高考数学一轮复习总教案181 绝对值型不等式

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高考数学一轮复习总教案181 绝对值型不等式

第十八章 不等式选讲 高考导航 考试要求 重难点击 命题展望 1.理解绝对值的几何意义,并能用它证明绝对值三 角不等式等较简单的不等式.①|a+b|≤|a|+|b|; ②|a-b|≤|a-c|+|c-b|. 2.能用绝对值的几何意义解几类简单的绝对值型不 等式,如|ax+b|≤c 或|ax+b|≥c,以及|x-a|+|x-b|≥c 或|x-a|+|x-b|≤c 类型. 3.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、 分析法、反证法和放缩法. 4.了解数学归纳法的原理及其使用范围,会用它证 明一些简单不等式及其他问题. 5.了解柯西不等式的几种不同形式:二维形式(a2+ b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2、向量形式|α|·|β|≥|α·β|、一般 形式        n i n i n i iiii baba 1 1 2 1 22 )( ≥ ,理解它们的几何意义. 掌握柯西不等式在证明不等式和求某些特殊类型的 函数极值中的应用. 6.了解排序不等式的推导及意义并能简单应用. 7.会用数学归纳法证明贝努利不等式: .)1,0,1>(>1)1( 的正整数为大于nxxnxx n  本章重点:不等 式的基本性质; 基 本 不 等 式 及 其应用、绝对值 型 不 等 式 的 解 法及其应用;用 比 较 法 、 分 析 法、综合法证明 不等式;柯西不 等式、排序不等 式及其应用. 本章难点:三个 正 数 的 算 术 — — 几 何 平 均 不 等式及其应用; 绝 对 值 不 等 式 的解法;用反证 法、放缩法证明 不等式;运用柯 西 不 等 式 和 排 序 不 等 式 证 明 不等式. 本专题在数学必修 5 “不等式”的基础上, 进一步学习一些重要 的不等式,如绝对值 不等式、柯西不等式、 排序不等式以及它们 的证明,同时了解证 明不等式的一些基本 方法,如比较法、综 合法、分析法、反证 法、放缩法、数学归 纳法等,会用绝对值 不等式、平均值不等 式、柯西不等式、排 序不等式等解决一些 简单问题.高考中,只 考 查 上 述 知 识 和 方 法,不对恒等变形的 难度和一些技巧作过 高的要求. 知识网络 18.1 绝对值型不等式 典例精析 题型一 解绝对值不等式 【例 1】设函数 f(x)=|x-1|+|x-2|. (1)解不等式 f(x)>3; (2)若 f(x)>a 对 x∈R 恒成立,求实数 a 的取值范围. 【解析】(1)因为 f(x)=|x-1|+|x-2|=     .2>3,-2 2,≤≤1,1 1,<,23 xx x xx 所以当 x<1 时,3-2x>3,解得 x<0; 当 1≤x≤2 时,f(x)>3 无解; 当 x>2 时,2x-3>3,解得 x>3. 所以不等式 f(x)>3 的解集为(-∞,0)∪(3,+∞). (2)因为 f(x)=     .2>3,-2 2,≤≤1,1 <1,,23 xx x xx 所以 f(x)min=1. 因为 f(x)>a 恒成立, 所以 a<1,即实数 a 的取值范围是(-∞,1). 【变式训练 1】设函数 f(x)= |x+1|+|x-2|+a. (1)当 a=-5 时,求函数 f(x)的定义域; (2)若函数 f(x)的定义域为 R,试求 a 的取值范围. 【解析】(1)由题设知|x+1|+|x-2|-5≥0,如图,在同一坐标系中作出函数 y= |x+1|+|x-2|和 y=5 的图象,知定义域为(-∞,-2]∪[3,+∞). (2)由题设知,当 x∈R 时,恒有|x+1|+|x-2|+a≥0,即|x+1|+|x-2|≥-a,又 由(1)知|x+1|+|x-2|≥3, 所以-a≤3,即 a≥-3. 题型二 解绝对值三角不等式 【例 2】已知函数 f(x)=|x-1|+|x-2|,若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)对 a≠0,a、 b∈R 恒成立,求实数 x 的范围. 【解析】由|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)且 a≠0 得|a+b|+|a-b| |a| ≥f(x). 又因为|a+b|+|a-b| |a| ≥|a+b+a-b| |a| =2,则有 2≥f(x). 解不等式|x-1|+|x-2|≤2 得1 2≤x≤5 2. 【变式训练 2】(2019 深圳模拟)若不等式|x+1|+|x-3|≥a+4 a 对任意的实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是 . 【解析】(-∞,0)∪{2}. 题型三 利用绝对值不等式求参数范围 【例 3】(2019 辽宁质检)设函数 f(x)=|x-1|+|x-a|. (1)若 a=-1,解不等式 f(x)≥3; (2)如果∀x∈R,f(x)≥2,求 a 的取值范围. 【解析】(1)当 a=-1 时,f(x)=|x-1|+|x+1|. 由 f(x)≥3 得|x-1|+|x+1|≥3, ①当 x≤-1 时,不等式化为 1-x-1-x≥3,即-2x≥3, 不等式组     3≥)( 1,≤ xf x 的解集为(-∞,-3 2]; ②当-1<x≤1 时,不等式化为 1-x+x+1≥3,不可能成立, 不等式组    3≥)( 1,≤<1 xf x 的解集为∅ ; ③当 x>1 时,不等式化为 x-1+x+1≥3,即 2x≥3, 不等式组    3≥)( 1,> xf x 的解集为[3 2 ,+∞). 综上得 f(x)≥3 的解集为(-∞,-3 2]∪[3 2 ,+∞). (2)若 a=1,f(x)=2|x-1|不满足题设条件. 若 a<1,f(x)=       1,≥1),(-2 <1,<,1 ,≤,12 xax xaa axax f(x)的最小值为 1-a.由题意有 1-a≥2,即 a≤-1. 若 a>1,f(x)=       ,≥1),(-2 ,<<1,1 1,≤,12 axax axa xax f(x)的最小值为 a-1,由题意有 a-1≥2,故 a≥3.[来源:Zxxk.Com] 综上可知 a 的取值范围为(-∞,-1]∪[3,+∞). 【变式训练 3】关于实数 x 的不等式|x-1 2(a+1)2|≤1 2(a-1)2 与 x2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0 (a ∈R)的解集分别为 A,B.求使 A⊆B 的 a 的取值范围. 【解析】由不等式|x-1 2(a+1)2|≤1 2(a-1)2⇒-1 2(a-1)2≤x-1 2(a+1)2≤1 2(a-1)2, 解得 2a≤x≤a2+1,于是 A={x|2a≤x≤a2+1}. 由不等式 x2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0⇒(x-2)[x-(3a+1)]≤0, ①当 3a+1≥2,即 a≥1 3 时,B={x|2≤x≤3a+1}, 因为 A⊆B,所以必有     1,3≤1 ,2≤2 2 aa a 解得 1≤a≤3; ②当 3a+1<2,即 a<1 3 时,B={x|3a+1≤x≤2}, 因为 A⊆B,所以      2,≤1 ,2≤13 2a aa 解得 a=-1. 综上使 A⊆B 的 a 的取值范围是 a=-1 或 1≤a≤3. 总结提高 1.“绝对值三角不等式”的理解及记忆要结合三角形的形状,运用时注意等号成立的条件. 2.绝对值不等式的解法中,|x|<a 的解集是(-a,a);|x|>a 的解集是(-∞,-a)∪(a,+∞), 它可以推广到复合型绝对值不等式|ax+b|≤c,|ax+b|≥c 的解法,还可以推广到右边含未知数 x 的不等式,如|3x+1|≤x-1⇒1-x≤3x+1≤x-1. 3.含有两个绝对值符号的不等式,如|x-a|+|x-b|≥c 和|x-a|+|x-b|≤c 型不等式的解法有三 种,几何解法和代数解法以及构造函数的解法,其中代数解法主要是分类讨论的思想方法, 这也是函数解法的基础,这两种解法都适宜于 x 前面系数不为 1 类型的上述不等式,使用范 围更广. 天星 1 来源:天星教育 Tesoon www.zxxk.com 来源:天~星~教~育~网
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