全国统一招生高考押题卷理科数学一试卷含答案

全国统一招生高考押题卷理科数学一试卷含答案

绝密 ★ 启用前 此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ ‎2018年普通高等学校招生全国统一考试 理 科 数 学（一）‎ 注意事项：‎ ‎1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。‎ ‎3、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．复数的共轭复数为，满足，则复数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．集合，，则集合（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．2018年3月7日《科学网》刊登“动物可以自我驯化”的文章表明：关于野生小鼠的最新研究，它们在几乎没有任何人类影响的情况下也能表现出进化的迹象——皮毛上白色的斑块以及短鼻子．为了观察野生小鼠的这种表征，从有2对不同表征的小鼠（白色斑块和短鼻子野生小鼠各一对）的实验箱中每次拿出一只，不放回地拿出2只，则拿出的野生小鼠不是同一表征的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的可能值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．在海昏侯墓中发掘出堆积如山的“汉五铢”铜钱．汉代串铜钱的丝绳或麻绳叫“缗”，后来演变为计量铜钱的单位，1000枚铜钱用缗串起来，就叫一缗．假设把2000余缗铜钱放在一起码成一堆，摆放规则如下：底部并排码放70缗，然后一层一层往上码，每层递减一缗，最上面一层为31缗，则这一堆铜钱的数量为（ ）‎ A．枚 B．枚 C．枚 D．枚 ‎6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ ‎ ‎ 正视图 侧视图 A． B． C． D．‎ ‎7．如图的程序框图，当输出后，程序结束，则判断框内应该填（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．若双曲线：的一条渐近线被抛物线所截得的弦长为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B．1 C．2 D．4‎ ‎10．若是函数的极值点，则函数的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．点在曲线上运动，，且的最大值为，若，，则的最小值为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎12．已知函数为定义域上的奇函数，且在上是单调递增函数，函数，数列为等差数列，且公差不为0，若，‎ 则（ ）‎ A．45 B．15 C．10 D．0‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．已知变量、满足，则的最小值为_______．‎ ‎14．已知，，满足，则的最大值为________．‎ ‎15．已知正方形的边长为1，为面内一点，则的最小值为____________．‎ ‎16．如图，在四边形中，和都是等腰直角三角形，，，，沿把翻折起来，形成二面角，且二面角为，此时，，，在同一球面上，则此球的体积为___________．‎ 三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）在中，角，，所对的边分别是，，，已知，‎ ‎（1）若，求的值，‎ ‎（2）若，求面积的最大值．‎ ‎18．（12分）据悉，2017年教育机器人全球市场规模已达到8.19亿美元，中国占据全球市场份额10.8%．通过简单随机抽样得到40家中国机器人制造企业，下图是40家企业机器人的产值频率分布直方图．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）在上述抽取的40个企业中任取3个，抽到产值小于500万元的企业不超过两个的概率是多少？‎ ‎（3）在上述抽取的40个企业中任取2个，设为产值不超过500万元的企业个数与超过500万元的企业个数的差值，求的分布列及期望．‎ ‎19．（12分）在三棱锥中，，，．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）点为上一动点，设为直线与平面所形成的角，求的最大值．‎ ‎20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，有，椭圆的离心率为；‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）已知，过点作直线与椭圆交于不同两点，线段的中垂线为，线段的中点为点，记与轴的交点为，求的取值范围．‎ ‎21．（12分）已知函数；‎ ‎（1）讨论的极值点的个数；‎ ‎（2）若，且恒成立，求的最大值．‎ 参考数据：‎ ‎1.6‎ ‎1.7‎ ‎1.8‎ ‎4.953‎ ‎5.474‎ ‎6.050‎ ‎0.470‎ ‎0.531‎ ‎0.588‎ 请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ ‎22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为：．‎ ‎（1）将曲线的参数方程与直线的极坐标方程化为普通方程；‎ ‎（2）是曲线上一动点，求到直线的距离的最大值．‎ ‎【选修4-5：不等式选讲】‎ ‎23．（10分）设，‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式满足对任意实数恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎2018年普通高等学校招生全国统一考试 理 科 数 学（一）（答案）‎ ‎1.【答案】D ‎【解析】根据题意可得，，所以，解得，所以复数．‎ ‎2.【答案】D ‎【解析】，．‎ ‎3.【答案】C ‎【解析】分别设一对白色斑块的野生小鼠为，，另一对短鼻子野生小鼠为，，从2对野生小鼠中不放回地随机拿出2只，所求基本事件总数为种，拿出的野生小鼠是同一表征的事件为，，，，共计4种，‎ 所以拿出的野生小鼠不是同一表征的概率为．‎ ‎4.【答案】A ‎【解析】将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，所以．‎ ‎5.【答案】B ‎【解析】由题意可知，构成一个以首项为70缗，末项为31缗，项数为40层，公差为1的等差数列，则和为缗，这一堆铜钱的数量为枚．‎ ‎6.【答案】A ‎【解析】根据三视图可得该几何体为一个长方体和半个圆柱组合所成，‎ ‎．‎ ‎7.【答案】C ‎【解析】当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；‎ 所以的最大值为15，可知符合题意．‎ ‎8.【答案】D ‎【解析】对于A，函数，当时，，时，，不满足题意；对于B，当时，递增，不满足题意；对于C，当时，，不满足题意；故选D．‎ ‎9.【答案】C ‎【解析】双曲线：的一条渐近线方程不妨设为：，与抛物线方程联立，，消去，得，所以，所以所截得的弦长为，化简可得，，，，得或（舍），所以双曲线的离心率．‎ ‎10.【答案】C ‎【解析】，∴，‎ 由已知得，，∴，解得．‎ ‎∴，∴，所以函数的极值点为，，当时，，所以函数是减函数，当或时，，函数是增函数．又当时，，，当时，，，∴在上，又当时，函数递减，当时，函数递增，∴．‎ ‎11.【答案】A ‎【解析】曲线可化为，表示圆心在，半径为的圆，，可以看作点 到点的距离的平方，圆上一点到的距离的最大值为，即点是直线与圆的离点最远的交点，所以直线的方程为，‎ 联立，解得或（舍去），当时，取得最大值，则，所以，所以，，‎ 当且仅当，时取等号．‎ ‎12.【答案】A ‎【解析】由函数，所以，‎ 当时，，‎ 而函数为定义域上的奇函数，所以，所以；‎ 由，得，‎ 由函数为定义域上的奇函数，且在上是单调递增函数，‎ 可知关于对称，且在上是单调递增函数，‎ 由对称性猜想，下面用反证法说明，‎ 假设，知，则，， ‎ 由对称性可知，，，‎ 则与题意不符，故不成立；‎ 同理也不成立，‎ 所以，所以，‎ 根据等差数列性质，．‎ ‎13.【答案】‎ ‎【解析】根据约束条件画出可行域，直线过点时，取得最小值是．‎ ‎14.答案】‎ ‎【解析】因为，‎ 所以，‎ 所以，即，‎ 因为，，所以，‎ 则，‎ 因为，所以，所以的最大值为．‎ ‎15.【答案】‎ ‎【解析】建立如图所示的坐标系，以为坐标原点，‎ 则，，，，设，‎ 则，，，，‎ ‎，‎ 当，时，的最小值为．‎ ‎16.【答案】‎ ‎【解析】由已知可知，、的外接圆圆心分别为、的中点、，分别过、作、所在平面的垂线，垂线的交点即为球心，由已知可知即为二面角的平面角，所以，又，所以，，所以，所以，‎ 所以．‎ ‎17.【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）∵，‎ ‎∴，······1分 ‎∴，······2分 ‎∴，······3分 ‎∴，······4分 又，∴，······5分 ‎．······6分 ‎（2）当时，，······7分 ‎∴，······8分 ‎∴，······9分 ‎∴，······10分 ‎∵，‎ ‎∴，即，当且仅当时等号成立，······11分 ‎∴，‎ ‎∴面积的最大值为．······12分 ‎18.【答案】（1）；（2）；（3）见解析．‎ ‎【解析】（1）根据频率分布直方图可知，‎ ‎．·······2分 ‎（2）产值小于500万元的企业个数为：，·······3分 所以抽到产值小于500万元的企业不超过两个的概率为．·······6分 ‎（3）的所有可能取值为，，．·······7分 ‎，·······8分 ‎，·······9分 ‎．·······10分 ‎∴的分布列为：‎ 期望为：．·······12分 ‎19.【答案】（1）见解析；（2）最大值为．‎ ‎【解析】（1）取中点，连接，，‎ ‎∵，又为中点，‎ ‎∴，·······1分 同理可得：，·······2分 又，∴平面，·······3分 又平面，∴．·······4分 ‎（2）∵，，‎ ‎∴为直角三角形，且，，‎ ‎∴，，即，‎ 又，所以平面，·······5分 ‎∴以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立如图直角坐标系．‎ ‎∴，，，，‎ 设，，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即，∴，·······6分 ‎，·····7分 ‎，，‎ 设是平面的法向量，‎ ‎∴，令，得，，‎ ‎∴，·······9分 ‎∴，···10分 由，可知，‎ ‎∴，∴的最大值为．·······12分 ‎20.【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）因为，所以，所以，·····1分 因为，所以，·······2分 所以，·······3分 所以椭圆的标准方程为．·······4分 ‎（2）由题意可知直线的斜率存在，设：，，，，‎ 联立直线与椭圆，消去得，‎ ‎，，·······5分 又，解得：，·····6分 ‎，，‎ 所以，·······7分 所以：，即，‎ 化简得：，·······8分 令，得，即，·······9分 ‎，·······10分 令，则，‎ 所以，‎ 所以．·······12分 ‎21.【答案】（1）见解析；（2）10．‎ ‎【解析】（1）根据题意可得，，·······1分 当时，，函数是减函数，无极值点；·······2分 当时，令，得，即，‎ 又在上是增函数，且当时，，‎ 所以在上存在一解，不妨设为，‎ 所以函数在上是单调递增的，在上是单调递减的．‎ 所以函数有一个极大值点，无极小值点；‎ 总之：当时，无极值点；‎ 当时，函数有一个极大值点，无极小值点．·······5分 ‎（2）因为，由（1）知有极大值，且满足①，‎ 可知：，‎ 要使恒成立，即②，·······6分 由①可得，代入②得，即，‎ 因为，所以，·······7分 因为，，且在是增函数，‎ 设为的零点，则，‎ 可知，·······8分 由②可得，‎ 当时，，不等式显然恒成立；·······9分 当时，，，‎ 令，，，‎ 所以上是减函数，且，，‎ 所以，·······11分 所以，又，所以的最大值为．·······12分 ‎22.【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解析】（1）将曲线的参数方程（为参数）化为普通方程为，·······3分 直线的极坐标方程为：，化为普通方程为．······5分 ‎（2）设到直线的距离为，‎ ‎，·······7分 ‎∴到直线的距离的最大值为．·······10分 ‎23.【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）根据题意可得，‎ 当时，，解得，所以；·······1分 当时，，解得，所以；·····2分 当时，，解得，所以；·····3分 综上，不等式的解集为．·······5分 ‎（2）不等式等价于，···6分 因为，·······8分 当且仅当时取等号，‎ 因为，所以，‎ 解得或，‎ 故实数的取值范围为．·······10分