高考理科数学专题复习概率与统计

高考理科数学专题复习概率与统计

概率与统计 一、 考点剖析 考点1. 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 ‎ (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝＝;‎ ‎ (2)互斥事件有一个发生的概率：P(A＋B)＝P(A)＋P(B);‎ ‎ 特例：对立事件的概率：P(A)＋P()＝P(A＋)＝1.‎ ‎ (3)相互独立事件同时发生的概率：P(A·B)＝P(A)·P(B);‎ ‎ 特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝.其中P为事件A在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n展开的第k+1项.‎ 考点2、离散型随机变量的分布列 ‎1.随机变量及相关概念 ‎ ①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示.‎ ‎ ②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.‎ ‎ ③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量.‎ ‎2.离散型随机变量的分布列 ‎ ①离散型随机变量的分布列的概念和性质 一般地，设离散型随机变量可能取的值为，，……，，……，取每一个值（1，2，……）的概率P（）=，则称下表.‎ ‎…‎ ‎…‎ P P1‎ P2‎ ‎…‎ ‎…‎ 为随机变量的概率分布，简称的分布列.‎ 由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：‎ ‎ （1），1，2，…;（2）…=1.‎ ‎ ②常见的离散型随机变量的分布列：‎ ‎ （1）二项分布 次独立重复试验中，事件A发生的次数 是一个随机变量，其所有可能的取值为0，1，2，…n，并且，其中，，随机变量的分布列如下：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎…‎ ‎…‎ P ‎…‎ 称这样随机变量服从二项分布，记作，其中、为参数，并记： .‎ ‎ （2） 几何分布 ‎ 在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数是一个取值为正整数的离散型随机变量，“”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生.‎ 随机变量的概率分布为：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ k ‎…‎ P p qp ‎…‎ ‎…‎ 考点3 离散型随机变量的期望与方差 随机变量的数学期望和方差 ‎ (1)离散型随机变量的数学期望：…；期望反映随机变量取值的平均水平.‎ ‎⑵离散型随机变量的方差：……；‎ 方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.‎ ‎⑶基本性质：；.‎ ‎(4)若～B(n，p)，则 ; D =npq（这里q=1-p） ; ‎ 如果随机变量服从几何分布，，则，D =其中q=1-p.‎ 考点4 抽样方法与总体分布的估计 抽样方法 ‎1．简单随机抽样：设一个总体的个数为N，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.常用抽签法和随机数表法.‎ ‎2．系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）.‎ ‎3．分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样.‎ 总体分布的估计 由于总体分布通常不易知道，我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确.‎ 总体分布：总体取值的概率分布规律通常称为总体分布.‎ 当总体中的个体取不同数值很少时，其频率分布表由所取样本的不同数值及相应的频率表示，几何表示就是相应的条形图.‎ 当总体中的个体取值在某个区间上时用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布.‎ 总体密度曲线：当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线.‎ 考点5 正态分布与线性回归 ‎1.正态分布的概念及主要性质 ‎（1）正态分布的概念 如果连续型随机变量 的概率密度函数为 ，x 其中、为常数，并且＞0，则称服从正态分布，记为（，）.‎ ‎（2）期望E =μ，方差.‎ ‎（3）正态分布的性质 正态曲线具有下列性质:‎ ‎①曲线在x轴上方，并且关于直线x＝μ对称.‎ ‎②曲线在x=μ时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低.‎ ‎③曲线的对称轴位置由μ确定；曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”；反之越“高瘦”.‎ ‎（4）标准正态分布 当=0，=1时服从标准的正态分布，记作（0，1）‎ ‎（5）两个重要的公式 ‎①,② .‎ ‎（6）与二者联系.‎ ① 若，则 ;‎ ‎②若，则.‎ ‎2.线性回归 简单的说，线性回归就是处理变量与变量之间的线性关系的一种数学方法.‎ 变量和变量之间的关系大致可分为两种类型：确定性的函数关系和不确定的函数关系.不确定性的两个变量之间往往仍有规律可循.回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数量统计方法.它可以提供变量之间相关关系的经验公式.‎ 具体说来，对n个样本数据（），（），…，（），其回归直线方程，或经验公式为：.其中，其中分别为||、||的平均数.‎ 二、例题讲解 例1（1）．在五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）．‎ ‎ [解答过程]0.3提示:‎ ‎ （2）．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 ．‎ ‎ [解答过程]提示:‎ 例2（2008年高考广东卷理3）某校共有学生名，各年级男、女生人数如表．已知在全校学生中随机抽取名，抽到二年级女生的概率是．现用分层抽样的方法在全校抽取名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ ）学科网 A． B． C． D． 学科网 一年级 二年级 三年级 女生 男生 ‎ 学科网 学科网 学科网 学科网 ‎ 分析：根据给出的概率先求出 的值，这样就可以知道三年级的学生人数，问题就解决了．学科网 ‎ 解析：C 二年级女生占全校学生总数的，即，这样一年级和二年级学生的总数是，三年级学生有人，用分层抽样抽取的三年级学生应是．答案C．学科网 学科网 例3．（2009江苏泰州期末第2题）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这人中再用分层抽样方法抽出人作进一步调查，则在（元）月收入段应抽出 人．学科网 学科网 分析：实际上是每人抽取一人，只要把区间内的人数找出来即可．学科网 解析：根据图可以看出月收入在的人数的频率是学科网 ‎，故月收入在人数是，学科网 故抽取人．学科网 例4.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为__________.（精确到0.01）‎ ‎[解答提示]至少有3人出现发热反应的概率为 ‎. 故填0.94.‎ 例5（11天津，文）（本小题满分13分）‎ ‎ 编号为的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：‎ 运动员编号 得分 ‎15‎ ‎35‎ ‎21‎ ‎28‎ ‎25‎ ‎36‎ ‎18‎ ‎34‎ 运动员编号 得分 ‎17‎ ‎26‎ ‎25‎ ‎33‎ ‎22‎ ‎12‎ ‎31‎ ‎38‎ ‎（Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；‎ 区间 人数 ‎（Ⅱ）从得分在区间内的运动员中随机抽取2人，‎ ‎（i）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；‎ ‎（ii）求这2人得分之和大于50的概 解析（Ⅰ）解：4，6，6‎ ‎ （Ⅱ）（i）解：得分在区间内的运动员编号为从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：‎ ‎，‎ ‎ ，共15种。‎ ‎ （ii）解：“从得分在区间内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于‎50”‎（记为事件B）的所有可能结果有：，共5种。‎ ‎ 所以 例6．从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率．‎ ‎（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率；‎ ‎（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率．‎ ‎ [解答过程]（1）记表示事件“取出的2件产品中无二等品”，‎ 表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．‎ 则互斥，且，故 于是．‎ 解得（舍去）．‎ ‎（2）记表示事件“取出的2件产品中无二等品”，则．‎ 若该批产品共100件，由（1）知其中二等品有件，故．‎ ‎ ‎ 例7．甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球.由甲，乙两袋中各任取2个球.‎ ‎(Ⅰ)若n=3，求取到的4个球全是红球的概率；(Ⅱ)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为，求n.‎ ‎[考查目的]本题主要考查排列组合、概率等基本知识，同时考察逻辑思维能力和数学应用能力.‎ ‎[标准解答]（I）记“取到的4个球全是红球”为事件.‎ ‎（II）记“取到的4个球至多有1个红球”为事件，“取到的4个球只有1个红球”为事件，“取到的4个球全是白球”为事件.‎ 由题意，得 所以, ，‎ 化简，得解得，或（舍去），‎ 故 .‎ 例8.某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．‎ ‎（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；‎ ‎（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．‎ ‎ [解答过程]（Ⅰ）记表示事件：“位顾客中至少位采用一次性付款”，则表示事件：“位顾客中无人采用一次性付款”．‎ ‎， ．‎ ‎（Ⅱ）记表示事件：“位顾客每人购买件该商品，商场获得利润不超过元”．‎ 表示事件：“购买该商品的位顾客中无人采用分期付款”．‎ 表示事件：“购买该商品的位顾客中恰有位采用分期付款”．‎ 则．‎ ‎，．‎ ‎．‎ 例9（10山东，理）（本小题满分12分）‎ 某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有四个问题，规则如下：‎ ① 每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；‎ ② 每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局，当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；‎ ③ 每位参加者按问题顺序作答，直至答题结束.‎ 假设甲同学对问题回答正确的概率依次为，且各题回答正确与否相互之间没有影响.‎ ‎(Ⅰ)求甲同学能进入下一轮的概率；‎ ‎（Ⅱ）用表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求的分布列和数学的.‎ ‎、解：设分别为第一、二、三、四个问题.用表示甲同学第个问题回答正确，用表示甲同学第个问题回答错误，则与是对立事件.由题意得 所以 ‎（Ⅰ）记“甲同学能进入下一轮”为事件，‎ 则 ‎（Ⅱ）由题意，随机变量的可能取值为：.‎ 由于每题答题结果相互独立，‎ 所以 因此 随机变量的分布列为 ‎ ‎ ‎ ‎ 所以 ‎ ‎.‎ 例10．（2008高考山东文18）现有名奥运会志愿者，其中志愿者通晓日语，通晓俄语，通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各名，组 成一个小组．‎ ‎（1）求被选中的概率；‎ ‎（2）求和不全被选中的概率．‎ 分析：枚举的方法找出基本事件的总数，结合着随机事件、对立事件的概率，用古典概型的计算公式解决．‎ 解析：（1）从人中选出日语、俄语和韩语志愿者各名，其一切可能的结果组成的基本事件空间 ‎{，，‎ ‎，，，‎ ‎，，，‎ ‎}‎ 由个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．‎ 用表示“恰被选中”这一事件，则 ‎{，‎ ‎ }‎ 事件由6个基本事件组成，因而．‎ ‎（2）用表示“不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“全被选中”这一事件，‎ 由于{}，事件有3个基本事件组成，‎ 所以，由对立事件的概率公式得．‎ 点评：本题考查古典概率、对立事件等概率的基础知识，考查分类讨论、“正难则反”等数学思想方法，考查分析问题解决问题的能力．‎ 例11．（浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第9题）由这五个数字组成的无重复数字的四位偶数，按从小到大的顺序排成一个数列,则=‎ A． B． C． D．‎ 分析：按照千位的数字寻找规律．‎ 解析：千位是的四位偶数有，故第和是千位数字为的四位偶数中最小的一个，即，答案A．‎ 例12． ‎ 厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.‎ ‎（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验,求至少有1件是合格的概率；‎ ‎（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品中,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件.都进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品.否则拒收,求出该商家检验出不合格产品数的分布列及期望,并求出该商家拒收这批产品的概率.‎ ‎ [解答过程]（Ⅰ）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A ‎ 用对立事件A来算，有 ‎（Ⅱ）可能的取值为．‎ ‎ ，‎ ‎，‎ ‎．‎ 记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B，则商家拒收这批产品的概率 ‎．‎ 所以商家拒收这批产品的概率为．‎ 例13． 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为、、,且各轮问题能否正确回答互不影响.‎ ‎（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率;‎ ‎（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为，求随机变量的分布列与数学期望.‎ ‎（注：本小题结果可用分数表示）‎ ‎ [解答过程]解法一：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为，则，，，‎ 该选手被淘汰的概率 ‎．‎ ‎（Ⅱ）的可能值为，，‎ ‎，‎ ‎． ‎ 的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎．‎ 解法二：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为，则，‎ ‎，．‎ 该选手被淘汰的概率．‎ ‎（Ⅱ）同解法一．‎ 例14．（09全国二，文）（本小题满分12分）‎ 某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人。现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核。‎ ‎（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；‎ ‎（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；‎ ‎（Ⅲ）求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率 ‎8、（20）解：‎ ‎（Ⅰ）由于甲、乙两组各有10名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核，则从每组各抽取2名工人。‎ ‎（Ⅱ）记表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则 ‎ ‎ ‎（Ⅲ）表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有名男工人，‎ ‎ 表示事件：从乙组抽取的2名工人中恰有名男工人，‎ ‎ 表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人。‎ ‎ 与独立， ，且 故 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 例15. 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．表示经销一件该商品的利润．‎ ‎（Ⅰ）求事件：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率；‎ ‎（Ⅱ）求的分布列及期望．‎ ‎[考查目的] 本小题主要考查概率和离散型随机变量分布列和数学期望等知识.考查运用概率知识解决实际问题的能力.‎ ‎[解答过程]（Ⅰ）由表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．‎ 知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”‎ ‎， ．‎ ‎（Ⅱ）的可能取值为元，元，元．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 的分布列为 ‎（元）．‎ 小结：离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.本题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力.‎ 例16.某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，更正后平均分和方差分别是 A.70，25 B.70，‎50 C.70，1.04 D.65，25‎ 解答过程：易得没有改变，=70，‎ 而s2=［（x12+x22+…+502+1002+…+x482）－482］=75，‎ s′2=［（x12+x22+…+802+702+…+x482）－482］‎ ‎=［（75×48+482－12500+11300）－482］‎ ‎=75－=75－25=50.‎ 答案：B 例17.考查某校高三年级男生的身高，随机抽取40名高三男生，实测身高数据（单位：cm）如下：‎ ‎171‎ ‎163‎ ‎163‎ ‎166‎ ‎166‎ ‎168‎ ‎168‎ ‎160‎ ‎168‎ ‎165‎ ‎171‎ ‎169‎ ‎167‎ ‎169‎ ‎151‎ ‎168‎ ‎170‎ ‎160‎ ‎168‎ ‎174‎ ‎165‎ ‎168‎ ‎174‎ ‎159‎ ‎167‎ ‎156‎ ‎157‎ ‎164‎ ‎169‎ ‎180‎ ‎176‎ ‎157‎ ‎162‎ ‎161‎ ‎158‎ ‎164‎ ‎163‎ ‎163‎ ‎167‎ ‎161‎ ‎ ⑴作出频率分布表；⑵画出频率分布直方图.‎ 思路启迪：确定组距与组数是解决“总体中的个体取不同值较多”这类问题的出发点.‎ 解答过程：⑴最低身高为151，最高身高180，其差为180-151=29。确定组距为3，组数为10，列表如下：‎ ‎ ‎ ‎ ⑵频率分布直方图如下：‎ 小结： 合理、科学地确定组距和组数，才能准确地制表及绘图，这是用样本的频率分布估计总体分布的基本功．‎ 估计总体分布的基本功。‎ 例18.如果随机变量ξ～N（μ，σ2），且Eξ=3，Dξ=1，则P（－1＜ξ≤1＝等于( )‎ A.2Φ（1）－1 B.Φ（4）－Φ（2）‎ C.Φ（2）－Φ（4） D.Φ（－4）－Φ（－2）‎ 解答过程：对正态分布，μ=Eξ=3，σ2=Dξ=1，故P（－1＜ξ≤1）=Φ（1－3）－Φ（－1－3）=Φ（－2）－Φ（－4）=Φ（4）－Φ（2）.‎ 答案：B 三、复习建议 ‎ 在高考试卷中，概率与统计的内容每年都有所涉及，以解答题形式出现的试题常常设计成包含离散型随机变量的分布列与期望、统计图表的识别等知识为主的综合题，以考生比较熟悉的实际应用问题为载体，以排列组合和概率统计等基础知识为工具，考查对概率事件的识别及概率计算．解答概率统计试题时要注意分类与整合、化归与转化、或然与必然思想的运用． 由于中学数学中所学习的概率与统计内容是最基础的，高考对这一部分内容的考查注重考查基础知识和基本方法．该部分在高考试卷中，一般是2—3个小题和一个解答题．‎ 四、真题训练 ‎1.（安徽省皖南八校2009届高三第二次联考理科数学第2题）从某校高三年级随机抽取一个班，对该班名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如右图：若某高校专业对视力的要求在以上，则该班学生中能报专业的人数为学科网 学科网 A． B． C． D．学科网 分析：根据图找出视力在以上的人数的频率即可．学科网 解析：B． 视力住以上的频率为，人数为．学科网 点评：在解决频率分别直方图问题时容易出现的错误是认为直方图中小矩形的高就是各段的频率，实际上小矩形的高是频率除以组距．学科网 ‎2. （2009年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第13题）某篮球运动员在一个赛季的场比赛中的得分的茎叶图如图所示，则这组数据的中位数是 ；众数是 ．学科网 学科网 分析：根据茎叶图和中位数、众数的概念解决．学科网 解析：由于中位数是把样本数据按照由小到大的顺序排列起来，处在中间位置的一个（或是最中间两个数的平均数），故从茎叶图可以看出中位数是；而众数是样本数据中出现次数最多的数，故众数也是．学科网 点评：一表（频率分布表）、三图（频率分布直方图、频率折线图、茎叶图）、三数（众数、中位数、众数）和标准差，是高考考查统计的一个主要考点．学科网 ‎3.（2008高考广东文11）为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了位工人某天生产该产品的数量．产品数量的分组区间为，，学科网 由此得到频率分布直方图如图，则这名工人中一天生产该产品数量在 的人数是　　　．学科网 学科网 分析：找出频率即可．学科网 解析： ．学科网 点评：本题考查频率分布直方图，解题的关键是明确这个直方图上的纵坐标是频率/组距，得出生产数量在的人数的频率．学科网 ‎4.（2008高考山东文9）从某项综合能力测试中抽取人的成绩，统计如表，则这 人成绩的标准差为（ ）学科网 学科网 A． B． C． D．学科网 分析：根据标准差的计算公式直接计算即可．学科网 解析： 平均数是，学科网 标准差是学科网 ‎．学科网 答案B．学科网 点评：本题考查数据组的平均数和标准差的知识，考查数据处理能力和运算能力．解题的关键是正确理解统计表的意义，会用平均数和标准差的公式，只要考生对此认识清楚，解答并不困难．学科网 ‎5.（中山市高三级2008—2009学年度第一学期期末统一考试理科第9题）若数据的平均数，方差，则数据的平均 数为 ，方差为 ．学科网 分析：根据平均数与方差的性质解决．学科网 解析：学科网 ‎6.（浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第3题）如图是年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为学科网 A． ， B．， C． ， D．，学科网 学科网 解析：C学科网 ‎7.（2008高考湖南文12）从某地区位老人中随机抽取人，其生活能否自理的情况如下表所示：学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 ‎ 学科网 则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_____________人．学科网 解析： 由上表得学科网 点评：考查样本估计总体的思想．学科网 ‎8.（2007高考广东）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据学科网 ‎ ‎ ‎（1）请画出上表数据的散点图；学科网 ‎（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出ｙ关于ｘ的线性回归方程；学科网 ‎（3）已知该厂技术改造前吨甲产品能耗为吨标准煤；试根据（２）求出的线性回归方程，预测生产吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？学科网 分析：本题中散点图好作，本题的关键是求关于的线性回归方程，它既可以由给出的回归系数公式直接计算，也可以遵循着最小二乘法的基本思想――即所求的直线应使残差平方和最小，用求二元函数最值的方法解决．学科网 解析：学科网 ‎（1）散点图如右；学科网 ‎（2）方法一：设线性回归方程为，则学科网 学科网 ‎∴时， 取得最小值，学科网 即，∴时取得最小值．学科网 所以线性回归方程为．学科网 方法二：由系数公式可知，学科网 ‎，所以线性回归方程为．学科网 ‎（3）时，，所以预测生产吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低吨标准煤．学科网 点评：本题考查回归分析的基本思想．求线性回归方程的方法一这实际上是重复了回归系数公式的推导过程，这里的另一个解决方法是对我们再按集项，即，而这个时候，当时有最小值，结合上面解法中时有最小值，组成方程组就可以解出，的值；方法二前提是正确地使用回归系数的计算公式，一般考试中都会给出这个公式，但要注意各个量的计算；最后求出的是指的平均值或者是估计值，不是完全确定的值．对于本题我们可以计算题目所给的数据组的相关系数，相关指数．这说明，具有很强的线性相关性，说明解释变量对预报变量的贡献率是，即耗煤量的是来自生产量，只有约来自其它因素，这与我们的直观感觉是十分符合的．本题容易用错计算回归系数的公式，或是把回归系数和回归常数弄颠倒了．学科网 ‎9 .（2008高考江苏2）一个骰子连续投次，点数和为的概率 ．‎ 分析：枚举基本事件总数和随机事件所包含的基本事件的个数后，根据古典概型的计算公式计算．‎ 解析：点数和为，即，基本事件的总数是，故这个概率是．或是数形结合处理．‎ 点评：古典概型的计算是一个基础性的考点，高考中除了以解答题的方式重点考查概率的综合性问题外，也以选择题、填空题的方式考查古典概型的计算．‎ ‎10．（2009年福建省理科数学高考样卷第4题）如图，边长为的正方形内有一内切圆．在图形上随机投掷一个点，则该点落到圆内的概率是 ‎ A． B． C． D．‎ 分析：就是圆的面积和正方形面积的比值．‎ 解析：根据几何概型的计算公式，这个概率值是，答案A．‎ 点评：高考对几何概型的考查一般有两个方面，一是以选择题、填空题的方式有针对性地考查，二是作为综合解答题的一部分和其他概率计算一起进行综合考查．‎ ‎11．（浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第19题）在一个盒子中，放有标号分别为，，的三张卡片，现从这个盒子中，有放回 地先后抽得两张卡片的标号分别为、，记．‎ ‎（1）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；‎ ‎（2）求随机变量的分布列和数学期望．‎ 分析：根据对随机变量的规定，结合的取值确定随机变量可以取那些值，然后根据其取这些值的意义，分别计算其概率．‎ 解析：（1）、可能的取值为、、，，，‎ ‎，且当或时，．因此，随机变量的最大值为 ．‎ 有放回抽两张卡片的所有情况有种，． ‎ ‎（2）的所有取值为． ‎ 时，只有这一种情况，‎ ‎ 时，有或或或四种情况，‎ 时，有或两种情况． ‎ ‎，，． ‎ 则随机变量的分布列为：‎ 因此，数学期望． ‎ 点评：有放回的“取卡片、取球”之类的问题，其基本事件的总数要由分步乘法计数原理解决，这是一类重要的概率模型．‎ ‎12.【2010.北京】 从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图3）.由图中数据可知a=___________.若要从身高在[120,130），‎ ‎[130，140），[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中抽取的人数应为________________.‎ ‎【答案】 0.030 3‎ ‎【解析】①由图可算出各段的频数分别为5、35、1000a、20、10 因为‎1000a=30，所以a=0.030‎ ‎②[120，130)、[130，140），[140,150]三组学生数分别为30,20,10 总数为60，所以抽样比为 得，[140,150]内的学生中应选取3个.‎ ‎13..【2010.天津】 甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图3，中间的一列数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为_____________和____________.‎ ‎【答案】 24，23‎ ‎【解析】 由茎叶图易得甲日加工零件平均数为24，乙日加工零件平均数为23.‎ ‎14.【2010.安徽】 甲罐中有5个红球，2个白球和三个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机抽取一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机抽取一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________________（写出所有正确结论的编号）.‎ ‎①；②；③事件B与事件A1相互独立；④A1，A2，A3是两两互斥的事件；⑤的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关.‎ ‎【答案】 ②④‎ ‎【解析】 易排除①，③事件B与事件A1是否发生有关，不相互独立，⑤的值虽与A1，A2，A3哪一个发生有关，但的值是确定的.‎ ‎15.【2010.湖南】 在区间[﹣1,2]上随机取一个数，则的概率为______________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 在[﹣1,2]上满足为2个单位长度，故P=‎ ‎16.【2010.福建】 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于______________.‎ ‎【答案】 0.128‎ ‎【解析】 4次回答问题相互独立，恰好在回答4个问题就晋级即第1次对错都可，第2次错，第3、4次答对，所以P=1×0.2×0.8×0.8=0.128‎ ‎17.（09全国一，文）（本小题满分12分）‎ 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2局中，甲、乙各胜1局。‎ ‎（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；‎ ‎（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率。‎ 解（Ⅰ）Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到火车站”，Bi表示事件“乙选择路径Li时，50分钟内赶到火车站”，i=1,2．用频率估计相应的概率可得 P（A1）=0．1+0．2+0．3=0．6，P（A2）=0．1+0．4=0．5，‎ P（A1） ＞P（A2）, 甲应选择Li P（B1）=0．1+0．2+0．3+0．2=0．8，P（B2）=0．1+0．4+0．4=0．9，‎ ‎ P（B2） ＞P（B1）, 乙应选择L2．‎ ‎（Ⅱ）A,B分别表示针对（Ⅰ）的选择方案，http://www.51jjcn.cn/gaokao/ 甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（Ⅰ）知,又由题意知，A,B独立，‎ ‎ 的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎0．04‎ ‎0．42‎ ‎0．54‎ ‎18、（11天津，理）（本小题满分13分）‎ 学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）‎ ‎（Ⅰ）求在1次游戏中，‎ ‎ （i）摸出3个白球的概率；‎ ‎ （ii）获奖的概率；‎ ‎（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数的分布列及数学期望 .‎ ‎（i）解：设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件则 ‎ ‎ ‎ （ii）解：设“在1次游戏中获奖”为事件B，则，又 ‎ ‎ ‎ 且A2，A3互斥，所以 ‎ （II）解：由题意可知X的所有可能取值为0，1，2.‎ ‎ ‎ ‎ 所以X的分布列是 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎ X的数学期望 ‎19．（11天津，文）（本小题满分13分）‎ ‎ 编号为的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：‎ 运动员编号 得分 ‎15‎ ‎35‎ ‎21‎ ‎28‎ ‎25‎ ‎36‎ ‎18‎ ‎34‎ 运动员编号 得分 ‎17‎ ‎26‎ ‎25‎ ‎33‎ ‎22‎ ‎12‎ ‎31‎ ‎38‎ ‎（Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；‎ 区间 人数 ‎（Ⅱ）从得分在区间内的运动员中随机抽取2人，‎ ‎（i）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；‎ ‎（ii）求这2人得分之和大于50的概率．‎ ‎、解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，‎ 所以平均数为 方差为 ‎（Ⅱ）记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四名同学为B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9，8，9，10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：‎ ‎ （A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），‎ ‎ （A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），‎ ‎ （A3，B1），（A2，B2），（A3，B3），（A1，B4），‎ ‎ （A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4），‎ ‎ 用C表示：“选出的两名同学的植树总棵数为‎19”‎这一事件，则C中的结果有4个，它们是：（A1，B4），（A2，B4），（A3，B2），（A4，B2），故所求概率为