高考数学一轮复习考前抢分必备单元训练导数及其应用

高考数学一轮复习考前抢分必备单元训练导数及其应用

上海交通大学附中2014版《创新设计》高考数学一轮复习考前抢分必备单元训练：导数及其应用 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．‎ 第Ⅰ卷(选择题　共60分)‎ 一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．若函数图象上任意点处切线的斜率为，则的最小值是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎2．曲线在点（1，1）处的切线方程为( )‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】B ‎3．曲线在点P（1，0）处的切线与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是( )‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎4．曲线y=x3+x-2在点P0处的切线平行于直线y=4x，则点P0的坐标是( )‎ A．(0,1) B．(1,0) C．(-1,-4)或（1,0） D．(-1,-4)‎ ‎【答案】B ‎5．设，则的值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎6．设函数f′（x）=x2+3x－4，则y=f（x+1）的单调递减区间为( )‎ A．（－4，1） B．（－5，0） C．（） D．（）‎ ‎【答案】B ‎7．在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的增量x( )‎ A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不等于零 ‎【答案】D ‎8．函数的定义域为，，对任意，，则的解集为( )‎ A．（，1） B．（，+） C．（，） D．（，+）‎ ‎【答案】B ‎9．已知等差数列的前n项和为，又知，且，，则为 ( )‎ A．33 B．46 C．48 D．50‎ ‎【答案】C ‎10．曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为( )‎ A．( 1 , 0 ) B．( 2 , 8 )‎ C．( 1 , 0 )或(－1, －4) D．( 2 , 8 )和或(－1, －4)‎ ‎【答案】C ‎11．设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎12．曲线在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是( )‎ A．-9 B．-3 C．9 D．15‎ ‎【答案】C 第Ⅱ卷(非选择题　共90分)‎ 二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13．函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则=____________‎ ‎【答案】‎ ‎14．函数的单调增区间为 .‎ ‎【答案】‎ ‎15．曲线y=3x2与x轴及直线x＝1所围成的图形的面积为 ．‎ ‎【答案】1‎ ‎16．= 。‎ ‎【答案】‎ 三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17．甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3元和5元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？‎ ‎【答案】解法一：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点x km, 则 ∵BD=40,AC=50－,∴BC=‎ 又设总的水管费用为y元，依题意有：=3(50－x)+5‎ y′=－3+,令y′=0,解得=30‎ 在(0,50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，‎ 函数在=30(km)处取得最小值，此时AC=50－=20(km)‎ ‎∴供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.‎ 解法二：设∠BCD=,则BC=,CD=, ‎ 设总的水管费用为f(θ),依题意，有 ‎(θ)=3(50－40·cotθ)+5=150+40·‎ ‎∴(θ)=40‎ 令(θ)=0,得cosθ=‎ 根据问题的实际意义，当cosθ=时，函数取得最小值，此时sinθ=,∴cotθ=,‎ ‎∴AC=50－40cotθ=20(km),即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.‎ ‎18． 已知函数f(x)＝ax2＋blnx在x＝1处有极值．‎ ‎(I）求a，b的值；‎ ‎ (II）判断函数y＝f(x)的单调性并求出单调区间．‎ ‎【答案】(1)因为函数f(x)＝ax2＋blnx，所以f′(x)＝2ax＋．又函数f(x)在x＝1处有极值，‎ 所以即解得 ‎(2)由(1)可知f(x)＝x2－lnx，其定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝x－＝．‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ 所以函数y＝f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)．‎ ‎19．设，向量，函数的图象经过坐标原点，是函数的导函数．已知，，．‎ ‎(Ⅰ）求的解析式；‎ ‎(Ⅱ）若关于的方程在区间上有两个不相等的实数根，求的取值范围；‎ ‎(Ⅲ）若，设数列满足．‎ 求证：．‎ ‎【答案】（I）∵，‎ ‎∴ ．‎ 令，则，解得．‎ ‎∴．‎ ‎∵的图象过原点，‎ ‎∴．‎ ‎(II）原方程可以整理为．‎ 令，则．‎ 由有或，‎ 且当或时，当时．‎ ‎∴ 在时，在上是减函数，在上是增函数，‎ ‎∴ 在上．‎ 又，‎ ‎∴ 要使原方程在上有两个不相等的实数根，则须使．‎ 即的取值范围为．‎ ‎(III）时，．‎ ‎∴ )，整理得 ()．‎ 变形得 ，‎ 令，则，() ．‎ 两边同取对数有 ，即．‎ 令，则，且，‎ ‎∴-1>2(-1)( )，‎ ‎∴-1>2(-1) >22(-1)>……>(-1)=，‎ ‎∴>1+>，∴=，‎ ‎∴ ()．‎ 当时，=3>-1=1，即不等式也成立，‎ ‎∴．‎ ‎20．已知函数，‎ ‎(Ⅰ）若求曲线在处的切线的斜率；（Ⅱ）求的单调区间；‎ ‎(Ⅲ）设若存在对于任意使 求 的范围。‎ ‎【答案】‎ ‎(Ⅰ）若 ‎(Ⅱ）当 ‎ 当令 综上：‎ ‎(Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，一定符合题意;‎ ‎ 当 ‎ ‎ 由题意知，只需满足 综上：‎ ‎21．已知函数。‎ ‎(Ⅰ）设，讨论的单调性； ‎ ‎(Ⅱ）若对任意恒有，求的取值范围 ‎【答案】 (Ⅰ)f(x)的定义域为(－∞,1)∪(1,+∞).对f(x)求导数得 f '(x)= e－ax. ‎ ‎(ⅰ)当a=2时, f '(x)= e－2x, f '(x)在(－∞,0), (0,1)和(1,+ ∞)均大于0, 所以f(x)在(－∞,1), (1,+∞).为增函数.‎ ‎(ⅱ)当0 0, f(x)在(－∞,1), (1,+∞)为增函数. ‎ ‎(ⅲ)当a>2时, 0<<1, 令f '(x)= 0 ,解得x1= － , x2= .‎ 当x变化时, f '(x)和f(x)的变化情况如下表: ‎ f(x)在(－∞, －), (,1), (1,+∞)为增函数, f(x)在(－,)为减函数.‎ ‎(Ⅱ)(ⅰ)当0f(0)=1.‎ ‎(ⅱ)当a>2时, 取x0= ∈(0,1),则由(Ⅰ)知 f(x0)1且e－ax≥1,得 ‎ f(x)= e－ax≥ >1. 综上当且仅当a∈(－∞,2]时,对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1‎ ‎22．函数 ‎(I）当时，求函数的极值；‎ ‎(II）设，若，‎ 求证：对任意，且，都有.‎ ‎【答案】（1）当时，‎ 函数定义域为（）且 令，解得或 ‎ 当变化时，的变化情况如下表：‎ 所以当时，，‎ 当时，； ‎ ‎(2）因为，‎ 所以，‎ 因为，所以（当且仅当时等号成立），‎ 所以在区间上是增函数， ‎ 从而对任意，当时，，‎ 即,所以. ‎