高考数学Ι轮及其练习精析合情推理和演绎推理1

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第十七章 推理与证明 ‎★知识网络★‎ 推理与证明 推理 证明 合情推理 演绎推理 归纳 类比 直接证明 间接证明 数学归纳法 综合法 分析法 反证法 第1讲 合情推理和演绎推理 ‎ ‎★知识梳理★‎ ‎1.推理 ‎ 根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理.‎ 从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设)叫做前提,一部分是由已知推出的判断,叫结论.‎ ‎2、合情推理:‎ 根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出的推理叫合情推理。‎ 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：‎ ‎（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理 ‎（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。‎ ‎3.演绎推理:‎ 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。三段论是演绎推理的一般模式，它包括：（1）大前提---已知的一般原理；（2）小前提---所研究的特殊情况；（3）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断。‎ ‎★重难点突破★‎ 重点:会用合情推理提出猜想,会用演绎推理进行推理论证,‎ 明确合情推理与演绎推理的区别与联系 难点:发现两类对象的类似特征、在部分对象中寻找共同特征或规律 重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明 ‎1、归纳推理关键是要在部分对象中寻找共同特征或某种规律性 问题1：观察：；； ；….对于任意正实数，试写出使成立的一个条件可以是 ____.‎ ‎2、类比推理关键是要寻找两类对象的类似特征 问题2：已知抛物线有性质：过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于、两点，则当与抛物线的对称轴垂直时，的长度最短；试将上述命题类比到其他曲线，写出相应的一个真命题为 ．‎ ‎3、运用演绎推理的推理形式(三段论)进行推理 问题3：定义[x]为不超过x的最大整数，则[-2.1]= ‎ ‎★热点考点题型探析★‎ 考点1 合情推理 ‎ 题型1 用归纳推理发现规律 ‎[例1 ] 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。‎ ；；； ‎[例2 ] (09深圳九校联考) 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂 巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图 有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以 表示第幅图的蜂巢总数.则=_____;=___________. ‎ ‎【新题导练】‎ ‎1. (2008佛山二模文、理)对大于或等于的自然数的次方幂有如下分解方式：‎ 根据上述分解规律，则, 若的分解中最小的数是73，则的值为___ .‎ ‎2. (2010惠州调研二理)函数由下表定义：‎ 若，，，则 ．‎ ‎3. (2010深圳调研)图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第个图形包含个“福娃迎迎”，则　　；　　　　　　　　．（答案用数字或的解析式表示）‎ ‎4. (2008揭阳一模)‎ 设, ‎ 则=（ ）‎ A. 　　　B. 　　C. 　　D. 题型2 用类比推理猜想新的命题 ‎[例1 ] (2010韶关调研)已知正三角形内切圆的半径是高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______.‎ ‎[例2 ] 在中,若,则,用类比的方法,猜想三棱锥的类似性质,并证明你的猜想 ‎【新题导练】‎ ‎5. (2010深圳二模文)现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为．类比到空间，有两个棱长均为的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为　　　．‎ ‎6. (2010梅州一模)已知的三边长为，内切圆半径为（用），则；类比这一结论有：若三棱锥的内切球半径为，则三棱锥体积 ‎ ‎7. (2008届广东省东莞市高三理科数学高考模拟题（二）)‎ 在平面直角坐标系中，直线一般方程为，圆心在的圆的一般方程为；则类似的，在空间直角坐标系中，平面的一般方程为________________,球心在的球的一般方程为_______________________.‎ ‎8. 对于一元二次方程，有以下正确命题：如果系数和都是非零实数，方程和在复数集上的解集分别是和，则“”是“”的充分必要条件．‎ 试对两个一元二次不等式的解集写出类似的结果，并加以证明．‎ ‎9.已知等差数列的定义为:在一个数列中，从第二项起,如果每一项与它的前一项的差都为同一个常数，那么这个数叫做等差数列，这个常数叫做该数列的公差．‎ 类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义： ；‎ ‎ 已知数列是等和数列，且，公和为，那么的值为____________．这个数列的前项和的计算公式为_____________________________________．‎ 考点2 演绎推理 ‎ 题型:利用“三段论”进行推理 ‎[例1 ] （07启东中学模拟）某校对文明班的评选设计了五个方面的多元评价指标，并通过经验公式样来计算各班的综合得分，S的值越高则评价效果越好，若某班在自测过程中各项指标显示出，则下阶段要把其中一个指标的值增加 ‎1个单位，而使得S的值增加最多，那么该指标应为 ．（填入中的某个字母）‎ ‎ [例2 ] （03上海）已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f(x+T)=T f(x)成立.‎ ‎（1）函数f(x)= x 是否属于集合M？说明理由；‎ ‎（2）设函数f(x)=ax（a>0,且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明： f(x)=ax∈M；‎ ‎（3）若函数f(x)=sinkx∈M ,求实数k的取值范围.‎ ‎【新题导练】‎ ‎10. (2010珠海质检理)定义是向量a和b的“向量积”，它的长度为向量a和b的夹角，若= .‎ ‎11. (2010深圳二模文)一个质点从出发依次沿图中线段到达、、、、、、、、各点，最后又回到（如图所示），其中：，‎ ，．‎ 欲知此质点所走路程，至少需要测量条线段的长度，‎ 则（　　）‎ A． B． C． D． ‎12. (2010惠州调研二)为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接受方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文对应密文，例如，明文对应密文．当接受方收到密文时，则解密得到的明文为（ ）．‎ ‎ A． 4，6，1，7 B． 7，6，1，4 C． 6，4，1，7 D． 1，6，4，7‎ ‎13.对于任意的两个实数对和，规定：，当且仅当；运算“”为：；运算“”为：，设，若，则………（ ）‎ A． B． C． D． ‎★抢分频道★‎ 基础巩固训练 ‎1、对于集合A,B,定义运算，则=（ ）‎ A.B B.A C. D. ‎2、命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是 A．使用了归纳推理 B．使用了类比推理 ‎ C．使用了“三段论”，但大前提错误 D．使用了“三段论”，但小前提错误 ‎3、（华南师大附中2007—2008学年度高三综合测试（三））‎ 给出下面类比推理命题（其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）：‎ ‎ ①“若”类比推出“”‎ ‎ ②“若”类比推出 ‎“”‎ ‎③“若”类比推出“若”‎ ‎ ④“若”类比推出“若”‎ ‎ 其中类比结论正确的个数有 （ ）‎ ‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎[‎ ‎4、如图第n个图形是由正ｎ＋２边形“扩展”而来,（ｎ＝１，２，３，…）。则第n－2‎ 个图形中共有　　　　　　　　　个顶点。‎ ‎5、如果函数在区间上是凸函数，那么对于区间内的任意，，…，，‎ 都有.若在区间上是凸函数，那么在中，的最大值是________________.‎ ‎6、类比平面向量基本定理:“如果是平面内两个不共线的向量，那么对于平面内任一向量，有且只有一对实数，使得”，写出空间向量基本定理是： ‎ ‎ ‎ 综合提高训练 ‎7、(2009汕头一模)设P是内一点，三边上的高分别为、、，P到三边的距离依次为、、，则有______________；类比到空间，设P是四面体ABCD内一点，四顶点到对面的距离分别是、、、，P到这四个面的距离依次是、、、，则有_________________。‎ ‎8、(2009惠州一模)设 ，又记 则（ ）‎ ‎ A．； B．； C．； D．；‎ ‎9、（1）已知等差数列，（），求证：仍为等差数列；‎ ‎（2）已知等比数列，（），类比上述性质，写出一个真命题并加以证明．‎ ‎10、我们将具有下列性质的所有函数组成集合M：函数，对任意均满足，当且仅当时等号成立。‎ ‎（1）若定义在(0，＋∞)上的函数∈M，试比较与大小.‎ ‎（2）设函数g(x)＝－x2，求证：g(x)∈M.‎