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文档介绍
2011高考新课标全国卷理科数学分类汇编
2011—2017年新课标全国卷理科数学【2018年】 数学 （2011—2017） 真 题 分 类 汇 编 班级： 姓名： 砚山县第二高级中学 王永富 74 目 录 1、集合与常用逻辑用语……………………………………………………………………1 2、函数及其性质……………………………………………………………………………2 3、导数及其应用………………………………………………………………………………4 4、三角函数、解三角形……………………………………………………………………11 5、平面向量……………………………………………………………………………………16 6、数列……………………………………………………………………………………………17 7、不等式、线性规划、推理与证明……………………………………………………20 8、立体几何……………………………………………………………………………………22 9、解析几何……………………………………………………………………………………30 10、统计、概率分布、计数原理…………………………………………………………40 11、复数及其运算………………………………………………………………………………55 12、程序框图……………………………………………………………………………………57 13、坐标系与参数方程………………………………………………………………………60 14、不等式选讲…………………………………………………………………………………66 74 1．集合与常用逻辑用语 一、选择题 【2017，1】已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【2016，1】设集合，，则（ ） A． B． C． D． 【2015，3】设命题：，，则为（ ） A．， B．， C．， D．， 【2014，1】已知集合A={|}，B=，则=( ) ．[-2,-1] ．[-1,2） ．[-1,1] ．[1,2） 【2013，1】已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－＜x＜}，则( ) A．A∩B＝ B．A∪B＝R C．BA D．AB 【2012，1】已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（，）|，，}，则B中包含元素的个数为（ ） A．3 B．6 C．8 D．10 （2017·2）设集合，．若，则（ ） A． B． C． D． （2016·2）已知集合A={1，2，3}，B={x|(x+1)(x-2)<0，x∈Z}，则（ ） A．{1} B．{1，2} C．{0，1，2，3} D．{-1，0，1，2，3} （2015·1）已知集合A={-2，-1，0，2}，B={x|(x-1)(x+2)<0}，则A∩B =（ ） A．{-1，0} B．{0，1} C．{-1，0，1} D．{0，1，2} （2014·1）设集合M={0, 1, 2}，N=，则=（ ） A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2} （2013·1）已知集合M={x|(x-1)2 < 4, x∈R}，N={-1，0，1，2，3}，则M ∩ N =（ ） A.{0, 1, 2} B.{-1, 0, 1, 2} C.{-1, 0, 2, 3} D.{0, 1, 2, 3} 74 （2012·1）已知集合A={1, 2, 3, 4, 5}，B={(x,y)| x∈A, y∈A, x-y∈A}，则B中所含元素的个数为（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 10 （2011·10）已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题中真命题是（ ） A． P1，P4 B．P1，P3 C．P2，P3 D．P2，P4 2．函数及其性质 一、选择题 【2017，5】函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【2017，11】设为正数，且，则（ ） A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z 【2016，7】函数在的图像大致为（ ） A． B． C． D． 【2016，8】若，，则（ ） A． B． C． D． 【2014，3】设函数，的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（ ） 74 ．是偶函数 ．||是奇函数 ．||是奇函数 ．||是奇函数 【2013，11】已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是( ) A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2,1] D．[－2,0] 【2012，10】已知函数，则的图像大致为（ ） x y O 1 1 A． 1 y x O 1 x y O 1 1 1 x y 1 O B． C． D． 【2011，12】函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【2011，2】下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ） A． B． C． D． 【2015，13】若函数f(x)=xln（x+）为偶函数，则a= （2016·12）已知函数满足，若函数与图像的交点为，，…，，则 （ ） A．0 B．m C．2m D．4m （2013·8）设，，，则（ ） A. B. C. D. （2013·10）已知函数，下列结论中错误的是（ ） A. 74 B.函数的图像是中心对称图形 C.若是的极小值点，则在区间单调递减 D.若是的极值点，则 （2011·2）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ） A． B． C． D． （2014·15）已知偶函数f (x)在[0, +∞)单调递减，f (2)=0. 若f (x-1)>0，则x的取值范围是_________. 3．导数及其应用 一、选择题 【2014，11】已知函数=，若存在唯一的零点，且＞0，则的取值范围为 ．（2，+∞） ．（-∞，-2） ．（1，+∞） ．（-∞，-1） 【2012，12】设点P在曲线上，点Q在曲线上，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【2011，9】由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为（ ） A． B．4 C． D．6 二、填空题 【2017，16】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC， CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC．的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______． 【2013，16】若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为__________． （2017·11）若是函数的极值点，则的极小值为（ ） A. B. C. D.1 74 （2016·12）已知函数满足，若函数与图像的交点为，，…，，则 （ ） A．0 B．m C．2m D．4m （2015·5）设函数，则（ ） A．3 B．6 C．9 D．12 （2015·10）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x. 将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）的图像大致为 （ ） A． B． C． D． （2015·12）设函数是奇函数的导函数，，当x>0时，，则使得f (x) >0成立的x的取值范围是（ ） A． B． C． D． （2014·8）设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 （2014·12）设函数，若存在的极值点满足，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． （2013·8）设，，，则（ ） A. B. C. D. （2012·12）设点P在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 74 （2011·2）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ） A． B． C． D． （2011·9）由曲线，直线及y轴所围成的图形的面积为（ ） A． B．4 C． D．6 （2011·12）函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 （2014·15）已知偶函数f (x)在[0, +∞)单调递减，f (2)=0. 若f (x-1)>0，则x的取值范围是_________. （2016·16）若直线y = kx+b是曲线y = lnx+2的切线，也是曲线y = ln(x+1)的切线，则b = . 三、解答题 【2017，12】已知函数． （1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围． 【2016，12】已知函数有两个零点． （Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）设是的两个零点，证明：． 74 【2015，12】已知函数，． （Ⅰ）当为何值时，轴为曲线的切线； （Ⅱ）用表示中的最小值，设函数（），讨论零点的个数． 【2014，21】设函数，曲线在点（1，处的切线为． (Ⅰ)求； （Ⅱ）证明：． 【2013，21】设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2． (1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围． 74 【2012，21】已知函数满足． （1）求的解析式及单调区间；（2）若，求的最大值． 【2011，21】已知函数，曲线在点处的切线方程为． （Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围． 三、解答题 （2017·21）已知函数且. （1）求a； 74 （2）证明：存在唯一的极大值点，且. （2016·21）（Ⅰ）讨论函数 的单调性，并证明当>0时，； （Ⅱ）证明：当时，函数有最小值.设g (x)的最小值为，求函数的值域. 14．（2015·21）设函数. （Ⅰ）证明：f (x)在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增； （Ⅱ）若对于任意x1,，x2∈[-1，1]，都有｜f (x1)- f (x2)｜≤ e-1，求m的取值范围． 15．（2014·21）已知函数. （Ⅰ）讨论的单调性； 74 （Ⅱ）设，当时，，求的最大值； （Ⅲ）已知，估计ln2的近似值（精确到0.001）. 16．（2013·21）已知函数. （Ⅰ）设是的极值点，求，并讨论的单调性； （Ⅱ）当时，证明. 17.（2012·21）已知函数. （Ⅰ）求的解析式及单调区间； （Ⅱ）若，求的最大值. 18．（2011·21）已知函数，曲线在点处的切线方程为. （Ⅰ）求a、b的值； （Ⅱ）如果当，且时，，求k的取值范围. 74 6．二项式定理 一、选择题 （2013·5）已知的展开式中的系数为5，则（ ） A. B. C. D. （2011·8）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ） A．- 40 B．- 20 C．20 D．40 （2015·15）的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a =_______． （2014·13）的展开式中，的系数为15，则a =________. 4．三角函数、解三角形 一、选择题 【2017，9】已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结正确的是（ ） A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 【2016，12】已知函数，为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为（ ） A．11 B．9 C．7 D．5 【2015，8】函数=的部分图象如图所示，则 74 的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【2015，2】（ ） A． B． C． D． 【2014，6】如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则=在[0,]上的图像大致为（ ） 【2014，8】设，，且，则（ ） ． ． ． ． 【2012，9】已知，函数在（，）上单调递减，则的取值范围是（ ） A．[，] B．[，] C．（0，] D．（0，2] 【2011，5】已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则= A． B． C． D． 【2011，11】设函数的最小正周期为， 且，则（ ） A．在单调递减 B．在单调递减 C．在单调递增 D．在单调递增 74 （2016·7）若将函数y=2sin 2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） A． B． C． D． （2016·9）若，则sin 2α =（ ） A． B． C． D． （2014·4）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（ ） A．5 B． C．2 D．1 二、填空题 【2015，16】在平面四边形中，，，则的取值范围是 ． 【2014，16】已知分别为的三个内角的对边，=2， 且，则面积的最大值为 ． 【2013，15】设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝__________． 【2011，16】在中，，则的最大值为 ． （2017·14）函数（）的最大值是 ． （2016·13）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，a = 1，则b = . （2014·14）函数的最大值为_________. （2013·15）设为第二象限角，若，则_________. 三、解答题 【2017，17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为 （1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长 74 【2016，17】的内角的对边分别为，已知． （Ⅰ）求；（Ⅱ）若，的面积为，求的周长． 【2013，17】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°． (1)若PB＝，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA． 【2012，17】已知，，分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，． （1）求A；（2）若，△ABC的面积为，求，． 74 （2017·17）的内角的对边分别为 ,已知． （1）求； （2）若 , 面积为2，求． （2015·17）在∆ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，∆ABD面积是∆ADC面积的2倍． （Ⅰ）求 ； （Ⅱ） 若AD=1，DC= ，求BD和AC的长． （2013·17）在△ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB. （Ⅰ）求B； （Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值. （2012·17）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，. （Ⅰ）求A； （Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为，求b，c. 74 74 5．平面向量 一、选择题 【2015，7】设为所在平面内一点，则（ ） A． B． C． D． 【2011，10】已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题 其中的真命题是（ ） A． B． C． D． 【2017，13】已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2， | b |=1，则| a +2 b |= ． 【2016，13】设向量a，b，且abab，则 ． 【2014，15】已知A，B，C是圆O上的三点，若，则与的夹角为 ． 【2013，13】已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b．若b·c＝0，则t＝__________． 【2012，13】已知向量，夹角为45°，且，，则_________． （2017·12）已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. （2016·3）已知向量，且，则m =（ ） A．-8 B．-6 C．6 D．8 （2014·3）设向量满足，，则=（ ） A．1 B．2 C．3 D．5 （2015·13）设向量a，b不平行，向量与平行，则实数= ____________． （2013·13）已知正方形的边长为2，为的中点，则_______. 74 （2012·13）已知向量a，b夹角为45º，且，，则 . 6．数列 一、选择题 【2017，4】记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 【2017，12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ） A．440 B．330 C．220 D．110 【2016，3】已知等差数列前项的和为，，则（ ） A． B． C． D． 【2013，7】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝( )． A．3 B．4 C．5 D．6 【2013，12】设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n＝1,2,3，….若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝，cn＋1＝，则( )． A．{Sn}为递减数列 B．{Sn}为递增数列 C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列 【2013，14】若数列{an}的前n项和，则{an}的通项公式是an＝__________． 【2012，5】已知{}为等比数列，，，则（ ） A．7 B．5 C．－5 D．－7 （2017·3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 （2015·4）已知等比数列{an}满足a1=3，a1+ a3+ a5=21，则a3+ a5+ a7 =（ ） A．21 B．42 C．63 D．84 （2013·3）等比数列的前项和为，已知，，则（ ） A. B. C. D. 74 （2012·5）已知{an}为等比数列，a4 + a7 = 2，a5 a6 = 8，则a1 + a10 =（ ） A. 7 B. 5 C. -5 D. -7 （2017·15）等差数列的前项和为，，，则 ． （2015·16）设Sn是数列{an}的前项和，且，，则Sn=________________． （2013·16）等差数列的前项和为，已知，，则的最小值为____. （2012·16）数列满足，则的前60项和为 . 二、填空题 【2016，15】设等比数列满足，，则的最大值为 ． 【2012，16】数列{}满足，则{}的前60项和为__________． 三、解答题 【2015，17】为数列的前项和．已知＞0，． （Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和． 【2014，17】已知数列{}的前项和为，=1，，，其中为常数． (Ⅰ)证明：；（Ⅱ）是否存在，使得{}为等差数列？并说明理由． 74 【2011，17】等比数列的各项均为正数，且 （Ⅰ)求数列的通项公式；（Ⅱ）设 求数列的前n项和． （2016·17）（满分12分）Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S7=28. 记bn=[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1. （Ⅰ）求b1，b11，b101；（Ⅱ）求数列{bn}的前1 000项和. （2014·17）已知数列{an}满足a1 =1，an+1 =3 an +1. （Ⅰ）证明是等比数列，并求{an}的通项公式； （Ⅱ）证明：. 74 （2011·17）等比数列的各项均为正数，且 （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，求数列的前n项和. 7．不等式、线性规划、推理与证明 一、选择题 【2014，9）】不等式组的解集记为．有下面四个命题： ：；：； ：； ：． 其中真命题是（ ） ．， ．， ．， ．， 【2017，14】设x，y满足约束条件，则的最小值为 ． 【2016，16】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1．5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0．5kg，乙材料0．3kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元． 【2015，15】若x,y满足约束条件，则的最大值为 ． 74 【2014，14】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市； 乙说：我没去过C城市； 丙说：我们三人去过同一个城市． 由此可判断乙去过的城市为 ． 【2012，14】设，满足约束条件，则的取值范围为___________． 【2011，13】若变量满足约束条件则的最小值为 ． （2017·5）设，满足约束条件，则的最小值是（ ） A． B． C． D． （2014·9）设x，y满足约束条件，则的最大值为（ ） A．10 B．8 C．3 D．2 （2013·9）已知，x，y满足约束条件，若的最小值为1，则a=（ ） A. B. C.1 D.2 二、填空题 （2015·14）若x，y满足约束条件，则的最大值为_______． （2014·14）设x，y满足约束条件，则的取值范围为 . 74 （2011·13）若变量x， y满足约束条件，则的最小值为 . 8．立体几何（含解析） 一、选择题 【2017，7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ） A．10 B．12 C．14 D．16 【2016，11】平面过正方体的顶点，平面， 平面 ，平面，则所成角的正弦值为 A． B． C． D． 【2016，6】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（ ） A． B． C． D． 【2015，6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1．62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ） A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛 【2015，11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示． 若该几何体的表面积为，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 【2015年，11题】 【2014年，12题】 【2013年，6题】 74 【2014，12】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（ ） ． ． ．6 ．4 【2013，6】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( ) A．cm3 B．cm3 C．cm3 D．cm3 【2013，8】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )． A．16＋8π B．8＋8π C．16＋16π D．8＋16π 【2013年，8】 【2012年，7】 【2011年，6】 【2012，7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ） A．6 B．9 C．12 D．15 【2012，11】已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 【2011，6】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（ ） 【2011，15】已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为 ． 74 （2017·4）如图，网格纸上小正方形的边长为1，学 科&网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ） A． B． C． D． （2017·10）已知直三棱柱中，，， ，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． （2016·6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） A．20π B．24π C．28π D．32π 2014，6 · 2015，6 2016，6 （2015·6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ） A． B． C． D． （2015·9）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90º，C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（ ） A．36π B．64π C．144π D．256π （2014·6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A． B． C． D． （2014·11）直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90º，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为（ ） A． B． C． D． （2013·4）已知为异面直线，平面，平面.直线满足，，，，则（ ） 74 A.α // β且l // α B.且 C.与相交，且交线垂直于 D.与相交，且交线平行于 （2013·7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以平面为投影面，则得到正视图可以为（ ） A. B. C. D. （2012·7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 （2012·11）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. （2011·6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（ ） A. B. C. D. （2016·14）α、β是两个平面，m、n是两条直线，有下列四个命题： （1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β. （2）如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n. （3）如果α∥β，mα，那么m∥β. （4）如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等. 其中正确的命题有 . (填写所有正确命题的编号.) （2011·15）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且，则棱锥O-ABCD的体积为 . 三、解答题 【2017，18】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且 （1）证明：平面PAB⊥平面PAD； （2）若PA=PD=AB=DC,,求二面角A-PB-C的余弦值． 74 【2016，18】 如图，在以为顶点的五面体中，面为正方形，，且二面角与二面角都是． （Ⅰ）证明：平面平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值． 【2015，18】如图，四边形为菱形，，是平面同一侧的两点，⊥平面，⊥平面，，． （I）证明：平面⊥平面； （II）求直线与直线所成角的余弦值． 【2014，19】如图三棱柱中，侧面为菱形，． 74 (Ⅰ) 证明：； （Ⅱ）若，，AB=BC，求二面角的余弦值． 【2013，18】如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°． (1)证明：AB⊥A1C； (2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值． 【2012，19】如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD． （1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1－BD－C1的大小． 74 【2011，18】如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD． (Ⅰ)证明：PA⊥BD；(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值． （2017·19）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，，， E是PD的中点. （1）证明：直线 平面PAB； （2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成锐角为 ，求二面角M-AB-D的余弦值 （2016·19）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=，EF交BD于点H. 将△DEF沿EF折到△D´EF的位置，. （Ⅰ）证明：平面ABCD； （Ⅱ）求二面角的正弦值. 74 （2015·19）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形. （Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）； （Ⅱ）求直线AF与平面所成角的正弦值. （2014·18）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点. （Ⅰ）证明：PB // 平面AEC； （Ⅱ）设二面角D-AE-C为60º，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积. （2013·18）如图，直三棱柱中，，分别是， 的中点，. （Ⅰ）证明：//平面； （Ⅱ）求二面角的正弦值. 74 C B A D C1 A1 B1 （2012·19）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD. （Ⅰ）证明：DC1⊥BC；（Ⅱ）求二面角A1-BD-C1的大小. （2011·18）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD. （Ⅰ）证明：PA⊥BD； （Ⅱ）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值. 9．解析几何 一、选择题 【2017，10】已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ） A．16 B．14 C．12 D．10 【2016，10】以抛物线的顶点为圆心的圆交于两点，交的准线于两点，已知,，则的焦点到准线的距离为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【2016，5】已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为，则的 取值范围是（ ） A． B． C． D． 【2015，5】已知是双曲线：上的一点，是的两个焦点，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【2014，4】已知是双曲线：的一个焦点，则点到 74 的一条渐近线的距离为 ． ．3 ． ． 【2014，10】已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则=（ ） ． ． ．3 ．2 【2013，4】已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为( )． A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝±x 【2013，10】已知椭圆E：(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( ) A． B． C． D． 【2012，4】设、是椭圆E：（）的左、右焦点，P为直线上一点， 是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ ） A． B． C． D． 【2012，8】等轴双曲线C的中心在原点，焦点在轴上，C与抛物线的准线交于A，B两点，，则C的实轴长为（ ） A． B． C．4 D．8 【2011，7】设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交于A ,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（ ） A． B． C．2 D．3 （2017·9）若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（ ） A．2 B． C． D． 74 （2016·4）圆的圆心到直线的距离为1，则a =（ ） A． B． C． D．2 （2016·11）已知F1，F2是双曲线E：的左，右焦点，点M在E上，M F1与x轴垂直，，则E的离心率为（ ） A． B． C． D．2 （2015·7）过三点A(1, 3)，B(4, 2)，C(1, -7)的圆交于y轴于M、N两点，则=（ ） A． B．8 C． D．10 （2015·11）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（ ） A． B．2 C． D． （2014·10）设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30º的直线交C于A, B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ） A． B． C． D． （2013·11）设抛物线的焦点为，点在上，，若以为直径的园过点，则的方程为（ ） A.或 B.或 C.或 D.或 （2013·12）已知点，，，直线将分割为面积相等的两部分，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. （2012·4）设F1，F2是椭圆E: 的左右焦点，P为直线上的一点，是底角为30º的等腰三角形，则E的离心率为（ ） A. B. C. D. （2012·8）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，|AB|=，则C的实轴长为（ ） A. B. C. 4 D. 8 （2011·7）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A, B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（ ） 74 A． B． C．2 D．3 二、填空题 【2017，15】已知双曲线C：（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为________． 【2015，14】一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 ． 【2011，14】在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为．过的直线L交C于两点，且的周长为16，那么的方程为 ． （2017·16）已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为 的中点，则 ． （2014·6）设点M(,1)，若在圆O:上存在点N，使得∠OMN=45º，则的取值范围是________. （2011·14）在平面直角坐标系xoy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为 . 三、解答题 【2017，20】已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1， ），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上． （1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点． 74 【2016，20】设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点． （Ⅰ）证明为定值，并写出点的轨迹方程； （Ⅱ）设点的轨迹为曲线，直线交于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围． 【2015，20】在直角坐标系中，曲线：与直线：（）交于两点． （Ⅰ）当时，分别求在点和处的切线方程； （Ⅱ）在轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由． 74 【2014，20】已知点（0，-2），椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点． (Ⅰ)求的方程；（Ⅱ）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程． 【2013，20】已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C． (1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|． 74 【2012，20】设抛物线C：（）的焦点为F，准线为，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交于B，D两点． （1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求的值及圆F的方程； （2）若A，B，F三点在同一直线上，直线与平行，且与C只有一个公共点，求坐标原点到，距离的比值． 【2011，20】在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足， ，M点的轨迹为曲线C． （Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值． 74 【2015，19】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：）和年利润（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值． 46．6 563 6．8 289．8 1．6 1469 108．8 表中， （Ⅰ）根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及数据，建立关于的回归方程； （III）已知这种产品的年利润与，的关系为，根据（Ⅱ）的结果回答下列问题： （i）年宣传费=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii）年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据，其回归直线 74 的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 74 （2017·20）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足. （1）求点P的轨迹方程； （2）设点Q在直线x=-3上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. （2016·20）已知椭圆E:的焦点在轴上，A是E的左顶点，斜率为k (k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA. （Ⅰ）当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积； （Ⅱ）当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围. （2015·20）已知椭圆C：(m＞0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M. （Ⅰ）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由． 74 （2014·20）设F1，F2分别是椭圆的左右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N. （Ⅰ）若直线MN的斜率为，求C的离心率； （Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a, b. （2013·20）平面直角坐标系中，过椭圆右焦点的直线交于两点，为的中点，且的斜率为. （Ⅰ）求的方程； （Ⅱ）为上的两点，若四边形的对角线，求四边形面积的最大值. （2012·20）设抛物线的焦点为F，准线为l，A为C上的一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点. （Ⅰ）若∠BFD=90º，△ABD面积为，求p的值及圆F的方程； （Ⅱ）若A、B、F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n的距离的比值. 74 （2011·20）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0, -1)，B点在直线y =-3上，M点满足 ， ，M点的轨迹为曲线C . （Ⅰ）求C的方程； （Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值 . 10．统计、概率分布列、计数原理（含解析） 一、选择题 【2017，2】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ） A． B． C． D． 【2017，6】展开式中的系数为（ ） A．15 B．20 C．30 D．35 【2016，4】某公司的班车在，，发车，小明在至之间到达发车站乘 坐班车，且到达发车丫的时候是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ） A． B． C． D． 【2015，10】的展开式中，的系数为（ ） A．10 B．20 C．30 D．60 【2015，4】投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0．6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ） A．0．648 B．0．432 C．0．36 D．0．312 【2014，5】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（ ） ． ． ． ． 74 【2013，3】为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( ) A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样 【2013，9】设m为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为．若13a＝7b，则m＝( ) A．5 B．6 C．7 D．8 【2012，2】将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ） A．12种 B．10种 C．9种 D．8种 【2011，8】的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ） A． B． C．20 D．40 【2011，4】有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ） A． B． C． D． （2017·6）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 （2016·5）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ） A．24 B．18 C．12 D．9 （2016·10）从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（ ） A． B． C． D． （2015·3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（ ） 74 A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著. B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效. C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势. D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关. （2014·5）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45 （2012·2）将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由一名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ） A. 12种 B. 10种 C. 9种 D. 8种 （2011·4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 【2016，14】的展开式中，的系数是 ．（用数字填写答案） 【2014，13】的展开式中的系数为 ．(用数字填写答案) 【2012，15】某一部件由三个电子元件按下图方式连接 而成，元件1或元件2正常工作，且元 件3正常工作，则部件正常工作．设三个 电子元件的使用寿命（单位：小时）均服 从正态分布N（1000，502），且各个元件 能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为_________． （2017·13）一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则 ． （2016·15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 . （2013·14）从个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5 74 的概率为，则n=______. 元件1 元件2 元件3 （2012·15）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作. 设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）服从正态分布N(1000，502)，且各元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 . 三、解答题 【2017，19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2)． （1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之外的零件数，求 P(X≥1)及X的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得，，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i=1,2,…,16． 用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0．01）． 附：若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ–3σ查看更多