湖北高考数学文试题及答案

湖北高考数学文试题及答案

‎2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）‎ 本试题卷共5页，22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．为虚数单位，‎ A． B． C． D．1 ‎ ‎2．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534‎ ‎ 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 ‎ A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石 ‎3．命题“，”的否定是 A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎4．已知变量和满足关系，变量与正相关. 下列结论中正确的是 ‎ A．与负相关，与负相关 B．与正相关，与正相关 ‎ C．与正相关，与负相关 D．与负相关，与正相关 ‎5．表示空间中的两条直线，若p：是异面直线；q：不相交，则 ‎ A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 ‎ B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件 C．p是q的充分必要条件 ‎ D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 ‎6．函数的定义域为 ‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎7．设，定义符号函数 则 A． B． ‎ C． D．‎ ‎8． 在区间上随机取两个数，记为事件“”的概率，为事件“”‎ ‎ 的概率，则 A． B． ‎ C． D．‎ ‎9．将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位 ‎ ‎ 长度，得到离心率为的双曲线，则 ‎ A．对任意的， B．当时，；当时，‎ ‎ C．对任意的， D．当时，；当时，‎ ‎10．已知集合，，定义集合 ‎ ，则中元素的个数为 ‎ A．77 B．49 C．45 D．30‎ 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位 置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. ‎ ‎11．已知向量，，则_________．‎ ‎12．若变量满足约束条件 则的最大值是_________．‎ ‎13．函数的零点个数为_________.‎ ‎14．某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额 ‎ （单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如图所示. ‎ ‎ （Ⅰ）直方图中的_________；‎ ‎ （Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间内的购物者的人数为_________. ‎ 第14题图 第15题图 ‎15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度_________m. ‎ ‎16．如图，已知圆与轴相切于点，与轴正半 ‎ ‎ 轴交于两点A，B（B在A的上方），且. ‎ ‎ （Ⅰ）圆的标准方程为_________；‎ ‎ 第16题图 ‎ （Ⅱ）圆在点处的切线在轴上的截距为_________.‎ 17． a为实数，函数在区间上的最大值记为. 当_________时，的值最小.‎ 三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象 时，列表并填入了部分数据，如下表：‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎ （Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解 ‎ 析式；‎ ‎ （Ⅱ）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到图象，求 ‎ 的图象离原点O最近的对称中心.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 设等差数列的公差为d，前n项和为，等比数列的公比为q．已知，，，．‎ ‎（Ⅰ）求数列，的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）当时，记，求数列的前n项和． ‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ ‎《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. ‎ 在如图所示的阳马中，侧棱底面，且，点是的 中点，连接. ‎ ‎（Ⅰ）证明：平面. 试判断四面体是 否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需 写出结论）；若不是，请说明理由；‎ ‎（Ⅱ）记阳马的体积为，四面体的 体积为，求的值．‎ 第20题图 ‎21．（本小题满分14分）‎ 设函数，的定义域均为，且是奇函数，是偶函数，‎ ‎，其中e为自然对数的底数. ‎ ‎（Ⅰ）求，的解析式，并证明：当时，，；‎ ‎（Ⅱ）设，，证明：当时，.‎ ‎22．（本小题满分14分）‎ 一种画椭圆的工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线 总与椭圆有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．‎ 第22题图2‎ 第22题图1‎ 绝密★启用前 ‎2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）‎ 数学（文史类）试题参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）‎ ‎1．A 2．B 3．C 4．A 5．A 6．C 7．D 8．B 9．D 10．C 二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）‎ ‎11．9 12．10 13．2 14．（Ⅰ）3；（Ⅱ）6000‎ ‎15． 16．（Ⅰ）；（Ⅱ） 17．三、解答题（本大题共5小题，共65分）‎ ‎18．（12分）‎ ‎（Ⅰ）根据表中已知数据，解得. 数据补全如下表：‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎0‎ 且函数表达式为. ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，因此 .‎ 因为的对称中心为，. 令，解得，.‎ 即图象的对称中心为，，其中离原点O最近的对称中心为. ‎ ‎19．（12分）‎ ‎（Ⅰ）由题意有， 即 解得 或 故或 ‎ ‎（Ⅱ）由，知，，故，于是 ‎， ①‎ ‎. ②‎ ‎①-②可得 ‎，‎ 故. ‎ ‎20．（13分）‎ ‎（Ⅰ）因为底面，所以. ‎ 由底面为长方形，有，而，‎ 所以平面. 平面，所以. ‎ 又因为，点是的中点，所以. ‎ 而，所以平面. ‎ 由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，‎ 即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别是 ‎（Ⅱ）由已知，是阳马的高，所以；‎ 由（Ⅰ）知，是鳖臑的高， ，‎ 所以.‎ 在△中，因为，点是的中点，所以，‎ 于是 ‎ ‎21．（14分）‎ ‎（Ⅰ）由, 的奇偶性及 ‎ , ① ‎ ‎ 得 ②‎ 联立①②解得，.‎ 当时，，，故 ③‎ 又由基本不等式，有，即 ④ ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ， ⑤‎ ‎ ， ⑥‎ 当时，等价于， ⑦‎ ‎ 等价于 ⑧‎ 设函数 ，‎ 由⑤⑥，有 ‎ 当时，‎ ‎（1）若，由③④，得，故在上为增函数，从而，‎ 即，故⑦成立.‎ ‎（2）若，由③④，得，故在上为减函数，从而，‎ 即，故⑧成立.‎ 综合⑦⑧，得 . ‎ ‎22．（14分）‎ ‎（Ⅰ）因为，当在x轴上时，等号成立；‎ 同理，当重合，即轴时，等号成立. ‎ 所以椭圆C的中心为原点，长半轴长为，短半轴长为，其方程为 ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）（1）当直线的斜率不存在时，直线为或，都有. ‎ ‎（2）当直线的斜率存在时，设直线， ‎ 由 消去，可得.‎ 因为直线总与椭圆有且只有一个公共点，‎ 所以，即. ①‎ 又由 可得；同理可得.‎ 由原点到直线的距离为和，可得 ‎. ②‎ 将①代入②得，. ‎ 当时，；‎ 当时，.‎ 因，则，，所以，‎ 当且仅当时取等号.‎ 所以当时，的最小值为8.‎ 综合（1）（2）可知，当直线与椭圆在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8. ‎