新课程高考数学试题导数内容分析

新课程高考数学试题导数内容分析

‎09年新课程高考数学试题导数内容分析 夏晓华 导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值。‎ 一：《课程标准》中导数的内容与考纲要求 ‎1. 课标内容 课程标准中教学内容有：导数概念及其几何意义、导数的运算、导数在研究函数中的应用、生活中的优化问题举例、（理科）定积分与微积分基本定理。‎ ‎2．2010年广东卷考试要求 ‎ （1）导数概念及其几何意义 ‎①了解导数概念的实际背景。‎ ‎ ②理解导数的几何意义。‎ ‎ （2）导数的运算 ‎①能根据导数定义求函数、‎ 的导数。‎ ‎②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，‎ ‎（理科）能求简单的复合函数（仅限于形如）的导数。‎ ‎ ③会使用导数公式表。‎ ‎ （3）导数在研究函数中的应用 ‎ ①了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。‎ ‎②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；‎ ‎ （4）生活中的优化问题举例。‎ ‎ 会利用导数解决某些实际问题中的作用。‎ ‎ （理科）（5）定积分与微积分基本定理 ‎ ①了解定积分的实际背景、基本思想，初步了解定积分的概念。‎ ‎ ②了解微积分基本定理的含义。‎ ‎ 二：新课程高考试卷中导数的考查。‎ ‎1．2009年新课程高考理科数学导数知识考点分布 卷别 选择题 填空题 解答题 分值 广东 ‎--------------‎ ‎--------------‎ 导函数、极值、零点 ‎14分 福建 求定积分 切线方程 单调区间、极值 ‎23分 辽宁 切线方程 ‎--------------‎ 导数单调性 ‎17分 天津 ‎--------------‎ ‎--------------‎ 切线、单调区间与极值 ‎12分 浙江 ‎--------------‎ ‎--------------‎ 导数单调性 ‎14分 安徽 切线方程 ‎--------------‎ 导数单调性 ‎17分 山东 ‎--------------‎ ‎--------------‎ 导数应用 ‎12分 海南宁夏卷 ‎--------------‎ ‎--------------‎ 导数单调性 ‎12分 江苏 ‎--------------‎ 切线方程、单调区间 ‎--------------‎ ‎10分 ‎2．2009年新课程高考文科数学导数知识考点分布 卷别 选择题 填空题 解答题 分值 广东 单调区间 ‎--------------‎ 导函数、极值、零点 ‎19分 福建 ‎--------------‎ 切线方程 单调区间、极值 ‎17分 辽宁 ‎--------------‎ 函数极值 导数单调性、不等式 ‎17分 天津 导数单调性 ‎--------------‎ 切线、单调区间与极值 ‎17分 浙江 ‎--------------‎ ‎--------------‎ 切线、导数单调性 ‎15分 安徽 求导与三角函数 ‎--------------‎ 导数单调性、求值域 ‎19分 山东 ‎------------‎ ‎------------‎ 导数单调 ‎12分 ‎--‎ ‎--‎ 性、极值 海南宁夏卷 ‎--------------‎ 切线方程 极值与不等式 ‎17分 江苏 ‎--------------‎ 切线方程、单调区间 ‎--------------‎ ‎10分 从上述两表不难发现：09新课程高考对导数的考查，主要以函数单调区间、极值、切线方程为主。文、理科考查形式略有不同。理科基本以一个解答题的形式考查。文科以一个选择题或填空题和一个解答题为主。从09年新课程高考分析，对导数的要求一般有三个层次:第一层次是主要考查导数的概念、求导公式和求导法则;第二层次是导数的简单应用,包括求切线方程、求函数的单调区间, 求函数的极值、;第三层次是综合考查,包括解决应用问题,将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机的结合在一起,设计综合试题. ‎ 三：新课程高考导数知识类型和特点 新课程高考对导数的考查有效地贯彻了“在考查基础知识的同时，注重对数学思想方法的考查，注重对数学能力的考查”的命题指导思想。主要有以下几个特点：‎ ‎（1）突出重点内容 高考试题突出了重点内容重点考察的命题方向，何谓重点知识？凡是考试大纲上用“了解”、“理解”，“会求”，“能用”等词语要求的知识点都应成为重点知识。比如“理解导数的几何意义”， “能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数”，“ 能利用导数研究函数的单调性” 等都是重点知识。从09新课程高考试题可知，理科小题集中考切线方程，有四个省份小题考了导数知识点，全部考查切线方程；文科小题集中考查切线与单调区间。此类题共同特点是给出的点都做为切点。即都是求在某点处的切线方程，没有出现求过某点的切线方程题；给出的函数以简单函数为主，没有出现复合函数求导。文、理科大题重点考查导数单调性与极值。‎ 例1：（天津理第20题）已知函数其中 ‎(1)当时，求曲线处的切线的斜率 ‎【评析】本题是一个非常典型的题目。‎ ‎（1）考查导数几何意义，这体现了重点知识重点考查的命题指导思想，“理解导数的几何意义”是考纲的明确要求，这说明导数几何意义是特别重要的概念；‎ ‎（2）考查了切点既在曲线上，又在切线上，这样就提供了点的坐标。‎ 例2：（安徽文科第21题）．‎ ‎ 已知函数，a＞0， ‎ ‎（Ⅰ）讨论的单调性； ‎ ‎（Ⅱ）设a=3，求在区间{1，}上值域。期中e=2.71828…是自然对数的底数。‎ ‎【评析】本题是函数单调性、值域问题，是热点题型，在今年新课程高考中出现的频率很高，又是相当稳定的题型。之所以如此，是因为它所涉及到的数学方法——等价转化、数形结合、分类讨论，特别重要；所涉及到的知识点——函数单调性、解不等式、求导是主干知识。 ‎ ‎（2）强化分类讨论参数 导数问题设置参数后，难度有所增加。参数的引入少不了分类讨论，而分类讨论又是中学数学所要掌握的重要思想方法之一。09新课程高考导数大题理科试卷中含参且需分类讨论的题为7个（占70%），文科试卷中含参且需分类讨论的题也为7个（占70%）。‎ 例3：（海南宁夏文科第`21题）已知函数 ‎（2）若，且当时，12a恒成立，试确定的取值范围.‎ ‎【评析】本题利用导数处理含参数的恒成立的不等式问题，把导数和含参数的恒成立的不等式结合在一起的问题， 把传统题型进行革新，令人耳目一新，体现了导数引入的高考命题的革新意识.‎ ‎（3）注重对知识的综合能力考查 高考试题要达到一定的知识覆盖面与难度系数，要选拔出不同层次的学生，必须体现试题的综合性，以知识点与方法的综合为出发点，考查思维的层次性，真正选拔出有学习潜力的学生。与导数综合的知识很多，热点有不等式、三角函数等，如天津文科第21题第三问导数与不等式结合：‎ 例4：设函数 ‎（Ⅲ）已知函数有三个互不相同的零点0，，且。若对任意的，恒成立，求m的取值范围。‎ 安徽文科第9题与三解函数结合：‎ 例4：设函数，其中，则导数的取值范围是 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ 此类题的特点是考查综合知识与分析解决问题的能力及创新意识，体现在知识的交汇点处出题，思维的深度要求很高。‎ 四：新课程高考导数知识复习 高考复习，应该以高考试题为指导。分析研究高考试题目的是为高考复习指明方向，化繁为简、突出重点、提高效率。通过以上分析可知：对于这部分知识的复习，要认识导数是新课程新增内容，在复习中要明确导数作为一种工具在研究函数的变化率，解决函数的单调性，极值等方面的作用，要全面学习，抓住导数基础知识学习．注意考题的难度逐年增大，要有意识地与解析几何(特别是切线,最值)，函数的单调性，函数的极值，最值，二次函数，方程、不等式、等知识进行交汇进行综合训练，特别是精选一些以导数为工具分析和解决一些切线问题、函数单调性问题、含参分类讨论、含参恒成立问题等典型问题进行训练，提高应用导数知识分析问题和解决问题的能力。‎