三新课程高考试题及解答回放

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‎“概率”和“概率与统计”考点分析与复习建议 长兴中学 陈光明 ‎“概率”一章（俗称古典概率），包括随机事件的概率，等可能事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，相互独立事件同时发生的概率，独立重复试验；“概率与统计”一章包括离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望值与方差，抽样方法，总体分布的估计，正态分布，总体特征数的估计，线性回归。因此，两章以十分重要的内容进入高中数学新教材，并且从2000年起进入了高考数学新课程卷，历经四年的命题实践，高考对“概率”和“概率与统计”的考查的思路已基本成熟，2004年高考对两章的考查内容有哪些？要求如何？命题以怎样的形式出现，是我们每一位高三教师必须思考的问题，也是每一位高三学生关注的问题。为此，本文以2004数学新课程《考试说明》为依据，以近四年全国新课程试题及部分省市03、04年高考模拟试题为背景进行说明，期望在复习时有所启迪。‎ 一、考试要求 1、 高考对“概率”考查的要求可分为三个层次：‎ 第一层次是主要是考查“概率”的几个事件的基本求法，明确用什么方法解决各种事件的公式，明确必然事件和不可能事件的概率的和为1，明确互斥事件，对立事件的集合表示及相互关系，主要运用手段是排列组合。‎ 第二层次是“至多”、“至少”、“或”、“且”等情况在某些事件中的概率求法。‎ 第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将电路图、摸奖、抽奖等实际问题与几个事件整合在一起的综合题。‎ 2、 高考对“概率与统计”考查的要求可分为二个层次：‎ 理科：‎ 第一层次：了解离散型随机变量的意义，即P1+P2+……=1‎ 了解离散型随机变量的期望值、方差的意义（特别是实际问题的说明）；‎ 了解正态分布的意义及主要性质；‎ 了解线性回归方法和简单应用。‎ 第二层次：会在一些实际问题中求出离散型随机变量的分布列，编制分布列，并根据离散型随机变量的分布列求出期望值与方差；会用随机抽样、系统抽样、分层抽样等常用方法从总体中抽出样本，会用样本频率分布去估计总体分布。‎ 特别强调正态分布和线性回归的有关计算没有列入考试内容。‎ 文科：‎ 第一层次：了解随机抽样，了解分层抽样的意义 第二层次：会解决随机抽样、分层抽样的一些简单问题 会用样本频率分布估计总体分布；会用样本估计总体期望值和方差 二、考点分析 下面是近4年全国新课程卷对“概率”和“概率与统计”内容考查的情况：‎ 科别 年份 题型 题量 分值 考查内容 文 科 ‎2000‎ 填空题 解答题 ‎13‎ ‎17‎ ‎4分 ‎10分 本题主要考查抽样方法的概率计算的能力 本题主要考查等可能事件的概率计算及解决实际问题的能力 ‎2001‎ 填空题 解答题 ‎14‎ ‎19‎ ‎4分 ‎12分 本题主要考查分层抽样的个体数的计算能力 本题主要考查独立事件和互斥事件有一个发生的概率及解决实际问题的能力 ‎2002‎ 填空题 解答题 ‎14‎ ‎20‎ ‎4分 ‎12分 本题主要考查标准差在实际问题中的解释能力 本题主要考查对立事件和独立重复试验在实际问题中的解决能力 ‎2003‎ 填空题 解答题 ‎14‎ ‎20‎ ‎4分 ‎12分 本题主要考查分层抽样方法计算的能力 本题主要考查相互独立事件概率的计算及运用数学知识解决实际问题的能力 理 科 ‎2000‎ 填空题 解答题 ‎13‎ ‎17‎ ‎4分 ‎10分 本题主要考查等可能事件及离散型随机分布列的能力 本题主要考查等可能事件的概率计算及解决实际问题的能力 ‎2001‎ 填空题 解答题 ‎14‎ ‎18‎ ‎4分 ‎12分 本题主要考查等可能事件的概率、分列分布列和期望的能力 本题主要考查独立事件的概率及解决实际问题的能力 ‎2002‎ 填空题 解答题 ‎14‎ ‎19‎ ‎4分 ‎12分 本题主要考查抽样问题的能力 本题主要考查对立事件和独立重复试验在实际问题中的解决能力 ‎2003‎ 填空题 解答题 ‎14‎ ‎20‎ ‎4分 ‎12分 本题主要考查分层抽样方法计算的能力 本题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念及运用概率知识解决实际问题的能力 综观以上表格，两章题目均以填空题和解答题的形式出现，且题量趋于稳定，题型逐步后移，分值从原来的14分增加到16分。2004年将仍会保持16分左右，要以说解答题的位置的后移，难度逐年在增加。考查的热点主要是等可能事件、互斥事件、独立事件的概率的求法，离散型随机分布列的求法、期望和方差的求法、抽样方法的计算。‎ 三、2000年——2003年新课程高考试题及解答回放 ‎1． 2000年试题及答案 ‎（1）（理）某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中任意地连续取出2件，其中次品的概率分布是 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎0.9025‎ ‎0.095‎ ‎0.0025‎ ‎（2）（文理）甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个。甲、乙二人依次各抽一题。‎ ‎ （I）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？‎ ‎ （II）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？‎ 解：（I）甲从选择题中抽到一题的可能结果有个，乙依次从判断题中抽到一题的可能结果有个，故甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的可能结果有个；又甲、乙依次抽一题的可能结果有概率为个，所以甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的概率为，所求概率为；‎ ‎（II）甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为，故甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为，所求概率为。‎ ‎ 或 ，所求概率为。‎ ‎（3）（文）从含有500个个体的总体中一次性地抽取25个个体，假定其中每个个体被抽到的概率相等，那么总体中的每个个体被抽取的概率等于______0.05__。‎ ‎2．2001年高考试题及答案 ‎（1）（理）一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球．从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望为 1.2 .（用数字作答）‎ ‎(2)(文理) N1‎ N2‎ N1‎ N2‎ 如图，用A、B、C三类不同的无件连接成两个系统N1、N2．当元件A、B、C都正常工作时，系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作．已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90．分别求系统N1、N2正常工作的概率P1、P2． ‎ — ‎ A — B — C —‎ ‎— B —‎ ‎— C —‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ — A —‎ 解：分别记元件A、B、C正常工作为事件A、B、C，由已知条件 ‎ P（A）=0.80, P(B)=0.90, P(C)=0.90.‎ ‎ （I）因为事件A、B、C是相互独立的，所以，系统N1正常工作的概率 ‎ P1=P（A·B·C）=P（A）·P（B）·P（C）=0.80×0.90×0.90=0.648.‎ ‎ 故系统N1正常工作的概率为0.648.‎ ‎ （II）系统N2正常工作的概率 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故系统N2正常工作的概率为0.792.‎ ‎(3)(文) 一个工厂在若干个车间，今采用分层抽样方法从全厂某天的2048件产品中抽取一个容量为128的样本进行质量检查，若一车间这一天生产256件产品，则从该车间抽取的产品件数为 16 ．‎ ‎3．2002年高考试题及答案 ‎(1)（文理）某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立），‎ ‎1）求至少3人同时上网的概率；‎ ‎2）至少几人同时上网的概率小于0.3？‎ 解： 1）至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人同时上网的概率，‎ 即 。‎ ‎2）至少4人同时上网的概率为 ‎，‎ 至少5人同时上网的概率为 ‎，‎ 因此，至少5人同时上网的概率小于 。‎ ‎（2）（文）甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm2 ）: ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 其中产量比较稳定的小麦品种是▁甲种▁▁。‎ ‎4． 2003年高考试题及答案 ‎（1）（文理）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆。为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取___6_____，___30____，____10____辆。‎ ‎（2）（理）A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、‎ A2、A3，B队队员是B1、B2、B3 。按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：‎ 对阵队员 A队队员胜的概率 A队队员负的概率 A1对B1‎ A2对B2‎ A3对B3‎ 现按表中对阵方式出场, 每场胜队得1分, 负队得0分。设A队、B队最后总分分别为 x、h。 ‎ ‎(Ⅰ) 求 x、h 的概率分布；‎ ‎(Ⅱ) 求Ex、Eh。‎ 解：(Ⅰ) x、h 的可能取值分别为3, 2, 1, 0.‎ ‎ P(x = 3) = （即A队连胜3场）‎ ‎ P(x = 2) = （即A队共胜2场）‎ ‎ P(x = 1) = （即A队恰胜1场）‎ ‎ P(x = 0) = （即A队连负3场）‎ 根据题意知 x + h = 3，所以 ‎ P(h = 0) = P(x = 3) = ， P(h = 1) = P(x = 2) = ，‎ ‎ P(h = 2) = P(x = 1) = ， P(h = 3) = P(x = 0) = 。‎ ‎(Ⅱ) Ex = ；‎ ‎ 因为x + h = 3，‎ 所以Eh = 3 – Ex =。‎ ‎（3）（文）在三种产品，合格率分别是0.90,0.95和0.95，各抽取一件进行检验.‎ ‎ （Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；‎ ‎ （Ⅱ）求至少有两件不合格的概率. （精确到0.001）‎ 四、考点例析及复习建议 ‎1、理清脉络体系 从结构化观点看，概率论与集合论、数理逻辑中相应有如下对应关系：‎ 集合论 数理逻辑 概率论 子集 命题 事件 全集 真命题 必然事件（样本空间）‎ 空集 假命题 不可能事件 A→B 若A发生，则B发生 A=B AB ‎（事件）等价A= B A + B（至少发生一个）‎ AB（同时发生）‎ A的补集 A ‎（对立事件）‎ 事件这一概念对应集合论中的子集、数理逻辑中的命题概念，在复习中注意三者的联系与思想方法转化更有利于学生掌握三者本质及三者之间的联系，对解决概率与统计问题受益匪浅。‎ ‎2、几种常见题型的解法。‎ ‎（1）从分类问题角度求概率 例1（日本高考题）袋内有9个白球和3个红球，从袋中任意地顺次取出三个球（取出的球不再放回），求第三次取出的球是白球的概率。‎ 解：设A1=“三次都是白球”，则 P（A1）=‎ A2=“一、三次白球，第二次红球”，则 P（A2）=‎ A3=“第一次红球，二、三次为白球”，则 P（A3）=;‎ A4=“一、二次红球，第三次白球”，则 P（A4）=‎ 而A1、A2、A3、A4互斥，又记A=“第三次取出的球是白球”，则 P（A）=P（A1）+P（A2）+P（A3）+P（A4）=…=‎ 说明：本题中关键是学会分解事件A，再由互斥事件和的概率，得出结论，主要以“+”号连接，另外本题也可由P= 得出，请读者琢磨。‎ ‎（2）从不等式大小比较的角度看概率 例2 “幸运52”知识竞猜电视节目，为每位选手准备5道试题，每道题设“Yes”与“No”两个选项，其中只有一个是正确的，选手每答对一题，获得一个商标，假设甲、乙两位选手仅凭猜测独立答题，是否有99%的把握断定甲、乙两位选手中至少有一位获得1个或1个以上的商标？‎ 解：设甲没有获得商标的事件为A，乙没有获得商标的事件为B，‎ 则P（A）=‎ P（B）=‎ ‎∴甲、乙没有获得商标的事件为C，‎ 则P（C）=P（A·B）=P（A）·P（B）。‎ 又设甲、乙两选手中至少有一位获得1个或1个以上的商标的事件为D。‎ ‎∴P（D）=1- P（C）‎ ‎=1- ‎ 故有99%的把握作出如此断定。‎ 说明：本题中关键要熟悉事件D对立事件是C，则P（D）=1-P（C），主要以“-”号连接，本题也可由1-进行比较。‎ ‎（3）从“至多”、“至少”的角度看概率.‎ 例3 （03年高考江苏题）有三种产品，合格率分别是0.90、0.95和0.95，各取一件进行检验。（I）求恰有一件不合格的概率；（II）求至少有两件不合格的概率（精确到0.001）。‎ 解：设三种产品各抽取一件是合格产品的事件分别为A、B、C。‎ ‎（I）P（A）=0.90，P（B）=P（C）=0.95，‎ 因为A、B、C相互独立，恰有一件不合格的概率为 ‎（II）至少有两件不合格的概率 答：（略）。‎ 说明：本题重点考查相互独立事件积的概率，主要以“×”连接P（A）、P（B）、P（C）以及P、P、P。另外（II）也可由P=1-P（A·B·C）-0.176=1-P（A）·P（B）·P（C）-0.176得出。‎ 另外：2000年高考天津题也属于此类题目。‎ ‎（4）从“或”、“且”的角度看概率 例4甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或被乙解出的概率为0.92。‎ ‎（1）求该题被乙独立解出的概率；‎ ‎（2）求解出该题的人数的数学期望和方差。‎ 解：（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为A、B。‎ 设甲独立解出此题的概率为P1，乙为P2‎ 则P（A）=P1=0.6，P（B）=P2‎ P（A+B）=1-P ‎∴0.6+P2-0.6P2=0.92.‎ 则0.4P2=0.32 即P2=0.8………………………………（5分）‎ ‎（2）‎ 的概率分布列：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎0.08‎ ‎0.44‎ ‎0.48‎ Eξ=0×0.08 + 1×0.44 + 2×0.48 = 1.4‎ Dξ=（0-1.4）2×0.08 + (1-1.4)2×0.44 + (2-1.4)2×0.48=0.4‎ 或利用Dξ=E（ξ2）-（Eξ）2 = 2.36-1.96=0.4‎ 另外如将此题中的“或”改为“且”，处理方法怎样，请同学思考。‎ ‎（5）从概率的不稳定性的角度看概率 例5、 某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和出现绿灯的概率都是1/2，从开关第二次闭合起，若前次出现红灯，则下一次出现红灯的概率是1/3，出现绿灯的概率是2/3；若前次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率是3/5，出现绿灯的概率是2/5，问：‎ ‎1）第二次闭合后出现红灯的概率是多少？‎ ‎2）三次发光中，出现一次红灯，两次绿灯的概率是多少？‎ 解：（1）如果第一次出现红灯，则接着又出现红灯的概率是1/2×1/3。‎ 如果第一次出现绿灯，则接着出现红灯的概率是1/2×3/5‎ 以上两种情况彼此互斥，所以，第二次出现红灯概率为：1/2×1/3 + 1/2×3/5=7/15‎ ‎（2）题意，三次发光中，出现一次红灯，两次绿灯的情况共有如下三种方式：‎ ‎①出现绿、绿、红的概率为：1/2×2/5×3/5‎ ‎②出现绿、红、绿的概率为：1/2×3/5×2/3‎ ‎③出现红、绿、绿的概率为：1/2×2/3×2/5‎ 以上三种情况彼此互斥，所以三次发光中，出现一次红灯、两次绿灯的概率为：‎ ‎1/2×2/5×3/5 + 1/2×3/5×2/3 + 1/2×2/3×3/5 = 34/75‎ ‎3、几种概率的热点问题 ‎①电路图问题：‎ 在前面已讲解，即2001年高考文理题.‎ ‎②分房问题：‎ 例6、 有n个人，每个人都等可能地被分配到N个房间中的任意一间去住（n≤N），求下列事件的概率.‎ ‎1）指定的n个房间各有一个人住；‎ ‎2）恰好有n个房间，其中各住一人。‎ 分析 因为每一个人有N个房间可供选择，所以n个人住的方式有Nn种，它们是等可能的，在1）式中，指定的n个房间各有一个人住，其可能总数为n！，于是P1=在2）中，n个房间可以在N个房间中任意选取，然后对选定的n个房间，按1）的方式分配，于是 P2 =‎ ‎“分房问题”所描述的模型在统计物理学中有重要应用 例7、 某班有n个人（n≤365），那么至少有两个人的生日在同一天的概率有多大？‎ 假定一年365天，把365当作365个“房间”，则问题就可以归结为“分房问题”，这时，“n个人的生日全不相同”就相当于：“恰有n个房间，其中各住一人”。‎ 令A ={n个人中至少有两个人的生日相同}，则={n个人的生日全不相同}，‎ 而 这个例子中，直接求P（A），比较麻烦，而利用对立事件求解就简单多了，这是有名的“生日问题”，对不同的一些n值，计算得相应的P（A）值如下表：‎ ‎ N ‎10‎ ‎20‎ ‎23‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ P（A）‎ ‎0.12‎ ‎0.41‎ ‎0.51‎ ‎0.71‎ ‎0.89‎ ‎0.97‎ 上表所列的答案可能会引起多数人的惊奇，这件事情发生的概率，并不如大多数人直觉中想象的那样小，而是相当大，这说明了“直觉”并不可靠，也说明了研究随机现象统计规律的重要性。‎ ‎③抽奖问题 前面已有例2所举。‎ ‎④期望和方差问题 期望和方差的现实生活中的解释，历年高考只涉及求值，而没有涉及到解释，这方面应引起高度重视。‎ ‎（一）、商品流通问题 例9、 春节期间，某鲜花店某种鲜花的进货价为每束2.5元，销售价为每束5元，若在春节期间内没有售完，则在春节期间营业结束后以每束1.5元的价格处理，据前5年的有关资料统计，春节期间这种鲜花的需求量X服从以下分布：‎ X ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ P ‎0.20‎ ‎0.35‎ ‎0.30‎ ‎0.15‎ 问该鲜花店今年春节前应进该鲜花多少束为宜？‎ 分析 售出一束鲜花能得利润2.5元，处理一束鲜花则将亏损1元，由于鲜花的需求量X为随机变量，为决定进货量y，应先求出在不同进货量时利润的期望值E。‎ 解 若进货量y=20，则P得利润的期望值E1=1×20×2.5=50（元）；若进货量y=30，由P 得利润的期望值E2=0.20×（20×2.5-10×1） + 0.8×30×2.5=68(元)；若进货量y=40，由P 得利润的期望值E3=0.20×（20×2.5-20×1）+ 0.35×（30×2.5-10×1）+ 0.45×40×2.5= 73.75（元）；若进货量y=50，得利润的期望值E4= 0.20×(20×2.5-30×1)+ 0.35×(30×2.5-20×1)+ 0.3×(40×2.5-10×1)+ 0.15×50×2.5=69(元)。‎ 故利润期望值的最大值为E3 = 73.75（元），因此，鲜花的最佳进货量为40束。‎ ‎2、资金投资问题 例10、 某投资者有10万元，现有两种投资方案：一是购买股票，二是存入银行获取利息，买股票的收益主要取决于经济形势，假设可分三种状态；形势好、形势中等、形势不好（即经济衰退），若形势好可获利40000元；若形势中等可获利10000元；若形势不好要损失20000元。如果是存入银行，假设年利率为8%，即可得利息8000元，又设年经济形势好、中等、不好的概率分别为30%，50%和20%，试问该投资者应选择哪一种投资方案？‎ 分析 购买股票的收益与经济形势有关，存入银行的收益与经济形势无关，因此，要确定选择哪一种方案，就必须通过计算这两种投资方案对应的收益期望值E来进行判断。‎ 解 由题设，一年中两种投资方式在不同的经济形势下对应的收益与概率如下表所示：‎ 购买股票 状态 经济形势 经济形势中等 经济形势不好 收益 ‎40000‎ ‎10000‎ ‎-20000‎ 概率 ‎0.3‎ ‎0.5‎ ‎0.2‎ 存入银行 状态 经济形势 经济形势中等 经济形势不好 收益 ‎8000‎ ‎8000‎ ‎8000‎ 概率 ‎0.3‎ ‎0.5‎ ‎0.2‎ 从上表可以初步看出，如果购买股票在经济形势好和经济形势中等的情况下是合算的，但如果经济形势不好，则采取存入银行的方案比较好，下面通过计算加以分析。‎ 如果购买股票，其收益的期望值E1=40000×0.3+ 10000×0.5+（-20000）×0.2=13000（元）；如果存入银行，其收益的期望值E2=8000×0.3+ 8000×0.5+ 8000×0.2=8000（元）。因此，购买股票的收益比存入银行的收益大，按期望收益最大原则，应选择购买股票。‎ 说明：该题是按风险决策中的期望收益最大准则选择方案，这种作法有风险存在。‎ ‎④现实生活问题 高考的应用题逐渐从现实生活中取材，本节只列举04年杭州市二模一题，仅供分析。‎ 例8、某公司“咨询热线”电话共有10路外线，经长期统计发现，在8点至10点这段时间内，外线电话同时打入情况如下表所示：‎ 电话同时打入数ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 概率P ‎0.13‎ ‎0.35‎ ‎0.27‎ ‎0.14‎ ‎0.08‎ ‎0.02‎ ‎0.01‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎(1)若这段时间内，公司只安排了2位接线员，（一个接线员一次只能接一个电话）‎ ‎1）求至少一路电话不能一次接通的概率，‎ ‎2）在一周五个工作日中，如果有三个工作日的这一时间内至少一路电话不能一次接通，那么公司的形象将受到损害，现用至少一路电话不能一次接通的概率表示公司形象的“损害度”，求这种情况下公司形象的“损害度”；‎ ‎（2）求一周五个工作日的这一时间内，电话同时打入数ξ的期望。‎ 解：（1）1）解1 只安排2位接线员，则3路及以上电话同时打入会至少有一路不能接通，其概率P=0.14 + 0.08 + 0.02 + 0.01 = 0.25 = 1/4‎ 解2 只安排2位接线员，则2路及以下电话同时打入均能接通，‎ 其概率P1=0.13 + 0.35 + 0.27 = 0.75 = 3/4,‎ 所求概率P= 1 – 3/4 = 1/4‎ ‎2）“损害度”P= ‎ ‎（2）∵在一天的这一时间内同时电话打入数ξ的期望为 ‎0×0.13+1×0.35+2×0.27+3×0.14+4×0.08+5×0.02+6×0.01=1.79‎ ‎∴一周五个工作日的这一段时间电话打入数的期望等于5×1.79=8.95。‎ 总之，在复习过程中，我们虽然没有把抽样问题作一阐述，教师在复习对此类问 题的概念及本质问题作一复习和列举。但在这两章的复习中，应加强学生阅读题意，分析提出信息，加工整理信息，建立数学模型，解答数学模型等各方面的能力。‎