（新课标）天津市2020年高考数学二轮复习 专题能力训练21 随机变量及其分布 理
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专题能力训练 21 随机变量及其分布
一、能力突破训练
1.甲射击命中目标的概率是 ,乙命中目标的概率是 ,丙命中目标的概率是 .现在三人同时射击目标,
则目标被击中的概率为( )
A. B.
C. D.
2.已知随机变量ξ满足 P(ξi=1)=pi,P(ξi=0)=1-pi,i=1,2,若 0
D(ξ2)
C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)
3.一袋中有 5 个白球,3 个红球,现从袋中往外取球(除颜色外其他完全相同),每次任取一个记下颜
色后放回,直到红球出现 10 次时停止,设停止时共取了 X 次球,则 P(X=12)等于( )
A.
B.
C.
D.
4.已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布 N(0,32),则从中随机取一件,其长度误差落
在区间(3,6)内的概率为( )
(附:若随机变量ξ服从正态分布 N(μ,σ2),则 P(μ-σ<ξ<μ+σ)≈68.27%,P(μ-
2σ<ξ<μ+2σ)≈95.45%.)
A.4.56% B.13.59%
C.27.18% D.31.74%
5.(2018 全国Ⅲ,理 8)某群体中的每名成员使用移动支付的概率都为 p,各成员的支付方式相互独立.
设 X 为该群体的 10 名成员中使用移动支付的人数,D(X)=2.4,P(X=4)2 02
数量 2 3 45 5 45
每件利润 1 2 3 1.8 2.9
将频率视为概率,解答下列问题:
(1)从该厂生产的甲、乙品牌产品中随机各抽取一件,求其至少有一件首次出现故障发生在保修期
内的概率;
(2)若该厂生产的家电均能售出,记生产一件甲品牌家电的利润为 X1,生产一件乙品牌家电的利润为
X2,分别求 X1,X2 的分布列;
(3)该厂预计今后这两种品牌家电销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌的家电.若从经
济效益的角度考虑,你认为应生产哪种品牌的家电?说明理由.
16.(2018 全国Ⅰ,理 20)某工厂的某种产品成箱包装,每箱 200 件,每一箱产品在交付用户之前要对
产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取 20 件作检验,再根
据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为 p(0(1-p)2,
∴p>0.5,∴p=0.6(其中 p=0.4 舍去).
6.0.5 解析 由分布列的性质,知 0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,则 m=0.3.由 Y=2,即|X-2|=2,得 X=4 或
X=0,故 P(Y=2)=P(X=4 或 X=0)=P(X=4)+P(X=0)=0.3+0.2=0.5.
7 解析 根据二项分布的均值、方差公式,得 解得 p=
8.解 设事件 Ai 为“甲是 A 组的第 i 个人”,事件 Bi 为“乙是 B 组的第 i 个人”,i=1,2,…,7.
由题意可知 P(Ai)=P(Bi)= ,i=1,2,…,7.
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(1)由题意知,事件“甲的康复时间不少于 14 天”等价于“甲是 A 组的第 5 人,或者第 6 人,或
者第 7 人”,所以甲的康复时间不少于 14 天的概率是 P(A5∪A6∪A7)=P(A5)+P(A6)+P(A7)=
(2)设事件 C 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”,由题意知,C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2
∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6.
因此
P(C)=P(A4B1)+P(A5B1)+P(A6B1)+P(A7B1)+P(A5B2)+P(A6B2)+P(A7B2)+P(A7B3)+P(A6B6)+P(A7B6)=10P(A4B1)=1
0P(A4)P(B1)=
(3)a=11 或 a=18.
9.解 (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1 但不包含 B1 的事件为 M,则 P(M)=
(2)由题意知 X 可取的值为 0,1,2,3,4,则
P(X=0)= ,
P(X=1)= ,
P(X=2)= ,
P(X=3)= ,
P(X=4)=
因此 X 的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
X 的数学期望是
E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4)
=0+1 +2 +3 +4 =2.
10.解 (1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为 A,
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则 P(A)=
(2)依题意得,X 所有可能的取值是 1,2,3.
又 P(X=1)= ,P(X=2)= ,P(X=3)= 1= ,所以 X 的分布列为
X 1 2 3
P
所以 E(X)=1 +2 +3
11.解 (1)个位数是 5 的“三位递增数”有 125,135,145,235,245,345;
(2)由题意知,全部“三位递增数”的个数为 =84,随机变量 X 的取值为:0,-1,1,因此
P(X=0)= ,P(X=-1)= ,P(X=1)=1- 所以 X 的分布列为
X 0 -1 1
P
则 E(X)=0 +(-1) +1
二、思维提升训练
12.C 解析 因为曲线 C 为正态分布 N(0,1)的密度曲线,所以 P(-1E(X2),所以应生产甲品牌家电.
16.解 (1)20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f(p)= p2(1-p)18.
因此 f'(p)= [2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=2 p(1-p)17(1-10p).
令 f'(p)=0,得 p=0.1.当 p∈(0,0.1)时,f'(p)>0;
当 p∈(0.1,1)时,f'(p)<0.
所以 f(p)的最大值点为 p0=0.1.
(2)由(1)知,p=0.1.
①令 Y 表示余下的 180 件产品中的不合格品件数,依题意知 Y~B(180,0.1),
X=20×2+25Y,即 X=40+25Y.
所以 E(X)=E(40+25Y)=40+25E(Y)=490.
②如果对余下的产品作检验,那么这一箱产品所需要的检验费为 400 元.
由于 E(X)>400,故应该对余下的产品作检验.