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文档介绍
2020版高考数学二轮复习 专题二 函数与导数 专题对点练8 导数与函数的零点及参数范围 文
专题对点练8 导数与函数的零点及参数范围 1.(2018全国Ⅱ,文21)已知函数f(x)= x3-a(x2+x+1). (1)若a=3,求f(x)的单调区间; (2)证明:f(x)只有一个零点. 2.已知函数f(x)=ax+x2-xln a-b(a,b∈R,a>1),e是自然对数的底数. (1)当a=e, b=4时,求函数f(x)零点个数; (2)若b=1,求f(x)在[-1,1]上的最大值. 3.已知函数f(x)=xln x,g(x)=-x2+ax-2(e为自然对数的底数,a∈R). (1)判断曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与曲线y=g(x)的公共点个数; (2)当x∈时,若函数y=f(x)-g(x)有两个零点,求a的取值范围. 4.(2018天津,文20)设函数f(x)=(x-t1)(x-t2)(x-t3),其中t1,t2,t3∈R,且t1,t2,t3是公差为d的等差数列. (1)若t2=0,d=1,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)若d=3,求f(x)的极值; (3)若曲线y=f(x)与直线y=-(x-t2)-6有三个互异的公共点,求d的取值范围. 3 专题对点练8答案 1.解 (1)当a=3时,f(x)= x3-3x2-3x-3,f'(x)=x2-6x-3. 令f'(x)=0,解得x=3-2或x=3+2. 当x∈(-∞,3-2)∪(3+2,+∞)时,f'(x)>0; 当x∈(3-2,3+2)时,f'(x)<0. 故f(x)在(-∞,3-2),(3+2,+∞)单调递增,在(3-2,3+2)单调递减. (2)由于x2+x+1>0,所以f(x)=0等价于-3a=0. 设g(x)=-3a,则g'(x)=≥0,仅当x=0时g'(x)=0,所以g(x)在(-∞,+∞)单调递增,故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点. 又f(3a-1)=-6a2+2a-=-6<0,f(3a+1)= >0,故f(x)有一个零点. 综上,f(x)只有一个零点. 2.解 (1)由题意f(x)=ex+x2-x-4, ∴f'(x)=ex+2x-1,∴f'(0)=0, 当x>0时, ex>1,∴f'(x)>0,故f(x)是(0,+∞)上的增函数; 当x<0时,ex<1,∴f'(x)<0,故f(x)是(-∞,0)上的减函数. f(1)=e-4<0,f(2)=e2-2>0,∴存在x1∈(1,2)是f(x)在(0,+∞)上的唯一零点; f(-2)=+2>0,f(-1)= -2<0,∴存在x2∈(-2,-1)是f(x)在(-∞,0)上的唯一零点. ∴f(x)的零点个数为2. (2)当b=1时,f(x)=ax+x2-xln a-1,∴f'(x)=axln a+2x-ln a=2x+(ax-1)ln a, 当x>0时,由a>1,可知ax-1>0,ln a>0,∴f'(x)>0; 当x<0时,由a>1,可知ax-1<0,ln a>0,∴f'(x)<0; 当x=0时,f'(x)=0,∴f(x)是[-1,0]上的减函数,[0,1]上的增函数. ∴当x∈[-1,1]时,f(x)min=f(0),f(x)max为f(-1)和f(1)中的较大者. 而f(1)-f(-1)=a--2ln a, 设g(x)=x--2ln x(x>0). ∵g'(x)=1+≥0(当且仅当x=1时等号成立), ∴g(x)在(0,+∞)上单调递增,而g(1)=0, ∴当x>1时,g(x)>0,即当a>1时,a--2ln a>0, ∴f(1)>f(-1). ∴f(x)max=f(1)=a+1-ln a-1=a-ln a. 3.解 (1) f'(x)=ln x+1,所以切线斜率k=f'(1)=1. 又f(1)=0, 所以曲线在点(1,0)处的切线方程为y=x-1. 由得x2+(1-a)x+1=0. 由Δ=(1-a)2-4=a2-2a-3=(a+1)(a-3),可知: 当Δ>0,即a<-1或a>3时,有两个公共点; 当Δ=0,即a=-1或a=3时,有一个公共点; 当Δ<0,即-1查看更多
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