2007全国卷极坐标与参数方程高考题汇编

2007全国卷极坐标与参数方程高考题汇编

极坐标与参数方程（全国卷高考题）‎ ‎（2007）坐标系与参数方程：和的极坐标方程分别为．‎ ‎（Ⅰ）把和的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求经过，交点的直线的直角坐标方程．‎ ‎（2008）坐标系与参数方程：‎ 已知曲线C1：，曲线C2： 。‎ ‎（1）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；‎ ‎（2）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线，。写出，的参数方程。与公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由。‎ 11‎ ‎（2009） 已知曲线C1： （t为参数）， C2：（为参数）．‎ ‎（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；‎ ‎（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线 （t为参数）距离的最小值．‎ ‎（2010）坐标系与参数方程：已知直线C1：(t为参数)，圆C2：(θ为参数)．‎ ‎(1)当α＝时，求C1与C2的交点坐标；‎ ‎(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点．当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．‎ ‎（2011）坐标系与参数方程：在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为（‎ 11‎ 为参数），M是C1上的动点，P点满足,P点的轨迹为曲线C2‎ ‎(Ⅰ)求C2的方程 ‎(Ⅱ)在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求.‎ ‎（2012）已知曲线C1的参数方程是(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD的顶点都在C2上，且A、B、C、D以逆时针次序排列，点A的极坐标为(2，)‎ ‎(Ⅰ)求点A、B、C、D 的直角坐标；‎ ‎(Ⅱ)设P为C1上任意一点，求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2的取值范围。‎ ‎（2013课标1）已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。‎ 11‎ ‎（Ⅰ）把的参数方程化为极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求与交点的极坐标（）。‎ ‎（2013课标2）已知动点都在曲线（为参数）上，对应参数分别为与（），为的中点。‎ ‎（Ⅰ）求的轨迹的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点。‎ ‎（2014课标1）已知曲线，直线（为参数）‎ （1） 写出曲线的参数方程，直线的普通方程；‎ ‎（2）过曲线上任意一点作与夹角为30°的直线，交于点，求的最大值与最小值.‎ ‎（2014课标2）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆的极坐标方程为.‎ ‎（1）求得参数方程；‎ 11‎ ‎（2）设点在上，在处的切线与直线垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定的坐标.‎ ‎（2015课标1）在直角坐标系 中，直线，圆，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（I）求的极坐标方程.‎ ‎（II）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求 的面积.‎ ‎（2015课标2）在直线坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t0）其中0α.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：p=2，C3：p=2。‎ （I） 求C1 与C3 交点的直角坐标；‎ （II） 若C1 与C2 相交于点A，C1 与C3 相交于点B，求|AB|的最大值.‎ ‎9.【2015高考新课标1，文23】选修4-4：坐标系与参数方程 11‎ 在直角坐标系 中，直线，圆，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（I）求的极坐标方程.‎ ‎（II）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求 的面积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）,（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得，的极坐标方程；（Ⅱ）将将代入即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出的面积.‎ 试题解析：（Ⅰ）因为，‎ ‎∴的极坐标方程为，的极坐标方程为.……5分 ‎ （Ⅱ）将代入，得，解得=，=，|MN|=－=，‎ 因为的半径为1，则的面积=.‎ （23） ‎2014（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线，直线（为参数）‎ （1） 写出曲线的参数方程，直线的普通方程；‎ （2） 过曲线上任意一点作与夹角为30°的直线，交于点，求的最大值与最小值.‎ 11‎ 解析　(1)曲线C的参数方程为(θ为参数).‎ 直线l的普通方程为2x+y-6=0.‎ ‎(2)曲线C上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l的距离为 d=|4cos θ+3sin θ-6|,‎ 则|PA|==|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,‎ 且tan α=.‎ 当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为.‎ 当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.‎ ‎5.(2014课标Ⅱ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ,θ∈.‎ ‎(1)求C的参数方程;‎ ‎(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.‎ 解析　(1)C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).‎ 可得C的参数方程为 ‎(t为参数,0≤t≤π).‎ ‎(2)设D(1+cos t,sin t).‎ 由(1)知C是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆.‎ 因为C在点D处的切线与l垂直,所以直线GD与l的斜率相同.tan t=,t=.‎ 故D的直角坐标为,即.‎ ‎6.(2014辽宁,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程 将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.‎ ‎(1)写出C的参数方程;‎ ‎(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.‎ 解析　(1)设(x1,y1)为圆上的点,经变换为C上点(x,y),依题意,得 由+=1得x2+=1,即曲线C的方程为x2+=1.‎ 故C的参数方程为(t为参数).‎ ‎(2)由解得或 不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为,所求直线斜率为k=,于是所求直线方程为y-1=,‎ 化为极坐标方程,并整理得2ρcos θ-4ρsin θ=-3,即ρ=.‎ 11‎ 例2 (2009·辽宁)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M、N分别为C与x轴，y轴的交点．‎ ‎(1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；‎ ‎(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．‎ ‎2.解　(1)由ρcos＝1得 ρ＝1.‎ 从而C的直角坐标方程为x＋y＝1，‎ 即x＋y＝2，当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．‎ 当θ＝时，ρ＝，所以N.‎ ‎(2)M点的直角坐标为(2,0)．‎ N点的直角坐标为(0，)．‎ 所以P点的直角坐标为，‎ 则P点的极坐标为，‎ 所以直线OP的极坐标方程为θ＝，ρ∈(－∞，＋∞)．‎ 变式迁移2 (2010·东北三校第一次联考)在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin(θ－)＝，‎ ‎(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．‎ 变式迁移2 解　(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，‎ 圆O的直角坐标方程为x2＋y2＝x＋y，‎ 即x2＋y2－x－y＝0.‎ 11‎ 直线l：ρsin(θ－)＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，‎ 则直线l的直角坐标方程为y－x＝1，‎ 即x－y＋1＝0.‎ ‎(2)由得 故直线l与圆O公共点的一个极坐标为(1，)．‎ ‎9．(12分)(2011·江苏)在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆(φ为参数)的右焦点，且与直线(t为参数)平行的直线的普通方程．‎ ‎9．解　由题设知，椭圆的长半轴长a＝5，短半轴长b＝3，从而c＝＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x－2y＋2＝0.(6分)‎ 故所求直线的斜率为，因此其方程为y＝(x－4)，(8分)‎ 即x－2y－4＝0.(12分)‎ ‎10．(12分)(2010·福建)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝2sin θ.‎ ‎(1)求圆C的直角坐标方程；‎ ‎(2)设圆C与直线l交于点A，B.若点P的坐标为(3，)，求|PA|＋|PB|.‎ ‎10．解　方法一　(1)ρ＝2sin θ，得x2＋y2－2y＝0，‎ 即x2＋(y－)2＝5.(4分)‎ ‎(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得 ‎(3－t)2＋(t)2＝5，即t2－3t＋4＝0.(6分)‎ 由于Δ＝(3)2－4×4＝2>0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以 又直线l过点P(3，)，‎ 故由上式及t的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3.(12分)‎ 方法二　(1)同方法一．‎ ‎(2)因为圆C的圆心为点(0，)，半径r＝，直线l的普通方程为y＝－x＋3＋.(8分)‎ 由得x2－3x＋2＝0.‎ 解得或(10分)‎ 不妨设A(1,2＋)，B(2,1＋)，又点P的坐标为(3，)，‎ 故|PA|＋|PB|＝＋＝3.(12分)‎ ‎6.【2015高考陕西，文23】选修4-4：坐标系与参数方程 11‎ 在直角坐标版权法吕，直线的参数方程为为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为.‎ ‎(I)写出的直角坐标方程；‎ ‎(II)为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求点的坐标.‎ ‎【答案】(I) ； (II) .‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(I)由，得，从而有，所以 ‎(II)设，又，则，故当时，取得最小值，此时点的坐标为.‎ 试题解析：(I)由，‎ 得，‎ 从而有 所以 ‎(II)设，又，‎ 则，‎ 故当时，取得最小值，‎ 此时点的坐标为.‎ 11‎ ‎11．(14分)(2010·课标全国)已知直线C1：(t为参数)，圆C2：(θ为参数)．‎ ‎(1)当α＝时，求C1与C2的交点坐标；‎ ‎(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．‎ ‎11．解　(1)当α＝时，C1的普通方程为y＝(x－1)，C2的普通方程为x2＋y2＝1，联立方程组解得C1与C2的交点坐标为(1,0)，(，－)．(7分)‎ ‎(2)C1的普通方程为xsin α－ycos α－sin α＝0.‎ A点坐标为(sin2α，－cos αsin α)，‎ 故当α变化时，P点轨迹的参数方程为 (α为参数)．(9分)‎ P点轨迹的普通方程为(x－)2＋y2＝.(12分)‎ 故P点轨迹是圆心为(，0)，半径为的圆．‎ ‎(14分)‎ 11‎