大整数，则 1 2 2 3 2018 2019 2018 2018 2018 bb b b b b =（ ） A．2017 B．2018 C．2019 D．2020 12．已知函数 e e x x af x a R 在区间 0,1 上单调递增，则实数 a 的取值范围（ ） A． 1,1 B． 1, C． 1,1 D． 0, 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 13．命题“ 0 0x ， 2 0 0 2 0x mx ”的否定是__________． 14．在 ABC△ 中，角 B 的平分线长为 3 ，角 2π 3C ， 2BC ，则 AB __________． 15．抛物线 2 4y x 的焦点为 F ，过 F 的直线与抛物线交于 A ， B 两点，且满足 4AF BF ， 点 O 为原点，则 AOF△ 的面积为__________． 16．已知函数 22 3sin cos 2cos 02 2 2 x x xf x 的周期为 2π 3 ，当 π0 3x ， 时，函 数 g x f x m 恰有两个不同的零点，则实数 m 的取值范围是__________． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 17、已知数列 na 的前 n 项和 nS 满足 12 2n n nS a . （1）求数列 na 的通项公式； （2）若不等式 22 3 (5 ) nn n a 对 n N 恒成立，求实数 的取值范围. 18、在四棱锥 ABCD-P 中， PA 平面 ABCD， ABC 是正三角形， AC与 BD 的交点为 M ， 又 0120CDACDAD4ABPA ，， ，点 N 是 CD 中点. 求证：（1）平面 PMN 平面 PAB ； （2）求二面角 D-PC-B 的余弦值. 19、某高校在 2017 年自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩，按成绩共分为 五组，得到如下的频率分布表： 组 号 分 组 频 数 频 率 第一组 [145,155） 5 0.05 第二组 [155,165） 35 0.35 第三组 [165,175） 30 a 第四组 [175,185） b c 第五组 [185,195） 10 0.1 （1）请写出频率分布表中 , ,a b c 的值，若同组中的每个数据用该组中间值代替，请估计全 体考生的平均成绩； （2）为了能选出最优秀的学生，该高校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽样的 方法抽取 12 名考生进入第二轮面试. ①求第 3、4、5 组中每组各抽取多少名考生进入第二轮面试； ②从上述进入二轮面试的学生中任意抽取 2 名学生，记 X 表示来自第四组的学生人数，求 X 的分布列和数学期望； ③若该高校有三位面试官各自独立地从这 12 名考生中随机抽取 2 名考生进行面试，设其中 甲考生被抽到的次数为 Y，求 Y 的数学期望. 20、在平面直角坐标系中，已知抛物线 xy 82 ，O 为坐标原点，点 M 为抛物线上任意一 点，过点 M 作 x 轴的平行线交抛物线准线于点 P ，直线 PO 交抛物线于点 N . （1）求证：直线 MN 过定点G ，并求出此定点坐标； （2）若 M ，G ， N 三点满足 GNMG 4 ，求直线 MN 的方程. 21、已知函数 ( ) ln(1 ),f x mx m R . （1）当 1m 时，证明： ( )f x x ； （2）若 21( ) 2g x x mx 在区间 0,1 上不是单调函数，讨论 ( ) ( )f x g x 的实根的个数. 请考生从第 22、23 题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右 侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本 选考题的首题进行评分. 22、【选修 4——4：坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为 3 2cos 4 2sin x y ，（ 为参数），以原点为 极点， x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）已知平面直角坐标系 xOy 中： ( 2,0), (0, 2)A B ，M 是曲线C 上任意一点，求 ABM 面积的最小值. 23、【选修 4——5：不等式选讲】 已知函数 ( ) 2f x x . （1）解不等式 ( ) 4 1f x x ； （2）已知 2( 0, 0)a b a b ，求证： 5 4 1( )2x f x a b . 2020 年高考模拟试题（一） 理科数学 答案及解析 1、【答案】D 【解析】 p ： 2 2a b a b ， q ： 2 2a b a b ， a b 与 a b 没有包含 关系，故为“既不充分也不必要条件”．故选 D． 2、【答案】B 【解析】化为标准方程得 2 1 2y xp ，故焦点坐标为 1 ,08p ．故选 B． 3、【答案】C 【解析】根据题意，车的行驶路线起点有 4 种，行驶方向有 3 种，所以行车路线 共有4 3=12 种，故选 C． 4、【答案】A 【解析】 如图，过 2,0 时， 2z x y 取最小值，为 4 ．故选 A． 5、【答案】D 【解析】由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图： 其 中 PA 平 面 ABCD ， ∴ 3PA ， 4AB CD ， 5AD BC ， ∴ 9 16 5PB ， 9 16 25 5 2PC ， 9 25 34PD ．该几何体最长 棱的棱长为5 2 ．故选 D． 6、【答案】D 【解析】由于函数 sin ,0 0,xf x xx 是偶函数，故它的图象关于 y 轴 对称，再由当 x 趋于时，函数值趋于零，故答案为：D． 7、【答案】D 【解析】∵ sin cos 2 sin ( 0)4f x x x x ， ∴令 2 22 4 2k x k ≤ ≤ ，k Z ，即 2 3 2 4 4 k kx ≤ ≤ ，k Z ， ∵ sin cos ( 0)f x x x 在 ,2 2 上单调递增，∴ 4 2 ≤ 且 3 4 2 ≥ ， ∴ 10 2 ≤ ，故选 D． 8、【答案】A 【解析】由框图可知 3,0, 1,8,15A ，其中基本事件的总数为 5，设集合中满 足“函数 ay x ， 0,x 是增函数”为事件 E，当函数 ay x ， 0,x 是增 函数时， 0a＞ ，事件 E 包含基本事件的个数为 3，则 3 5P E ．故选：A． 9、【答案】B 【解析】设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，不妨设 1 2x x ，函数 2xy 为单调增函数，若 点 A ， B 到 直 线 1 2y 的 距 离 相 等 ， 则 1 2 1 1 2 2y y ， 即 1 2 1y y ． 有 1 22 2 1x x ．由基本不等式得： 1 2 1 22 2 2 2 2x x x x ≥ ，整理得 1 2 12 4 x x ≤ ，解得 1 2 2x x ．（因为 1 2x x ，等号取不到）．故选 B． 10、【答案】C 【解析】如图所示，该四面体的四个顶点为长方体的四个顶点，设长、宽、高分 别为 a ，b ， c ，则 2 2 2 2 2 2 5 4 3 a b a c b c ，三式相加得： 2 2 2 6a b c ，所以该四面体 的外接球直径为长方体的体对角线长，故外接球体积为： 24 6R ． 11、【答案】A 【解析】由题意可得 2 1 23 2n n nf x a x a x a ，∵ 1x 是函数 f x 的极值点， ∴ 1 21 3 2 0n n nf a a a ， 即 2 13 2 0n n na a a ． ∴ 2 1 12n n n na a a a ， ∴ 2 1 1a a ， 3 2 2 1 2a a ， 2 4 3 2 2 2a a ，， 2 1 2n n na a ， 以上各式累加可得 12n na ．∴ 2 1 2log log 2n n nb a n ． ∴ 1 2 2 3 2018 2019 2018 2018 2018 b b b b b b 1 1 12018 1 2 2 3 2018 2019 12018 1 2019 20182018 2019 12017 2019 ． ∴ 1 2 2 3 2018 2019 2018 2018 2018 2017bb b b b b ．选 A． 12、【答案】C 【解析】当 0a 时， e e x x ay 在 1, ln2 a 上为减函数，在 1 ln ,2 a 上为 增函数，且 e 0e x x ay 恒成立，若函数 e e x x af x a R 在区间 0,1 上单 调递增， 则 e e x x ay 在区间 0,1 上单调递增，则 1 ln 02 a≤ ，解得 (0,1a ， 当 0a 时， e ee x x x af x 在区间 0,1 上单调递增，满足条件． 当 0a 时， e e x x ay 在 R 上单调递增，令 e 0e x x ay ，则 lnx a ， 则 e e x x af x 在0,ln a 上为减函数，在 ln ,a 上为增函数， 则ln 0a ≤ ，解得 1a ≥ ，综上所述，实数a 的取值范围 1,1 ，故选 C． 13、【答案】 0x ， 2 2 0x mx ． 【解析】命题“ 0 0x ， 2 0 0 2 0x mx ”的否定是“ 0x ， 2 2 0x mx ”． 即答案为 0x ， 2 2 0x mx ． 14、【答案】 6 ． 【解析】设角 B 的平分线为 BD ，由正弦定理得 sin sin BC BD BDC C ，即 2 3 sin sin120BDC ， 得 2sin 2BDC ， 45BDC ， 15CBD DBA ， 30A ， 6AB ．即答案为 6 ． 15、【答案】 2 ． 【解析】如图， 由题可得 2p ， 1,0F ，由 4AF BF ，所以 1 4 1A Bx x ，又根据 ACF BDF△ ∽△ 可得 F CF DF AF B ，即 4A B x OF OF x ，即 1 41 A B x x ，可以求得 4Ax ， 1 4Bx ，所以 A 点的坐标 为 4 4A ， 或 4, 4A ， 1 1 4 22S ，即答案为 2． 16、【答案】 3 2 ， ． 【解析】由题得 π3sin cos 1 2sin 16f x x x x ． 2π 2π 3T ， 3 ． ∴ π2sin 3 16f x x ．∵ π0 3x ， ，∴ π π 7π36 6 6x ， 0 3f x ． 由 0g x f x m 得 f x m ，即 y f x 的图象与直线 y m 恰有两个交点，结合 图象可知 2 3m ，即 3 2m ．故填 3 2 ， ． 17、解析：（1）当 1n 时， 12 2n n nS a ，即 2 1 1 12 2S a a ，得 1 4a ; 当 2n 时，有 -1 -12 2n n nS a ， 则 12 2 2n n n na a a ，得 12 +2n n na a ， 所以 1 1 12 2 n n n n a a ，所以数列 2 n n a 是以 2 为首项，1为公差的等差数列. 所以 = 12 n n a n ，即 ( 1) 2n na n . （2）原不等式即 ( 1)(2 3) (5 )( 1)2 nn n n ，等价于 2 35 2n n . 记 2 3 2n n nb ，则 5 nb 对 n N 恒成立，所以 max5 ( )nb . +1 1 1 2 1 2 3 5 2 2 2 2n n n n n n n nb b ，当 1,2n 时， 15 2 0, n nn b b ，即 1 2 3b b b ；当 2,n n N 时， 15 2 0, n nn b b ，即 3 4 5b b b ；所 以数列 nb 的最大项为 3 3 8b ，所以 35 8 ，解得 37 8 . 18、解（1）证明：在正三角形 ABC 中， BCAB ， 在 ACD 中， CDAD ， 又 BDBD ，所以 ABD BCD ， 所以 M 为 AC的中点，又点 N 是 CD 中点，所以 MN//AD 因为 PA 平面 ABCD，所以 ADPA ，又 0120CDA ， CDAD , 所以 030DAC 又 060BAC ， ABAD ，又 ADPA ， 所以 PABAD 平面 ，已证 MN//AD，所以 PABMN 平面 ， 又 PMNMN 平面 ，所以平面 PMN 平面 PAB ； （2）如图所示以 A 为原点， 轴轴、轴、所在直线分别为、、 zyxAPADAB 建立空间 直角坐标系。 已知 0120CDA4ABPA ， ， ABC 是正三角形， 则 ），，（ 000A ），，（ 004B ），，（ 0322C ），，（ 03 340D ），，（ 400P 所以 ），，（ 4-322PC ），，（ 0322-BC ），，（ 03 322DC 设平面 PBC的一个法向量为 ),,( 111 zyxm 由 0BC 0PC m m 0322 04322 11 111 yx zyx 令 31 x ，则 3,1 11 zy ，所以 )3,1,3( m 设平面 PDC的一个法向量为 ),,( 222 zyxn 由 0DC 0PC n n 03 322 04322 22 222 yx zyx 令 32 x ，则 3,3 22 zy ，所以 )3,3,3( n 所以 35 105 |||| ,cos nm nmnm 所以二面角 D-PC-B 的余弦值为- 35 105 . 19、解：（1）由题意知， 0.3, 20, 0.2, =150 0.05+160 0.35+170 0.3+180 0.2+190 0.1=169.5a b c X （2）①第 3、4、5 组共 60 名学生，现抽取 12 名，因此第三组抽取的人数为 12 30=660 人， 第四组抽取的人数为 12 20=460 人，第五组抽取的人数为 12 10=260 人. ② X 所 有 可 能 的 取 值 为 0 ， 1 ， 2 ， 0 2 4 8 2 12 28 14( 0) 66 33 C CP X C ， 1 1 4 8 2 12 32 16( 1) 66 33 C CP X C ， 2 0 4 8 2 12 6 1( 2) 66 11 C CP X C ； X 的分布列为： X 0 1 2 P 14 33 16 33 111 ∴EX=0×1433+1×1633+2×111=23 ③从 12 名考生中随机抽取 2 人，考生甲被抽到参加面试的概率为 1 1 1 11 2 12 1( 2) 6 C CP X C 则 1~ (3, )6Y B ， 1 13 6 2EY . 20、解析： （1）由题意得抛物线准线方程为 2x ，设 ),2( mP ，故 ),8( 2 mmM ，从而直线OP 的 方程为 xmy 2 ，联立直线与抛物线方程得 xmy xy 2 82 ，解得 )16,32( 2 mmN ， 故直线 MN 的方程为 )8( 16 8 2 2 mx m mmy ，整理得 )2(16 8 2 xm my ， 故直线 MN 恒过定点 )0,2(G . （2）由（1）可设直线 MN 的方程为 2 kyx ，联立直线与抛物线方程得 2 82 kyx xy 消元整理得 01682 kyy ，设 ),( 11 yxM ， ),( 22 yxN ， 则由韦达定理可得 kyy 821 ， 1621 yy ， 因为 GNMG 4 ，故 ),2(4),2( 2211 yxyx ，得 4 2 1 y y ， 联立两式 16 4 21 2 1 yy y y ，解得 2 8 2 1 y y 或 2 8 2 1 y y ，代入 kyy 821 ， 解得 4 3k 或 4 3k ，故直线 MN 的方程为 24 3 xy 或 24 3 xy ， 化简得 0834 yx 或 0834 yx . 21、解析： (1)根据题意,令 ( ) ln(1 ) ,F x x x 所以 ' 1( ) 11 1 xF x x x , 当 0,x 时, ' ( ) 0F x ,当 1,0x 时, ' ( ) 0F x 所以 max( ) (0) 0F x F ,故 ( )f x x . (2) 因 为 函 数 g( )x 的 对 称 轴 轴 方 程 为 x m , 所 以 0 1m . 据 题 意 , 令 21( ) ln(1 ) 2G x mx mx x ,所以 ' 1( ) ( ) 1 mx x m mG x mx , 令 G'(x)=0,解得 1 0x 或 2 1x m m ， 函 数 G(x) 的 定 义 域 为 1 ,m 因 为 1 0m m 且 1 1mm m ， 由 此 得 : 1 1,x mm m 时,1+mx>0,mx<0, 1( ) 0x m m 此时,G'(x)≥0 同理得: 1( ,0]x m m 时, ' ( ) 0G x ， 0x 时 ' ( ) 0G x ∴G(x)在 1 1,mm m 上单调递递增,在 1( ,0]m m 上 单调递减,在 (0, ) 上单调递增，故 1 0m xm 时,G(x)>G(0)=0,x>0 时,G(x)>G(0)=0，G(x) 在 1( , )m m 有且只有 1 个零点 x=0， G(x)在 1( ,0)m m 上单调递减,所以 1( ) (0) 0G m Gm ， 由(1)代换可知 ln 1x x ， 2 2 2 1 1 1ln 1 1m m m ， 2 1 1 2 1 mem ， 2 1 1 2me m ， 则 2 1 1 me mm ， 2 1 1 1 1 0 me mm m ， 2 1 1 1 1mexm m 时， 2 1ln(1 ) 1mx m ，而 2 2 2 1 1 12 x mx x mx m 得 2 2 2 1 1 1( ) ln(1 ) 1 1 02G x mx mx x m m 又函数 G(x)在 1 1,mm m 上单调递增， 2 1 1 1 1me mm m ， 由函数零点定理得, 0 1 1( , ),x mm m 使得 0( ) 0G x ， 故 (0,1)m 时方程 ( ) ( )f x g x 有两个实根. 22、解析：（1）由 3 2cos 4 2sin x y ，得 2 2( 3) ( 4) 4x y ， 将 cos sin x y 代入得 2 6 cos 8 sin 21 0 ，即为曲线 C 的极坐标方程. （2）设点 (3 2cos ,4 2sin )M 到直线 2 0AB x y ： 的距离为 d ，则 2 2 sin( ) 92sin 2cos 9 4= 2 2 d ， 当 sin( ) 14 时 ， d 有 最 小 值 9 2 2 2 ，所以 ABM 面积 1 9 2 22S AB d . 23、解析：（1）不等式 ( ) 4 1f x x ，即 1 + 2 4x x ， 当 2x 时，不等式化为 ( 1) ( 2) 4x x ，解得 3.5x ； 当 2 1x 时，不等式化为 ( 1)+( 2) 4x x ，无解； 当 1x 时，不等式化为 ( 1)+( 2) 4x x ，解得 0.5x ； 综上所述：不等式的解集为 , 3.5 0.5, . （2） 4 1 1 4 1 1 4= (4 1) 4.52 2 b aa ba b a b a b （ ） ， 当且仅当 4 2,3 3a b ，等号成立. 由题意知， 5 5 5( ) 2 ( 2) 4.52 2 2x f x x x x x ， 所以 5 4 1( )2x f x a b . 绝密 ★ 启用前 2020 年高考模拟试题（二） 理科数学 时间：120 分钟 分值：150 分 注意事项： 1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的 姓名、考生号填写在答题卡上。 2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。 3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。 4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．已知 aR， i 为虚数单位．若复数 i 1 i az 是纯虚数．则a的值为（ ） A． 1 B．0 C．1 D．2 2．设 2 i 3 i 3 5 ix y （i 为虚数单位），其中 x ，y是实数，则 ix y 等于（ ） A．5 B． 13 C． 2 2 D．2 3．为了从甲、乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近的 6 次数学测试的分数进行 统计，甲、乙两人的得分情况如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是 x甲 ， x乙 ，则 下列说法正确的是（ ） A． x x甲 乙 ，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛 B． x x甲 乙 ，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛 C． x x甲 乙 ，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛 D． x x甲 乙 ，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛 4．正方形 ABCD中，点E， F 分别是 DC ， BC 的中点，那么 EF （ ） A． 1 1+2 2AB AD B． 1 1 2 2AB AD C ． 1 1 2 2AB AD D． 1 1 2 2AB AD 5．已知双曲线 2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b 是离心率为 5 ，左焦点为 F ，过点 F 与 x 轴垂 直的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点 M ， N ，若 OMN△ 的面积为 20，其中 O 是 坐标原点，则该双曲线的标准方程为（ ） A． 2 2 12 8 x y B． 2 2 14 8 x y C． 2 2 18 2 x y D． 2 2 18 4 x y 6．一个几何体的视图如下图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A． 4π B．5π C．8π D．9π 7．执行如下图的程序框图，若输入 a 的值为 2，则输出S的值为（ ） A． 3.2 B． 3.6 C． 3.9 D． 4.9 8． 已 知 函 数 f x 在 定 义 域 0 ， 上 是 单 调函 数 ， 若 对 于任 意 0x ， ， 都 有 1 2f f x x ，则 1 5f 的值是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 9．己知 m、n为异面直线，m 平面 ，n 平面 ．直线l 满足l m ，l n ，l ， l ，则（ ） A． ∥ ，且 l ∥ ， l ∥ B． ，且 l ∥ ， l ∥ C． 与 相交，且交线垂直于l D． 与 相交，且交线平行于 l 10．已知三棱柱 1 1 1ABC ABC 的六个顶点都在球 O 的球面上，球 O 的表面积为194π ， 1AA平面 ABC ， 5AB ， 12BC ， 13AC ，则直线 1BC 与平面 1 1ABC所成角的正弦 值为（ ） A． 5 3 52 B． 7 3 52 C． 5 2 26 D． 7 2 26 11．已知椭圆 2 2 2 2 1 0x y a ba b 的短轴长为 2，上顶点为 A ，左顶点为 B ， 1F ， 2F 分 别是椭圆的左、右焦点，且 1FAB△ 的面积为 2 3 2 ，点 P 为椭圆上的任意一点，则 1 2 1 1 PF PF 的取值范围为（ ） A． 12， B． 2 3 ， C． 2 4 ， D． 14， 12．已知定义在 R 上的偶函数 f x 在 0 ， 上单调递减，若不等式 ln 1 ln 1 2 1f ax x f ax x f 对任意 1 3x ， 恒成立，则实数 a 的取值范围是 （ ） A． 1 2 ln 3 e 3 ， B． 1 ee ， C． 1 e ， D． 2 e， 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 13．已知实数 x ， y 满足 3 0 2 4 0 2 8 0 x y x y x y ，则 2z x y 的最小值为_________． 14．已知向量 2 3a ， ， 6m b ， ，若 a b ，则 2 a b ___________． 15．已知数列 na 的前 n项和为 nS ，且 2 1n nS a ，则数列 1 na 的前 6 项和为____． 16．抛物线 2 2 ( 0)y px p 的焦点为 F ，准线为l ， A 、B 是抛物线上的两个动点，且满 足 3AFB ．设线段 AB 的中点 M 在l 上的投影为 N ，则 MN AB 的最大值是_____． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 17．（12 分）已知 na 是等比数列， 1 2a ，且 1a ， 3 1a ， 4a 成等差数列． （1）求数列 na 的通项公式； （2）若 2logn nb a ，求数列 nb 前 n 项的和． 18．（12 分）某种产品的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其 质量指标值为 k ，当 85k 时，产品为一级品；当 75 85k 时，产品为二级品，当 70 75k 时，产品为三级品，现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做实验，各生 产了 100 件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面的试验结果：(以下均视 频率为概率) A 配方的频数分配表： 指标值分组 75 80， 80 85， 85 90， 90 95， 频数 10 30 40 20 B 配方的频数分配表： 指标值分组 70 75， 75 80， 80 85， 85 90， 90 95， 频数 5 10 15 40 30 （1）若从 B 配方产品中有放回地随机抽取 3 件，记“抽出的 B 配方产品中至少 1 件二级品” 为事件C ，求事件 C 发生的概率 P C ； （2）若两种新产品的利润率 y 与质量指标 k 满足如下关系： 2 2 85 5 75 85 70 75 t k y t k t k ， ， ， ，其中 1 1 7 6t ，从长期来看，投资哪种配方的产品平均利润率较大？ 19．（12 分）如图，四边形 ABCD 中，AB AD ，AD BC∥ ， 6AD ， 2 4BC AB ， E ，F 分别在 BC ，AD 上，EF AB∥ ，现将四边形 ABCD 沿 EF 折起，使平面 ABEF 平面 EFDC ． （1）若 1BE ，在折叠后的线段 AD 上是否存在一点 P ，且 AP PD ，使得 CP∥平 面 ABEF ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由； （2）当三棱锥 A CDF 的体积最大时，求二面角 E AC F 的余弦值． 20．（12 分）已知椭圆 C 的中心在原点，离心率等于 1 2 ，它的一个长轴端点恰好是抛物线 2 16y x 的焦点． （1）求椭圆C 的方程； （2）已知 2 3P ， ， 2 3Q ， 是椭圆上的两点，A ，B 是椭圆上位于直线 PQ 两侧的动点． ①若直线 AB 的斜率为 1 2 ，求四边形 APBQ 面积的最大值． ②当 A ，B 运动时，满足 APQ BPQ ，试问直线 AB 的斜率是否为定值？请说明理由． 21．（12 分）已知函数 3 2 34 3 cos cos16f x x x ，其中 x R ， 为参数，且 0 2π ． （1）当 cos 0 时，判断函数 f x 是否有极值． （2）要使函数 f x 的极小值大于零，求参数 的取值范围． （3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数 ，函数 f x 在区间 2 1a a ， 内都是 增函数，求实数 a 的取值范围． 请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22．（10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C 的极坐标方程是 4sin 0 ，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平 面直角坐标系，直线l 过点 10M ， ，倾斜角为 3 π4 ． （1）求曲线C 的直角坐标方程与直线 的参数方程； （2）设直线l 与曲线C 交于 A ， B 两点，求 MA MB 的值． 23．（10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 2f x x ． （1）解不等式 1 5f x f x ； （2）若 1a ，且 bf ab a f a ，证明： 2b ． 2020 年高考模拟试题（二） 理科数学 答案及解析 1、【答案】C 【解析】由题意，复数 i 1 i 1 1 ii 1 i 1 i 1 i 2 a a aaz 为纯虚数， 则 1 0a ，即 1a ，故选 C． 2、【答案】A 【解析】由 2 i 3 i 3 5 ix y ，得 6 3 2 i 3 5 ix x y ， ∴ 6 3 3 2 5 x x y ，解得 3 4 x y ，∴ i 3 4i 5x y ．选 A． 3、【答案】D 【解析】由茎叶图可知，甲的平均数是 72 78 79 85 86 92 826 ， 乙的平均数是 78 86 88 88 91 93 876 ，所以乙的平均数大于甲的平均数，即 x x甲 乙 ， 从茎叶图可以看出乙的成绩比较稳定，应选乙参加比赛，故选 D． 4、【答案】D 【 解 析 】 因 为 点 E是 CD 的 中 点 ， 所 以 1 2EC AB ， 点 F 是 BC 的 中 点 ， 所 以 1 1 2 2CF CB AD ， 所以 1 1 2 2EF EC CF AB AD ，故选 D． 5、【答案】A 【解析】由 5c a 可得 2 25c a ，∴ 2 2 25a b a ，故 2 2 4b a ． ∴双曲线的渐近线方程为 2y x ，由题意得 ,2M c c ， , 2N c c ， ∴ 1 4 202OMNS c c △ ，解得 2 10c ，∴ 2 2a ， 2 8b ， ∴双曲线的方程为 2 2 12 8 x y ．选 A． 6、【答案】D 【解析】由三视图可知几何体的原图如下图所示： 在图中 AB平面 BCD ， BC BD ， 2BC ， 1BD ， 2AB ． 由于 BCD△ 是直角三角形，所以它的外接圆的圆心在斜边的中点 E ，且 1 5 2 2r CD ， 设外接球的球心为 O ，如图所示，由题得 2 2 25 91 ( )2 4R ， 所以该几何体的外接球的表面积为 2 94π 4π 9π4R ，故选 D． 7、【答案】C 【解析】运行框图中的程序可得 ① 1k ， 21 22S ，不满足条件，继续运行； ② 2k ， 2 82 =3 3S ，不满足条件，继续运行； ③ 3k ， 8 2 19+ =3 4 6S ，不满足条件，继续运行； ④ 4k ， 19 2 107 6 5 30S ，不满足条件，继续运行； ⑤ =5k ， 107 2 117= + = =3 930 6 30S ．，满足条件，停止运行，输出 =39S ．．选 C． 8、【答案】B 【解析】因为函数 f x 在定义域 0 ， 上是单调函数，且 1 2f f x x ，所以 1f x x 为一个常数，令这个常数为 n ，则有 1f x nx ，且 2f n ，将 2f n 代入上式可得 1 2f n nn ，解得 1n ，所以 11f x x ，所以 1 65f ，故选 B． 9、【答案】D 【解析】 m 平面 ，直线 l 满足l m ，且 l ，所以 l ∥ ， 又 n 平面 ， l n ，l ，所以 l ∥ ， 由直线 m、n为异面直线，且 m 平面 ， n 平面 ， 则 与 相交，否则，若 ∥ 则推出 m n∥ ，与 m、n异面矛盾， 故 与 相交，且交线平行于 l ．故选 D． 10、【答案】C 【解析】由 5AB ， 12BC ， 13AC ，得 2 22 +AB BC AC ，∴ AB BC ． 设球半径为 R ， 1AA x ，则由 1AA平面 ABC 知 1AC为外接球的直径， 在 1Rt AAC△ 中，有 22 213 2x R ，又 24π 194πR ，∴ 24 194R ，∴ 5x ． ∴ 1 1 30 2AB CS △ ， 1 25 2ABBS △ ． 设点 B 到平面 1 1ABC的距离为d， 则由 1 1 1 1B ABC C ABBV V ，得 1 1 2530 2 123 3 2d ， ∴ 5 2 2d ，又 1 13BC ，∴直线 1BC 与平面 1 1ABC所成角正弦值为 1 5 2 26 d BC ．选 C． 11、【答案】D 【解析】由已知得 2 2b ，故 1b ；∵ 1FAB△ 的面积为 2 3 2 ， ∴ 1 2 3 2 2a c b ，∴ 2 3a c ，又 2 2 2 1a c a c a c b ， ∴ 2a ， 3c ，∴ 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 4 4 4 PF PF a PF PF PF PF PF PF PF PF ， 又 12 3 2 3PF ，∴ 2 1 11 4 4PF PF ，∴ 1 2 1 11 4PF PF ． 即 1 2 1 1 PF PF 的取值范围为 14，．选 D． 12、【答案】A 【解析】因为定义在 R 上的偶函数 f x 在 0 ， 上递减，所以 f x 在 0 ， 上单调递 增， 若不等式 ln 1 ln 1 2 1f ax x f ax x f 对于 1 3x ， 上恒成立， 则 2 ln 1 2 1f ax x f 对于 1 3x ， 上恒成立， 即 ln 1 1f ax x f 对于 1 3x ， 上恒成立， 所以 1 ln 1 1ax x 对于 1 3x ， 上恒成立，即 0 ln 2ax x 对于 1 3x ， 上恒成立， 令 lng x ax x ，则由 1 0g x a x ，求得 1x a ， （1）当 1 1a 时，即 0a 或 1a 时， 0g x 在 1 3， 上恒成立， g x 单调递增， 因 为最 小值 1 0g a ， 最大 值 3 3 ln3 2g a ， 所以 2 ln30 3a ， 综上 可得 2 ln31 3a ； （2）当 1 3a ，即 10 3a 时， 0g x 在 1 3， 上恒成立， g x 单调递减， 因为最大值 1 2g a ，最小值 3 3 ln3 0g a ，所以 ln3 23 a ，综合可得， a 无解， （3）当 11 3a ，即 1 13 a 时，在 11 a ， 上， 0g x 恒成立， g x 为减函数， 在 1 3a ， 上， 0g x 恒成立， g x 单调递增， 故函数最小值为 1 11 lng a a ， 1g a ， 3 3 ln 3g a ， 3 1 2 ln3g g a ， ①若 2 ln3 0a ，即 ln 3 1a ，因为 3 1 0g g ，则最大值为 3 3 ln 3g a ， 此时，由 11 ln 0a ， 3 3 ln3 2g a ，求得 1 2 ln3 e 3a ，综上可得 ln 3 1a ； ②若 2 ln3 0a ，即 1 1 ln3 ln 33 2a ，因为 3 1 0g g ，则最大值为 1g a ， 此时，最小值 11 ln 0a ，最大值为 1 2g a ，求得 1 2e a ，综合可得 1 ln 3e a ， 综合（1）（2）（3）可得 2 ln31 3a 或 ln 3 1a 或 1 ln 3e a ，即 1 2 ln3 e 3a ．故 选 A． 13、【答案】5 【解析】作可行域，则直线 2z x y 过点 2 1A ， 时 z 取最小值5， 14、【答案】13 【解析】由题意得 2 18 0m ， 9m ， 2 13,0 a b ， 2 13 a b ． 15、【答案】 63 32 【解析】由题意得 -1 12 1 2n nS a n ， 12 2n n na a a ， 12n na a ， 因为 1 12 1S a ， 1 1a ， 12n na ， 11 1 2 n na ， 数列 1 na 的前 6 项和为 611 632 1 321 2 ． 16、【答案】1 【解析】设 AF a ，BF b ，如图，根据抛物线的定义，可知 AF AQ ，BF BP ， 再 梯 形 ABPQ 中 ， 有 1 2MN a b ， ABF△ 中 ， 2 22 2 2 22 cos 33AB a b ab a b ab a b ab ，又因为 2 2 a bab ，所以 2 2 4 2 a b a bAB AB ，所以 1 2 1 2 a bMN a bAB ，故最大值是1，故填：1． 17、【答案】（1） 1 *2 2 2n n na n N ；（2） *1 2n n nS n N ． 【解析】（1）设数列 na 公比为 q ，则 2 2 3 1· 2a a q q ， 3 3 4 1· 2a a q q ，因为 1a ， 3 1a ， 4a 成等差数列，所以 1 4 32 1a a a ，即 3 22 2 2 2 1q q ， 整理得 2 2 0q q ， 因为 0q ，所以 2q ， 所以 1 *2 2 2n n na n N ． （2）因为 2 2log log 2n n nb a n ， 所以 * 1 2 11 2 2n n n nS b b b n n N ． 18、【答案】（1） 37 64P C ；（2）投资 A 配方产品的平均利润率较大． 【解析】（1）由题意知，从 B 配方产品中随机抽取一次抽中二级品的概率为 1 4 ，则没有抽 中二级品的概率为 3 4 ，所以， 33 371 4 64P C ． （2） A 配方立品的利润分布列为 y t 25t p 0 6． 0 4． 所以 20 6 2AE y t t ． ． B 配方产品的利润分布列为 y t 25t 2t p 0 7． 0 25． 0 05． 所以 20 7 13BE y t t ． ． ，因为 1 1 7 6t ，所以 7 1 010 7A BE y E y t t ． 所以投资 A 配方产品的平均利润率较大． 19、【答案】（1）在 AD 存在一点 P ，且 3 2AP PD ，使CP∥平面 ABEF ；（2） 3 65 65 ． 【解析】（1）在折叠后的图中过C 作CG FD ，交 FD于 G ，过 G 作GP FD 交 AD 于 P ， 连结 PC ，在四边形 ABCD 中， EF AB∥ ， AB AD ，所以 EF AD ． 折起后 AF EF ， DF EF ， 又平面 ABEF 平面 EFDC ，平面 ABEF 平面 EFDC EF ，所以 FD 平面 ABEF ． 又 AF 平面 ABEF ，所以 FD AF ，所以 CG EF∥ ， PG AF∥ ， 3 2 AP FG PD GD ， 因为CG PG G ，EF AF F ，所以平面CPG∥平面 ABEF ，因为CP 平面CPG ， 所以 CP∥平面 ABEF ． 所以在 AD 存在一点 P ，且 3 2AP PD ，使 CP∥平面 ABEF ． （2）设 BE x ，所以 (0 4)AF x x ， 6FD x ， 故 221 1 1 12 6 6 9 33 2 3 3A CDFV x x x x x ， 所以当 3x 时， A CDEV 取得最大值． 由（1）可以 F 为原点，以 FE ， FD ， FA 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直 角坐标系，则 0 0 3A ，， ， 0 3 0D ，， ， 210C ，， ， 2 0 0E ，， ，所以 2 0 3AE ，， ， 21 3AC ，， ， 0 0 3FA ，， ， 21 0FC ，， ，设平面 ACE 的法向量 1 1 1 1x y zn ， ， ， 则 1 1 · 0 · 0 AC AE n n ，即 1 1 1 1 1 2 3 0 2 3 0 x y z x z ， 令 1 3x ，则 1 0y ， 1 2z ，则 1 3 0 2n ，， ， 设平面 ACF 的法向量 2 2 2 2x y zn ， ， ， 则 2 2 · 0 · 0 FA FC n n ，即 2 2 2 3 0 2 0 z x y ， 令 2 1x ，则 2 2y ， 2 0z ，则 2 1 2 0 n ， ， ， 所以 1 2 1 2 1 2 · 3 3 65cos 6513 5 n nn n n n, ． 所以二面角 E AC F 的余弦值为 3 65 65 ． 20、【答案】（1） 2 2 116 12 x y ；（2）①12 3 ．② AB 的斜率为定值 1 2 ． 【解析】（1）因为抛物线方程 2 16y x ，所以抛物线焦点为 4 0， ． 所以 4a ，又 2 2 2a b c ， 1 2 ce a ， 所以 2 16a ， 2 12b ． 所以椭圆C 的方程为 2 2 116 12 x y ． （2）①设 1 1A x y， ， 2 2B x y， ， 设直线 AB 的方程为 1 2y x t ， 联立 2 2 1 2 116 12 y x t x y 消 y ，得 2 2 12 0x tx t ， 2 24 12 0t t ，又 A ， B 在直线 PQ 两侧的动点，所以 4 2t ． 所以 1 2x x t ， 2 1 2 12x x t ． 又 2 3P ， ， 2 3Q ， ， 所以 2 2 1 2 1 2 1 2 1 6 3 4 3 48 3 ( 4 2)2APBQS x x x x x x t t 四边形 ， 当 0t 时，四边形 APBQ 面积取得最大值为12 3 ． ②当 APQ BPQ 时， AP ， BP 斜率之和为 0 ． 设直线 PA 的斜率为 k ，则直线 BP 的斜率为 k ． 设 PA 的方程为 3 2y k x ，联立 2 2 3 2 3 4 48 y k x x y ， 消 y 得， 2 2 2 23 4 8 3 2 4 4 9 12 48 0k x k k x k k ， 所以 1 2 8 2 32 3 4 k kx k ，同理 2 2 8 2 32 3 4 k kx k ． 所以 2 1 2 2 16 12 3 4 kx x k ， 1 2 2 48 3 4 kx x k 所以 1 22 1 2 1 1 2 4 1 2AB k x x ky yk x x x x ． 所以 AB 的斜率为定值 1 2 ． 21、【答案】（1） f x 无极值；（2） π π 3π 11π 6 2 2 6 ， ， ；（3） 4 30 18 ， ， ． 【解析】（1）当 cos 0 时， 34f x x ，x R ，所以 212 0f x x ，所以 f x 无 极值． （2）因为 212 6 cosf x x x ， 设 0f x ，得 1 0x ， 2 cos 2x ， 由（1），只需分下面两情况讨论： ①当 cos 0 时， 当 0x ， 时， 0f x ， f x 单调递增； 当 cos0 2x ， 时， 0f x ， f x 单调递减； 当 cos 2x ， 时， 0f x ， f x 单调递增． 所以当 cos 2x 时， f x 取得极小值， 极小值 3cos 1 3cos cos2 4 16f ， 要使 cos 02f ，则有 31 3cos cos 04 16 ， 所以 30 cos 2 ， 因为 0 2π ，故 π π 6 2 或 3π 11π 2 6 ； ②当 cos 0 时， 当 cos 2x ， 时， 0f x ， f x 单调递增； 当 cos 02x ， 时， 0f x ， f x 单调递减； 当 0x ， 时， 0f x ， f x 单调递增； 所以当 0x 时， f x 取得极小值． 极小值 30 cos16f ． 若 0 0f ，则 cos 0 ，矛盾． 所以当 cos 0 时， f x 的极小值不会大于零． 综 上 所 述 ， 要 使 函 数 f x 在 R 内 的 极 小 值 大 于 零 ， 参 数 的 取 值 范 围 是 ： π π 3π 11π 6 2 2 6 ， ， ． （3）由（2）知，函数 f x 在区间 0， 与 cos 2 ， 内都是增函数，由题设，函数 f x 在 2 1a a ， 内是增函数，则 2 1 0 a a a 或 2 1 cos2 1 2 a a a ． 由（2）参数 π π 3π 11π 6 2 2 6 ， ， 时 30 cos 2 ，要使 cos2 1 2a 恒成立，必 有 32 1 4a ，即 4 3 8a 且 1a ． 综上： 0a 或 4+ 3 18 a ． 所以 a 的取值范围是 4 30 18 ， ， ． 22、【答案】（1）曲线 C 的直角坐标方程为： 22 2 4x y ，直线 l 的参数方程为 21 2 2 2 x t y t (t 为参数)；（2）3 2 ． 【解析】（1）因为 4sin ，所以 2 4 sin ， 所以 2 2 4x y y ，即曲线C 的直角坐标方程为： 22 2 4x y ， 直线l 的参数方程 3π1 cos 4 3πsin 4 x t y t (t 为参数)， 即 21 2 2 2 x t y t (t 为参数)， （2）设点 A ， B 对应的参数分别为 1t ， 2t ， 将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得 2 2 2 21 2 42 2t t ， 整理，得 2 3 2 1 0t t ，所以 1 2 1 2 3 2 · 1 t t t t ， 因为 1 0t ， 2 0t ， 所以 1 2 1 2 3 2MA MB t t t t ． 23、【答案】（1） | 4 1 x x x 或 ；（2）见解析． 【解析】（1）解： 2 1 5x x ， 当 2x 时， 2 1 5x x ， 4x ； 当1 2x 时， 2 1 5x x ，1 5 ，无解； 当 2x 时， 2 1 5x x ， 1x ． 综上，不等式的解集为： | 4 1 x x x 或 ． （2）证明： 2 2a bf ab a f ab ab a 2 2ab b a 2 22 2ab b a 2 2 2 2 2 24 4 0 1 4 0a b b a a b ． 因为 1a ，所以 2 1 0a ，所以 2 4 0b ， 2b ． 绝密 ★ 启用前 2020 年高考模拟试题（三） 理科数学 时间：120 分钟 分值：150 分 注意事项： 1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的 姓名、考生号填写在答题卡上。 2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。 3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。 4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．已知复数 z 满足 1 i 2 iz ，则 z 的共轭复数在复平面内对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．设集合 2= 36M x x ， 2,4,6,8N ，则 M N （ ） A． 2 4， B． 4 6， C． 2 6， D． 2 4 6，， 3．下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随 机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ） A． 1 2 B． 1 3 C． 4 1 D． 42 4．将5个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共 有（ ） A． 42 种 B． 48 种 C．54种 D． 60 种 5．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为（ ） A． 32 3 B． 64 3 C．32 D． 64 2 3 6．数学家欧拉在 1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重 心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后入称之为三角形的欧拉线．已知 ABC△ 的顶点 2,0A ， 0,4B ， AC BC ，则 ABC△ 的欧拉线方程为（ ） A． 2 3 0x y B． 2 3 0x y C． 2 3 0x y D． 2 3 0x y 7．执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为（ ） A．4097 B．9217 C．9729 D．20481 8．已知函数 sinf x A x （其中 , ,A 为常数，且 0A ， 0 ， 2 ） 的部分图象如图所示，若 3 2f ，则 sin 2 6 的值为（ ） A． 3 4 B． 1 8 C． 1 8 D． 1 3 9．已知实数 ln2 2a ， ln3 3b ， ln5 5c ，则 , ,a b c 的大小关系是（ ） A． a b c B． c a b C． c b a D．b a c 10．如图所示，在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， ,E F 分别为 1 1 1 1,B C C D 的中点，点 P 是底 面 1 1 1 1A B C D 内一点，且 AP∥平面 EFDB ，则 1tan APA 的最大值是（ ） A． 2 2 B．1 C． 2 D． 2 2 11．已知双曲线 2 2 2 1yx b 的左右焦点分别为 1 2F F、 ，过点 2F 的直线交双曲线右支于 A B、 两点，若 1ABF△ 是等腰三角形， 120A ．则 1ABF△ 的周长为（ ） A． 2 2 1 B． 4 3 43 C． 8 3 43 D． 8 3 83 12．已知函数 2 3e xf x ， 1 ln4 2 xg x ，若 f m g n 成立，则 n m 的最小值 为（ ） A． 1 ln22 B． ln2 C． 1 2ln22 D． 2ln2 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 13．计算定积分 2 1 1 dxx __________． 14．一只蚊子在一个正方体容器中随机飞行，当蚊子在该正方体的内切球中飞行时属于安全 飞行，则这只蚊子安全飞行的概率是__________． 15． 8x y x y 的展开式中 2 7x y 的系数为__________（用数字作答）． 16．具有公共 y 轴的两个直角坐标平面 和 所成的二面角 y 轴 大小为 45，已知 在 内的曲线C 的方程是 2 4 2y x ，曲线 'C 在平面 内射影的方程 2 2y px ，则 p 的 值是__________． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 17.已知等差数列{ }na 中,公差 0d , 7 35S ，且 2 5 11, ,a a a 成等比数列. （1）求数列{ }na 的通项公式； （2）若 nT 为数列 1 1{ } n na a 的前 n 项和，且存在 n N ，使得 1 0n nT a 成立，求 实数 的取值范围. 18.在冬季，由于受到低温和霜冻的影响，蔬菜的价格会随着需求量的增加而上升，已知某 供应商向饭店定期供应某种蔬菜，日供应量 x 与单价 y 之间的关系，统计数据如下表所示： 日供应量 x （ kg ） 38 48 58 68 78 88 单价 y （元/ kg ） 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5 （Ⅰ）根据上表中的数据得出日供应量 x 与单价 y 之间的回归方程为 by ax ，求 a ， b 的值； （Ⅱ）该地区有14个饭店，其中10个饭店每日对蔬菜的需求量在 60kg 以下（不含 60kg ），4 个饭店对蔬菜的需 求量在 60kg 以上（含 60kg ），则从这14个饭店中任取 4 个 进行调查，记这 4 个饭店中对蔬菜需求量在 60kg 以下的饭店数量为 X ，求 X 的分布列及 数学期望. 参考公式及数据： 对一组数据 1 1( , )x y ， 2 2( , )x y ，…， ( , )n nx y ，其回归直线 ^ ^ ^ y b x a 的斜率和截距的 最小二乘估计分别为： ^ 1 22 1 n i i i n i i x y nxy b x nx ， ^ ^ a y b x 19.如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为边长为 2 的菱形， 60DAB ， 90ADP ，面 ADP 面 ABCD ，点 F 为棱 PD 的中点. （Ⅰ）在棱 AB 上是否存在一点 E ，使得 / /AF 面 PCE ，并说明理由； （Ⅱ）当二面角 D FC B 的余弦值为 1 4 时，求直线 PB 与平面 ABCD 所成的角. 20．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b 的左、右顶点分别为 1 2A A ， ，上顶点为 (0,1)B ，且椭圆的离心率为 3 2 . （1）求椭圆的标准方 程； （2）若点 P 是椭圆上位于第一象限的任一点，直线 1 2A B A P ， 交于点Q ，直线 BP 与 x 轴交于点 R ，记直线 2A Q RQ ， 的斜率分别为 1 2k k ， ．求证： 2 12k k 为定值． 21.已知函数 2)1ln()( axxxf （1）讨论 )(xf 的单调性； （2）若函数 )(xf 在定义域内有3个零点，求整数 a 的最小值. 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则 按所做的第一个题目计分． 22.选修 4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ： )0(cos2sin 2 aa ，过点 )4,2( P 的直线 :l ty tx 4 2 （t 为参数）与曲线C 相 交于 NM , 两点． （1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）若 , ,PM MN PN 成等比数列，求实数 a 的值． 23.选修 4－5：不等式选讲 设函数 13)( xxxf ， Rx . (1)解不等式 1)( xf ； (2)设函数 4)( axxg ，且 )()( xfxg 在 ]2,2[x 上恒成立，求实数 a 的取值 范围． 2020 年高考模拟试题（三） 理科数学 答案及解析 1、【答案】D 【解析】 1 i 2 iz ， 1 i 1 i 2+i 1 iz ， 2 1 3iz ， 1 3 i2 2z ， 1 3 i2 2z ，z 的共轭复数在复平面内对应点坐标为 1 3,2 2 ，z 的共轭复数在复 平面内对应的点在第四象限，故选 D． 2、【答案】A 【解析】 6,6M ，故 2,4M N ． 3、【答案】C 【解析】令圆的半径为 1，则 2 2' 4 1SP S ，故选 C． 4、【答案】A 【解析】最左端排甲时，有 4 4A 24 种排法；最左端排乙时，有 3 33A 18 种排法， 所以共有 24 18 42 种排法，选 A． 5、【答案】D 【解析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥， 故该四棱锥的外接球，与以俯视图为底面，以 4 为高的直三棱柱的外接球相同． 由底面底边长为 4，高为 2，故底面为等腰直角三角形， 可得底面三角形外接圆的半径为 2r ， 由棱柱高为 4，可得 2 2OO ， 故外接球半径为 2 22 2 2 2R ， 故外接球的体积为 34 64 22 23 3V ．选 D． 6、【答案】D 【解析】线段 AB 的中点为 M（1，2），kAB=﹣2， ∴线段 AB 的垂直平分线为：y﹣2= 1 2 （x﹣1），即 x﹣2y+3=0． ∵AC=BC，∴△ABC 的外心、重心、垂心都位于线段 AB 的垂直平分线上， 因此△ABC 的欧拉线的方程为：x﹣2y+3=0．故选：D． 7、【答案】B 【解析】阅读流程图可知，该流程图的功能是计算： 0 1 2 91 2 2 2 3 2 10 2S ， 则 1 2 3 102 1 2 2 2 3 2 10 2S ， 以上两式作差可得： 10 0 1 9 10 12 01 22 2 2 2 10 2 10 21 2S ， 则： 109 2 1 9217S ．本题选择 B 选项． 8、【答案】B 【解析】由函数图象可知： 2A ，函数的最小正周期： 7 24 26 3T ， 则 2 1T ，当 2 3x 时， 21 2 , 23 2 6x k k k Z ， 令 0k 可得 6 ，函数的解析式： 2sin 6f x x ． 由 3 2f 可得： 3 32sin , sin6 2 6 4 ，则： 2π 9 1sin 2 sin 2 cos 2 1 2sin 1 26 3 2 3 6 16 8 ． 本题选择 B 选项． 9、【答案】B 【解析】∵ ln3 ln2 2ln3 3ln2 ln9 ln8 03 2 6 6b a ，∴b a ； 又 ln2 ln5 5ln2 2ln5 ln32 ln25 02 5 10 10a c ，∴ a c ， ∴b a c ，即c a b ．选 B． 10、【答案】D 【解析】由题意可得，点 P 位于过点 A 且与平面 EFDB 平行的平面上， 如图所示，取 1 1 1 1,A D A B 的中点 ,G H ，连结 , , ,GH AH AG GE ， 由正方形的性质可知： EF GH∥ ，由 ABEG 为平行四边形可知 AG BE∥ ， 由面面平行的判定定理可得：平面 AGH∥平面 BEFD ， 据此可得，点 P 位于直线GH 上， 如图所示，由 1AA 平面 1 1 1 1A B C D 可得 1 1AA A P ， 则 1 1 1 tan AAAPA A P ，当 1tan APA 有最大值时， 1A P 取得最小值， 即点 P 是GH 的中点时满足题意，结合正方体的性质可得此时 1tan APA 的值是 2 2 ．本题选择 D 选项． 11、【答案】C 【解析】双曲线的焦点在 x 轴上，则 1,2 2a a ； 设 2AF m ，由双曲线的定义可知： 1 2 2 2AF AF a m ， 由题意可得： 1 2 2 2AF AB AF BF m BF ， 据此可得： 2 2BF ，又 1 2 12, 4BF BF BF ， 1ABF△ 由正弦定理有： 1 1 sin120 sin30 BF AF ， 则 1 13BF AF ，即： 4 3 2 m ，解得： 4 3 23m ， 则△ABF1 的周长为： 4 3 8 34 2 2 4 2 43 3m ． 本题选择 C 选项． 12、【答案】A 【 解 析 】 设 f m g n t ， 2 3e xf x ， 1 ln4 2 xg x ， 2 3 1e ln 04 2 m x t t ， 1 42 3 ln e 2 t nm t ， ， ln 3 2 tm ， 1 42e t n ， 1 4 ln 32e 02 t tn m t ， 令 1 4 ln 32e 02 t th t t ， 则 1 4 12e 02 t h t tt ， 1' 4 2 12e 02 t h t t ， h t 在 0 ， 上为增函数，且 1 04h ， 当 1 4t 时， 0h t ，当 10 4t 时， 0h t ， h t 在 10 4 ， 上为减函数，在 1 4 ， 上为增函数，当 1 4t 时， h t 取得最 小值， 此时 1 1 4 4 1ln 31 142 e ln 24 2 2h ，即 n m 的最小值为 1 ln 22 ，故选 A． 13、【答案】 ln2 【解析】由题意结合微积分基本定理可得： 2 2 11 1 ln ln 2dx xx ．故答案为： ln2 ． 14、【答案】 π 6 【解析】设正方体的棱长为 2a ，其体积 2 3 1 2 8V a a ， 内切球直径为 2a ，其体积： 3 3 2 4 4π π3 3V R a ， 利用几何概型公式结合题意可得这只蚊子安全飞行的概率是： 2 1 π 6 Vp V ． 15、【答案】 20 【解析】 8x y 展开式的通项公式为： 8 8 1 8 8CC 1r rr r r r r rT x y x y ， 令 7r ，则展开项为： 7 7 8 7 7 7 8C1 8x y xy ， 令 6r ，则展开项为： 6 6 8 6 6 2 6 81 2C 8x y x y ， 据此可得展开式中 2 7x y 的系数为 8 28 20 ． 16、【答案】 2 【解析】结合题中所给的示意图可知：曲线 'C 的方程是 2 4 2y x ，则 2OF ， 作 F 平面 于点 F ，由于平面 和 所成的二面角 y 轴 大小为 45， 故 2cos45 1OF ，即曲线 C 在平面 内射影所形成的抛物线的焦距为1， 故 2 1 2p ．故答案为：2． 17、解:(1)由题意可得 )10)(()4( 352 677 11 2 1 1 dadada da ，即 dad da 1 2 1 2 53 又∵ 0d ，∴ 1,21 da ，∴ 1 nan . （2）∵ 2 1 1 1 )2)(1( 11 1 nnnnaa nn ， ∴ )2(22 1 2 1 2 1 1 1 4 1 3 1 3 1 2 1 n n nnnTn ， ∵ *Nn ，使得成立 01 nn aT 成立， ∴ *Nn ，使得 0)2()2(2 nn n 成立， 即 *Nn ，使得 2)2(2 n n 成立， 又 16 1 )442(2 1 )44(2 1 )2(2 2 nnn n （当且仅当 2n 时取等号）， ∴ 16 1 ，即实数 的取值范围是 ]16 1,( . 18、解：（1）对 baxy 两边同取对数得 axby lnlnln ， 令 yuxv ln,ln ，得 abvu ln ∴ 2 1 1.464.101 3.181.43.75 6 6 226 1 2 6 1 vv uvuv b i i i ii ， ∴ 16 6.24 2 1 6 3.18ln a ，即 ea . （2）由题意知， X 的所有可能取值为 4,3,2,1,0 . 1001 1)0( 4 14 4 4 C CXP , 1001 40)1( 4 14 1 10 3 4 C CCXP , 1001 270)0( 4 14 2 10 2 4 C CCXP , 1001 480)1( 4 14 3 10 1 4 C CCXP , 1001 210)1( 4 14 4 10 C CXP . ∴ X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1001 1 1001 40 1001 270 1001 480 1001 210 ∴ 7 20 1001 21041001 48031001 27021001 401)( XE . 19、解：（1）在棱 AB 上存在点 E ，使得 / /AF 面 PCE ，点 E 为棱 AB 的中点. 理由如下： 取 PC 的中点 Q ，连结 EQ 、 FQ ， 由题意， / /FQ DC 且 1 2FQ CD ， / /AE CD 且 1 2AE CD ， 故 / /AE FQ 且 AE FQ . 所以，四边形 AEQF 为平行四边形. 所以， / /AF EQ ， 又 EQ 平面 PEC ， AF 平面 PEC ， 所以， / /AF 平面 PEC . （2）由题 意知 ABD 为正三角形，所以 ED AB ，亦即 ED CD ， 又 90ADP ， 所以 PD AD ，且面 ADP 面 ABCD ，面 ADP 面 ABCD AD ， 所以 PD 面 ABCD ，故以 D 为坐标原点建立如图空间坐标系， 设 FD a ，则由题意知 (0,0,0)D ， (0,0, )F a ， (0,2,0)C ， ( 3,1,0)B ， (0,2, )FC a ， ( 3, 1,0)CB ， 设平面 FBC 的法向量为 ( , , )m x y z ， 则由 0 0 m FC m CB 得 2 0 3 0 y az x y ， 令 1x ，则 3y ， 2 3z a ， 所以取 2 31, 3,m a ， 显然可取平面 DFC 的法向量 (1,0,0)n ， 由题意： 1 cos ,4 m n 2 1 121 3 a ，所以 1a . 由于 PD 面 ABCD ，所以 PB 在平面 ABCD 内的射影为 BD ， 所以 PBD 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角， 易知在 Rt PBD 中 tan 1PDPBD BD ，从而 45PBD ， 所以直线 PB 与平面 ABCD 所成的角为 45 . 20、解:（1）因为椭圆的上顶点为 (0,1)B ，离心率为 3 2 ， 所以 1, 3 ,2 b c a …………………………………………………2 分 又 2 2 2a b c ，得 2 24, 1a b ， 所以椭圆的标准方程是 2 2 14 x y ；…………………………………………………4 分 （2）根据题意，可得直线 1 : 12 xA B y ，直线 2 1: 2)A Q y k x （ ， 由 1 12 ( 2) xy y k x ，解得 1 1 1 1 2(2 1) 4( , )2 1 2 1 k kQ k k . ……………………………………6 分 由 1 2 2 ( 2) 4 4 y k x x y 得 2 2 2 14 ( 2) 4x k x ，化简得 2 2 2 2 1 1 1(4 1) 16 16 4 0k x k x k ， 因为 2A (2,0) ，所以 2 1 2 1 16 42 4 1P kx k ，所以 2 1 2 1 2(4 1) 4 1P kx k ， 将 2 1 2 1 2(4 1) 4 1P kx k 代入直线方程得： 1 2 1 4 4 1P ky k ， 所以 2 1 1 2 2 1 1 2(4 1) 4( , )4 1 4 1 k kP k k . ……………………………………………8 分 又因为 (0,1)B ，所以 1 2 1 1 2 1 1 2 1 4 14 1 2 1 2(4 1) 2(2 1)04 1 BP k k kk k k k ， 所以直线 1 1 2 1: 12(2 1) kBP y xk ，令 0y 得， 1 1 2(2 1)( 0)2 1 kR k ， .………………10 分 于是 1 1 1 2 1 1 1 1 4 02 1 1= 2(2 1) 2(2 1) 2 4 2 1 2 1 RQ k k kk k k k k k ， 所以 1 2 1 1 1 12 =2( )2 4 2 kk k k ，为定值．…………………………………………12 分 21、解：（1）∵ ),1(1 12221 1)( 2 ' xx axaxaxxxf ， ∴①当 0a 时， 01 1)(' xxf ， )(xf 在 ）（ ,1 为增函数； ② 0a 由二次函数 122 2 axaxy 的对称轴为 2 1x ）（ ,1 ， 利用 ]2,0(084 2 aaa ， 0122 2 axaxy ， 0)(' xf ， )(xf 在 ）（ ,1 为增函数； ③当 0a 时二次方程 0122 2 axax 的两根： 02 2 2 1,12 2 2 1 4 842 2 2 22 1 a aaxa aa a aaax ),(0)();,1(0)( 2 ' 2 ' xxxfxxxf ∴ )(xf 在 ）（ a aa 2 2 2 1,1 2 为增函数， ），（ a aa 2 2 2 1 2 为减函数； ④当 2a 时二次方程 0122 2 axax 的两根： )0,2 1(2 2 2 1),2 1,1(2 2 2 1 2 2 2 1 a aaxa aax ),(0)();,(),1(0)( 21 ' 21 ' xxxxfxxxxf ∴ )(xf 在 ）（ a aa 2 2 2 1,1 2 ， ），（ a aa 2 2 2 1 2 为增函数， ）（ a aa a aa 2 2 2 1,2 2 2 1 22 为减函数； 综上①当 ]2,0[a 时， )(xf 在 ）（ ,1 为增函数； ②当 0a 时， )(xf 在 ）（ a aa 2 2 2 1,1 2 为增函数， ），（ a aa 2 2 2 1 2 为 减函数； ③当 2a 时 )(xf 在 ）（ a aa 2 2 2 1,1 2 ， ），（ a aa 2 2 2 1 2 为增函数， ）（ a aa a aa 2 2 2 1,2 2 2 1 22 为减函数. （2）由 )(xf 的单调性和 0)0( f 可知： ①当 ]2,0[a 时， )(xf 在 ）（ ,1 为增函数，不可能有三个零点； ②当 0a 时， )(xf 在 ）（ a aa 2 2 2 1,1 2 为增函数， ），（ a aa 2 2 2 1 2 为减 函数，也不可能有三个零点； ③当 2a 时 )(xf 在 ）（ a aa 2 2 2 1,1 2 ， ），（ a aa 2 2 2 1 2 为增函数， ）（ a aa a aa 2 2 2 1,2 2 2 1 22 为减函数；（记 ）（ 2 1,12 2 2 1 2 0 a aax 极大值点） ∴ 0)0()2 2 2 1( 2 fa aaf ∵ )()1ln(,1 xfxx ，且 )(xf 在定义域内有三个零点 ∴ 0)( 0 xf 即 )(xf 在 )2 2 2 1,(,,1 2 00 a aaxx ）（ 分别有一个零点，结合 0)0( f 符合题意。 ∵ )(2 10122 0 2 0 0 2 0 xx aaxax ∴ )1(2 1-11ln)1(21ln )(2 1ln1ln)( 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 2 000 x xxx xx xx xxaxxxf ）（）（）（）（ ），（，）（ 2 101)1(2 1 2 11ln 0 0 0 xxx 设 02 12 2 11)(2 1 2 1ln)( 22 ' x x xxxxxx ， ， )(x 在 )2 10( ， 上为减函 数 ∵ 013ln)3 1(,02 32ln2)4 1( ∴当 4 3 4 11 00 xx 3 8 )4 3 16 9(2 1 )(2 1 0 2 0 xx a 符合题意 当 ）（ 3 2,13 11 00 xx 4 9 )3 2 9 4(2 1 )(2 1 0 2 0 xx a ， 即整数 a 的最小值为 3. （2）另解：单调性分析，先控制 2a ，再验证 3a 满足若 )(xf 在定义域内有三个零 点。 22、解:(1)把 x＝ρcos θ， y＝ρsin θ 代入ρsin2θ＝2acos θ，得 y2＝2ax(a>0)， 由 ty tx 4 2 (t 为参数)，消去 t 得 x－y－2＝0， ∴曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程分别是 y2＝2ax(a>0)，x－y－2＝0. （2）将 ty tx 4 2 化成标准参数方程 ty tx 2 24 2 22 （t 为参数），将其代入 axy 22 得: 2 2 2(4 ) 8(4 ) 0t a t a , 设 1 2,t t 是该方程的两根,则 1 2 1 22 2(4 ), 8(4 )t t a t t a , ∵ 2MN PM PN ∴ 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 4t t t t t t t t ∴ 28(4 ) 4 8(4 ) 8(4 )a a a ,解得 1a . 23、解:(1)函数 3,4 31,22 1,4 13)( x xx x xxxf ，故由不等式 1)( xf ， 可得 3x 或 31 122 x x ，解得 2 3x . (2)函数 g(x)≤f(x)在 x∈[－2，2]上恒成立， 即|x＋a|－4≤|x－3|－|x＋1|在 x∈[－2，2]上恒成立， 在同一个坐标系中画出函数 f(x)和 g(x)的图象，如图所示． 故当 x∈[－2，2]时，若 0≤－a≤4，则函数 g(x)的图象在函数 f(x)的图象的下方， g(x)≤f(x)在 x∈[－2，2]上恒成立，求得－4≤a≤0， 故所求的实数 a 的取值范围为[－4，0]． 绝密 ★ 启用前 2020 年高考模拟试题（四） 理科数学 时间：120 分钟 分值：150 分 注意事项： 1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的 姓名、考生号填写在答题卡上。 2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。 3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。 4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．已知 1 3i 2iz ，则复数 z 的共轭复数 z 在复平面内所对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．设 为锐角， sin ,1a ， 1,2b ，若 a 与 b 共线，则角 （ ） A．15° B．30° C．45° D．60° 3．函数 f x 在 0, 单调递增，且 2f x 关于 2x 对称，若 2 1f ，则 2 1f x 的 x的取值范围是（ ） A． 2,2 B． , 2 2, C． ,0 4, D． 0,4 4．如图，执行所示的算法框图，则输出的 S 值是（ ） A． 1 B． 2 3 C． 3 2 D． 4 5．函数 sin πf x x π 2 的部分图像如下图，且 10 2f ，则图中 m 的值 为（ ） A．1 B． 4 3 C．2 D． 4 3 或 2 6．李冶（1192-1279），真实栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人，晚 年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直 径、正方形的边长等．其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的 边缘与方田四边之间的面积为 13.75 亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆 池直径和方田的边长分别是（注：240 平方步为 1 亩，圆周率按 3 近似计算）（ ） A．10 步，50 步 B．20 步，60 步 C．30 步，70 步 D．40 步，80 步 7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的 体积为（ ） A． 4 3 3 B． 8 3 C． 16 3 D． 32 3 27 8．设点 M 是 2 0 2 6 0 2 2 0 x x y x y 表示的区域 1 内任一点，点 N 是区域 1 关于直线 :l y x 的对称区域 2 内的任一点，则 MN 的最大值为（ ） A． 2 B． 2 2 C． 4 2 D．5 2 9．如图所示，为了测量 A ， B 处岛屿的距离，小明在 D 处观测， A ， B 分别在 D 处的北 偏西15、北偏东 45方向，再往正东方向行驶 40 海里至C 处，观测 B 在C 处的正北方向， A 在C 处的北偏西 60方向，则 A ， B 两处岛屿间的距离为（ ） A． 20 6 海里 B． 40 6 海里 C． 20 1 3 海里 D．40 海里 10．若函数 y f x 图像上存在两个点 A ， B 关于原点对称，则对称点 ,A B 为函数 y f x 的“孪生点对”，且点对 ,A B 与 ,B A 可看作同一个“孪生点对”．若函数 3 2 2, 0 6 9 2 , 0 xf x x x x a x 恰好有两个“孪生点对”，则实数 a 的值为（ ） A．0 B．2 C．4 D．6 11．已知 1F ， 2F 分别为双曲线 C ： 2 2 2 2 1x y a b ( 0, 0)a b 的左、右焦点，过 1F 的直线l 与双曲线C 的左右两支分别交于 A ， B 两点，若 2 2: : 3: 4:5AB BF AF ，则双曲线的 离心率为（ ） A． 13 B． 15 C． 2 D． 3 12．已知函数 2 3, 3 ( 3) , 3 x xf x x x 函数 3g x b f x ，其中 bR ，若函数 y f x g x 恰有 4 个零点，则实数 b 的取值范围是（ ） A． 11,4 B． 113, 4 C． 11, 4 D． 3,0 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 13．已知向量 1,0 , ,2 , 2a b a b a b ，则实数 _________． 14．若 ,x y 满足条件 31 2 4 2x zx x y zy ，且 ，则 的最大值为__________． 15．已知 10 2 10 0 1 2 10 81 1 1 1x a a x a x a x a ，则 __________． 16．若存在实常数 k 和 b，使得函数 f x G x和 对其公共定义域上的任意实数 x 都满 足： F x kx b G x kx b 和 恒成立，则称此直线 y kx b F x G x 为 和 的“隔 离直线”，已知函数 2 1, 0 , 2 lnf x x x R g x x h x e xx (e 为自然对数的 底数)，有下列命题： ① 3 1 ,0 2 m x f x g x x 在 内单调递增； ② f x g x和 之间存在“隔离直线”，且 b 的最小值为 4 ； ③ f x g x和 之间存在“隔离直线”，且 k 的取值范围是 4,1 ； ④ f x h x和 之间存在唯一的“隔离直线” 2y ex e ． 其中真命题的序号为__________．(请填写正确命题的序号) 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 17．（12 分）已知 ABC△ 的内角 A 、 B 、C 的对边分别为 a 、b 、 c 其面积为 S ，且 2 2 4 3b c a S ． （1）求角 A ； （2）若 3a ， 0b m m ，当 ABC△ 有且只有一解时，求实数 m 的范围及 S 的最 大值． 18．（12 分）某市教育部门为了了解全市高一学生的身高发育情况，从本市全体高一学生中 随机抽取了 100 人的身高数据进行统计分析．经数据处理后，得到了如下图 1 所示的频事分 布直方图，并发现这 100 名学生中，身不低于 1.69 米的学生只有 16 名，其身高茎叶图如下 图 2 所示，用样本的身高频率估计该市高一学生的身高概率． （1）求该市高一学生身高高于 1.70 米的概率，并求图 1 中 a 、b 、 c 的值． （2）若从该市高一学生中随机选取 3 名学生，记 为身高在 1 50,1 70. . 的学生人数，求 的分布列和数学期望； （ 3 ） 若 变 量 S 满 足 0 6826P S . 且 2 2 0 9544P S ． ，则称变量 S 满足近似于正态分布 2,N 的概率分 布．如果该市高一学生的身高满足近似于正态分布 1.6,0.01N 的概率分布，则认为该市高 一学生的身高发育总体是正常的．试判断该市高一学生的身高发育总体是否正常，并说明理 由． 19．（12 分）如下图，四棱锥 P ABCD 中， PA⊥底面 ABCD ， AD BC∥ ， 3PA AB AC AD ， 4BC ， M 为线段 AD上一点， 2AM MD ， N 为 PB 的中点． （1）证明： MN∥平面 PCD； （2）求直线 PN 与平面 AMN 所成角的正弦值． 20．（12 分）已知椭圆 2 2 15 x y 的右焦点为 F ，坐标原点为O ．椭圆C 的动弦 AB 过右 焦点 F 且不垂直于坐标轴， AB 的中点为 N ，过 F 且垂直于线段 AB 的直线交射线ON 于 点 M ． （1）求点 M 的横坐标； （2）当 OMF 最大时，求 MAB△ 的面积． 21．（12 分）已知函数 1ln 1 m xf x x x ， 2ln 1 ,g x x x n x m n R ． （1）若函数 f x ， g x 在区间 0,1 上均单调且单调性相反，求 m ， n 的取值范围； （2）若 0 a b ，证明： ln ln 2 a b a bab a b ． 请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22．（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】 已知直线 的参数方程为 1 3 2 2 3 1 2 2 x t y t (t 为参数)，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为 极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为 2π2cos 3 ． （1）求圆 C 的直角坐标方程； （2）若 ,P x y 是直线l 与圆 2π2cos 3 的公共点，求 3x y 的值． 23．（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】 已知函数 f x x x a ． （1）若不等式 2 1f x a 对任意的 x R 恒成立，求实数 a 的取值范围； （2）若不等式 2 1f x a 的解集为 , 3b b ，求实数 a ，b 的值． 2020 年高考模拟试题（四） 理科数学 答案及解析 1、【答案】D 【解析】由题意 2i 1 3i2i 2i 6 3 1 i1 3i 1 3i 1 3i 10 5 5z ， 3 1i5 5z ，对应点为 3 1,5 5 ，在第四象限，故选 D． 2、【答案】B 【解析】由题意 2sin 1 ， 1sin 2 ，又 为锐角，∴ 30 ．故选 B． 3、【答案】D 【解析】 2f x 函数图像是由 f x 图像向左平移 2 个单位后得到，故 f x 关 于 y 轴对称，且在 ,0 上递减．故 2 1f x 等价于 2 2 2x ，解得 0 4x ． 4、【答案】D 【解析】按照图示得到循环一次如下： 4S ， 1i ； 1S ， 2i ； 2 3S ， 3i ； 3 2S ， 4i ； 4S ， 5i ； 1S ， 6i ； 2 3S ， 7i ； 3 2S ， 8i ； 4S ， 9i ．不满足条件，得到输出结果为：4．故答案为：D． 5、【答案】B 【解析】由题意可得， 10 sin 2f ，又 π 2 ，∴ π 6 ， 又 1sin 6 2f m m ， ∴ 2 π6 6m k 或 72 π6 6m k ，kZ， 由周期 2π 2πT ，得0 2m ，∴ 4 3m ，故选：B． 6、【答案】B 【解析】设圆池的半径为 r 步，则方田的边长为 2 40r 步，由题意，得 2 22 40 3 13.75 240r r ，解得 10r 或 170r （舍），所以圆池的直径为 20 步，方田的边长为 60 步，故选 B． 7、【答案】D 【解析】几何体为如图，所以外接球的半径 R 满足 22 1 3R R ， 2 3 R ， 体积为 3 4 2 32 3 3 273 ，选 D． 8、【答案】D 【解析】如图画出可行域，根据点的对称性可知，点 A 与点 A 关于直线 y x 的 对称点 A 间的距离最大，最大距离就是点 A 到直线 y x 距离的 2 倍，联立 2 6 0 2 2 0 x y x y ，解得： 4 1 x y ，点 4,1A 到直线 y x 的距离 5 22d ，那 么 max 5 2MN AA ，故选 D． 9、【答案】A 【解析】在 ACD△ 中， 15 90 105ADC ， 30ACD ，所以 45CAD ， 由正弦定理可得： sin sin CD AD CAD ACD ， 解得 140sin 2 20 2sin 2 2 CD ACDAD CAD ， 在 Rt DCB△ 中， 45BDC ，所以 2 40 2BD CD ， 在 ABD△ 中，由余弦定理可得： 2 2 2 12 cos 800 3200 2 20 2 40 2 24002AB AD BD AD BD ADB ， 解得 20 6AB ． 10、【答案】A 【解析】当 0x 时， 2 23 12 9 3 4 3 3 1 3f x x x x x x x ，故 函数在区间 0,1 ， 3, 上递减，在 1,3 上递增，故在 1x 处取得极小值．根 据孪生点对的性质可知，要恰好有两个孪生点对，则需当 0x 时，函数图像与 2y 的图像有两个交点，即 1 2 2f a ， 0a ． 11、【答案】A 【解析】∵ 2 2: : 3: 4:5AB BF AF ，不妨令 =3AB ， 2 =4BF ， 2 =5AF ， ∵ 2 2 2 2 2+ =AB BF AF ，∴ 2 90ABF ， 又由双曲线的定义得： 1 2 2BF BF a ， 2 1 2AF AF a ， ∴ 1 13 4 5AF AF ，∴ 1 3AF ． ∴ 1 2 3 3 4 2BF BF a ，∴ 1a ． 在 1 2Rt BF F△ 中， 2 2 2 2 2 1 2 1 2 6 4 52F F BF BF ， 又 2 2 1 2 4F F c ，∴ 24 52c ，∴ 13c ， ∴双曲线的离心率 13e ．故选：A． 12、【答案】B 【解析】由题可知 2 3, 0 3,0 3 3 , 3 x x f x x x x x ，故 2 , 0 3 ,0 3 6, 3 x x f x x x x x ， ∵函数 3y f x g x f x f x b 恰有 4 个零点， ∴方程 3 0f x f x b 有 4 个不同的实数根， 即函数 y b 与函数 3y f x f x 的图象恰有 4 个不同的交点． 又 2 2 3, 0 3 3,0 3 7 15, 3 x x x y f x f x x x x x ， 在坐标系内画出函数函数 3y f x f x 的图象，其中点 A ， B 的坐标分别 为 1 11,2 4 ， 7 11,2 4 ． 由图象可得，当 113 4b 时，函数 y b 与函数 3y f x f x 的图象恰有 4 个不同的交点，故实数 b 的取值范围是 113, 4 ．选 B． 13．答案： 解析： 由 ，则 ， 所以 ， 又由 ，所以 ，解得 ， 故答案为 . 14．答案： 解析：由题 ,画出可行域为如图 区域， ，当 在 处时， ，故答案为 . 15．答案：180 解析： ， ， ， 故答案为 . 16．答案：①②④ 解析：① ， ， ， ，在 内单调递增，故①正确； ②，③设 的隔离直线为 ，则 对任意 恒 成立， 即有 对任意 恒成立.由 对任意 恒成立得 . 若 则有 符合题意; 若 则有 对任意 恒成立,又 则有 ， ，即有 且 ， ， ，同理 ，可得 ， 所以 ， ，故②正确，③错误； ④函数 和 的图象在 处有公共点，因此存在 和 的隔离直 线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为 ，则隔离直线方程为 ，即 ，由 恒成立， 若 ，则 不恒成立. 若 ，由 恒成立，令 ， 在 单调递增， ，故 不恒成立. 所以 ，可得 ，当 恒成立， 则 ，只有 ，此时直线方程为 ，下面证明 ， 令 ， ，当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， 取到极小值，极小值是 ，也是最小值， ，则 ， 函数 和 存在唯一的隔离直线 ，故④正确， 故答案为①②④． 17、【答案】（1） π 3A ；（2） 3 3 4 ． 【解析】（1）由己知 2 2 2 2 2 3 sinb c a bc bc A ， 由余弦定理得 2 cos 2 2 3 sinbc A bc bc A ， 所以 cos 1 3sinA A ，即 1sin 2 π 6A ， 0,πA ， 5π,6 6 6 π πA ，所以 6 π π 6A ， π 3A ． （2）由己知，当 ABC△ 有且只有一解时， sin 3π 3m 或 0 3m ，所以 0, 3 2m ； ①当 2m 时， ABC△ 为直角三角形， 1 31 32 2S ， ②当 0 3m 时，由正弦定理 π 3 2sinsin sin 3 m m BB ， 21 2π 3 33sin sin 3sin sin sin cos sin2 3 2 2S B C B B B B B 3 3 3 1 cos2 3 3sin cos sin 2 sin 22 2 2 4 π 2 2 6 BB B B B ， 0 3 πB ， π π26 2 π 6B ， 所以，当 π 3B 时， max 3 3 3 4 2S ， 综上所述， max 3 3 4S ． 18、【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【解析】（1）由图 2 可知，100 名样本学生中身高高于 1.70 米共有 15 名，以样本的频率估 计总体的概率，可得这批学生的身高高于 1.70 的概率为 0.15． 记 X 为学生的身高，结合图 1 可得： 21.30 1.40 1.80 1.90 0.02100f X f X ， 131.40 1.50 1.70 1.80 0.13100f X f X ， 11.50 1.60 1.60 1.70 1 2 0.02 2 0.13 0.352f X f X ， 又由于组距为 0.1，所以 0 2a . ， 1 3b . ， 3 5c . ． （2）以样本的频率估计总体的概率， 可知从这批学生中随机选取 1 名，身高在 1.50,1.70 的概率为 1.50 1.70 1.50 1.60 1.60 1.70 0.7P X f X f X ， 因为从这批学生中随机选取 3 名，相当于三次重复独立试验， 所以随机变量 服从二项分布 3,0.7B ， 故 的分布列为： 3 3C 0.3 0.7 0,1,2,3n n nP n n ， 0 1 2 3 P 0.027 0.189 0.441 0.343 0 0 027 1 0189 2 0 441 3 0 343 21E . . . . . （或 3 0 7 21E . . ） （3）由 1.6,0.01N ，取 1 60 . ， 0 1 . ， 由（2）可知， 查看更多
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