高考数学真题较难题汇编
2018年普通高等学校招生全国统一考试
1. 已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点(不含端点)，设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S−AB−C的平面角为θ3，则( )
A. θ1≤θ2≤θ3 B. θ3≤θ2≤θ1 C. θ1≤θ3≤θ2 D. θ2≤θ3≤θ1
2. 已知a，b，e是平面向量，e是单位向量，若非零向量a与e的夹角为 π3，向量b满足b2−4e•b+3=0，则|a−b|的最小值是( )
A. 3−1 B. 3+1 C. 2 D. 2−3
3. 已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)，若a1>1，则( )
A. a1
a3，a2a4 D. a1>a3，a2>a4
4. 已知λ∈R，函数f(x)=x-4，x≥λ x2-4x+3，x<λ，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是_____________________，若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________________________
5. 从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成______________________个没有重复数字的四位数(用数字作答)
6. 已知点P(0，1)，椭圆 x24+y2=m(m>1)上两点A，B满足AP=2PB，则当m=____________________时，点B横坐标的绝对值最大
7. (15分)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上
(1) 设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴
(2) 若P是半椭圆x2+ y24=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围
8. (15分)已知函数f(x)=x−lnx
(1) 若f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8−8ln2
(2) 若a≤3−4ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点
2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
9．函数满足，且在区间上， 则的值为
▲ ．
10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ▲ ．
11．若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为 ▲ ．
12．在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为 ▲ ．
13．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为 ▲ ．
14．已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为 ▲ ．
17．（本小题满分14分）
某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设OC与MN所成的角为．
（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；
（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
18．（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为．
（1）求椭圆C及圆O的方程；
（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；
②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．
19．（本小题满分16分）
记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”．%网
（1）证明：函数与不存在“S点”；
（2）若函数与存在“S点”，求实数a的值；
（3）已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“S点”，并说明理由．
20．（本小题满分16分）
设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．
（1）设，若对均成立，求d的取值范围；
（2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．
2018年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)
8.在平面直角坐标系中，已知点A（-1，0），B（2，0），E，F是y轴上的两个动点，且||=2，则的最小值为______
9.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是 ______（结果用最简分数表示）
10.设等比数列{an}的通项公式为an=qⁿ+1（n∈N*），前n项和为Sn。若，则q=____________
11.已知常数a>0，函数的图像经过点、，若，则a=__________
12.已知实数x₁、x₂、y₁、y₂满足：，，，则+的最大值为__________
16.设D是含数1的有限实数集，是定义在D上的函数，若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（ ）
（A） （B） （C） （D）0
20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
设常数t>2，在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线：，l与x轴交于点A，与交于点B，P、Q分别是曲线与线段AB上的动点。
（1）用t为表示点B到点F的距离；
（2）设t=3，，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；
（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由。
21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)
给定无穷数列{an}，若无穷数列{bn}满足：对任意，都有，则称 “接近”。
（1）设{an}是首项为1，公比为的等比数列，，，判断数列是否与接近，并说明理由；
（2）设数列{an}的前四项为：a₁=1，a ₂=2，a ₃=4，a4=8，{bn}是一个与{an}接近的数列，记集合M={x|x=bi，
i=1,2,3,4},求M中元素的个数m；
（3）已知{an}是公差为d的等差数列，若存在数列{bn}满足：{bn}与{an}接近，且在b₂-b₁，b₃-b₂，…b201-b200中至少有100个为正数，求d的取值范围。
2018年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
（4）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为
（A） （B）
（C） （D）
（7）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线的距离，当θ，m变化时，d的最大值为
（A）1 （B）2
（C）3 （D）4
（8）设集合则
（A）对任意实数a， （B）对任意实数a，（2，1）
（C）当且仅当a<0时，（2，1） （D）当且仅当时，（2，1）
（13）能说明“若f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，则f（x）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．
（14）已知椭圆，双曲线．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为__________；双曲线N的离心率为__________．
（18）（本小题13分）
设函数=[]．
（Ⅰ）若曲线y= f（x）在点（1，）处的切线与轴平行，求a；
（Ⅱ）若在x=2处取得极小值，求a的取值范围．
（19）（本小题14分）
已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值．
（20）（本小题14分）
设n为正整数，集合A=．对于集合A中的任意元素和，记
M（）=．
（Ⅰ）当n=3时，若，，求M（）和M（）的值；
（Ⅱ）当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素，当相同时，M（）是奇数；当不同时，M（）是偶数．求集合B中元素个数的最大值；
（Ⅲ）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素，
M（）=0．写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．
2018年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）w
（7）在平面坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O
