2020高考数学三轮冲刺 专题 古典概型练习（含解析）

2020高考数学三轮冲刺 专题 古典概型练习（含解析）

古典概型 一、选择题（本大题共12小题，共60分）‎ ‎1. 为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）C 解：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，有种方法，红色和紫色的花在同一花坛，有2种方法，红色和紫色的花不在同一花坛，有4种方法，所以所求的概率为．‎ 另解：由列举法可得，红、黄、白、紫记为1，2，3，4，‎ 即有，，，，，，‎ 则．‎ 故选：C．‎ 确定基本事件的个数，利用古典概型的概率公式，可得结论．‎ 本题考查等可能事件的概率计算与分步计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．‎ ‎2. 小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）C 解：从M，I，N中任取一个字母，再从1，2，3，4，5中任取一个数字，取法总数为：‎ ‎，，，，，，，，，，，，，，共15种．‎ 其中只有一个是小敏的密码前两位．‎ 由随机事件发生的概率可得，小敏输入一次密码能够成功开机的概率是．‎ 故选：C．‎ 12‎ 列举出从M，I，N中任取一个字母，再从1，2，3，4，5中任取一个数字的基本事件数，然后由随机事件发生的概率得答案．‎ 本题考查随机事件发生的概率，关键是列举基本事件总数时不重不漏，是基础题．‎ ‎3. 从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）B 解：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，‎ 基本事件总数，‎ 甲被选中包含的基本事件的个数，‎ 甲被选中的概率．‎ 故选：B．‎ 从甲、乙等5名学生中随机选出2人，先求出基本事件总数，再求出甲被选中包含的基本事件的个数，同此能求出甲被选中的概率．‎ 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．‎ ‎4. 掷一枚均匀的硬币3次，出现正面向上的次数恰好为两次的概率为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）A 解：掷一枚均匀的硬币3次，共有8种不同的情形：‎ 正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反，‎ 其中满足条件的有3种情形：‎ 正正反，正反正，反正正，‎ 故所求的概率为．‎ 故选：A．‎ 掷一枚均匀的硬币3次，利用列举法求出共有8种不同的情形，再求出满足出现正面向上的次数恰好为两次的基本事件个数，由此能求出出现正面向上的次数恰好为两次的概率．‎ 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．‎ ‎5. 口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为，则摸出黑球的概率为 ‎ 12‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）A 解：口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，‎ 从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为，‎ 口袋中有个黑球，‎ 摸出黑球的概率为．‎ 故选：A．‎ 先求出口袋中有个黑球，由此能求出摸出黑球的概率．‎ 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．‎ ‎6. 连续两次抛掷一枚骰子，记录向上的点数，则向上的点数之差的绝对值为2的概率是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）B ‎【分析】‎ 本题主要考查古典概型下求概率的问题，属于基础题．‎ 这个题目的基本事件空间是学生很熟悉的那36个基本事件，所以只需要从中找出符合要求的基本事件即可．‎ ‎【解答】‎ 解：连续两次抛掷一枚骰子，记录向上的点数，‎ 基本事件总数，‎ 向上的点数之差的绝对值为2包含的基本事件有：‎ ‎，，，，，，，，‎ 共有8个，‎ 向上的点数之差的绝对值为2的概率：‎ ‎．‎ 故选B．‎ ‎7. 盒中装有形状，大小完全相同的5个小球，其中红色球3个，黄色球2个，若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于 ‎ 12‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）D 解：盒中装有形状，大小完全相同的5个小球，其中红色球3个，黄色球2个，‎ 从中随机取出2个球，‎ 基本事件总数，‎ 所取出的2个球颜色不同包含的基本事件个数，‎ 所取出的2个球颜色不同的概率等于．‎ 故选：D．‎ 先求出基本事件总数，再求出所取出的2个球颜色不同包含的基本事件个数，由此能求出所取出的2个球颜色不同的概率．‎ 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．‎ ‎8. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）C ‎【分析】‎ 本题考查古典概型，利用列举法先求出不超过30的所有素数，利用古典概型的概率公式进行计算即可．‎ ‎【解答】‎ 解：在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，‎ 从中选2个不同的数有种，‎ 和等于30的有，，，共3种，‎ 则对应的概率，‎ 故选C．‎ 12‎ ‎9. 七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形、一块正方形和一块平行四边形组成的如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）A 解：设，则，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所求的概率为 ‎．‎ 故选：A．‎ 设边长，求出和平行四边形EFGH的面积，计算对应的面积比即可．‎ 本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．‎ ‎10. 从分别标有1，2，，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）C 解：从分别标有1，2，，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，共有种不同情况，‎ 且这些情况是等可能发生的，‎ 抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的情况有种，‎ 12‎ 故抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率，‎ 故选：C．‎ 计算出所有情况总数，及满足条件的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．‎ 本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，难度不大，属于基础题．‎ ‎11. 在3，和两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个数能被4整除的概率是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）D 解：符合条件的所有两位数为：‎ ‎12，14，21，41，32，34，23，43，52，54，25，45共12个，‎ 能被4整除的数为12，32，52共3个，‎ 所求概率．‎ 故选：D．‎ 利用列举法求出符合条件的所有两位数的个数和能被4整除的数的个数，由此能求出这个数能被4整除的概率．‎ 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．‎ ‎12. 将一枚骰子先后抛掷2次，则向上的点数之和是5的概率为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）B 解：根据题意，记“向上的点数之和为‎5”‎为事件A，‎ 先后抛掷骰子2次，每次有6种情况，共个基本事件，‎ 则事件A中含有，，，共4个基本事件，‎ ‎ ‎ 故选B．‎ 由分步计数原理，计算可得将一颗骰子先后抛掷2次，含有36个等可能基本事件，而通过列举可得满足“向上的点数之和为‎5”‎的基本事件，根据古典概型公式得到结果．‎ 本题考查等可能事件的概率计算，解题的关键是用列举法得到事件A包含的基本事件的数目．‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ 12‎ ‎13. 从1，2，3，4这四个数中一次随机抽取两个数，则取出的数中一个是奇数一个是偶数的概率为______．‎ ‎（正确答案）‎ 解：从1，2，3，4这四个数中一次随机抽取两个数，‎ 基本事件总数，‎ 取出的数中一个是奇数一个包含的基本事件个数，‎ 取出的数中一个是奇数一个是偶数的概率．‎ 故答案为：．‎ 从1，2，3，4这四个数中一次随机抽取两个数，先求出基本事件总数，再求出取出的数中一个是奇数一个包含的基本事件个数，由此能求出取出的数中一个是奇数一个是偶数的概率．‎ 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．‎ ‎14. 将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为______ ．‎ ‎（正确答案）‎ 解：2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，所有的基本事件有共有种结果，‎ 其中2本数学书相邻的有数学1，数学2，语文，数学2，数学1，语文，语文，数学1，数学，语文，数学2，数学共4个，故本数学书相邻的概率．‎ 故答案为：．‎ 首先求出所有的基本事件的个数，再从中找到2本数学书相邻的个数，最后根据概率公式计算即可．‎ 本题考查了古典概型的概率公式的应用，关键是不重不漏的列出满足条件的基本事件．‎ ‎15. 从集合2，3，中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的槪率为______．‎ ‎（正确答案）‎ 解：从集合2，3，中任取两个不同的数，‎ 12‎ 基本事件总数，‎ 这两个数的和为3的倍数包含的基本事件有：，，共2个，‎ 这两个数的和为3的倍数的槪率．‎ 故答案为：．‎ 先求出基本事件总数，再利用列举法求出这两个数的和为3的倍数包含的基本事件个数，由此能求出这两个数的和为3的倍数的槪率．‎ 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．‎ ‎16. 某人随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首，则甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率是______．‎ ‎（正确答案）‎ 解：随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首，‎ 基本事件总数，‎ 甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的对立事件是甲、乙2首歌曲都没有被播放，‎ 甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率：‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ 先求出基本事件总数，甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的对立事件是甲、乙2首歌曲都没有被播放，由此能求出甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率．‎ 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．‎ 三、解答题（本大题共3小题，共40分）‎ ‎17. 20名学生某次数学考试成绩单位：分的频率分布直方图如图：‎ Ⅰ求频率分布直方图中a的值；‎ 12‎ Ⅱ分别求出成绩落在与中的学生人数；‎ Ⅲ从成绩在的学生任选2人，求此2人的成绩都在中的概率．‎ ‎（正确答案）解：Ⅰ根据直方图知组距，由，解得．‎ Ⅱ成绩落在中的学生人数为，‎ 成绩落在中的学生人数为．‎ Ⅲ记成绩落在中的2人为A，B，成绩落在中的3人为C，D，E，则成绩在的学生任选2人的基本事件有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10个，‎ 其中2人的成绩都在中的基本事件有CD，CE，DE共3个，‎ 故所求概率为．‎ Ⅰ根据频率分布直方图求出a的值；‎ Ⅱ由图可知，成绩在和的频率分别为和，用样本容量20乘以对应的频率，即得对应区间内的人数，从而求出所求．‎ Ⅲ分别列出满足的基本事件，再找到在的事件个数，根据古典概率公式计算即可．‎ 本题考查频率分布直方图的应用以及古典概型的概率的应用，属于中档题．‎ ‎18. 某保险的基本保费为单位：元，继续购买该保险的投保人成为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： ‎ 上年度出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 保费 a ‎2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下： ‎ 一年内出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 概率 Ⅰ求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；‎ 12‎ Ⅱ若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出的概率；‎ Ⅲ求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．‎ ‎（正确答案）解：Ⅰ某保险的基本保费为单位：元，‎ 上年度出险次数大于等于2时，续保人本年度的保费高于基本保费，‎ 由该险种一续保人一年内出险次数与相应概率统计表得：‎ 一续保人本年度的保费高于基本保费的概率：‎ ‎．‎ Ⅱ设事件A表示“一续保人本年度的保费高于基本保费”，事件B表示“一续保人本年度的保费比基本保费高出”，‎ 由题意，，‎ 由题意得若一续保人本年度的保费高于基本保费，‎ 则其保费比基本保费高出的概率：‎ ‎．‎ Ⅲ由题意，续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为：‎ ‎，‎ 续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为．‎ Ⅰ上年度出险次数大于等于2时，续保人本年度的保费高于基本保费，由此利用该险种一续保人一年内出险次数与相应概率统计表根据对立事件概率计算公式能求出一续保人本年度的保费高于基本保费的概率．‎ Ⅱ设事件A表示“一续保人本年度的保费高于基本保费”，事件B表示“一续保人本年度的保费比基本保费高出”，由题意求出，，由此利用条件概率能求出若一续保人本年度的保费高于基本保费，则其保费比基本保费高出的概率．‎ Ⅲ由题意，能求出续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．‎ 本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式、条件概率计算公式的合理运用．‎ 12‎ ‎19. 高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里？”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了55人，从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题中国高中生答题情况是：选择家的占、朋友聚集的地方占、个人空间占美国高中生答题情况是：朋友聚集的地方占、家占、个人空间占．‎ Ⅰ请根据以上调查结果将下面列联表补充完整；并判断能否有的把握认为“恋家在家里感到最幸福”与国别有关；‎ 在家里最幸福 在其它场所幸福 合计 中国高中生 美国高中生 合计 Ⅱ从被调查的不“恋家”的美国学生中，用分层抽样的方法选出4人接受进一步调查，再从4人中随机抽取2人到中国交流学习，求2人中含有在“个人空间”感到幸福的学生的概率．‎ 附：，其中．‎ ‎（正确答案）解：Ⅰ由已知得，‎ 在家里最幸福 在其它场所幸福 合计 中国高中生 ‎22‎ ‎33‎ ‎55‎ 美国高中生 ‎9‎ ‎36‎ ‎45‎ 合计 ‎31‎ ‎69‎ ‎100‎ ‎，‎ 有的把握认为“恋家”与否与国别有关；‎ Ⅱ用分层抽样的方法抽出4人，其中在“朋友聚焦的地方”感到幸福的有3人，‎ 12‎ 在“个人空间”感到幸福的有1人，分别设为，，，b；‎ ‎，，，，，，；‎ 设“含有在“个人空间”感到幸福的学生”为事件A，‎ ‎，，，；‎ 则所求的概率为．‎ Ⅰ根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；‎ Ⅱ根据分层抽样原理，利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．‎ 本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是基础题．‎ 12‎