2018版高考数学(浙江·文理通用)大一轮教师文档讲义:第九章9-4直线与圆、圆与圆的位置关系
1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系.
d
r⇔相离.
(2)代数法:
2.圆与圆的位置关系
设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r(r1>0),
圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r(r2>0).
几何法:圆心距d与r1,r2的关系
代数法:联立两圆方程组成方程组的解的情况
外离
d>r1+r2
无解
外切
d=r1+r2
一组实数解
相交
|r1-r2|1,而圆心O到直线ax+by=1的距离d==<1.
所以直线与圆相交.
(2)直线2tx-y-2-2t=0恒过点(1,-2),
∵12+(-2)2-2×1+4×(-2)=-5<0,
∴点(1,-2)在圆x2+y2-2x+4y=0内.
直线2tx-y-2-2t=0与圆x2+y2-2x+4y=0相交,
故选C.
思维升华 判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法:利用d与r的关系.
(2)代数法:联立方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交.
上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法适用于动直线问题.
过点A(,1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的斜率的取值范围是( )
A.[-1,1] B.[0,]
C.[0,1] D.[-,]
答案 B
解析 设直线l的方程为y-1=k(x-),则圆心到直线l的距离d=,因为直线l与圆x2+y2=1有公共点,所以d≤1,即≤1,得0≤k≤.
题型二 圆与圆的位置关系
例2 (1)(2016·山东)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
(2)(2016·重庆模拟)如果圆C:x2+y2-2ax-2ay+2a2-4=0与圆O:x2+y2=4总相交,那么实数a的取值范围是______________________.
答案 (1)B (2)(-2,0)∪(0,2)
解析 (1)∵圆M:x2+(y-a)2=a2(a>0),
∴圆心坐标为M(0,a),半径r1为a,
圆心M到直线x+y=0的距离d=,由几何知识得2+()2=a2,解得a=2.
∴M(0,2),r1=2.
又圆N的圆心坐标N(1,1),半径r2=1,
∴|MN|==,
r1+r2=3,r1-r2=1.
∴r1-r2<|MN|<r1+r2,∴两圆相交,故选B.
(2)圆C的标准方程为(x-a)2+(y-a)2=4,圆心坐标为(a,a),半径为2.
依题意得0<<2+2,∴0<|a|<2.
∴a∈(-2,0)∪(0,2).
思维升华 判断圆与圆的位置关系时,一般用几何法,其步骤是
(1)确定两圆的圆心坐标和半径长;
(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d,求r1+r2,|r1-r2|;
(3)比较d,r1+r2,|r1-r2|的大小,写出结论.
已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2-10x-12y+m=0.
(1)m取何值时两圆外切;
(2)m取何值时两圆内切;
(3)求m=45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
解 两圆的标准方程分别为(x-1)2+(y-3)2=11,(x-5)2+(y-6)2=61-m,
圆心分别为M(1,3),N(5,6),半径分别为和.
(1)当两圆外切时,
=+,
解得m=25+10.
(2)当两圆内切时,因为定圆的半径小于两圆圆心间距离5,
故只有-=5,解得m=25-10.
(3)两圆的公共弦所在直线方程为
(x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10x-12y+45)=0,
即4x+3y-23=0,所以公共弦长为2=2.
题型三 直线与圆的综合问题
命题点1 求弦长问题
例3 (2016·全国丙卷)已知直线l:mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别做l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=2,则|CD|=________.
答案 4
解析 设AB的中点为M,由题意知,圆的半径R=2,|AB|=2,所以|OM|=3,解得m=-,由解得A(-3,),B(0,2),则AC的直线方程为y-=-(x+3),
BD的直线方程为y-2=-x,令y=0,解得C(-2,0),D(2,0),所以|CD|=4.
命题点2 直线与圆相交求参数范围
例4 (2015·课标全国Ⅰ)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.
(1)求k的取值范围;
(2)若·=12,其中O为坐标原点,求|MN|.
解 (1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1,
因为l与C交于两点,所以<1.
解得-),
则=2⇒a=0或a=-5(舍).
所以圆C的方程为x2+y2=4.
(2)当直线AB⊥x轴时,x轴平分∠ANB.
当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k(x-1),N(t,0),A(x1,y1),B(x2,y2),
由得(k2+1)x2-2k2x+k2-4=0,
所以x1+x2=,x1x2=.
若x轴平分∠ANB,
则kAN=-kBN⇒+=0
⇒+=0
⇒2x1x2-(t+1)(x1+x2)+2t=0
⇒-+2t=0⇒t=4,
所以当点N为(4,0)时,能使得∠ANM=∠BNM总成立.