2020版高考数学二轮复习 第一部分 方法、思想解读 专题对点练4 从审题中寻找解题思路 文
专题对点练4 从审题中寻找解题思路
一、选择题
1.已知方程=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )
A.(-1,3) B.(-1,) C.(0,3) D.(0,)
2.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
3.已知F1,F2是双曲线C:=1(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2最小的内角为30°,则双曲线C的渐近线方程是( )
A.x±y=0 B.x±y=0
C.x±2y=0 D.2x±y=0
4.已知双曲线C:x2-=1,过点P(1,1)作直线l,使l与C有且只有一个公共点,则满足上述条件的直线l的条数共有( )
A.3 B.2 C.1 D.4
5.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,其中b>a,且对任意x∈R都有f(x)≥0,则M=的最小值为( )
A. B. C. D.
6.(2018河北一模)设双曲线=1(0
0,解得-1|PF2|,则根据双曲线的定义得,|PF1|-|PF2|=2a,
又|PF1|+|PF2|=6a,
解得|PF1|=4a,|PF2|=2a.
在△PF1F2中,| F1F2|=2c,
而c>a,所以有|PF2|<|F1F2|,
所以∠PF1F2=30°,所以(2a)2=(2c)2+(4a)2-2·2c·4acos 30°,得c=a,
所以b=a,
所以双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,即x±y=0.
4.D 解析 当直线l斜率存在时,令l:y-1=k(x-1),
代入x2-=1中整理有(4-k2)x2+2k·(k-1)x-k2+2k-5=0.当4-k2=0,即k=±2时,l和双曲线的渐近线平行,有一个公共点.
当k≠±2时,由Δ=0,解得k=,即k=时,有一个切点.
直线l斜率不存在时,x=1也和曲线C有一个切点.
综上,共有4条满足条件的直线.
5.D 解析 由题意得a>0,b2-4ac≤0,即c≥,则M=.
令=t,则t>1,于是M≥(t-1)+,
当且仅当t-1=,即b=(1+)a, c=a时等号成立.
所以M=的最小值为.
6.A 解析 ∵直线l过(a,0),(0,b)两点,
∴直线l的方程为=1,
即bx+ay-ab=0.
又原点到直线l的距离为c,
∴c,即c2,
又c2=a2+b2,∴a2(c2-a2)=c4,
即c4-a2c2+a4=0,
化简得(e2-4)(3e2-4)=0,
∴e2=4或e2=.
又∵02,
∴e2=4,即e=2,故选A.
7.2 解析 (法一)因为bcos C+ccos B=2b,所以b·+c·=2b,化简可得=2.
(法二)因为bcos C+ccos B=2b,
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所以sin Bcos C+sin Ccos B=2sin B,
故sin(B+C)=2sin B,故sin A=2sin B,则a=2b,即=2.
8.(1)82 (2)5 解析 (1)a9,9表示第9行第9列,第1行的公差为1,第2行的公差为2,……第9行的公差为9,第9行的首项b1=10,则b9=10+8×9=82.
(2)第1行数组成的数列a1,j(j=1,2,…)是以2为首项,公差为1的等差数列,所以a1,j=2+(j-1)·1=j+1;第i行数组成的数列ai,j(j=1,2,…)是以i+1为首项,公差为i的等差数列,所以ai,j=(i+1)+(j-1)i=ij+1,由题意得ai,j=ij+1=82,即ij=81,且i,j∈N*,所以81=81×1=27×3=9×9=1×81=3×27,故表格中82共出现5次.
9.(2) 解析 因为b是和2的等比中项,所以b==1.
因为c是1和5的等差中项,
所以c==3.
又因为△ABC为锐角三角形,
①当a为最大边时,有
解得3≤a<;
②当c为最大边时,有
解得20,
所以f(x)在(0,+∞)内单调递增.
若a>0,则当x∈时,f'(x)>0;当x∈时,f'(x)<0.
所以f(x)在内单调递增,在内单调递减.
(2)由(1)知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上无最大值;
当a>0时,f(x)在x=处取得最大值,最大值为
f=ln+a=-ln a+a-1.
因此f>2a-2等价于ln a+a-1<0.
令g(a)=ln a+a-1,则g(a)在(0,+∞)内单调递增,
g(1)=0.于是,当01时,g(a)>0.
因此,a的取值范围是(0,1).
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