备战高考数学优质试卷分项版第02期专题06数列不等式文

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备战高考数学优质试卷分项版第02期专题06数列不等式文

‎【2019最新】精选备战高考数学优质试卷分项版第02期专题06数列不等式文 一、选择题 ‎1.【2018黑龙江佳木斯一中调研】等比数列中, , ,则( )‎ A. 8 B. 9 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎2.【2018湖北咸宁】在公比为整数的等比数列中, , ,则的前5项和为( )‎ A. 10 B. C. 11 D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】, ,‎ ‎,即 解得或舍去,则 故选 ‎3.【2018湖北八校联考】已知数列满足(),将数列中的整数项按原来的顺序组成新数列,则的末位数字为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由(),可得此数列为: , 的整数项为,∴数列的各项依次为:‎ 20 / 20‎ ‎ ,末位数字分别是,∵,故的末位数字为2,故选B.‎ 点睛:本题考查了递推式的应用、观察分析猜想归纳数列通项公式、等差数列的通项公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题;由通项公式可得数列的前几项,故而可求出数列的前几项,由此可观察出数列为以4为周期的周期数列,从而可求出结果.‎ ‎4.【2018湖北八校联考】已知正项等比数列的前项和为,且,与的等差中项为,则(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎5.【2018湖北咸宁重点高中联考】等差数列的前项和为,若, ,则的公差为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】,‎ 本题选择C选项. ‎ ‎6.【2018华大新高考联盟质检】在等比数列中,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 20 / 20‎ ‎7.【2018河南中原名校联考】设是等比数列的前项和,若,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设等比数列首项为,公比为, ,,则,, ,,选D. ‎ ‎8.【2018豫西南高中联考】已知正项等比数列的公比为2,若,则的最小值等于( )‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】正项等比数列, ,故得到, ‎ 故结果为C。‎ ‎9.【2018湖北重点高中联考】已知数列满足, ,则数列的前40项的和为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 20 / 20‎ 点睛:这个题目考查的是数列的求和问题。首先数列求和选用的方法有,裂项求和,主要用于分式能够通过写成两项相减的形式从而消掉中间的项;分组求和,用于相邻两项之和是定值,或者有规律的;错位相减求和,用于一个等差一个等比乘在一起求和的数列。‎ ‎10.【2018山东德州联考】在等差数列{an}中,a1>0,a2012+a2013>0,a2012•a2013<0,则使Sn>0成立的最大自然数n是(  )‎ A. 4025 B. 4024 C. 4023 D. 4022‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵为等差数列, ,a2012+a2013>0,a2012•a2013<0‎ ‎∴, ‎ ‎∴‎ ‎∵, ‎ ‎∴‎ ‎∵, ‎ ‎∴‎ ‎∴使Sn>0成立的最大自然数n是4024,故选B.‎ ‎11.【2018湖南株洲两校联考】数列的前2017项的和为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 点睛:此题考查了数列求和的方法,在分式中求和,常用的方法就是裂项法;裂项求和所满足的特点是:分母能够因式分解,分解后的因式相减后是分子的常数倍,这样通常情况下可以考虑这种方法。‎ ‎12.【2018河北衡水武邑中学调研】己知数列与的前项和分别为、,‎ 20 / 20‎ ‎ ,且,若恒成立,则的最小值是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】当时,,解得或,由得,由,得,两式相减得,,,即数列是以为首项,为公差的等差数列,,,,要使恒成立,只需,即的最小值是,故选B. ‎ ‎【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很难找到裂项的方向,突破这一难点的方法是根据式子的结构特点,掌握一些常见的裂项技巧:①;‎ ‎② ;③;‎ ‎④ ;此外,一些有关三角函数、等比数列的求和题型,也可以利用裂项相消法求解.‎ ‎13.【2018山西两校联考】等差数列的前项和为,若,则( )‎ A. 18 B. 27 C. 36 D. 45‎ ‎【答案】B 20 / 20‎ ‎【解析】根据等差数列的性质, ,而,所以, ,故选B.‎ ‎14.【2018河南天一联考】已知数列满足,,其前项和为,则下列说法正确的个数为( )‎ ‎①数列是等差数列;②;③.‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎15.【2018贵州黔东南州联考】已知等差数列的前3项依次为,前项和为,且,则的值为( )‎ A. 9 B. 11 C. 10 D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】由成等差数列得: ,解得,所以,所以,解得,故选C.‎ ‎16.【2018安徽五校联考】在关于的不等式的解集中至多包含个整数,则的取值范围是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 点睛:本题主要考查了不等式解集中整数解的存在性问题,其中解答中涉及到一元二次不等式的求解,元素与集合的关系等知识点的综合应用,试题比较基础,属于基础题,同时着重考查了分类讨论思想的应用,解答中正确求解不等式的解集是解答的关键.‎ 20 / 20‎ ‎17.【2018安徽五校联考】已知正项等比数列满足,若存在两项使得,则的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 因为正项等比数列满足,所以,‎ 即,解得,‎ 因为存在两项使得,所以,‎ 整理,得,所以,‎ 所以,‎ 当且仅当时,即等号成立,故选B.‎ ‎18.【2018黑龙江齐齐哈尔八中二模】已知变量满足则的最大值为( )‎ A. B. C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】作出可行域,如图中阴影部分所示, 代表点和可行域中的点连成的直线斜率,结合图形易知当时,斜率最大,最大值为2. ‎ 本题选择C选项.‎ ‎19.【2018衡水联考】若实数, 满足不等式组则的最大值为( )‎ A. 12 B. 10 C. 7 D. 1‎ 20 / 20‎ ‎【答案】B 点睛:本题考查的是线性规划问题,解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化,即数形结合思想.需要注意的是:一,准确无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎20.【2018黑龙江齐齐哈尔一模】设,若恒成立,则的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由于,则= ‎ 当2m=1-2m即m=时取等号;‎ 所以恒成立,转化为的最小值大于等于,即 ‎ 故选D ‎ ‎21.【2018北京大兴联考】若满足且有最大值,则的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎22.【2018黑龙江海林朝鲜中学联考】已知实数,‎ 20 / 20‎ ‎ 满足若目标函数的最小值的7倍与的最大值相等,则实数的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 二、填空题 ‎23.【2018安徽五校联考】对于数列,定义数列为数列的“倍差数列”,若的“倍差数列”的通项公式为,则数列的前项和__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 由题意得,可得,且,‎ ‎ 则,所以数列表示首项为,公差的等差数列,‎ ‎ 所以,所以,‎ ‎ 则 ‎ ‎ ,‎ ‎ 两式相减可得,‎ ‎ 解得. ‎ ‎24.【2018湖北咸宁联考】在数列中,且, ,则的通项公式为__________.‎ ‎【答案】‎ 20 / 20‎ 点睛:本题主要考查了由数列的递推式求数列的通项公式,以及运用了累加法对数列进行求和,属中档题。其解题的一般方法,对于形如求数列的通项公式,常用方法就是累加法,即将个等式相加即可得出数列的通项公式。‎ ‎25.【2018黑龙江齐齐哈尔八中三模】观察如下规律: , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,…,则该组数据的前项和为__________.(计算结果用带分数表示)‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意,分母为1的1个,分母为3的3个,分母为5的5个,···,‎ 所以,即,得最大的整数,‎ 此时共有1936项,还剩余81项,分母为89,‎ 所以前2017项的和为。‎ ‎26.【2018河南中原名校质检】已知数列满足, .记,则数列的前项和_______.‎ ‎【答案】‎ ‎27.【2018华大新高考联盟联考】设等差数列的前项和满足,则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为,‎ 20 / 20‎ 所以,从而.‎ ‎28.【2018黑龙江齐齐哈尔一模】已知数列的通项公式为(表示不超过的最大整数),为数列的前项和,若存在满足,则的值为__________.‎ ‎【答案】108‎ ‎【解析】,‎ 当时, ,显然不存在;‎ 当时, ,显然不存在;‎ 当时, ,解得:k=108‎ 故答案为:108‎ ‎29.【2018安徽十大名校联考】在数列中, , .记是数列的前项和,则的值为__________.‎ ‎【答案】130‎ ‎【解析】 由题意知,当为奇数时, ,又,所以数列中的偶数项是以为首项, 为公差的等差数列,所以;‎ 当为偶数时, ,又,所以数列中的相邻的两个奇数项之和均等于,所以,‎ 所以.‎ 20 / 20‎ 点睛:本题主要考查了数列求和问题,其中解答中涉及到等差数列的判定、等差数列的前项和公式,以及数列的并项求和等知识点的综合应用,解答中根据题意,合理根据为奇数和为偶数分成两个数列求解是解答的关键,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,试题有一定的难度,属于中档试题.‎ ‎30.【2018河南漯河中学三模】已知等差数列的前项和为,若,则取最大值的是__________.‎ ‎【答案】9‎ ‎31.【2018江西宜春六校联考】已知等差数列的公差,且, , 成等比数列,若, 为数列的前项和,则的最小值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由于, , 成等比数列,所以,即,解得所以.‎ 三、解答题 ‎32.【2018安徽五校联考】已知等比数列的所有项均为正数,首项,且成等差数列.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)记,数列的前项和,若,求实数的值.‎ ‎【答案】(1) .(2).‎ 试题解析:‎ 20 / 20‎ ‎(1)设数列的公比为,‎ 由条件可知成等差数列,‎ 所以,解得或,‎ 因为,所以,所以数列的通项公式为 .‎ ‎(2)由(1)知, ,‎ 因为,所以,‎ 所以,所以.‎ 点睛:本题主要考查了等比数列的通项公式和数列中和的关系的应用,其中解答中涉及到等比数列中基本量的运算,以及数列和的关系求解数列的通项等知识点综合应用,试题有一定的综合性,属于中档试题,解答中注意数列和的关系的应用是解答的关键.‎ ‎33.【2018安徽五校联考】是等差数列的前项和,且.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)设数列的前项和,求.‎ ‎【答案】(1) .(2).‎ 试题解析:‎ 设等差数列的首项为,公差为,因为,‎ 所以,得,‎ 所以数列的通项公式为.‎ ‎(2)因为, ,所以,‎ 20 / 20‎ 所以,‎ 所以.‎ ‎34.【2018湖南五市十校联考】已知等差数列中, .‎ ‎(1)求的通项公式;‎ ‎(2)设数列的前项和为,求证: .‎ ‎【答案】(1);(2)见解析.‎ ‎【解析】试题分析:(1)由即可求公差,进而得通项公式;‎ ‎(2)由,利用裂项求和即可得,令,由函数的图象关于点对称及其单调性可得,进而得证.‎ 试题解析:‎ ‎(2)由(1)知, ,‎ ‎∴ ,‎ 令,由函数的图象关于点对称及其单调性知,‎ ‎, ,∴,‎ ‎∴.‎ 点睛:裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式,然后通过累加抵消中间若干项的方法,裂项相消法适用于形如 20 / 20‎ ‎ (其中是各项均不为零的等差数列,c为常数)的数列. 裂项相消法求和,常见的有相邻两项的裂项求和(如本例),还有一类隔一项的裂项求和,如或.‎ ‎35.【2018湖北咸宁重点高中联考】已知数列中, , .‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)若,求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】试题分析:‎ 试题解析:‎ ‎(1)由可得,‎ 又由,∴是公差为2的等差数列,‎ 又,∴,∴.‎ ‎(2) ,‎ ‎ .‎ 点睛:使用裂项法求和时,要注意正负项相消时消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点,实质上造成正负相消是此法的根源与目的.‎ ‎36.【2018黑龙江齐齐哈尔八中三模】已知正项等比数列的前项和为,且, .‎ 20 / 20‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】试题分析:(1)由,所以, ,故,写出通项公式;(2)错位相减法的步骤求得,由求得。‎ 试题解析:‎ ‎(1)因为, ,所以或(舍去).‎ 又,故,‎ 所以数列的通项公式为.‎ ‎(2)由(Ⅰ)知,∴,①‎ ‎∴,②‎ ‎②①得,∴.‎ ‎37.【2018辽宁鞍山一中二模】已知数列的前项和为,且.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎(2)由(1)得到数列的通项公式,采用乘公比错位相减法求解数列的和.‎ 试题解析:‎ 20 / 20‎ ‎(1)当时, ,即,解得.‎ 当时, ,‎ 即,所以数列是首项为2,公比为2的等比数列.‎ 所以.‎ ‎(2)因为,‎ 所以 ‎ ‎ .‎ ‎38.【2018河南中原名校联考】为数列的前项和,已知,.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)设,记数列的前项和为,求证:.‎ ‎【答案】(1);(2)见解析.‎ 试题解析:‎ ‎(1) ,‎ 两式作差得: ‎ ‎ , 成等差数列 又当时, . ‎ ‎(2)由可知 则 故.‎ 20 / 20‎ ‎【点睛】当数列提供与之间的递推关系时,常规方法是把原式中的n替换为n+1得到另一个式子,然后两式作差,从而把与的关系转化为 与的关系,然后在求通项公式,第二步为数列求和问题,常规方法有倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法.‎ ‎39.【2018安徽十大名校联考】已知数列满足: .‎ ‎(1)证明:数列是等比数列;‎ ‎(2)设,求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)‎ 试题解析:‎ ‎(1)∵,∴,∴,则数列是以1为首项,2为公比的等比数列. ‎ ‎(2)由(1)知, ,∴,∴.‎ ‎∴,‎ ‎,‎ ‎∴‎ ‎,∴.‎ ‎40.【2018江苏常州××区联考】已知数列中, ,前项和满足().‎ ‎⑴ 求数列的通项公式;‎ ‎⑵ 记,求数列的前项和;‎ ‎⑶ 是否存在整数对(其中,‎ 20 / 20‎ ‎ )满足?若存在,求出所有的满足题意的整数对;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(1) ;(2) ;(3) , , .‎ ‎【解析】试题分析: 当时,可得(),而当时,‎ ‎(),可得到数列是首项为,公比也为的等比数列,从而可求数列的通项公式;‎ 由知,代入,对通项公式进行裂项,即可求得数列的前项和;‎ 要求出所有的满足题意的整数对,根据题目意思表达出关于的表达式,‎ 然后进行讨论。‎ 解析:⑴ 当时, 与相减,‎ 得,即(), ‎ 在中,令可得, ,即; ‎ 故(),‎ 故数列是首项为,公比也为的等比数列,其通项公式为;‎ ‎⑵由⑴ 知, ‎ ‎, ‎ 则. ‎ ‎⑶,即,‎ 20 / 20‎ 即, ‎ 若存在整数对,则必须是整数,其中只能是的因数,‎ 可得时, ; 时, ; 时, ; ‎ 综上所有的满足题意得整数对为, , . ‎ 20 / 20‎
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