2010高考中数列综合题解题策略与方法

2010高考中数列综合题解题策略与方法

高考中数列综合题解题策略与方法 李兴怀 华南师大附中特级教师 李兴怀 ‎ 数列问题与函数、不等式、三角等知识有密切的联系，在历届高考数学试题中占有重要地位。本文通过一些例子说明解决数列综合题的基本策略与方法。‎ ‎1.认真审题，善于把陌生的问题转化为熟悉的问题。‎ ‎ 例1.已知数列满足，求数列的通项。‎ ‎ 分析：由数列的定义可知，此数列既不是等差数列，也不是等比数列，因而要解决这个问题必须紧扣题意，并把问题进行转化。‎ 解法1 把问题转化为等比数列。引入参数x，使得，将此式还原并整理得 ，令，即，设，则原问题化为 ，且，故数列是以为首项、为公比的等比数列。从而 ，故 。‎ 解法2 把问题转化为便于求通项的情形。给 两边同除以，得，令，则，利用恒等式，可得，故 。‎ 解法3 由，可得，将这两式相减得，，令，则，故，从而，故 即。n=1也满足等式，故所求通项为。‎ ‎ 解法4 通过直接迭代求通项。由已知递推关系可得，‎ 故 。‎ ‎ 以上通过例1给出的四种方法是解决由递推关系确定的数列问题的常用方法。‎ ‎2.利用待定系数法，将复杂问题简单化。‎ 例2 在数列中，，求数列的通项。‎ 分析：本题的难点在于递推关系随着n的变化而变化，我们设法构造一个与有关的、并且可求通项的数列。‎ 解 令，即 将它与所给的递推关系比较，‎ 可得,解这个方程组，得，所以 ，令，则，即。‎ ‎ 3.利用函数不动点，通过适当换元来简化问题。‎ 所谓函数的不动点，就是指满足方程的根。利用与递推关系相对应的函数的不动点，就可将有关数列问题化简。‎ 例3 若数列满足，求通项。‎ 解 与此递推关系相对应的函数是，此函数的不动点就是方程的根，解这个方程得利用这两个跟，我们考察以 为通项的数列。由于，令，故 ，由于，故 。‎ 例4 已知数列中，，求通项。‎ 解 与此递推关系相对应的函数是，解方程 ，得，解得 ，此时我们考察以为通项的数列。由于，令，则，故 。从而。‎ 说明：一般来说，对形如 确定的数列来说，若方程有两个跟。当时，数列为等比数列；当时，数列为等差数列。‎ ‎4. 适当变形，化二阶递推关系为一阶递推关系。‎ 例5 已知数列满足递推关系，且，求通项。‎ 分析：这是一个由二阶递推关系确定的数列，解决这个问题的关键是设法把问题化为由一阶递推关系所确定的数列。‎ 解 根据问题的结构特点，我们设，即与已知递推关系比较，‎ 可得，解得。故原递推关系化为 令，则，，‎ 故对一切正整数n， ，即，对此式两边同时除以，得，‎ 故 为等差数列，首项为，公差为，故，故 。‎ 说明：对于形如的递推关系通常可以化为形如的关系式，然后通过换元达到解决问题的目的。‎ ‎5.建立递推不等式关系，证明与数列相关的不等式。‎ 在近几年的数学高考试题中，与数列有关的不等式频繁出现，而且解决起来有一定的难度，这方面的问题应该引起重视。‎ 例6.设数列满足，。证明：对所有的，有（ⅰ）；（ⅱ）。‎ 分析：由已知递推关系所确定的数列的通项是不易求出的。有时候，即使数列的通项能够求出来，要证明所给的不等式也是困难难的。因此，解决这类问题的关键是利用已知条件，建立合适的递推不等关系。‎ 解： （1）证明：1、当n=1时，，不等式成立；2、假设当n=k时，不等式成立，即，则当n=k+1时，，即，故当n=k+1时，不等式成立。根据1和2，对于一切正整数n，均有。‎ ‎（2）由（1）可知。由，利用这个递推不等关系，可得 即，从而。于是 故 。‎ 说明：本题（2）的证明关键是要由已知递推关系导出一个递推不等关系，进而导出。这里对中一部分不变，一部分缩小为n+2，这种放缩技巧是值得重视的。‎ 例7 已知数列满足，且，证明：。‎ 分析：这是由一道高考数学试题改编而来的，命题者给出的的解答是比较复杂的。下面我们给出另一种解法，而且利用这种解法很容易把问题加以推广。‎ 证明 首先用数学归纳法可以证明对一切正整数n，，于是对两边取常用对数，可得，故是等比数列，可求得，即，由于，故是单调递减数列，故，且，‎ 说明：这个例子中对进行适当放大的技巧也是值得深思的。‎ ‎ 以上我们通过七个典型的例子，从五个方面说明求解数列综合题的基本策略与方法。所举例子并不复杂，但所运用的方法在近几年的高考数学试题求解中是普遍策用的。在这部分内容的高考备考中，教师要“站得高，看得远”，要注重培养学生的化归、转化的能力，要重视解题途径的探求过程。‎