高考数学选择试题分类汇编——函数
2010 年高考数学试题分类汇编——函数
（2010 上海文数）17.若 是方程式 的解，则 属于区间 [答]（ ）
（A）（0，1）. （B）（1，1.25）. （C）（1.25，1.75） （D）（1.75，2）
解析：
知 属于区间（1.75，2）
（2010 湖南文数）8.函数 y=ax2+ bx 与 y= (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标系中的图像可能是
D
（2010 湖南文数）3. 某商品销售量 y（件）与销售价格 x（元/件）负相关，则其回归方程可能是
A. B.
C. D.
（2010 浙江理数）（10）设函数的集合
0x lg 2x x+ = 0x
04
1
4
7lg)4
7()75.1(,2lg)( <−==−+= ffxxxf 由构造函数
02lg)2( >=f 0x
| |
log b
a
x
^
10 200y x= − + ^
10 200y x= +
^
10 200y x= − − ^
10 200y x= −
，
平面上点的集合
，
则在同一直角坐标系中， 中函数 的图象恰好经过 中两个点的函数的个数是
（A）4 （B）6 （C）8 （D）10
解析：当 a=0,b=0;a=0,b=1;a= ,b=0; a= ,b=1;a=1,b=-1;a=1,b=1 时满足题意，故答案选 B，本题主要考察了
函数的概念、定义域、值域、图像和对数函数的相关知识点，对数学素养有较高要求，体现了对能力的考
察，属中档题
（2010 全国卷 2 理数）（10）若曲线 在点 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18，
则
（A）64 （B）32 （C）16 （D）8
【答案】A
【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的
计算能力..
【解析】 ，切线方程是 ，令 ， ，令
， ，∴三角形的面积是 ，解得 .故选 A.
（2010 全国卷 2 理数）（2）.函数 的反函数是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】D
【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。
【解析】由原函数解得 ，即 ，又 ；
∴在反函数中 ，故选 D.
2
1 1( ) log ( ) ,0, ,1; 1,0,12 2P f x x a b a b
= = + + = − = −
1 1( , ) ,0, ,1; 1,0,12 2Q x y x y
= = − = −
P ( )f x Q
2
1
2
1
1
2y x
−=
1
2,a a
−
a =
3 3
2 21 1' ,2 2y x k a
− −= − ∴ = −
1 3
2 21 ( )2y a a x a
− −− = − − 0x =
1
23
2y a
−=
0y = 3x a=
1
21 33 182 2s a a
−= ⋅ ⋅ = 64a =
1 ln( 1) ( 1)2
xy x
+ −= >
2 1 1( 0)xy e x+= − > 2 1 1( 0)xy e x+= + >
2 1 1( R)xy e x+= − ∈ 2 1 1( R)xy e x+= + ∈
（2010 陕西文数）10.某学校要招开学生代表大会，规定各班每 10 人推选一名代表，当各班人数除以 10
的余数大于 6 时再 增选一名代表.那么，各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 y
＝[x]（[x]表示不大于 x 的最大整数）可以表示为 [B]
（A）y＝[ ] （B）y＝[ ] （C）y＝[ ] （D）y＝[ ]
解析：法一：特殊取值法，若 x=56，y=5,排除 C、D，若 x=57，y=6，排除 A，所以选 B
法二：设 ，
，所以选 B
（2010 陕西文数）7.下列四类函数中，个有性质“对任意的 x>0，y>0，函数 f(x)满足 f（x＋y）＝f（x）
f（y）”的是 [C]
（A）幂函数 （B）对数函数 （C）指数函数 （D）余弦函数
解析：本题考查幂的运算性质
（2010 辽宁文数）（12）已知点 在曲线 上， 为曲线在点 处的切线的倾斜角，则 的取值
范围是
(A)[0, ) (B) （C） (D)
解析：选 D. ， ，
即 ，
（2010 辽宁文数）（10）设 ，且 ，则
（A） （B）10 （C）20 （D）100
解析：选 A. 又
（2010 辽宁文数）（4）已知 ，函数 ，若 满足关于 的方程 ，则
下列选项的命题中为假命题的是
（A） （B）
（C） （D）
10
x 3
10
x + 4
10
x + 5
10
x +
)90(10 ≤≤+= ααmx ，时
==
++=
+≤≤
1010
3
10
3,60 xmmx αα
110110
3
10
3,96 +
=+=
++=
+≤< xmmx αα 时当
)()()( yxfaaayfxf yxyx +=== +
P 4
1xy e
= + α P α
4
π
[ , )4 2
π π 3( , ]2 4
π π 3[ , )4
π π
2
4 4
12 1 2
x
x x
x
x
ey e e e e
′ = − = −+ + + +
1 2, 1 0x
xe ye
′+ ≥ ∴− ≤ <
1 tan 0α− ≤ < 3[ , )4
πα π∴ ∈
2 5a b m= = 1 1 2a b
+ = m =
10
21 1 log 2 log 5 log 10 2, 10,m m m ma b
+ = + = = ∴ = 0, 10.m m> ∴ =
0a > 2( )f x ax bx c= + + 0x x 2 0ax b+ =
0, ( ) ( )x R f x f x∃ ∈ ≤ 0, ( ) ( )x R f x f x∃ ∈ ≥
0, ( ) ( )x R f x f x∀ ∈ ≤ 0, ( ) ( )x R f x f x∀ ∈ ≥
解析：选 C.函数 的最小值是
等价于 ，所以命题 错误.
（2010 辽宁理数）(1O)已知点 P 在曲线 y= 上，a 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角， 则 a 的取值
范围是
(A)[0, ) (B) (D)
【答案】D
【命题立意】本题考查了导数的几何意义，求导运算以及三角函数的知识。
【解析】因为 ，即 tan a≥-1,所以
（2010 全国卷 2 文数）（7）若曲线 在点 处的切线方程是 ，则
（A） (B)
(C) (D)
【解析】A：本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程
∵ ，∴ ， 在切线 ，∴
（2010 全国卷 2 文数）（4）函数 y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是
（A）y= -1(x>0) (B) y= +1(x>0)
(C) y= -1(x R) (D）y= +1 (x R)
【 解 析 】 D ： 本 题 考 查 了 函 数 的 反 函 数 及 指 数 对 数 的 互 化 ， ∵ 函 数 Y=1+LN （ X-1 ） (X>1) ， ∴
（2010 江西理数）12.如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记 t 时刻五角
星露出水面部分的图形面积为 ，则导函数 的图像大致为
【答案】A
( )f x 0( ) ( )2
bf f xa
− =
0, ( ) ( )x R f x f x∀ ∈ ≥ C
4
1xe +
4
π
[ , )4 2
π π 3( , ]2 4
π π 3[ , )4
π π
'
2
4 4 1( 1) 2
x
x x x
ey e e e
− −= = ≥ −+ + +
3
4
π α π≤ ≤
2y x ax b= + + (0, )b 1 0x y− + =
1, 1a b= = 1, 1a b= − =
1, 1a b= = − 1, 1a b= − = −
02 xy x a a=′ = + = 1a = (0, )b 1 0x y− + = 1b =
1xe + 1xe −
1xe + ∈ 1xe − ∈
1 1ln( 1) 1, 1 , 1y xx y x e y e− −− = − − = = +
( ) ( )( )0 0S t S = ( )'y S t=
【解析】本题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识，重点考查的是对数学的探究能力和应用能
力。最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除 C；总面积一直保持增加，没有负的改变量，
排除 B；考察 A、D 的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，
产生中断，选择 A。
（2010 江西理数）9．给出下列三个命题：
①函数 与 是同一函数；
②若函数 与 的图像关于直线 对称，则函数 与
的图像也关于直线 对称；
③若奇函数 对定义域内 任意 x 都有 ，则 为周期函数。
其中真命题是
A. ①② B. ①③ C.②③ D. ②
【答案】C
【解析】考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识。考虑定义域不同，①错误；排除 A、B，验证
③, ,又通过奇函数得 ，所以 f（x）是周期为 2 的周期函
数，选择 C。
（2010 安徽文数）（7）设 ，则 a，b，c 的大小关系是
（A）a＞c＞b （B）a＞b＞c （C）c＞a＞b （D）b＞c＞a
7.A
【解析】 在 时是增函数，所以 ， 在 时是减函数，所以 。
【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来.
（2010 安徽文数）（6）设 ,二次函数 的图像可能是
1 1 cosln2 1 cos
xy x
−= + ln tan 2
xy =
( )y f x= ( )y g x= y x= ( )2y f x=
( )1
2y g x= y x=
( )f x ( ) (2 )f x f x= − ( )f x
( ) [2 ( )] (2 )f x f x f x− = − − = + ( ) ( )f x f x− = −
2 3 2
5 5 53 2 2
5 5 5a b c= = =（ ）, （ ）， （ ）
2
5y x= 0x > a c> 2( )5
xy = 0x > c b>
0abc > 2( )f x ax bx c= + +
6.D
【解析】当 时， 、 同号，（C）（D）两图中 ，故 ，选项（D）符合
【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分 或 两种情况分类考虑.另外还要注意 c 值
是抛物线与 y 轴交点的纵坐标， 还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等.
（2010 重庆文数）（4）函数 的值域是
（A） （B）
（C） （D）
解析：
（2010 浙江文数）（9）已知 x 是函数 f(x)=2x+ 的一个零点.若 ∈（1， ），
∈（ ，+ ），则
（A）f( )＜0，f( )＜0 （B）f( )＜0，f( )＞0
（C）f( )＞0，f( )＜0 （D）f( )＞0，f( )＞0
解析：选 B，考察了数形结合的思想，以及函数零点的概念和零点的判断，属中档题
（2010 浙江文数）2.已知函数 若 =
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解析： +1=2，故 =1，选 B，本题主要考察了对数函数概念及其运算性质，属容易题
（2010 重庆理数）(5) 函数 的图象
A. 关于原点对称 B. 关于直线 y=x 对称 C. 关于 x 轴对称 D. 关于 y 轴对称
0a > b c 0c < 0, 02
bb a
< − >
0a > 0a <
16 4xy = −
[0, )+∞ [0,4]
[0,4) (0,4)
[ )4 0, 0 16 4 16 16 4 0,4x x x> ∴ ≤ − < ∴ − ∈
1
1 x− 1x 0x
2x 0x ∞
1x 2x 1x 2x
1x 2x 1x 2x
1( ) log ( 1),f x x= + ( ) 1,f α = α
α α
( ) 4 1
2
x
xf x
+=
解析： 是偶函数，图像关于 y 轴对称
（2010 山东文数）（11）函数 的图像大致是
答案：A
（2010 山东文数）（8）已知某生产厂家的年利润 （单位：万元）与年产量 （单位：万件）的函数关系
式为 ，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为
（A）13 万件 (B)11 万件
(C) 9 万件 (D)7 万件
答案：C
（2010 山东文数）（5）设 为定义在 上的奇函数，当 时， （ 为常数），
则
（A）-3 （B）-1 （C）1 (D)3
答案：A
（2010 山东文数）(3)函数 的值域为
A. B. C. D.
答案：A
（2010 北京文数）(6)给定函数① ，② ，③ ，④ ，期中在区间
（0，1）上单调递减的函数序号是
（A）①② （B）②③ （C）③④ （D）①④
答案：B
（2010 北京文数）⑷若 a,b 是非零向量，且 ， ，则函数 是
)(2
41
2
14)( xfxf x
x
x
x
=+=+=− −
−
)(xf∴
22xy x= −
y x
31 81 2343y x x= − + −
( )f x R 0x ≥ ( ) 2 2xf x x b= + + b
( 1)f − =
( ) ( )2log 3 1xf x = +
( )0,+∞ )0,+∞ ( )1,+∞ )1,+∞
1
2y x= 1
2
log ( 1)y x= + | 1|y x= − 12xy +=
a b⊥ a b≠ ( ) ( ) ( )f x xa b xb a= + ⋅ −
（A）一次函数且是奇函数 （B）一次函数但不是奇函数
（C）二次函数且是偶函数 （D）二次函数但不是偶 函数
答案：A
（2010 四川理数）（4）函数 f(x)＝x2＋mx＋1 的图像关于直线 x＝1 对称的充要条件是
（A） （B） （C） （D）
解析：函数 f(x)＝x2＋mx＋1 的对称轴为 x＝－
于是－ ＝1 ⇒ m＝－2
答案：A
（2010 四川理数）（3）2log510＋log50.25＝
（A）0 （B）1 （C） 2 （D）4
解析：2log510＋log50.25
＝log5100＋log50.25
＝log525
＝2
答案：C
（2010 四川理数）（2）下列四个图像所表示的函数，在点 处连续的是
（A） （B） （C） （D）
解析：由图象及函数连续的性质知，D 正确.
答案：D
（2010 天津文数）（10）设函数 ， 则 的值域是
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】本题主要考查函数分类函数值域的基本求法，属于 难题。
依 题 意 知 ，
2m = − 2m = 1m = − 1m =
2
m
2
m
0x =
2( ) 2( )g x x x R= − ∈ ( ) 4, ( ),
( ) , ( ).( ) {g x x x g x
g x x x g xf x + + <
− ≥= ( )f x
9 ,0 (1, )4
− ∪ +∞ [0, )+∞ 9[ , )4
− +∞ 9 ,0 (2, )4
− ∪ +∞
2 2
2 2
2 ( 4), 2( )
2 , 2
x x x xf x
x x x x
− + + < − − − ≥ −
2
2
2, 1 2( )
2 , 1 2
x x xf x
x x x
+ < − > − − − ≤ ≤
或
（2010 天津文数）(6) 设
(A)a
0,所以零点在区间（0，1）上，选 C
【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解。
（2010 天津理数）（8）若函数 f(x)= ,若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是
（A）（-1，0）∪（0，1） （B）（-∞，-1）∪（1,+∞）
（C）（-1，0）∪（1,+∞） （D）（-∞，-1）∪（0,1）
【答案】C
【解析】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题。
由分段函数的表达式知，需要对 a 的正负进行分类讨论。
5
5 4a log 4 b log c log= = =2
5， （ 3）， ，则
50 log 4 1,< < 所以b − <
【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于 0，同事要
注意底数在（0，1）上时，不等号的方向不要写错。
（2010 天津理数）（3）命 题“若 f(x)是奇函数，则 f(-x)是奇函数”的否命题是
(A)若 f(x) 是偶函数，则 f(-x)是偶函数
（B）若 f(x)不是奇函数，则 f(-x)不是奇函数
（C）若 f(-x)是奇函数，则 f(x)是奇函数
（D）若 f(-x)不是奇函数，则 f(x)不是奇函数
【答案】B
【解析】本题主要考查否命题的概念 ，属于容易题。
否命题是同时否定命题的条件结论，故否命题的定义可知 B 项是正确的。
【温馨提示】解题时要注意否命题与命题否定的区别。
（2010 天津理数）（2）函数 f(x)= 的零点所在的一个区间是
(A)（-2，-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2）
【答案】B
【解析】本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。
由 及零点定理知 f(x)的零点在区间（-1，0）上。
【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解。
（2010 广东理数）3．若函数 f（x）=3x+3-x 与 g（x）=3x-3-x 的定义域均为 R，则
A．f（x）与 g（x）均为偶函数 B. f（x）为偶函数，g（x）为奇函数
C．f（x）与 g（x）均为奇函数 D. f（x）为奇函数，g（x）为偶函数
3．D． ．
（2010 广东文数）3.若函数 与 的定义域均为 R，则
A. 与 与均为偶函数 B. 为奇函数， 为偶函数
2 1 1 2
2 2
0 a<0
( ) ( ) log log log ( ) log ( )
a
f a f a a a a a
> > − ⇒ > − > −
或
00
1 -1 011
2
aa
a aaa a
<> ⇒ ⇒ > < < <>
或 或
2 3x x+
1( 1) 3 0, (0) 1 02f f− = − < = >
( ) 3 3 ( ), ( ) 3 3 ( )x x x xf x f x g x g x− −− = + = − = − = −
xxxf −+= 33)( xxxg −−= 33)(
)(xf )(xg )(xf )(xg
C. 与 与均为奇函数 D. 为偶函数， 为奇函数
解:由于 ,故 是偶函数,排除 B、C
由题意知，圆心在 y 轴左侧，排除 A、C
在 ， ，故 ，选 D
（2010 广东文数）2.函数 的定义域是
A. B. C. D.
解： ，得 ，选 B.
（2010 福建文数）7．函数 的零点个数为 ( )
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】当 时，令 解得 ；
当 时，令 解得 ，所以已知函数有两个零点，选 C。
【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。
（2010 全国卷 1 文数）(7)已知函数 .若 且， ，则 的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
7.C【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易
忽视 a 的取值范围，而利用均值不等式求得 a+b= ,从而错选 D,这也是命题者的用苦良心之处.
【解析 1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以 a=b(舍去)，或 ，所以 a+b=
又 0f(1)=1+1=2,即 a+b 的取值范围是(2,+∞).
)(xf )(xg )(xf )(xg
)(33)( )( xfxf xx =+=− −−− )(xf
AORt 0∆
2
1
0
== kA
OA 50
5
1
0
5
0
0 =⇒== OOO
A
)1lg()( −= xxf
),2( +∞ ),1( +∞ ),1[ +∞ ),2[ +∞
01 >−x 1>x
2x +2x-3,x 0x)=
-2+ln x,x>0
f
≤
（
0x ≤ 2 2 3 0x x+ − = 3x = −
0x > 2 ln 0x− + = 100x =
( ) | lg |f x x= a b≠ ( ) ( )f a f b= a b+
(1, )+∞ [1, )+∞ (2, )+∞ [2, )+∞
1 2a a
+ ≥
1b a
= 1a a
+
2( )f a a a
= + 1a a
+ ( )f a a∈
【解析 2】由 0= ≤
1( ( ))9f f =
A.4 B. C.-4 D-
【答案】B
【解析】根据分段函数可得 ，则 ，
所以 B 正确.
（2010 山东理数）(11)函数 y=2x - 的图像大致是
【答案】A
【解析】因为当 x=2 或 4 时，2x - =0，所以排除 B、C；当 x=-2 时，2x - = ，故排除 D，所以选
A。
【命题意图】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力。
（2010 山东理数）（4）设 f(x)为定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f(x )= +2x+b(b 为常数)，则 f(-1)=
(A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3
【答案】D
（2010 湖南理数）8.用 表示 a，b 两数中的最小值。若函数 的图像
关于直线 x= 对称，则 t 的值为
A．-2 B．2 C．-1 D．1
1
4
1
4
3
1 1( ) log 29 9f = = − 21 1( ( )) ( 2) 29 4f f f −= − = =
2x
2x 2x 1 4<04
−
2x
1
2
−
1.（2010 安徽理数）
2. （2010 安徽理数）6、设 ，二次函数 的图象可能是
6.D
【解析】当 时， 、 同号，（C）（D）两图中 ，故 ，选项（D）符合.
0abc > ( ) 2f x ax bx c= + +
0a > b c 0c < 0, 02
bb a
< − >
【方法技 巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分 或 两种情况分类考虑.另外还要注意 c 值
是抛物线与 y 轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等.
（2010 福建理数）4．函数 的零点个数为 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】当 时，令 解得 ；
当 时，令 解得 ，所以已知函数有两个零点，选 C。
【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。
2010 年高考数学试题分类汇编——函数
（2010 上海文数）14.将直线 、 、 （ ， ）
围成的三角 形面积记为 ，则 。
解析：B 所以 BO⊥AC，
=
所以
（2010 上海文数）9.函数 的反函数的图像与 轴的交点坐标是 (0,−2) 。
解析：考查反函数相关概念、性质
法一：函数 的反函数为 ，另 x=0，有 y=-2
法二：函数 图像与 x 轴交点为（-2,0），利用对称性可知，函数 的反
函数的图像与 轴的交点为（0，-2）
（2010 湖南文数）10.已知一种材料的最佳加入量在 100g 到 200g 之间，若用 0.618 法安排试验，则第一次
试点的加入量可以是 g
【答案】171.8 或 148.2
【解析】根据 0.618 法，第一次试点加入量为
110＋（210－110） 0.618＝171.8
或 210－（210－110） 0.618＝148.2
【命题意图】本题考察优选法的 0.618 法，属容易题。
0a > 0a <
2x +2x-3,x 0x)=
-2+ln x,x>0
f
≤
（
0x ≤ 2 2 3 0x x+ − = 3x = −
0x > 2 ln 0x− + = 100x =
1 : 1 0l x y+ − = 2 : 0l nx y n+ − = 3 : 0l x ny n+ − = *n N∈ 2n ≥
nS lim nn
S→∞
= 1
2
)1,1( ++ n
n
n
n
nS )1(2
1)2
221(22
1
+
−=−+××
n
n
n
n
lim nn
S→∞
= 1
2
3( ) log ( 3)f x x= + y
3( ) log ( 3)f x x= + 33 −= xy
3( ) log ( 3)f x x= + 3( ) log ( 3)f x x= +
y
×
×
（2010 陕西文数）13.已知函数 f（x）＝ 若 f（f（0））＝4a，则实数 a＝ 2 .
解析：f（0）=2，f（f（0））=f(2)=4+2a=4a，所以 a=2
（2010 重庆文数）(12)已知 ，则函数 的最小值为____________
解析： ，当且仅当 时，
（2010 浙江文数）（16） 某商家一月份至五月份累计销售额达 3860 万元，预测六月份销售额为 500 万元，
七月份销售额比六月份递增 x %，八月份销售额比七月份递增 x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售
总额相等，若一月至十月份销售总额至少至少达 7000 万元，则，x 的最小值 。
答案：20
（ 2010 重 庆 理 数 ） （ 15 ） 已 知 函 数 满 足 ： ，
，则 =_____________.
解析：取 x =1 y=0 得
法一：通过计算 ，寻得周期为 6
法二：取 x=n y=1,有 f(n)=f(n+ 1)+f(n-1),同理 f(n+1)=f(n+2)+f(n)
联立得 f(n+2)= — f(n-1) 所以 T=6 故 =f(0)=
（ 2010 天津文数）（16）设函数 f(x)=x- ,对任意 x 恒成立，则实数 m 的取
值范围是________
【答案】m<-1
【解析】本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想，属于难题。
已知 f（x）为增函数且 m≠0
若 m>0，由复合函数的单调性可知 f（mx）和 mf（x）均为增函数，此时不符合题意。
M<0，时有 因为 在 上
的最小值为 2，所以 1+ 即 >1,解得 m<-1.
【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求
解。
2
3 2, 1,
, 1,
x x
x ax x
+ <
+ ≥
0t >
2 4 1t ty t
− +=
2 4 1 1 4 2( 0)t ty t tt t
− += = + − ≥ − > 1t = min 2y = −
( )f x ( ) 11 4f =
( ) ( ) ( ) ( )( )4 ,f x f y f x y f x y x y R= + + − ∈ ( )2010f
2
1)0( =f
)........4(),3(),2( fff
( )2010f 2
1
1
x [1,∈ +∞），f ( mx) +mf ( x) <0
2
2
1 1 1 10 2 ( ) 0 1 2mmx mx mx m xmx x m x m
− + − < ⇒ − − • < ⇒ + < 22y x= [1, )x∈ +∞
2
1 2m
< 2m
（ 2010 天 津 理 数 ） （ 16 ） 设 函 数 ， 对 任 意 ，
恒成立，则实数 的取值范围是 .
【答案】D
【解析】本题主要考查函数恒成立问题的基本解法，属于难题。
依 据 题 意 得 在 上 恒 定 成 立 ， 即
在 上恒成立。
当 时函数 取得最小值 ，所以 ，即 ，解
得 或
【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求
解
（2010 广东理数）9. 函数 =lg( -2)的定义域是 .
9． (1,+∞) ．∵ ，∴ ．
（2010 广东文数）
（2010 全国卷 1 理数）(15)直线 与曲线 有四个交点，则 的取值范围是 .
2( ) 1f x x= − 2 ,3x ∈ +∞
24 ( ) ( 1) 4 ( )xf m f x f x f mm
− ≤ − + m
2
2 2 2 2
2 1 4 ( 1) ( 1) 1 4( 1)x m x x mm
− − − ≤ − − + − 3[ , )2x∈ +∞
2
2 2
1 3 24 1mm x x
− ≤ − − + 3[ , )2x∈ +∞
3
2x = 2
3 2 1y x x
= − − + 5
3
− 2
2
1 54 3mm
− ≤ − 2 2(3 1)(4 3) 0m m+ − ≥
3
2m ≤ − 3
2m ≥
( )f x x
1 0x − > 1x >
1y = 2y x x a= − + a
（2010 湖南理数）14．过抛物线 的焦点作斜率为 1 的 直线与该抛物线交于 两点，
在 轴上的正射影分别为 ．若梯形 的面积为 ，则 ．
3. （2010 福建理数）15．已知定义域为 的函数 满足：①对任意 ，恒有
成立；当 时， 。给出如下结论：
①对任意 ，有 ；②函数 的值域为 ；③存在 ，使 得 ；④“函
数 在区间 上单调递减”的充要条件是 “存在 ，使得
”。
2 2 ( 0)x py p= ＞ ,A B
,A B x ,D C ABCD 12 2 p =
0 + ∞（ ， ） f(x) x 0∈ + ∞（ ， ） f(2x)=2f(x)
x ]∈（1，2 f(x)=2-x
m Z∈ mf(2 )=0 f(x) [0 + ∞， ） n Z∈ nf(2 +1)=9
f(x) ( , )a b Zk ∈
1( , ) (2 ,2 )k ka b +⊆
其 中所有正确结论的序号是 。
【答案】①②④
【解析】对①，因为 ，所以 ，故①正确；经分析，容易得出②④也正确。
【命题意图】本题考查函数的性质与充要条件，熟练基础知识是解答好本题的关键。
4 . （2010 江苏卷）5、设函数 f(x)=x(ex+ ae-x)(x R)是偶函数，则实数 a=_______▲_________
[解析]考查函数的奇偶性的知识。g(x)=ex+ae-x 为奇函数，由 g(0)=0，得 a=－1。
5. （2010 江苏卷）11、已知函数 ,则满足不等式 的 x 的 范围是__▲___。
[解析] 考查分段函数的单调性。
6. （2010 江苏卷）14、将边长为 1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，
记 ,则 S 的最小值是____▲____。
[解析] 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。
设剪成的小 正三角形的边长为 ， 则：
（方法一）利用导数求函数最小值。
，
，
当 时， 递减；当 时， 递增；
故当 时，S 的最小值是 。
（方法二）利用函数的方法求最小值。
令 ，则：
m2 >0 mf(2 )=0
∈
2 1, 0( )
1, 0
x xf x
x
+ ≥= <
2(1 ) (2 )f x f x− >
2
2
1 2 ( 1, 2 1)
1 0
x x x
x
− > ⇒ ∈ − − − >
2(S = 梯形的周长）
梯形的面积
x
2 2
2
(3 ) 4 (3 ) (0 1)11 3 3( 1) (1 )2 2
x xS xxx x
− −= = ⋅ < <−⋅ + ⋅ ⋅ −
2
2
4 (3 )( ) 13
xS x x
−= ⋅ −
2 2
2 2
4 (2 6) (1 ) (3 ) ( 2 )( ) (1 )3
x x x xS x x
− ⋅ − − − ⋅ −′ = ⋅ −
2 2
2 2 2 2
4 (2 6) (1 ) (3 ) ( 2 ) 4 2(3 1)( 3)
(1 ) (1 )3 3
x x x x x x
x x
− ⋅ − − − ⋅ − − − −= ⋅ = ⋅− −
1( ) 0,0 1, 3S x x x′ = < < =
1(0, ]3x∈ ( ) 0,S x′ < 1[ ,1)3x∈ ( ) 0,S x′ >
1
3x = 32 3
3
1 1 13 , (2,3), ( , )3 2x t t t
− = ∈ ∈
2
2
2
4 4 1
8 66 83 3 1
tS t t
t t
= ⋅ = ⋅− + − − + −
故当 时，S 的最小值是 。
2010 年高考数学试题分类汇编——函数
（2010 上海文数）22.（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 5 分，
第 3 小题满分 8 分。
若实数 、 、 满足 ，则称 比 接近 .
（1）若 比 3 接近 0，求 的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数 、 ，证明： 比 接近 ；
（3）已知函数 的定义域 .任取 ， 等于 和 中
接近 0 的那个值.写出函数 的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要
求证明）.
解析：(1) x∈(−2,2)；
(2) 对任意两个不相等的正数 a、b，有 ， ，
因为 ，
所以 ，即 a2b+ab2 比 a3+b3 接近 ；
(3) ,k∈Z，
f(x)是偶函数，f(x)是周期函数，最小正周期 T=π，函数 f(x)的最小值为 0，
函数 f(x)在区间 单调递增，在区间 单调递减，k∈Z．
（2010 湖南文数）21．（本小题满分 13 分）
已知函数 其中 a<0,且 a≠-1.
（Ⅰ）讨论函数 的单调性；
（Ⅱ）设函数 （e 是自然数的底数）。是否存在 a，
使 在[a,-a]上为减函数？若存在，求 a 的取值范围；若不存在，请说明理由。
1 3 1,8 3xt
= = 32 3
3
x y m x m y m− < − x y m
2 1x − x
a b 2 2a b ab+ 3 3a b+ 2ab ab
( )f x { }, ,D x x k k Z x Rπ≠ ∈ ∈ x D∈ ( )f x 1 sin x+ 1 sin x−
( )f x
2 2 2a b ab ab ab+ > 3 3 2a b ab ab+ >
2 2 3 3 2| 2 | | 2 | ( )( ) 0a b ab ab ab a b ab ab a b a b+ − − + − = − + − <
2 2 3 3| 2 | | 2 |a b ab ab ab a b ab ab+ − < + − 2ab ab
1 sin , (2 ,2 )( ) 1 | sin |,1 sin , (2 ,2 )
x x k kf x x x kx x k k
π π π ππ π π
+ ∈ −= = − ≠ − ∈ +
[ , )2k k
ππ π− ( , ]2k k
ππ π +
( ) ( 1)ln 15 ,af x x a x ax
= + + − +
( )f x
3 3 2( 2 3 6 4 6 ) , 1
( ), 1
( ) {
xx ax ax a a e x
e f x x
g x
− + + − − ≤
⋅ >
=
( )g x
（2010 浙江理数） (22)(本题满分 14 分)已知 是给定的实常数，设函数 ， ，
是 的一个极大值点．
(Ⅰ)求 的取值范围；
(Ⅱ)设 是 的 3 个极值点，问是否存在实数 ，可找到 ，使得 的某种
排列 (其中 = )依次成等差数列?若存在，求所有的 及相应的 ；若不存
在，说明理由．
解析：本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列等基础知识，同时考查推理论
证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识。
（Ⅰ）解：f’(x)=ex(x-a)
令
于是，假设
（1） 当 x1=a 或 x2=a 时，则 x=a 不是 f(x)的极值点，此时不合题意。
（2） 当 x1 a 且 x2 a 时，由于 x=a 是 f(x)的极大值点，故 x1则
1 2 1 2, ( ) 0 .x x g x x x= <是 的两个实根，且
≠ ≠
( ) 0g x <
2
(3 ) 2 0a a b a b ab a+ − + + − − <
4 22 3x x a a b= − = − − + 2( 1) 8 2 6a b a a+ − + − = +
4 22 3x x a a b= − = − − 2( 1) 8 2 6a b a a− + − + − = −
2 1x a a x− = − 2 12( )x a a x− = − 1 2( ) 2( )a x x a− = −
于是
此时
综上所述，存在 b 满足题意，
当 b=-a-3 时，
时，
时，
（2010 全国卷 2 理数）（22）（本小题满分 12 分）
设函数 ．
（Ⅰ）证明：当 时， ；
1a b+ − = 9 13
2
− −
4
2 ( 3) 3( 3) 1 1332 4 2
a x a a b a bx b a
+ + − − − + + −= = = − − = +
4 2 6x a= ±
7 13
2b a
+= − − 4
1 13
2x a
+= +
7 13
2b a
−= − − 4
1 13
2x a
−= +
( ) 1 xf x e−= −
x＞- 1 ( )
1
xf x x
≥ +
（Ⅱ）设当 时， ，求 a 的取值范围．
【命题意图】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论
的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力.
【参考答案】
0x ≥ ( )
1
xf x ax
≤ +
【点评】导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本
技能，还要求考生具有较强 的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱。作为压轴题，
主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点
之所在.
（2010 陕西文数）21、(本小题满分 14 分)
已知函数 f（x）= ，g（x）=alnx，a R。
（1） 若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求 a 的值及该切线的方程；
（2） 设函数 h(x)=f(x)- g(x),当 h(x)存在最小之时，求其最小值 （a）的解析式；
（3） 对（2）中的 （a），证明：当 a （0，+ ）时， （a） 1.
解 （1）f’(x)= ,g’(x)= (x>0),
由已知得 =alnx，
= ， 解德 a= ,x=e2,
两条曲线交点的坐标为（e2,e） 切线的斜率为 k=f’(e2)= ,
切线的方程为 y-e= (x- e2).
（2）由条件知
x ∈
ϕ
ϕ ∈ ∞ ϕ ≤
1
2 x
a
x
x
1
2 x
a
x 2
e
1
2e
1
2e
Ⅰ 当 a.>0 时，令 h (x)=0,解得 x= ,
所以当 0 < x< 时 h (x)<0，h(x)在（0， ）上递减；
当 x> 时，h (x)>0，h(x)在（0， ）上递增。
所以 x> 是 h(x)在（0， +∞ ）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是 h(x)的最小值点。
所以 Φ （a）=h( )= 2a-aln =2
Ⅱ当 a ≤ 0 时，h(x)=(1/2-2a) /2x>0,h(x)在（0，+∞）递增，无最小值。
故 h(x) 的最小值 Φ （a）的解析式为 2a(1-ln2a) (a>o)
（3）由（2）知 Φ （a）=2a(1-ln2a)
则 Φ 1（a ）=-2ln2a，令 Φ 1（a ）=0 解得 a =1/2
当 00，所以 Φ （a ） 在(0,1/2) 上递增
当 a>1/2 时， Φ 1（a ）<0，所以 Φ（a ） 在 (1/2, +∞)上递减。
所以 Φ（a ）在(0, +∞)处取得极大值 Φ（1/2 ）=1
因为 Φ（a ）在(0, +∞)上有且只有一个极致点，所以 Φ（1/2）=1 也是 Φ（a）的最大值
所当 a 属于 (0, +∞)时，总有 Φ（a） ≤ 1
（2010 辽宁文数）（21）（本小题满分 12 分）
已知函数 .
（Ⅰ）讨论函数 的单调性；
（Ⅱ）设 ，证明：对任意 ， .
解：(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+ )， .
当 a≥0 时， ＞0，故 f(x)在(0,+ )单调增加；
当 a≤－1 时， ＜0, 故 f(x)在(0,+ )单调减少；
当－1＜a＜0 时，令 ＝0,解得 x= .当 x∈(0, )时, ＞0；
x∈( ，+ )时， ＜0, 故 f(x)在（0, ）单调增加，在（ ，+ ）单调减少.
(Ⅱ)不妨假设 x1≥x2.由于 a≤－2,故 f(x)在（0，+ ）单调减少.
所以 等价于
' 24a
24a ' 24a
24a ' 24a
24a
24a 24a
2( ) ( 1)ln 1f x a x ax= + + +
( )f x
2a ≤ − 1 2, (0, )x x ∈ +∞ 1 2 1 2| ( ) ( ) | 4 | |f x f x x x− ≥ −
∞
21 2 1( ) 2a ax af x axx x
+ + +′ = + =
( )f x′ ∞
( )f x′ ∞
( )f x′ 1
2
a
a
+− 1
2
a
a
+− ( )f x′
1
2
a
a
+− ∞ ( )f x′ 1
2
a
a
+− 1
2
a
a
+− ∞
∞
1 2 1 2( ) ( ) 4f x f x x x− ≥ −
≥4x1－4x2,
即 f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1.
令 g(x)=f(x)+4x,则
+4
＝ .
于是 ≤ ＝ ≤0.
从而 g(x)在（0，+ ）单调减少，故 g(x1) ≤g(x2)，
即 f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2，故对任意 x1,x2∈(0,+ ) ， .
（2010 辽宁理数）（21）（本小题满分 12 分）
已知函数
（I）讨论函数 的单调性；
（II）设 .如果对任意 ， ，求 的取值范围。
解：
（Ⅰ） 的定义域为（0，+∞）. .
当 时， ＞0，故 在（0，+∞）单调增加；
当 时， ＜0，故 在（0，+∞）单调减少；
当-1＜ ＜0 时，令 =0，解得 .
则当 时， ＞0； 时， ＜0.
故 在 单调增加，在 单调减少.
（Ⅱ）不妨假设 ，而 ＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而
，
1 2( ) ( )f x f x−
1( ) 2ag x axx
+′ = +
22 4 1ax x a
x
+ + +
( )g x′
24 4 1x x
x
− + − 2(2 1)x
x
− −
∞
∞ 1 2 1 2( ) ( ) 4f x f x x x− ≥ −
1ln)1()( 2 +++= axxaxf
)(xf
1−
( )f x
( )f x ( ]01， 1
2
1 1( ) 2f x ax x
′ = − +−
21 1 2( ) 0 +1=0 02 2
xf x x x x x
− +′ = − ⇒ =− −得 （ ）
(0, 2), ( ) 0,x f x′∈ > ( 2 2), ( ) 0,x f x′∈ <，
（2） 区间 上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比较得到，确定
待定量 a 的值。
当 有最大值，则必不为减函数，且 >0，为单调递增区间。
最大值在右端点取到。 。
（2010 安徽文数）20.（本小题满分 12 分）
设函数 ， ，求函数 的单调区间与极值。
【命题意图】本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查综合应用数学知识解
决问题的能力.
【解题指导】（1）对函数 求导，对导函数用辅助角公式变形，利用导数等于 0
得极值点，通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负，判断区间的单调性，求极值.
【思维总结】对于函数解答题，一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值，利用导数为 0 得可能的极
值点，通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性，进而得出极值点.
（2010 重庆文数）(19) (本小题满分 12 分), (Ⅰ)小问 5 分，(Ⅱ)小问 7 分.)
已知函数 (其中常数 a,b∈R), 是奇函数.
(Ⅰ)求 的表达式;
(Ⅱ)讨论 的单调性，并求 在区间[1,2]上的最大值和最小值.
( ]01，
( ]01x∈ ， 1 1( ) 2f x ax x
′ = − +−
max
1(1) 2f f a= = =
( ) sin cos 1f x x x x= − + + 0 2x
π< < ( )f x
( ) sin cos 1f x x x x= − + +
,
,
,
( ) 1 2 ( ).4
2 3( ) 0 ( )4 2 2
( )
x x
x x x x
x x
ππ
π ππ
= + +
= + = = =
解：由f ( x) =si nx- cosx+x+1, 0 (0, )+∞ '( ) 0f x <
( )f x ( 1,0)− (0, )+∞
0 1k< < ( 1)'( ) 01
x kx kf x x
+ −= =+ 1 0x = 2
1 0kx k
−= >
( 1,0)− 1( , )k
k
− +∞ '( ) 0f x > 1(0, )k
k
−
'( ) 0f x <
( )f x ( 1,0)− 1( , )k
k
− +∞ 1(0, )k
k
−
1k =
2
'( ) 1
xf x x
= +
( )f x ( 1, )− +∞
1k > ( 1)'( ) 01
x kx kf x x
+ −= =+ 1
1 ( 1,0)kx k
−= ∈ − 2 0x =
1( 1, )k
k
−− (0, )+∞ '( ) 0f x > 1( ,0)k
k
−
'( ) 0f x <
( )f x 1( 1, )k
k
−− (0, )+∞ 1( ,0)k
k
−
1
1
x
x
af ( x ) a
+= − 0a > 1a ≠
x 2 1 7a
tlog g( x )( x )( x )
=− −
（Ⅱ）当 a＝e（e 为自然对数的底数）时，证明： ；
（Ⅲ）当 0＜a≤
1
2时，试比较 与 4 的大小，并说明理由.
本小题考产函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识，考察化归、分类整合等数学思想方
法，以及推理论证、分析与解决问题的能力.
解：(1)由题意，得 ax＝ ＞0
故 g(x)＝ ，x∈(－∞,－1)∪(1,＋∞)
由 得
t＝(x-1)2(7-x)，x∈[2,6]
则 t'=-3x2+18x-15=-3(x-1)(x-5)
列表如下：
x 2 (2,5) 5 (5,6) 6
t' + 0 -
t 5 ↗ 极大值 32 ↘ 25
所以 t 最小值＝5，t 最大值＝32
所以 t 的取值范围为[5,32]……………………………………………………5 分
(2)
＝ln( )
＝－ln
令 u(z)＝－lnz2－ ＝－2lnz＋z－ ，z＞0
则 u'(z)＝－ ＝(1－ )2≥0
所以 u(z)在(0,＋∞)上是增函数
又因为 ＞1＞0，所以 u( )＞u(1)＝0
即 ln ＞0
2
2
2
2 1
n
k
n ng( k )
n( n )=
− −>
+∑
1
n
k
f ( k ) n
=
− ∑
1
1
y
y
−
+
1log 1a
x
x
−
+
2
1log log( 1)(7 ) 1a a
t x
x x x
−=− − +
2
1 2 3 1( ) ln ln ln ln3 4 5 1
n
k
ng k n=
−= + + + + +∑
1 2 3 1
3 4 5 1
n
n
−× × × × +
( 1)
2
n n +
21 z
z
− 1
z
2
2 11z z
+ + 1
z
( 1)
2
n n + ( 1)
2
n n +
( 1)12 2
( 1) ( 1)
2
n n
n n n n
+−
−+ +
即 ………………………………………………………………9 分
(3)设 a＝ ，则 p≥1，1＜f(1)＝ ≤3
当 n＝1 时，|f(1)－1|＝ ≤2＜4
当 n≥2 时
设 k≥2,k∈N *时，则 f(k)＝
＝1＋
所以 1＜f(k)≤1＋
从而 n－1＜ ≤n-1+ ＝n+1- ＜n＋1
所以 n＜ ＜f(1)＋n＋1≤n＋4
综上所述，总有| －n|＜4
（2010 天津文数）（20）（本小题满分 12 分）
已知函数 f（x）= ，其中 a>0.
（Ⅰ）若 a=1，求曲线 y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间 上，f（x）>0 恒成立，求 a 的取值范围.
【解析】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考
查运算能力及分类讨论的思想方法.满分 12 分.
（Ⅰ）解：当 a=1 时，f（x）= ，f（2）=3；f’(x)= , f’(2)=6.所以曲线 y=f
（x）在点（2，f（2））处的切线方程为 y-3=6（ x-2），即 y=6x-9.
（Ⅱ）解：f’(x)= .令 f’(x)=0，解得 x=0 或 x= .
2
2
2( )
2 ( 1)
n
k
n ng k
n n=
− −>
+∑
1
1 p+
1 211
a
a p
+ = +−
2
p
(1 ) 1 21(1 ) 1 (1 ) 1
k
k k
p
p p
+ + = ++ − + −
1 2 2
2
k k
k k kC p C p C p+ + +
1 2
2 4 4 41 1( 1) 1k kC C k k k k
= + = + −+ + +
2
( )
n
k
f k
=
∑ 4 4
2 1n
− +
4
1n +
1
( )
n
k
f k
=
∑
1
( )
n
k
f k
=
∑
3 23 1( )2ax x x R− + ∈
1 1,2 2
−
3 23x x 12
− + 23 3x x−
23 3 3 ( 1)ax x x ax− = − 1
a
以下分两种情况讨论：
（1） 若 ，当 x 变化时，f’(x)，f（x）的变化情况如下表：
X 0
f’(x) + 0 -
f(x) 极大值
当 等价于
解不等式组得-52，则 .当 x 变化时，f’(x),f（x）的变化情况如下表：
X 0
f’(x) + 0 - 0 +
f(x) 极大值 极小值
当 时，f（x）>0 等价于 即
解不等式组得 或 .因此 20
5 a1 0,( ) 0, 82
1 5 a( ) 0, 0.2 8
f
f
− >− > + > >
即
0 a 2< ≤
1 10 a 2
< <
1 02
− ， 1
a
0， 1
a
1 1
a 2
，
1 1x 2 2
∈ − ，
1f(- )2
1f( )>0,a
>0,
2
5
8
11- >0.2
a
a
−
>0,
2 52 a< < 2
2a < −
( ) ( )xf x xc x R−= ∈
( )f x
( )y g x= ( )y f x= 1x = 1x >
( ) ( )f x g x>
（Ⅲ）如果 ，且 ，证明
【解析】本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用
函数思想分析解决问题的能力，满分 14 分
（Ⅰ）解：f’
令 f’(x)=0,解得 x=1
当 x 变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表
X ( ) 1 ( )
f’(x) + 0 -
f(x) 极大值
所以 f(x)在( )内是增函数，在( )内是减函数。
函数 f(x)在 x=1 处取得极大值 f(1)且 f(1)=
（Ⅱ）证明：由题意可知 g(x)=f(2-x),得 g(x)=(2-x)
令 F(x)=f(x)-g(x),即
于是
当 x>1 时，2x-2>0,从而 ’(x)>0,从而函数 F（x）在[1,+∞)是增函数。
又 F(1)= F(x)>F(1)=0,即 f(x)>g(x).
Ⅲ)证明：（1）
若
（2）若
根据（1）（2）得
由（Ⅱ）可知， > ,则 = ，所以 > ,从而 > .因
为 ，所以 ，又由（Ⅰ）可知函数 f(x)在区间（-∞，1）内事增函数，所以 > ,即
>2.
（2010 福建文数）22．（本小题满分 14 分）
1 2x x≠ 1 2( ) ( )f x f x= 1 2 2x x+ >
( ) (1 ) xx x e−= −
,1−∞ 1,+∞
,1−∞ 1,+∞
1
e
2xe −
2( ) ( 2)x xF x xe x e− −= + −
2 2'( ) ( 1)( 1)x xF x x e e− −= − −
2x-2e 1 0, 0, Fxe−− > >又 所以
-1 -1e e 0− = ，所以x>1时，有
1 2 1 2 1 2( 1)( 1) 0, ) ), 1.x x x x x x− − = Ι = = = ≠1 2由（ ）及f ( x f ( x 则 与 矛盾。
1 2 1 2 1 2( 1)( 1) 0, ) ), .x x x x x x− − > Ι = = ≠1 2由（ ）及f ( x f ( x 得 与 矛盾。
1 2 1 2( 1)( 1) 0, 1, 1.x x x x− − < < >不妨设
)2f ( x )2g( x )2g( x )2f ( 2- x )2f ( x )2f ( 2- x )1f ( x )2f ( 2- x
2 1x > 22 1x− < 1x 22 x− 1 2x x+
已知函数 f（x）= 的图像在点 P（0,f(0)）处的切线方程为 y=3x-2
(Ⅰ)求实数 a,b 的值；
(Ⅱ)设 g（x）=f(x)+ 是[ ]上的增函数。
（i）求实数 m 的最大值；
(ii)当 m 取最大值时，是否存在点 Q，使得过点 Q 的直线若能与曲线 y=g(x)围成两个封闭图形，则这
两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由。
3 21
3 x x ax b− + +
1
m
x − 2,+∞
（2010 福建文数）21．(本小题满分 12 分)
某港口 要将一件重要物品用小艇送到 一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口 北偏西 30
°且与该港口相距 20 海里的 处，并正以 30 海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿
直线方向以 海里/ 小时的航行速度匀速行驶，经过 小时与轮船相遇。
(Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(Ⅱ)为保证小艇在 30 分钟内(含 30 分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；
(Ⅲ)是否存在 ，使得小艇以 海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存
O O
A
υ t
υ υ
在，试确定 的取值范围；若不存在，请说明理由。υ
（2010 全国卷 1 理数）(20)(本小题满分 12 分)
已知函数 .
（Ⅰ）若 ，求 的取值范围；
（Ⅱ）证明： .
（2010 四川文数）（22）（本小题满分 14 分）
( ) ( 1)ln 1f x x x x= + − +
2'( ) 1xf x x ax≤ + + a
( 1) ( ) 0x f x− ≥
设 （ 且 ），g(x)是 f(x)的反函数.
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）当 时，恒有 成立，求 t 的取值范围；
（Ⅲ）当 0＜a≤
1
2时，试比较 f(1)+f(2)+…+f(n)与 的大小，并说明理由.
1
1
x
x
af ( x ) a
+= − 0a > 1a ≠
( )g x
[2,6]x∈ 2( ) log ( 1)(7 )a
tg x x x
> − −
4n +
（2010 湖北文数）21.（本小题满分 14 分）
设函数 ，其中 a＞0，曲线 在点 P（0， ）处的切线方程
为 y =1
（Ⅰ）确定 b、c 的值
（Ⅱ）设曲线 在点（ ）及（ ）处的切线都过点（0,2）证明：当
时，
（Ⅲ）若过点（0,2）可作曲线 的三条不同切线，求 a 的取值范围。
（2010 湖北文数）19.（本小题满分 12 分）
已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为 a（单位：m2），其中有部分旧住房需要拆除。当地有关
部门决定每年以当年年初住房面积的 10%建设新住房，同事也拆除面积为 b（单位：m2）的旧住房。
（Ⅰ）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式：
（Ⅱ）如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了 30%，则每年拆除的旧住房面
3 21 ax x bx c3 2f − + +（x）= xy f= （ ） 0f（ ）
xy f= （ ） 1 1x xf，（ ） 2 2x xf，（ ） 1 2x x≠
1 2'( ) '( )f x f x≠
xy f= （ ）
积 b 是多少？（计算时取 1.15=1.6）
（2010 山东理数）(22)(本小题满分 14 分)
已知函数 .
(Ⅰ)当 时，讨论 的单调性；
（Ⅱ）设 当 时，若对任意 ，存在 ，使
，求实数 取值范围.
1( ) ln 1af x x ax x
−= − + − ( )a R∈
1
2a ≤ ( )f x
2( ) 2 4.g x x bx= − + 1
4a = 1 (0,2)x ∈ [ ]2 1,2x ∈
1 2( ) ( )f x g x≥ b
（Ⅱ）当 时， 在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意 ，
有 ，又已知存在 ，使 ，所以 ， ，
即存在 ，使 ，即 ，即 ，
所以 ，解得 ，即实数 取值范围是 。
【命题意图】本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、
利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；
考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。
（1）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单 调性；（2）利用导数求出 的最小值、利用二次函数
知识或分离常数法求出 在闭区间[1,2]上的最大值，然后解不等式求参数。
1
4a = f(x) 1 (0,2)x ∈
1
1f(x ) f(1)=- 2
≥ [ ]2 1,2x ∈ 1 2( ) ( )f x g x≥ 2
1 ( )2 g x− ≥ [ ]2 1,2x ∈
[ ]1,2x∈ 2 1( ) 2 4 2g x x bx= − + ≤ − 2 92 2bx x≥ +
9
22b x x
≥ + ∈ 11 17[ , ]2 4
112 2b ≥ 11
4b ≥ b 11[ , )4
+∞
( )f x
( )g x
（2010 湖南理数）20.（本小题满分 13 分）
已知函数 对任意的 ，恒有 。
（Ⅰ）证明：当 时， ；
（Ⅱ）若对满足题设条件的任意 b，c，不等式 恒成立，求 M 的最小值。
解析：
（2010 湖北理数）17．（本小题满分 12 分）
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造
可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元。该建筑物每年的能源消耗费用 C（单位：万
元）与隔热层厚度 x（单位：cm）满足关系：C（x）= 若不建隔热层，每年能源消耗费
用为 8 万元。设 f（x）为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和。
（Ⅰ）求 k 的值及 f(x)的表达式。
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值。
2( ) ( , ),f x x bx c b c R= + + ∈ x R∈ ' ( )f x ≤ ( )f x
0x ≥ 2( ) ( )f x x c≤ +
2 2( ) ( ) ( )f c f b M c b− ≤ −
(0 10),3 5
k xx
≤ ≤+
（2010 福建理数）20．（本小题满分 14 分）
（Ⅰ）已知函数 ， 。
（i）求函数 的单调区间；
（ii）证明：若对于任意非零实数 ，曲线 C 与其在点 处的切线交于另一点
，曲线 C 与其在点 处的切线交于另一点 ，线段
（Ⅱ）对于一般的三次函数 （Ⅰ）（ii）的正确命题，并予
以证明。
【命题意图】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力、推理
论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想。
【解析】（Ⅰ）（i）由 得 = ，
当 和 时， ；
当 时， ，
3(x)=x -xf 其图象记为曲线C
(x)f
1x 1 1 1P (x ,f(x ))
2 2 2P (x ,f(x )) 2 2 2P (x ,f(x )) 3 3 3P (x ,f(x ))
1
1 2 2 3 1 2
2
P P ,P P ,S , SC S
与曲线 所围成封闭图形的面积分别记为S 则 为定值；
3 2g(x)=ax +bx +cx+d(a 0),≠ 请给出类似于
3(x)=x -xf ' 2(x)=3x -1f 3 33(x- )(x+ )3 3
3x (- ,- )3
∈ ∞ 3
3
+ ∞（ ， ） ' (x)>0f
3x (- ,3
∈ 3 )3
' (x)<0f
因此， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 。
（2010 湖北理数）
(x)f 3(- ,- )3
∞ 3
3
+ ∞（ ， ） 3(- ,3
3 )3
（2010 安徽理数）17、（本小题满分 12 分）
设 为实数，函数 。
(Ⅰ)求 的单调区间与极值；
(Ⅱ)求证：当 且 时， 。
a ( ) 2 2 ,xf x e x a x= − + ∈R
( )f x
ln 2 1a > − 0x > 2 2 1xe x ax> − +
（2010 江苏卷）20、（本小题满分 16 分）
设 是定义在区间 上的函数，其导函数为 。如果存在实数 和函数 ，其中
对任意的 都有 >0，使得 ，则称函数 具有性质 。
(1)设函数 ，其中 为实数。
(i)求证：函数 具有性质 ； (ii)求函数 的单调区间。
(2)已知函数 具有性质 。给定 设 为实数，
， ，且 ，
若| |<| |，求 的取值范围。
[解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的
思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分 16 分。
（1）(i)
∵ 时， 恒成立，
∴函数 具有性质 ；
)(xf ),1( +∞ )(' xf a )(xh )(xh
),1( +∞∈x )(xh )1)(()(' 2 +−= axxxhxf )(xf )(aP
)(xf 2ln ( 1)1
bx xx
+= + >+ b
)(xf )(bP )(xf
)(xg )2(P 1 2 1 2, (1, ), ,x x x x∈ +∞ < m
21 )1( xmmx −+=α 21)1( mxxm +−=β 1,1 >> βα
)()( βα gg − )()( 21 xgxg − m
'( )f x 2
2 2
1 2 1 ( 1)( 1) ( 1)
b x bxx x x x
+= − = − ++ +
1x > 2
1( ) 0( 1)h x x x
= >+
)(xf )(bP
(ii)（方法一）设 ， 与 的符号相同。
当 时， ， ，故此时 在区间 上递增；
当 时，对于 ，有 ，所以此时 在区间 上递增；
当 时， 图像开口向上，对称轴 ，而 ，
对于 ，总有 ， ，故此时 在区间 上递增；
（方法二）当 时，对于 ，
所以 ，故此时 在区间 上递增；
当 时 ， 图 像 开 口 向 上 ， 对 称 轴 ， 方 程 的 两 根 为 ：
，而
当 时， ， ，故此时 在区间 上递减；
同理得： 在区间 上递增。
综上所述，当 时， 在区间 上递增；
当 时， 在 上递减； 在 上递增。
(2)（方法一）由题意，得：
又 对任意的 都有 >0，
所以对任意的 都有 ， 在 上递增。
又 。
当 时， ，且 ，
2
2 2( ) 1 ( ) 12 4
b bx x bx xϕ = − + = − + − ( )xϕ )(' xf
2
1 0, 2 24
b b− > − < < ( )xϕ 0> )(' xf 0> )(xf ),1( +∞
2b = ± 1x > )(' xf 0> )(xf ),1( +∞
2b < − ( )xϕ 12
bx = < − (0) 1ϕ =
1x > ( )xϕ 0> )(' xf 0> )(xf ),1( +∞
2b ≤ 1x > 2 2 2( ) 1 2 1 ( 1) 0x x bx x x xϕ = − + ≥ − + = − >
)(' xf 0> )(xf ),1( +∞
2b > ( )xϕ 12
bx = > ( ) 0xϕ =
2 24 4,2 2
b b b b+ − − − 2 2
2
4 4 21, (0,1)2 2 4
b b b b
b b
+ − − −> = ∈
+ −
2 4(1, )2
b bx
+ −∈ ( )xϕ 0< )(' xf 0< )(xf
2 4(1, )2
b b+ −
)(xf
2 4[ , )2
b b+ − +∞
2b ≤ )(xf ),1( +∞
2b > )(xf 2 4(1, )2
b b+ − )(xf 2 4[ , )2
b b+ − +∞
2 2'( ) ( )( 2 1) ( )( 1)g x h x x x h x x= − + = −
)(xh ),1( +∞∈x )(xh
),1( +∞∈x ( ) 0g x′ > ( )g x (1, )+∞
1 2 1 2, (2 1)( )x x m x xα β α β+ = + − = − −
1 , 12m m> ≠ α β< 1 1 2 2 1 2( 1) (1 ) , (1 ) ( 1)x m x m x x m x m xα β− = − + − − = − + −
综合以上讨论 ，得：所求 的取值范围是（0，1）。
（ 方 法 二 ） 由 题 设 知 ， 的 导 函 数 ， 其 中 函 数 对 于 任 意 的
都成立。所以，当 时， ，从而 在区间 上单调递增。
①当 时，有 ，
，得 ，同理可得 ，所以由 的单调
性知 、 ，
从而有| |<| |，符合题设。
②当 时， ，
， 于 是 由 及 的 单 调 性 知
，所以| |≥| |，与题设不符。
③当 时，同理可得 ，进而得| |≥| |，与题设不符。
因此综合 ①、②、③得所求的 的取值范围是（0，1）。
m
( )g x 2'( ) ( )( 2 1)g x h x x x= − + ( ) 0h x >
),1( +∞∈x 1x > 2'( ) ( )( 1) 0g x h x x= − > ( )g x ),1( +∞
(0,1)m∈ 1 2 1 1 1(1 ) (1 )mx m x mx m x xα = + − > + − =
1 2 2 2 2(1 ) (1 )mx m x mx m x xα = + − < + − = 1 2( , )x xα ∈ 1 2( , )x xβ ∈ ( )g x
( )g α ( )g β 1 2( ( ), ( ))g x g x∈
)()( βα gg − )()( 21 xgxg −
0m ≤ 1 2 2 2 2(1 ) (1 )mx m x mx m x xα = + − ≥ + − =
1 2 1 1 1(1 ) (1 )m x mx m x mx xβ = − + ≤ − + = 1, 1α β> > ( )g x
1 2( ) ( ) ( ) ( )g g x g x gβ α≤ < ≤ )()( βα gg − )()( 21 xgxg −
1m ≥ 1 2,x xα β≤ ≥ )()( βα gg − )()( 21 xgxg −
m
