2014年全国高考文科数学试题及答案-新课标1

2014年全国高考文科数学试题及答案-新课标1

‎2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）（课标I）‎ 一． 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎（1）已知集合M=｛x|-1＜x＜3｝，N=｛x|-2＜x＜1｝则M∩N=（ ）‎ A. ‎ B. C. D. ‎ （2） 若，则 A. ‎ B. C. D. ‎ （3） 设，则 A. B. C. D. 2‎ ‎（4）已知双曲线的离心率为2，则 A. 2 B. C. D. 1‎ ‎(5)设函数的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是 A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 是奇函数 D. 是奇函数 （6） 设分别为的三边的中点，则 A. ‎ B. C. D. ‎ ‎(7)在函数①，② ，③,④中，最小正周期为的所有函数为 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③‎ ‎（8）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）‎ A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 ‎（9）执行右面的程序框图，若输入的分别为1,2,3，则输出的( )‎ A. B. C. D.‎ ‎（10）已知抛物线C：的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点，，则x0=（ ）‎ A. 1 B. ‎2 C. 4 D. 8‎ （11） 设，满足约束条件且的最小值为7，则 A．-5 B. 3‎ C．-5或3 D. 5或-3‎ （12） 已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是 A. B. C. D.‎ 第II 卷 二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分 ‎（13）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为_ _.‎ （14） 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过、、三个城市时，‎ ‎ 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；‎ ‎ 乙说：我没去过城市；‎ ‎ 丙说：我们三人去过同一城市；‎ ‎ 由此可判断乙去过的城市为____ ____.‎ ‎（15）设函数则使得成立的的取值范围是__ _____.‎ ‎（16）如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点.从点测得 点的仰角，点的仰角以及；从点测得.已知山高，‎ 则山高_ ___.‎ 三、 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ （17） ‎（本小题满分12分）‎ 已知是递增的等差数列，，是方程的根。‎ ‎（I）求的通项公式；‎ ‎（II）求数列的前项和.‎ （18） ‎（本小题满分12分）‎ 从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：‎ 质量指标值分组 ‎[75，85)‎ ‎[85，95)‎ ‎[95，105)‎ ‎[105，115)‎ ‎[115，125)‎ 频数 ‎6‎ ‎26‎ ‎38‎ ‎22‎ ‎8‎ ‎（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：‎ ‎（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？‎ ‎(19)(本题满分12分)‎ 如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面.‎ （1） 证明：‎ （2） 若,求三棱柱的高.‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.‎ ‎(1)求的轨迹方程；‎ ‎（2）当时，求的方程及的面积 ‎（21）（本小题满分12分）‎ 设函数，曲线处的切线斜率为0‎ ‎(1)求b;‎ ‎（2）若存在使得，求a的取值范围。‎ 请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.‎ （22） ‎（本小题满分10分）选修4-1，几何证明选讲 如图，四边形是的内接四边形，的延长线与的延长线交于点，且.‎ ‎（I）证明：；‎ ‎（II）设不是的直径，的中点为，且，证明：为等边三角形.‎ （23） ‎（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线，直线（为参数）‎ （1） 写出曲线的参数方程，直线的普通方程；‎ （2） 过曲线上任意一点作与夹角为30°的直线，交于点，求的最大值与最小值.‎ （24） ‎（本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲 若且 ‎（I）求的最小值；‎ ‎（II）是否存在，使得？并说明理由.‎ 参考答案 一、选择题 ‎1-5. BABDA 6-10. CCBDC 11-12. BA 二、填空题 ‎13. 14. A 15. 16. 150‎ 三、解答题 ‎17. 解：‎ ‎（1）方程的两个根为2，3，由题意得因为 设数列的公差为d，则，故，从而 所以的通项公式为 ‎（2）设的前项和为，由（1）知，则 ‎ ①‎ ‎ ②‎ ‎①-②得 所以，‎ ‎18.解：‎ ‎（1）‎ ‎…………………………4分 ‎（2）质量指标值的样本平均数为 质量指标值的样本方差为 所以，这种产品质量指标的平均数估计值为100，方差的估计值为104.‎ ‎……………………………………10分 ‎（3）依题意= 68％ < 80％‎ 所以该企业生产的这种产品不符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80％”的规定。……………………………………12分 ‎19.‎ ‎（1）证明：‎ 连接，则为与的交点，因为侧面为菱形，所以 又平面，所以，故 由于，故……………………………6分 ‎（2）解：‎ 做，垂足为D，连接AD，做，垂足为H。‎ 由于，故，所以 又，所以 因为，所以为等边三角形，又，可得 由于，所以 由，且，得 又为的中点，所以点到平面的距离为，故三棱柱的高为………………………………………………………………………………12分 ‎20．解：‎ ‎（1）方法一：‎ 圆的方程可化为，所以，圆心为，半径为4，‎ 设，则，‎ 由题设知，故 ‎，即 由于点在圆的内部，所以的轨迹方程是……………6分 方法二：‎ 圆的方程可化为，所以，圆心为，半径为4，‎ 设，‎ 设，‎ 则 所以 化简得，，即 所以的轨迹方程是 ‎（2）方法一：‎ 由（1）可知的轨迹是以点为圆心，为半径的圆 由于，故在线段的垂直平分线上，‎ 又在圆上，从而 因为的斜率为3，所以的斜率为，‎ 所以的方程为 又，到的距离为，所以的面积为 方法二：‎ 依题意，，因为 所以，M也在上 所以 两式相减，得，即，此方程也就是的方程 由（1）知，的轨迹方程是，‎ 设此方程的圆心为，则 所以 又 所以 到的距离 所以，‎ 综上所述，的方程为，的面积为 ‎21.（1）解：‎ 由题设知 解得……………………………………………………………………………4分 ‎（2）解：的定义域为，由（1）知，，‎ ‎（ⅰ）若，则，‎ 故当时，在单调递增，‎ 所以，存在，使得的充要条件为，‎ 即，‎ 解得 ‎（ⅱ）若，则，‎ 故当时，；‎ 当时，；‎ 所以在单调递减，在单调递增，‎ 所以，存在，使得的充要条件为 而，所以不合题意 ‎（ⅲ）若，则 综上所述，的取值范围是……………………………12分 ‎22.（本小题满分10分）‎ ‎（1）证明：由题设得，A，B，C，D四点共圆，所以，‎ 又，‎ 所以………………………5分 ‎（2）证明：设的中点为，连结，则由知，故在直线上 又不是的直径，为的中点，故，即 所以，故 又，故，由（1）知，，所以为等边三角形。…………………………………………………………………10分 ‎23.解：‎ ‎（1）曲线的参数方程为（为参数）‎ 直线的普通方程为 ‎（2）曲线上任意一点到的距离为 则，其中为锐角，且 当时，取得最大值，最大值为 当时，取得最小值，最小值为…………………………………10分 ‎24.解：‎ ‎（1）由，得，且当时等号成立 故，且当时等号成立 所以的最小值为…………………………………………………………5分 ‎（2）由（1）知，‎ 由于，从而不存在，使得………………………………10分