陕西高考理科数学试题及答案详解

陕西高考理科数学试题及答案详解

‎2013年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（必修+选修Ⅱ）(陕西卷)‎ 第一部分(共50分)‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共10小题，每小题5分，共50分)．‎ ‎1．(2013陕西，理1)设全集为R，函数f(x)＝的定义域为M，则RM为(　　)．‎ A．[－1,1] B．(－1,1) C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)‎ ‎1)∪(1，＋∞)．‎ ‎2．(2013陕西，理2)根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为(　　)．‎ A．25 ‎ B．30 ‎ C．31 ‎ D．61‎ ‎3．(2013陕西，理3)设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的(　　)．‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．(2013陕西，理4)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为(　　)．‎ A．11 B．12 C．13 D．14‎ ‎5．(2013陕西，理5)如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是(　　)．‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎6．(2013陕西，理6)设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是(　　)．‎ A．若|z1－z2|＝0，则 B．若，则 C．若|z1|＝|z2|，则 D．若|z1|＝|z2|，则z12＝z22‎ ‎7．(2013陕西，理7)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)．‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 ‎8．(2013陕西，理8)设函数f(x)＝则当x＞0时，f[f(x)]表达式的展开式中常数项为 A．－20 B．20 C．－15 D．15‎ ‎9．(2013陕西，理9)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是(　　)．‎ A．[15,20] B．[12,25]‎ C．[10,30] D．[20,30]‎ ‎10．(2013陕西，理10)设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有(　　)．‎ A．[－x]＝－[x] B．[2x]＝2[x]‎ C．[x＋y]≤[x]＋[y] D．[x－y]≤[x]－[y]‎ 第二部分(共100分)‎ 二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分)．‎ ‎11．(2013陕西，理11)双曲线的离心率为，则m等于__________．‎ ‎12．(2013陕西，理12)某几何体的三视图如图所示，则其体积为__________．‎ ‎13．(2013陕西，理13)若点(x，y)位于曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为__________．‎ ‎14．(2013陕西，理14)观察下列等式 ‎12＝1‎ ‎12－22＝－3‎ ‎12－22＋32＝6‎ ‎12－22＋32－42＝－10‎ ‎……‎ 照此规律，第n个等式可为__________．‎ ‎15．(2013陕西，理15)(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)‎ A．(不等式选做题)已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为__________．‎ B．(几何证明选做题)如图，弦AB与CD相交于O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知PD＝2DA＝2，则PE＝__________.‎ C．(坐标系与参数方程选做题)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为__________．‎ ‎三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)．‎ ‎16．(2013陕西，理16)(本小题满分12分)已知向量a＝，b＝(sin x，cos 2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)在上的最大值和最小值．‎ ‎17．(2013陕西，理17)(本小题满分12分)设{an}是公比为q的等比数列．‎ ‎(1)推导{an}的前n项和公式；‎ ‎(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．‎ ‎18．(2013陕西，理18)(本小题满分12分)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝.‎ ‎(1)证明：A1C⊥平面BB1D1D；‎ ‎(2)求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．‎ ‎19．(2013陕西，理19)(本小题满分12分)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．‎ ‎(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；‎ ‎(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．‎ ‎20．(2013陕西，理20)(本小题满分13分)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.‎ ‎(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；‎ ‎(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．‎ ‎21．(2013陕西，理21)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ex，x∈R.‎ ‎(1)若直线y＝kx＋1与f(x)的反函数的图像相切，求实数k的值；‎ ‎(2)设x＞0，讨论曲线y＝f(x)与曲线y＝mx2(m＞0)公共点的个数；‎ ‎(3)设a＜b，比较与的大小，并说明理由．‎ ‎2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学（理科）‎ ‎(陕西卷)‎ 第一部分(共50分)‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共10小题，每小题5分，共50分)．‎ ‎1．‎ 答案：D 解析：要使函数f(x)＝有意义，则1－x2≥0，解得－1≤x≤1，则M＝[－1,1]，RM＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．‎ ‎2．‎ 答案：C 解析：由算法语句可知 所以当x＝60时，y＝25＋0.6×(60－50)＝25＋6＝31.‎ ‎3．‎ 答案：C 解析：若a与b中有一个为零向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的充分必要条件；若a与b都不为零向量，设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ，由|a·b|＝|a||b|得|cos θ|＝1，则两向量的夹角为0或π，所以a∥b.若a∥b，则a与b同向或反向，故两向量的夹角为0或π，则|cos θ|＝1，所以|a·b|＝|a||b|，故“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的充分必要条件．‎ ‎4．‎ 答案：B 解析：840÷42＝20，把1,2，…，840分成42段，不妨设第1段抽取的号码为l，则第k段抽取的号码为l＋(k－1)·20,1≤l≤20,1≤k≤42.令481≤l＋(k－1)·20≤720，得25＋≤k≤37－.由1≤l≤20，则25≤k≤36.满足条件的k共有12个．‎ ‎5． ‎ 答案：A 解析：S矩形ABCD＝1×2＝2，S扇形ADE＝S扇形CBF＝.由几何概型可知该地点无信号的概率为 P＝.‎ ‎6．‎ 答案：D 解析：对于选项A，若|z1－z2|＝0，则z1＝z2，故，正确；对于选项B，若，则，正确；对于选项C，z1·＝|z1|2，z2·2＝|z2|2，若|z1|＝|z2|，则，正确；对于选项D，如令z1＝i＋1，z2＝1－i，满足|z1|＝|z2|，而z12＝2i，z22＝－2i，故不正确．‎ ‎7．‎ 答案：B 解析：∵bcos C＋ccos B＝asin A，由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A．又sin A＞0，∴sin A＝1，∴，故△ABC为直角三角形．‎ ‎8．‎ 答案：A 解析：当x＞0时，f(x)＝＜0，则 f[f(x)]＝.‎ ‎.令3－r＝0，得r＝3，此时T4＝(－1)3＝－20.‎ ‎9．‎ 答案：C 解析：设矩形另一边长为y，如图所示.，则x＝40－y，y＝40－x.由xy≥300，即x(40－x)≥300，解得10≤x≤30，故选C．‎ ‎10．‎ 答案：D 解析：对于选项A，取x＝－1.1，则[－x]＝[1.1]＝1，而－[x]＝－[－1.1]＝－(－2)＝2，故不正确；对于选项B，令x＝1.5，则[2x]＝[3]＝3,2[x]＝2[1.5]＝2，故不正确；对于选项C，令x＝－1.5，y＝－2.5，则[x＋y]＝[－4]＝－4，[x]＝－2，[y]＝－3，[x]＋[y]＝－5，故不正确；对于选项D，由题意可设x＝[x]＋β1,0≤β1＜1，y＝[y]＋β2,0≤β2＜1，则x－y＝[x]－[y]＋β1－β2，由0≤β1＜1，－1＜－β2≤0，可得－1＜β1－β2＜1.若0≤β1－β2＜1，则[x－y]＝[[x]－[y]＋β1－β2]＝[x]－[y]；若－1＜β1－β2＜0，则0＜1＋β1－β2＜1，[x－y]＝[[x]－[y]＋β1－β2]＝[[x]－[y]－1＋1＋β1－β2]＝[x]－[y]－1＜[x]－[y]，故选项D正确．‎ 第二部分(共100分)‎ 二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分)．‎ ‎11．答案：9‎ 解析：由双曲线方程知a＝4.又，解得c＝5，故16＋m＝25，m＝9.‎ ‎12． ‎ 答案：‎ 解析：由三视图可知该几何体是如图所示的半个圆锥，底面半圆的半径r＝1，高SO＝2，则V几何体＝.‎ ‎13．答案：－4‎ 解析：由y＝|x－1|＝及y＝2画出可行域如图阴影部分所示．‎ 令2x－y＝z，则y＝2x－z，画直线l0：y＝2x并平移到过点A(－1,2)的直线l，此时－z最大，即z最小＝2×(－1)－2＝－4.‎ ‎14．‎ 答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·‎ 解析：第n个等式的左边第n项应是(－1)n＋1n2，右边数的绝对值为1＋2＋3＋…＋n＝，故有12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1.‎ ‎15．(2013陕西，理15)(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)‎ A．答案：2‎ 解析：(am＋bn)(bm＋an)＝abm2＋(a2＋b2)mn＋abn2＝ab(m2＋n2)＋2(a2＋b2)≥2abmn＋2(a2＋b2)＝4ab＋2(a2＋b2)＝2(a2＋2ab＋b2)＝2(a＋b)2＝2(当且仅当m＝n＝时等号成立)．‎ B． ‎ 答案：‎ 解析：∠C与∠A在同一个O中，所对的弧都是，则∠C＝∠A．又PE∥BC，∴∠C＝∠PED．∴∠A＝∠PED．又∠P＝∠P，∴△PED∽△PAE，则，∴PE2＝PA·PD．又PD＝2DA＝2，∴PA＝PD＋DA＝3，∴PE2＝3×2＝6，∴PE＝.‎ C． ‎ 答案：(θ为参数)‎ 解析：由三角函数定义知＝tan θ(x≠0)，y＝xtan θ，由x2＋y2－x＝0得，x2＋x2tan2θ－x＝0，x＝＝cos2θ，则y＝xtan θ＝cos2θtan θ＝sin θcos θ，又时，x＝0，y＝0也适合题意，故参数方程为(θ为参数)．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)．‎ ‎16．‎ 解：f(x)＝·(sin x，cos 2x)‎ ‎＝cos xsin x－cos 2x ‎＝sin 2x－cos 2x ‎＝‎ ‎＝.‎ ‎(1)f(x)的最小正周期为，‎ 即函数f(x)的最小正周期为π.‎ ‎(2)∵0≤x≤，‎ ‎∴.由正弦函数的性质，‎ 当，即时，f(x)取得最大值1.‎ 当，即x＝0时，f(0)＝，‎ 当，即时，，‎ ‎∴f(x)的最小值为.‎ 因此，f(x)在上最大值是1，最小值是.‎ ‎17．‎ ‎(1)解：设{an}的前n项和为Sn，‎ 当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；‎ 当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①‎ qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②‎ ‎①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，‎ ‎∴，∴‎ ‎(2)证明：假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N＋，‎ ‎(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，‎ ‎＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，‎ a12q2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，‎ ‎∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.‎ ‎∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，‎ ‎∴q＝1，这与已知矛盾，‎ ‎∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列．‎ ‎18．‎ ‎(1)证法一：由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点建立直角坐标系，如图．‎ ‎∵AB＝AA1＝，‎ ‎∴OA＝OB＝OA1＝1，‎ ‎∴A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(－1,0,0)，D(0，－1,0)，A1(0,0,1)．‎ 由＝，易得B1(－1,1,1)．‎ ‎∵＝(－1,0，－1)，＝(0，－2,0)，‎ ‎＝(－1,0,1)，‎ ‎∴·＝0，·＝0，‎ ‎∴A1C⊥BD，A1C⊥BB1，‎ ‎∴A1C⊥平面BB1D1D．‎ 证法二：∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥BD．‎ 又∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面A1OC，∴BD⊥A1C．‎ 又∵OA1是AC的中垂线，∴A1A＝A1C＝，且AC＝2，∴AC2＝AA12＋A1C2，∴△AA1C是直角三角形，∴AA1⊥A1C．‎ 又BB1∥AA1，∴A1C⊥BB1，∴A1C⊥平面BB1D1D．‎ ‎(2)解：设平面OCB1的法向量n＝(x，y，z)，‎ ‎∵＝(－1,0,0)，＝(－1,1,1)，‎ ‎∴∴‎ 取n＝(0,1，－1)，‎ 由(1)知，＝(－1,0，－1)是平面BB1D1D的法向量，‎ ‎∴cos θ＝|cos〈n，〉|＝.‎ 又∵0≤θ≤，∴.‎ ‎19．‎ 解：(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，B表示事件“观众乙选中3号歌手”，‎ 则P(A)＝，P(B)＝.‎ ‎∵事件A与B相互独立，‎ ‎∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(A)＝P(A)·P()＝P(A)·[1－P(B)]＝.‎ ‎(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P(C)＝，‎ ‎∵X可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为 P(X＝0)＝，‎ P(X＝1)＝‎ ‎＝，‎ P(X＝2)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝，‎ P(X＝3)＝P(ABC)＝，‎ ‎∴X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴X的数学期望.‎ ‎20．‎ ‎(1)解：如图，设动圆圆心O1(x，y)，由题意，|O1A|＝|O1M|，‎ 当O1不在y轴上时，‎ 过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点，‎ ‎∴，又，‎ ‎∴，‎ 化简得y2＝8x(x≠0)．‎ 又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y2＝8x，‎ ‎∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.‎ ‎(2)证明：由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，‎ 将y＝kx＋b代入y2＝8x中，‎ 得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0，‎ 其中Δ＝－32kb＋64＞0.‎ 由求根公式得，x1＋x2＝，①‎ x1x2＝，②‎ 因为x轴是∠PBQ的角平分线，‎ 所以，‎ 即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，‎ ‎(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，‎ ‎2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0，③‎ 将①，②代入③得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，‎ ‎∴k＝－b，此时Δ＞0，‎ ‎∴直线l的方程为y＝k(x－1)，‎ 即直线l过定点(1,0)．‎ ‎21．‎ 解：(1)f(x)的反函数为g(x)＝ln x.‎ 设直线y＝kx＋1与g(x)＝ln x的图像在P(x0，y0)处相切，‎ 则有y0＝kx0＋1＝ln x0，k＝g′(x0)＝，‎ 解得x0＝e2，.‎ ‎(2)曲线y＝ex与y＝mx2的公共点个数等于曲线与y＝m的公共点个数．‎ 令，则，‎ ‎∴φ′(2)＝0.‎ 当x∈(0,2)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(0,2)上单调递减；‎ 当x∈(2，＋∞)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(2，＋∞)上单调递增，‎ ‎∴φ(x)在(0，＋∞)上的最小值为.‎ 当0＜m＜时，曲线与y＝m无公共点；‎ 当时，曲线与y＝m恰有一个公共点；‎ 当时，在区间(0,2)内存在，使得φ(x1)＞m，在(2，＋∞)内存在x2＝me2，使得φ(x2)＞m.由φ(x)的单调性知，曲线与y＝m在(0，＋∞)上恰有两个公共点．‎ 综上所述，当x＞0时，‎ 若0＜m＜，曲线y＝f(x)与y＝mx2没有公共点；‎ 若，曲线y＝f(x)与y＝mx2有一个公共点；‎ 若，曲线y＝f(x)与y＝mx2有两个公共点．‎ ‎(3)解法一：可以证明.‎ 事实上，‎ ‎(b＞a)．(*)‎ 令(x≥0)，‎ 则(仅当x＝0时等号成立)，‎ ‎∴ψ(x)在[0，＋∞)上单调递增，‎ ‎∴x＞0时，ψ(x)＞ψ(0)＝0.‎ 令x＝b－a，即得(*)式，结论得证．‎ 解法二：‎ ‎＝‎ ‎＝[(b－a)eb－a＋(b－a)－2eb－a＋2]，‎ 设函数u(x)＝xex＋x－2ex＋2(x≥0)，‎ 则u′(x)＝ex＋xex＋1－2ex，‎ 令h(x)＝u′(x)，则h′(x)＝ex＋ex＋xex－2ex＝xex≥0(仅当x＝0时等号成立)，‎ ‎∴u′(x)单调递增，‎ ‎∴当x＞0时，u′(x)＞u′(0)＝0，‎ ‎∴u(x)单调递增．‎ 当x＞0时，u(x)＞u(0)＝0.‎ 令x＝b－a，则得(b－a)eb－a＋(b－a)－2eb－a＋2＞0，‎ ‎∴，‎ 因此，.‎