高考总复习高中数学高考总复习双曲线习题及详解

高考总复习高中数学高考总复习双曲线习题及详解

高中数学圆锥曲线——双曲线 一、选择题 ‎1．(文)(2016·山东潍坊)已知焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程是y＝±4x，则该双曲线的离心率是 (　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　C ‎[解析]　设双曲线方程为－＝1，则由题意得，＝4，∴＝16，∴e＝.‎ ‎(理)(2016·河北唐山)过双曲线－＝1的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF(O为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为(　　)‎ A．2 B. C. D. ‎[答案]　C ‎[解析]　如图，FM⊥l，垂足为M，‎ ‎∵M在OF的中垂线上，‎ ‎∴△OFM为等腰直角三角形，∴∠MOF＝45°，‎ 即＝1，∴e＝.‎ ‎2．(2010·全国Ⅰ文)已知F1、F2为双曲线Cx2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝(　　)‎ A．2　　　　 B．4　　　　‎ C．6　　　　 D．8‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　在△F1PF2中，由余弦定理 cos60°＝＝ ‎＝＋1＝＋1，‎ ‎∵b＝1，∴|PF1|·|PF2|＝4.‎ ‎3．(文)(2016·合肥市)中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1都相切，则双曲线C的离心率是(　　)‎ A.或2 B．2或 C.或 D.或 ‎[答案]　A ‎[解析]　焦点在x轴上时，由条件知＝，∴＝，∴e＝＝，同理，焦点在y轴上时，＝，此时e＝2.‎ ‎(理)已知F1、F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正△MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为(　　)‎ A．4＋2 B.－1‎ C. D.＋1‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　设线段MF1的中点为P，由已知△F1PF2为有一锐角为60°的直角三角形，‎ ‎∴|PF1|、|PF2|的长度分别为c和c.‎ 由双曲线的定义知：(－1)c＝2a，‎ ‎∴e＝＝＋1.‎ ‎4．已知椭圆＋＝1和双曲线－＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为(　　)‎ A．x＝±y B．y＝±x C．x＝±y D．y＝±x ‎[答案]　D ‎[解析]　由题意c2＝3m2－5n2＝2m2＋3n2，‎ ‎∴m2＝8n2，‎ ‎∴双曲线渐近线的斜率k＝±＝±.‎ 方程为y＝±x.‎ ‎5．(文)(2016·湖南师大附中模拟)已知双曲线－＝1，直线l过其左焦点F1，交双曲线左支于A、B两点，且|AB|＝4，F2为双曲线的右焦点，△ABF2的周长为20，则m的值为(　　)‎ A．8 B．9‎ C．16 D．20‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　由已知，|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝20，又|AB|＝4，则|AF2|＋|BF2|＝16.‎ 据双曲线定义，2a＝|AF2|－|AF1|＝|BF2|－|BF1|，所以4a＝|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16－4＝12，即a ‎＝3，所以m＝a2＝9，故选B.‎ ‎(理)(2016·辽宁锦州)△ABC中，A为动点，B、C为定点，B，C(其中m>0，且m为常数)，且满足条件sinC－sinB＝sinA，则动点A的轨迹方程为(　　)‎ A.－＝1 　 B.－＝1‎ C.－＝1(x>) 　 D.－＝1‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　依据正弦定理得：|AB|－|AC|＝|BC|＝<|BC|‎ ‎∴点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的右支，且a＝，c＝，∴b2＝c2－a2＝ ‎∴双曲线方程为－＝1(x>)‎ ‎6．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的两焦点为F1、F2，点Q为双曲线左支上除顶点外的任一点，过F1作∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹是(　　)‎ A．椭圆的一部分 B．双曲线的一部分 C．抛物线的一部分 D．圆的一部分 ‎[答案]　D ‎[解析]　延长F1P交QF2于R，则|QF1|＝|QR|.‎ ‎∵|QF2|－|QF1|＝2a，∴|QF2|－|QR|＝2a＝|RF2|，‎ 又|OP|＝|RF2|，∴|OP|＝a.‎ ‎7．(文)(2016·温州市十校)已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是(　　)‎ A．(1，＋∞) B．(1,2)‎ C．(1,1＋) D．(2,1＋)‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　由题意易知点F的坐标为(－c,0)，A，B，E(a,0)，因为△ABE是锐角三角形，所以·>0，即·＝·>0，整理得3e2＋2e>e4，∴e(e3－3e－3＋1)<0，∴e(e＋1)2(e－2)<0，解得e∈(0,2)，又e>1，∴e∈(1,2)，故选B.‎ ‎(理)(2016·浙江杭州质检)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点F引它的渐近线的垂线，垂足为M，延长FM交y轴于E，若FM＝ME，则该双曲线的离心率为(　　)‎ A．3 B．2‎ C. D. ‎[答案]　D ‎[解析]　由条件知l：y＝x是线段FE的垂直平分线，∴|OE|＝|OF|＝c，又|FM|＝＝b，‎ ‎∴在Rt△OEF中，2c2＝4b2＝4(c2－a2)，‎ ‎∵e＝>1，∴e＝.‎ ‎8．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　D ‎[解析]　直线与双曲线右支相切时，k＝－，直线y＝kx＋2过定点(0,2)，当k＝－1时，直线与双曲线渐近线平行，顺时针旋转直线y＝－x＋2时，直线与双曲线右支有两个交点，‎ ‎∴－0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为(　　)‎ A．[3－2，＋∞) B．[3＋2，＋∞)‎ C．[－，＋∞) D．[，＋∞)‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　由条件知a2＋1＝22＝4，∴a2＝3，‎ ‎∴双曲线方程为－y2＝1.‎ 设P点坐标为(x，y)，则＝(x，y)，＝(x＋2，y)，‎ ‎∵y2＝－1，∴·＝x2＋2x＋y2‎ ‎＝x2＋2x＋－1＝x2＋2x－1‎ ‎＝(x＋)2－.‎ 又∵x≥(P为右支上任意一点)‎ ‎∴·≥3＋2.故选B.‎ ‎(理)(2010·新课标全国理)已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有：，两式作差得：＝＝，∵kAB＝，且kAB＝＝1，所以4b2＝5a2代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以双曲线标准方程是－＝1，故选B.‎ ‎10．(文)过椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点垂直于x轴的弦长为a，则双曲线－＝1的离心率e的值是(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　B ‎[解析]　将x＝c代入椭圆方程得，＋＝1，‎ ‎∴y2＝×b2＝×b2＝×b2，∴y＝±.‎ ‎∴＝a，∴b2＝a2，e2＝＝＝，∴e＝，故选B.‎ ‎(理)(2016·福建宁德一中)已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F恰好是双曲线－＝1的一个焦点，且两条曲线交点的连线过点F，则该双曲线的离心率为(　　)‎ A. B．1± C．1＋ D．无法确定 ‎[答案]　C ‎[解析]　由题意知＝c，根据圆锥曲线图象的对称性，两条曲线交点的连线垂直于y轴，对双曲线来说，这两个交点连线的长度是，对抛物线来说，这两个交点连线的长度是2p，∵p＝2c，＝4c，∴b2＝2ac，‎ ‎∴c2－a2＝2ac，∴e2－2e－1＝0，解得e＝1±，‎ ‎∵e>1，∴e＝1＋.‎ 二、填空题 ‎11．(文)(2016·广东实验中学)已知P是双曲线－＝1右支上的一点，双曲线的一条渐近线的方程为3x－y＝0.设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若|PF2|＝3，则|PF1|＝________.‎ ‎[答案]　5‎ ‎[解析]　由双曲线的一条渐近线的方程为3x－y＝0且b＝3可得：a＝1，由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a，‎ ‎∴|PF1|－3＝2，∴|PF1|＝5.‎ ‎(理)(2010·东营质检)已知双曲线－＝1的右焦点为(，0)，则该双曲线的渐近线方程为________．‎ ‎[答案]　y＝±x ‎[解析]　由题意知9＋a＝13，∴a＝4，‎ 故双曲线的实半轴长为a′＝3，虚半轴长b′＝2，‎ 从而渐近线方程为y＝±x.‎ ‎12．(2016·惠州市模考)已知双曲线－y2＝1(a>0)的右焦点与抛物线y2＝8x焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是________．‎ ‎[答案]　y＝±x ‎[解析]　y2＝8x焦点是(2,0)，‎ ‎∴双曲线－y2＝1的半焦距c＝2，又虚半轴b＝1，‎ 又a>0，∴a＝＝，‎ ‎∴双曲线渐近线的方程是y＝±x.‎ ‎13．(2016·北京东城区)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点为F1，F2，P为双曲线上一点，且|PF1|＝3|PF2|，则该双曲线离心率的取值范围是________．‎ ‎[答案]　10，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且其一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则双曲线的离心率为2；‎ ‎③将函数y＝cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y＝sin的图象；‎ ‎④在Rt△ABC中，AC⊥BC，AC＝a，BC＝b，则△ABC的外接圆半径r＝；类比到空间，若三棱锥S－ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为a、b、c，则三棱锥S－ABC的外接球的半径R＝.‎ 其中真命题的序号为________．(把你认为是真命题的序号都填上)‎ ‎[答案]　①②④‎ ‎[解析]　①设双曲线方程为m2x2－y2＝1，‎ ‎∵a2＝，b2＝1，c2＝a2＋b2＝ ‎∴e＝＝<4，∴m< ‎∴m取值1、2、3‎ 故所求概率为，故①正确．‎ ‎②根据双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，可得＝，因此离心率e＝＝＝＝2，②正确；‎ ‎③函数y＝cos2x的图象向右平移个单位得y＝cos2(x－)＝cos(2x－)＝sin[＋(2x－)]＝sin(2x＋)的图象，③错误；‎ ‎④将三棱锥S－ABC补成如图的长方体，可知三棱锥S－ABC外接球的直径就等于该长方体的体对角线的长，则R＝，④正确．‎ 三、解答题 ‎15．(文)已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F(－2,0)‎ ‎(1)求双曲线方程；‎ ‎(2)设Q是双曲线上一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若||＝2||，求直线l的方程．‎ ‎[解析]　(1)由题意可设所求的双曲线方程为 －＝1(a>0，b>0)‎ 则有e＝＝2，c＝2，∴a＝1，则b＝ ‎∴所求的双曲线方程为x2－＝1.‎ ‎(2)∵直线l与y轴相交于M且过焦点F(－2,0)‎ ‎∴l的斜率k一定存在，设为k，则l：y＝k(x＋2)‎ 令x＝0得M(0,2k)‎ ‎∵||＝2||且M、Q、F共线于l ‎∴＝2或＝－2 当＝2时，xQ＝－，yQ＝k ‎∴Q，‎ ‎∵Q在双曲线x2－＝1上，‎ ‎∴－＝1，∴k＝±，‎ 当＝－2时，‎ 同理求得Q(－4，－2k)代入双曲线方程得，‎ ‎16－＝1，∴k＝± 则所求的直线l的方程为：‎ y＝±(x＋2)或y＝±(x＋2)‎ ‎(理)(2016·湖南湘潭市)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．‎ ‎(1)求双曲线C的方程；‎ ‎(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O为原点)，求k的取值范围．‎ ‎[解析]　(1)设双曲线－＝1，‎ 由已知得a＝，c＝2，再由a2＋b2＝22得，b2＝1，‎ 故双曲线C的方程为－y2＝1.‎ ‎(2)将y＝kx＋代入－y2＝1中得，‎ ‎(1－3k2)x2－6kx－9＝0.‎ 由直线l与双曲线交于不同的两点得 ，‎ ‎∴k2≠且k2<1①‎ 设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xA＋xB＝，xAxB＝ 由·>2得，xAxB＋yAyB>2，‎ xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋)(kxB＋)‎ ‎＝(k2＋1)xAxB＋k(xA＋xB)＋2‎ ‎＝(k2＋1)·＋k·＋2＝ 于是>2，即>0，‎ 解此不等式得0，b>0)相交于B、D两点，且BD的中点为M(1,3)．‎ ‎(1)求C的离心率；‎ ‎(2)设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|·|BF|＝17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．‎ ‎[解析]　(1)由题意知，l的方程为：y＝x＋2，‎ 代入C的方程并化简得，‎ ‎(b2－a2)x2－4a2x－4a2－a2b2＝0‎ 设B(x1，y1)，D(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝，x1·x2＝－①‎ 由M(1,3)为BD的中点知＝1，故×＝1‎ 即b2＝3a2②‎ 故c＝＝2a，‎ ‎∴C的离心率e＝＝2.‎ ‎(2)由②知，C的方程为3x2－y2＝3a2，‎ A(a,0)，F(2a,0)，x1＋x2＝2，x1·x2＝－<0，‎ 故不妨设x1≤－a，x2≥a，‎ ‎|BF|＝＝＝a－2x1，‎ ‎|FD|＝＝＝2x2－a，‎ ‎|BF|·|FD|＝(a－2x1)(2x2－a)‎ ‎＝－4x1x2＋2a(x1＋x2)－a2＝5a2＋4a＋8.‎ 又|BF|·|FD|＝17，故5a2＋4a＋8＝17，‎ 解得a＝1，或a＝－.‎ 故|BD|＝|x1－x2|＝＝6‎ 连结MA，则由A(1,0)，M(1,3)知|MA|＝3，‎ 从而MA＝MB＝MD，∠DAB＝90°，‎ 因此以M为圆心，MA为半径的圆过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切，‎ 所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．‎ ‎(理)(2016·广东理)已知双曲线－y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是双曲线上不同的两个动点．‎ ‎(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；‎ ‎(2)若过点H(0，h)(h>1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1⊥l2.求h的值．‎ ‎[分析]　(1)由条件写出直线A1P与A2Q的方程，两式相乘后消去x1，y1得交点E的方程；‎ ‎(2)l1，l2与E只有一个交点，写出l1与l2的方程与曲线E的方程联立，运用Δ＝0求解．‎ ‎[解析]　(1)由条件知|x1|>，∵A1、A2为双曲线的左、右顶点∴，A1(－，0)，A2(，0)．‎ A1Py＝(x＋)，A2Qy＝(x－)，‎ 两式相乘得y2＝(x2－2)，①‎ 而点P(x1，y1)在双曲线上，所以－y12＝1，‎ 即＝，代入①式，整理得， ＋y2＝1.‎ ‎∵|x1|>，∴点A1(－，0)，A2(，0)均不在轨迹E上，又双曲线的渐近线方程为y＝±x，故过点(0,1)和A2(，0)的直线与双曲线仅有一个交点A2(，0)，故点(0,1)不在轨迹E上，同理点(0，－1)也不在轨迹E上，∴轨迹E的方程为＋y2＝1(x≠±，且x≠0)．‎ ‎(2)设l1y＝kx＋h，则由l1⊥l2知，l2y＝－x＋h. 将l1y＝kx＋h代入＋y2＝1得 ＋(kx＋h)2＝1，即(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0，‎ 由l1与E只有一个交点知，Δ＝16k2h2－4(1＋2k2)(2h2－2)＝0，‎ ‎∴1＋2k2＝h2.‎ 同理，由l2与E只有一个交点知，1＋2·＝h2，‎ 消去h2得＝k2，‎ 即k2＝1，从而h2＝1＋2k2＝3，即h＝.‎ 又分别过A1、A2且互相垂直的直线与y轴正半轴交于点(0，)，∴h＝符合题意，综上知h＝或.‎