高考冲刺三角函数的概念图像与性质提高

高考冲刺三角函数的概念图像与性质提高

高考冲刺 三角函数的概念图象和性质 编稿：孙永钊 审稿：张林娟 ‎【高考展望】‎ 近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法 三角函数是传统知识内容中变化最大的一部分，新教材处理这一部分内容时有明显的降调倾向，突出正、余弦函数的主体地位，加强了对三角函数的图象与性质的考查，因此三角函数的性质是本章复习的重点。第一轮复习的重点应放在课本知识的重现上，要注重抓基本知识点的落实、基本方法的再认识和基本技能的掌握，力求系统化、条理化和网络化，使之形成比较完整的知识体系；第二、三轮复习以基本综合检测题为载体，综合试题在形式上要贴近高考试题，但不能上难度。当然，这一部分知识最可能出现的是“结合实际，利用少许的三角变换（尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的应用）来考查三角函数性质”的命题，因此，建议三角函数的复习应控制在课本知识的范围和难度上，这样就能够适应未来高考命题趋势。‎ 从近几年高考试题来看，对三角函数的考查：一是以选择填空的形式考查三角函数的性质及公式的应用，一般占两个小题；二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换、的性质、三角函数与向量等其他知识综合及三角函数为背景的实际问题等.‎ ‎　　预测今年，考查形式不变，选择、填空题以考查三角函数性质及公式应用为主，解答题将会以向量为载体，考查三角函数的图象与性质或者与函数奇偶性、周期性、最值等相结合，以小型综合题形式出现.‎ ‎【知识升华】‎ 方法技巧：‎ ‎1.八大基本关系依据它们的结构分为倒数关系、商数关系、平方关系，用三角函数的定义反复证明强化记忆，这是最有效的记忆方法。诱导公式用角度制和弧度制表示都成立，记忆方法可概括为“奇变偶不变，符号看象限”，变与不变是相对于对偶关系的函数而言的 ‎2.三角函数值的符号在求角的三角函数值和三角恒等变换中，显得十分重要，根据三角函数的，可简记为“一全正，二正弦，三两切，四余弦”，其含义是：在第一象限各三角函数值皆为正；在第二象限正弦值为正；在第三象限正余切值为正；在第四象限余弦值为正 ‎3.在利用同角三角函数的基本关系式化简、求值和证明恒等关系时，要注意用是否“同角”来区分和选用公式，注意切化弦、“‎1”‎的妙用、方程思想等数学思想方法的运用，在利用诱导公式进行三角式的化简、求值时，要注意正负号的选取 ‎4.求三角函数值域的常用方法：‎ 求三角函数值域除了判别式、重要不等式、单调性等方法之外，结合三角函数的特点，还有如下方法：‎ ‎（1）将所给三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域；‎ ‎（2）利用的有界性求值域；‎ ‎（3）换元法，利用换元法求三角函数的值域，要注意前后的等价性，不能只注意换元，不注意等价性 ‎5. 三角函数的图象与性质 ‎（一）列表综合三个三角函数，，的图象与性质，并挖掘：‎ ‎⑴最值的情况；‎ ‎⑵了解周期函数和最小正周期的意义．会求的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，了解加了绝对值后的周期情况；‎ ‎⑶会从图象归纳对称轴和对称中心；‎ 的对称轴是，对称中心是；‎ 的对称轴是，对称中心是 的对称中心是 注意加了绝对值后的情况变化.‎ ‎⑷写单调区间注意.‎ ‎（二）了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数的简图，并能由图象写出解析式．‎ ‎⑴“五点法”作图的列表方式；‎ ‎⑵求解析式时处相的确定方法：代（最高、低）点法、公式.‎ ‎（三）正弦型函数的图象变换方法如下：‎ 先平移后伸缩 ‎　　的图象 得的图象 得的图象 得的图象 得的图象．‎ 先伸缩后平移 的图象 得的图象 得的图象 得的图象得的图象．‎ ‎【典型例题】‎ 类型一、三角函数的概念 ‎【例1】在平面直角坐标系xOy中，将点A(1，)绕原点O顺时针旋转90°到点B，那么点B的坐标为________；若直线OB的倾斜角为α，则sin 2α的值为________．‎ ‎【思路点拨】根据三角函数的定义求出点B的坐标，进而求出角α，可求sin 2α.‎ ‎【答案】(，－1)　－‎ ‎【解析】如图所示，‎ ‎∵点A的坐标为(，1)，‎ ‎∴∠AOx＝60°，又∠AOB＝90°，∴∠BOx＝30°，‎ 过B作BC⊥x轴于C，‎ ‎∵OB＝2，‎ ‎∴OC＝，BC＝1，‎ ‎∴点B的坐标为(，－1)，‎ 则直线OB的倾斜角为，即α＝，‎ ‎∴sin 2α＝sin ＝－sin ＝－.‎ ‎【总结升华】三角函数的定义与诱导公式的应用 ‎(1)‎ 三角函数的定义是推导诱导公式及同角三角函数基本关系式的理论基础，应用三角函数的定义求三角函数值有时反而更简单．‎ ‎(2)应用诱导公式化简三角函数式，要注意正确地选择公式，注意公式的应用条件．‎ 举一反三：‎ ‎【变式】在(0,2π)内，使sin x＞cos x成立的x的取值范围为 A.　　 B. C. D. ‎ 答案　C ‎【解析】在单位圆中画三角函数线，如图所示，要使在(0,2π)内，sin x＞cos x，则x∈.‎ ‎【例2】已知角α的终边落在直线3x+4y=0上，求sinα,cosα,tanα的值。‎ ‎【思路点拨】本题求α的三角函数值，依据三角函数的定义，可在角α的终边上任意一点P（4t,-3t）(t≠0)，求出r，由定义得出结论。‎ ‎【解析】∵角α的终边在直线3x+4y=0上，∴在角α的终边上任取一点 P（4t,-3t）(t≠0)，则x=4t,y=-3t.,‎ r===5|t|,‎ 当t>0时，r=5t,sinα==,，；‎ 当t<0时，r=-5t，sinα==，，。‎ 综上可知，sinα= ，，；或sinα= ,,.‎ ‎【总结升华】已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题，若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的α值。若角α的终边落在某条直线上，一般要分类讨论。‎ 举一反三：‎ ‎【变式】‎ 类型二、同角三角函数基本关系 B、 例3.（2016春 衡水期中）已知0<α<,若cosα-sinα=，试求：的值。‎ ‎【思路点拨】由cosα-sinα =及sin2α+cos2α=1,可求sinα, cosα的值。‎ ‎【解析】联立方程 　　 　　∵0<α<，解得 ‎ sinα=， cosα=，‎ 所以tanα=2‎ ‎ 。‎ ‎【总结升华】（1）对于sinα+cosα，sinαcosα，sinα-cosα这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求。转化的公式为(sinα±cosα)2=1±2 sinαcosα;（2）关于sinα，cosα的齐次式，往往化为关于tanx的式子。‎ ‎【例4】已知一扇形的圆心角是α，所在圆半径是R。‎ （1） 若α=600，R=‎10cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积。‎ （2） 若扇形的周长是一定值C（C>0），当α是多少弧度时，该扇形有最大面积？‎ ‎【思路点拨】（1）利用弧长、面积公式求解；（2）把扇形面积用α表示出来，或用弧长表示出来，然后求出函数的最值。‎ ‎【解析】（1）设弧长为，弓形面积为，‎ ‎（2）方法一：∵扇形周长C=2R+=2R+φR,∴R=‎ ‎∴当且仅当，即α=2（α=-2舍去）时，扇形面积有最大值。‎ 方法二：由已知2R+=C,‎ ‎∴当时，，‎ 此时 ‎∴当α=2弧度时，扇形面积有最大值。‎ ‎【总结升华】合理选择变量，把扇形面积表示出来，体现了函数的思想，针对不同的函数类型，采用不同的方法求最值，这是解决问题的关键。‎ 举一反三：‎ ‎【变式】若则=( )‎ ‎ （A） （B）2 （C） （D）‎ ‎【解析】由可得：由，‎ 又由，可得：＋（）2＝1‎ 可得＝－，＝－，‎ 所以，＝＝2。‎ ‎【总结升华】对于给出正弦与余弦的关系式的试题，要能想到隐含条件：，与它联系成方程组，解方程组来求解。‎ 类型三、诱导公式 ‎【例5】化简：‎ ‎【思路点拨】化简时注意观察题设中的角出现了，需讨论是奇数还是偶数。‎ ‎【解析】当时，‎ 当时 综上，原式=-1‎ ‎【总结升华】诱导公式用角度和弧度制表示都成立，记忆方法可以概括为“奇变偶不变，符号看象限”，“变”与“不变”是相对于对偶关系的函数而言的，sinα与cosα对偶，“奇”、“偶”是对诱导公式中+α的整数k来讲的，象限指+α中，将α看作锐角时，+α所在象限，如将cos(+α)写成cos（+α），因为3是奇数，则“cos”变为对偶函数符号“sin”，又+α看作第四象限角，cos(+α)为“+”，所以有cos(+α)=sinα。‎ 例6.（2015 宜宾县模拟）在△ABC中，角A为锐角，且+cos2A．‎ ‎（1）求f（A）的最大值；‎ ‎（2）若，求△ABC的三个内角和AC边的长．‎ ‎【思路点拨】（1）先利用诱导公式化简f（A），根据A为锐角，确定f（A）的最大值．‎ ‎（2）利用f（A）=1求出A、B、C三个角，再用正弦定理求出AC边的长.‎ ‎【解析】（I） 由已知得f（A）=‎ ‎∴取值最大值，其最大值为 ‎（II）由f（A）=1得sin（2A+）=‎ 在△ABC中，由正弦定理得：‎ ‎【总结升华】三角恒等变换与解三角形的综合问题，是近几年高考的热点问题.此类型题目要先化简，再求值。另外要特别注意角的取值范围问题.‎ 举一反三：‎ ‎【变式】（2015春 湛江期末）若cosα=，α是第四象限角，求的值．‎ ‎【解析】∵α是第四象限角，cosα=，‎ ‎∴sinα=﹣=﹣=﹣，‎ ‎∴tanα=﹣，‎ 则原式=‎ ‎=‎ ‎=﹣tanα =．‎ 类型四、三角函数的图象和性质 ‎【例7】求下列函数的定义域：‎ ‎（1）求y=lg(sinx-cosx)的定义域；‎ ‎（2）求函数的定义域。‎ ‎【思路点拨】（1）第（1）小题实际就是求使sinx>cosx的x的集合，可用图象或三角函数线解决；（2）第（2）小题实际就是求使成立的x的值，可用图象或三角函数线解决。‎ ‎【解析】（1）要使函数有意义，必须使sinx-cosx>0‎ 方法一：利用图象。在同一坐标系中画出[0，2π]上y=sinx和y=cosx的图象，如图所示：‎ 在[0，2π]内，满足sinx=cosx的x 为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为 方法二、利用三角函数线，如图，，MN为正弦线，OM为余弦线，要使sinx>cosx,即MN>OM，则。∴定义域为 方法三：sinx-cosx=sin(x-)>0,将x-视为一个整体，由正弦函数y=sinx的图象和性质可知2kπ< x-<π+2kπ,解得2kπ+0,ω>0)的函数的单调区间，基本思路是把ωx+φ看作一个整体，由求得函数的增区间，由求得函数的减区间。‎ ‎（3）形如y=Asin(-ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数，可先利用诱导公式把x的系数变为正数，得到y=-Asin(ωx-φ)，由得到函数的减区间，由得到函数的增区间。‎ ‎【例9】已知函数 ‎（1）用五点法作出它的图象；‎ ‎（2）指出这个函数的振幅、周期、频率、初相和单调区间；‎ ‎（3）说明该函数的图象可由的图象经过怎样的变换而得到？‎ ‎【解析】‎ ‎（1）.‎ 列表描点绘图如下:‎ ‎0‎ ‎2‎ x y ‎0‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎-2‎ ‎0‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）如图可知，此函数的振幅是2，周期为，频率为，初相为.‎ 单调增区间为 kÎZ ，‎ 单调减区间为kÎZ.‎ ‎（3）‎ ‎【总结升华】‎ ‎①五点法作(, )的简图时，五点取法是设，由取0、、、、来求相应的值及对应的值，再描点作图；‎ ‎②由的图象变换出 的图象一般先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现，无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少；‎ ‎③此处的难点是函数图象的平移，可以选择画出图象后观察；也可以直接由函数式子利用特殊位置点（如：首点、波峰、波谷等）的坐标判定，但其前提是两个函数的名称以及的系数是相同的.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】由的图象得到的图象需要向 平移 个单位.‎ ‎【答案】左，；‎ ‎【解析】∵，‎ ‎∴由的图象得到的图象需要向左平移个单位.‎ ‎【变式2】试述如何由的图象得到的图象.‎ ‎【解析】‎ 方法一： ‎ ‎ .‎ 方法二： ‎ ‎.‎ ‎【变式3】将函数的图象按向量平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C；把点代入选项即得。‎ ‎【例10】求下列函数的值域.‎ ‎（1）；（2）；（3）‎ ‎【思路点拨】三角式确定的函数求解值域.一般可从两个途径入手.一是将三角式化为一个三角函数的形式，从而利用三角函数性质求解值域，二是将三角式化为相同形，通过换元转化为代数函数求解值域.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)，‎ ‎ ∵， ∴ .‎ 由正弦函数图象可知：‎ 当即时，；当即时，.‎ 所以函数值域为.‎ ‎(2) 由去分母得：, ‎ 移项整理，‎ 由辅助角公式得：（）‎ ‎∴,‎ ‎∵, ∴, 即.‎ 平方整理得:, 解出：，‎ 所以函数值域为.‎ ‎（3）由得 ‎ ∴‎ ‎ 令，则 ‎ ∴, ‎ 当时，， 当时，.‎ 所以函数值域为.‎ 举一反三 ‎【变式1】设关于的函数的最小值为，试确定满足的的值，并对此时的值求的最大值。‎ ‎【答案】令，，‎ 则，‎ 开口向上，对称轴，‎ 当，即时，函数在上递增，； ‎ 当，即时，函数在上递减，，得与矛盾；‎ 当，即时，，解得或（舍），‎ ‎∴，此时.‎ ‎【变式2】已知函数的定义域为，值域为，求常数、的值．‎ ‎【答案】‎ ‎∵， ∴‎ ‎（1）若，不符合题意.‎ ‎（2）若，有时，；时，∴，.‎ ‎（3）若，有时，；时，∴，.‎ 故，或，.‎ 类型五、函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的综合应用 ‎【例11】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中A>0,ω>0,0<φ<)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M(,-2).‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)当x∈［,］时，求f(x)的值域.‎ ‎【思路点拨】由与x轴的交点中相邻两交点的距离为可得，从而得T=π，即可得ω.由图象最低点得A及 的值，从而得函数f(x)的解析式，进而得f(x)的值域.‎ ‎【解析】(1)由最低点为M(,-2),得A=2.由x轴上相邻两个交点之间的距离为,得,即T=π,∴ω==2.由点M(,-2)在图象上得2sin(2×+φ)=-2,即sin(+φ)=-1,‎ 故 ‎（2）‎ 当2x+= ,即x=时，f(x)取得最大值2;‎ 当2x+=,即x=时,f(x)取得最小值-1,故f(x)的值域为［-1,2］.‎ ‎【总结升华】确定+b的解析式的步骤：‎ ‎（1）求A，b确定函数的最大值M和最小值m，则A=，b=。‎ ‎（2）求ω，确定函数的周期T，则；‎ ‎（3）求，常用方法有：‎ ⅰ、代入法：把图象上的一个已知点代入（此时，A、ω、b已知）或代入图象与直线y=b的交点求解。（此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上）；‎ ⅱ、五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的第一零点（，0）作为突破口。具体如下：‎ 第一点（即图象上升时与x轴的交点）为；第二点（即图象的“峰点”）为；第三点（即图象下降时与x轴的交点）为；第四点（即图象的“谷点”）为；第五点为 举一反三：‎ ‎【变式1】把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【解析】‎ y=，故选（C）。‎ ‎【变式2】在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是( 　 )‎ ‎（A）0 （B）1 （C）2 （D）4‎ ‎【解析】原函数可化为：‎ ‎ =作出原函数图像，‎ 截取部分，其与直线的交点个数是2个 ‎【例12】已知函数 ‎（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；‎ ‎（2）函数的图象经过怎样的变换可以得到的图象？‎ ‎ 【思路点拨】根据倍角公式将函数解析式化为一般要转化为y=Asin(ωx+)+k的形式求解。‎ ‎【解析】(1)‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎ = ‎ ‎ 最小正周期 ‎ ‎ 单调递增区间 ，‎ ‎ (2) 向左平移个单位；向下平移个单位 ‎ ‎【总结升华】‎ 解析式与三角函数有关的函数若求函数的周期、单调区间、对称轴、值域等问题时，一般要转化为y=Asin(ωx+)+k的形式。‎ 举一反三：‎ ‎【变式1高清视频三角函数的概念、图象和性质例4 ID: 368995】‎ 已知函数。‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期：‎ ‎（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值。‎ ‎【解析】（Ⅰ）因为 所以的最小正周期.‎ ‎（Ⅱ）因为 于是，当时，取得最大值2；‎ 当取得最小值—1．‎ ‎【变式2】已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期和单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）求在区间上的最大值与最小值．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由已知可得 ‎ ‎ ‎． ‎ ‎ 的最小正周期是． ‎ ‎ 由， ‎ ‎ 得 ‎ 所以函数的单调递增区间为． ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）．‎ 因为，所以 ，‎ ‎ 当时，即时，取得最大值 ‎【例13】已知方程.‎ ‎（1）若方程在上有实根，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若方程在上有两个相异实根，求实数m的取值范围.‎ ‎【思路点拨】求解三角方程是个较困难的问题，但仅考察三角方程在所给区间上解的个数，就可以联系函数的图象求解，或者把变量单独放在一边，考察另一边的取值范围。‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题意得即，‎ 若要方程在上有实根，等价于以为定义域而求解函数值的取值范围.‎ ‎∵， ∴,‎ 当即时，；当，即时，.‎ ‎∴.‎ ‎（2）由，若在上有两个相异实根，‎ 即函数在上与直线有两个不同的交点，如图.‎ 故当时，方程有两个相异实根.‎ ‎【总结升华】‎ ‎①本题是通过函数图象交点个数判断方程实数解的方法，应重视这种数形结合的方法。‎ ‎②把变量分离，单独放在一边也是处理变量的一个技巧。‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】已知方程有解，求实数的取值范围。‎ ‎【答案】由原方程得到，‎ 令，则有最大最小值，‎ 只要在这个范围内，原方程就有解，‎ 故时，原方程有解。‎ ‎【变式2】已知，求使成立的实数的取值范围。‎ ‎【答案】原式变形为：‎ 当即时，不论取何值，原式成立，即.‎ 当即时，，∴原式等价于 令，则要使成立，只要即可。‎ 又 ‎∵，∴，∴‎ ‎∵ 在即时取最小值3，‎ ‎∴，即，‎ 所以当时，m取任意实数，原式都成立，‎ 当时 ，原式都成立。‎