高考数学备考冲刺之易错点点睛系列立体平面几何专题

高考数学备考冲刺之易错点点睛系列立体平面几何专题

平面解析几何 一、高考预测 解析几何初步的内容主要是直线与方程、圆与方程和空间直角坐标系，该部分内容是整个解析几何的基础，在解析几何的知识体系中占有重要位置，但由于在高中阶段平面解析几何的主要内容是圆锥曲线与方程，故在该部分高考考查的分值不多，在高考试卷中一般就是一个选择题或者填空题考查直线与方程、圆与方程的基本问题，偏向于考查直线与圆的综合，试题难度不大，对直线方程、圆的方程的深入考查则与圆锥曲线结合进行．根据近年来各地高考的情况，解析几何初步的考查是稳定的，预计2012年该部分的考查仍然是以选择题或者填空题考查直线与圆的基础知识和方法，而在解析几何解答题中考查该部分知识的应用．‎ 圆锥曲线与方程是高考考查的核心内容之一，在高考中一般有1～2个选择题或者填空题，一个解答题．选择题或者填空题在于有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质及其应用，试题考查主要针对圆锥曲线本身，综合性较小，试题的难度一般不大；解答题中主要是以椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的位置关系，考查数形结合思想、函数与方程思想、等价转化思想、分类与整合思想等数学思想方法，这道解答题往往是试卷的压轴题之一．由于圆锥曲线与方程是传统的高中数学主干知识，在高考命题上已经比较成熟，考查的形式和试题的难度、类型已经较为稳定，预计2012年仍然是这种考查方式，不会发生大的变化．‎ 解析几何的知识主线很清晰，就是直线方程、圆的方程、圆锥曲线方程及其简单几何性质，复习解析几何时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上，要在解题方法、解题思想上深入下去．解析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌握一些解方程(组)的方法，掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用，掌握使用韦达定理进行整体代入的解题方法；数学思想方法在解析几何问题中起着重要作用，数形结合思想占首位，其次分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想，如解析几何中的最值问题往往就是建立求解目标的函数，通过函数的最值研究几何中的最值．复习解析几何时要充分重视数学思想方法的运用．‎ 二、知识导学 ‎(一)直线的方程 ‎1.点斜式：；2. 截距式：；‎ ‎ 3.两点式：；4. 截距式：；‎ ‎5.一般式：，其中A、B不同时为0.‎ ‎(二)两条直线的位置关系 两条直线，有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交.‎ 设直线：=+，直线：=+，则 ‎∥的充要条件是=，且=；⊥的充要条件是=-1.‎ ‎ (三)圆的有关问题 ‎1.圆的标准方程 ‎（r＞0），称为圆的标准方程，其圆心坐标为（a，b），半径为r.‎ 特别地，当圆心在原点（0，0），半径为r时，圆的方程为.‎ ‎2.圆的一般方程 ‎（＞0）称为圆的一般方程，‎ 其圆心坐标为（，），半径为.‎ 当=0时，方程表示一个点（，）；‎ 当＜0时，方程不表示任何图形.‎ ‎ 3.圆的参数方程 ‎ 圆的普通方程与参数方程之间有如下关系：‎ ‎ （θ为参数）‎ ‎ （θ为参数）‎ ‎ (五)椭圆的简单几何性质 1. 椭圆的几何性质：设椭圆方程为（＞＞0）.‎ ‎⑴ 范围： -a≤x≤a，-b≤x≤b，所以椭圆位于直线x=和y=所围成的矩形里.‎ ‎⑵ 对称性：分别关于x轴、y轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.‎ ‎⑶ 顶点：有四个（-a，0）、（a，0）（0，-b）、（0，b）.‎ ‎ 线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于‎2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.‎ ‎⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e＜1.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆.‎ ‎ 2.椭圆的第二定义 ‎⑴ 定义：平面内动点M与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数（e＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆.‎ ‎⑵ 准线：根据椭圆的对称性，（＞＞0）的准线有两条，它们的方程 ‎(六)椭圆的参数方程 ‎ 椭圆（＞＞0）的参数方程为（θ为参数）.‎ ‎ 说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P的离心角θ与直线OP的倾斜角α不同：；‎ ‎⑵ 椭圆的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.‎ ‎(七)双曲线及其标准方程 1. 双曲线的定义：平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数‎2a（小于||）的动点的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件‎2a＜||，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若‎2a=||，则动点的轨迹是两条射线；若‎2a＞||，则无轨迹.‎ ‎ 若＜时，动点的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若＞时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.‎ 2. 双曲线的标准方程：和（a＞0，b＞0）.这里，其中||=‎2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.‎ ‎3.双曲线的标准方程判别方法是：如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.‎ ‎ 4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.‎ ‎(八)双曲线的简单几何性质 ‎1.双曲线的实轴长为‎2a，虚轴长为2b，离心率＞1，离心率e越大，双曲线的开口越大.‎ ‎2. 双曲线的渐近线方程为或表示为 ‎.若已知双曲线的渐近线方程是，即，那么双曲线的方程具有以下形式：‎ ‎，其中k是一个不为零的常数.‎ ‎ 3.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线，它的焦点坐标是（-c，0）和（c，0），与它们对应的准线方程分别是和.在双曲线中，a、b、c、e四个元素间有与的关系，与椭圆一样确定双曲线的标准方程只要两个独立的条件.‎ ‎(九)抛物线的标准方程和几何性质 ‎1．抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（l）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点F叫抛物线的焦点，这条定直线l叫抛物线的准线。‎ 需强调的是，点F不在直线l上，否则轨迹是过点F且与l垂直的直线，而不是抛物线。‎ ‎2．抛物线的方程有四种类型：、、、.‎ 对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x轴或y轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向x轴或y轴的负方向。‎ ‎3．抛物线的几何性质，以标准方程y2=2px为例 ‎（1）范围：x≥0；‎ ‎（2）对称轴：对称轴为y=0，由方程和图像均可以看出；‎ ‎（3）顶点：O（0，0），注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）；‎ ‎（4）离心率：e=1，由于e是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p决定的；‎ ‎（5）准线方程；‎ ‎（6）焦半径公式：抛物线上一点P（x1，y1），F为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p＞0）：‎ ‎（7）焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式。设过抛物线y2=2px（p＞O）的焦点F的弦为AB，A（x1，y1），B（x2，y2），AB的倾斜角为α，则有①|AB|=x+x+p ②以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用“弦长公式”来求。‎ ‎（8）直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：x+bx+c=0，当a≠0时，两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可；但如果a=0，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时，直线和抛物线相交，但只有一个公共点。‎ ‎(十)轨迹方程 ‎⑴ 曲线上的点的坐标都是这个方程的解；⑵ 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.‎ 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形或轨迹）.‎ 注意事项 ‎ 1． ⑴ 直线的斜率是一个非常重要的概念，斜率k反映了直线相对于x轴的倾斜程度.当斜率k存在时，直线方程通常用点斜式或斜截式表示，当斜率不存在时，直线方程为x=a（a∈R）.因此，利用直线的点斜式或斜截式方程解题时，斜率k存在与否，要分别考虑.‎ ‎⑵ 直线的截距式是两点式的特例，a、b分别是直线在x轴、y轴上的截距，因为a≠0，b≠0，所以当直线平行于x轴、平行于y轴或直线经过原点，不能用截距式求出它的方程，而应选择其它形式求解.‎ ‎⑶求解直线方程的最后结果，如无特别强调，都应写成一般式.‎ ‎⑷当直线或的斜率不存在时，可以通过画图容易判定两条直线是否平行与垂直 ‎⑸在处理有关圆的问题，除了合理选择圆的方程，还要注意圆的对称性等几何性质的运用，这样可以简化计算.‎ ‎2.⑴用待定系数法求椭圆的标准方程时，要分清焦点在x轴上还是y轴上，还是两种都存在. ⑵注意椭圆定义、性质的运用，熟练地进行a、b、c、e间的互求，并能根据所给的方程画出椭圆.⑶求双曲线的标准方程 应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设 问题（光线的反射问题）；注意证明曲线过定点方法（两种方法：特殊化、分离变量）2、注意二元二次方程表示圆的充要条件、善于利用切割线定理、相交弦定理、垂径定理等平面中圆的有关定理解题；注意将圆上动点到定点、定直线的距离的最值转化为圆心到它们的距离；注意圆的内接四边形的一些性质以及正弦定理、余弦定理。以过某点的线段为弦的面积最小的圆是以线段为直径，而面积最大时，是以该点为线段中点。3、注意圆与椭圆、三角、向量（注意利用加减法转化、利用模与夹角转化、然后考虑坐标化）结合；4、注意构建平面上的三点模型求最值，一般涉及“和”的问题有最小值，“差”的问题有最大值，只有当三点共线时才取得最值；5、熟练掌握求椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程的方法：待定系数法或定义法，注意焦点位置的讨论，注意双曲线的渐近线方程：焦点在轴上时为 ，焦点在 轴上时为 ；注意化抛物线方程为标准形式（即2p、p、的关系）；注意利用比例思想，减少变量，不知道焦点位置时，可设椭圆方程为 。6、熟练利用圆锥曲线的第一、第二定义解题；熟练掌握求离心率的题型与方法，特别提醒在求圆锥曲线方程或离心率的问题时注意利用比例思想方法，减少变量。7、注意圆锥曲线中的最值等范围问题：产生不等式的条件一般有：①“ 法”；②离心率 的范围；③自变量 的范围；④曲线上的点到顶点、焦点、准线的范围；注意寻找两个变量的关系式，用一个变量表示另一个变量，化为单个变量，建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法， 注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围、离心率范围以及根的判别式范围。8、求轨迹方程的常见方法：①直接法；★②几何法；★③定义法；★④相关点法； 9、注意利用向量方法， 注意垂直、平行、中点等条件以向量形式给出；注意将有关向量的表达式合理变形；特别注意遇到角的问题，可以考虑利用向量数量积解决；10、注意存在性、探索性问题的研究，注意从特殊到一般的方法。‎ 三、易错点点睛 命题角度1对椭圆相关知识的考查 ‎ ‎1．设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△FlPF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 ( )‎ ‎ [对症下药] C 设双曲线方程为=1，则由题意知c=5，=4 则a2=20 b2=5，而a=2 b=∴双曲线渐近线斜率为±=‎ ‎3．从集合{1，2，3…，11}中任选两个元素作为椭圆方程=1中的m和n，则能组成落在矩形区域B={(x，y)‖x|<11，且|y|<9}内的椭圆个数为 ( )‎ ‎ A．43 B．‎72 C．86 D．90‎ ‎ [考场错解] D 由题意得，m、n都有10种可能，但m≠n故椭圆的个数10×10-10=90．‎ ‎ [专家把脉] 没有注意，x、y的取值不同．‎ ‎ [对症下药] B 由题意得m有10种可能，n只能从集合11，2，3，4，5，6，7，81中选取，且m≠n，故椭圆的个数：10×8-8=72．‎ ‎4．设直线l与椭圆=1相交于A、B两点，l又与双曲线x2-y2=1相交于C、D两点，C、D三等分线段AB，求直线l的方程 ( )‎ ‎ [考场错解] 设直线l的方程为y=kx+b 如图所示，l与椭圆，双曲线的交点为A(x1，y1)、B (x2，y2)、C(x3，y3)、D(x4，y4)，依题意有=3‎ ‎ 由所以x1+x2=-‎ 由得(1-k2)x2-2bkx-(b2+1)=0‎ ‎ (2) 若k=±1，则l与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故k≠±1‎ ‎ 所以x3+x4=、由x3-x1=x2-x4x1+x2=x3+x4-bk=0或b =0‎ ‎①当k=0时，由(1)得x1、2=± 由(2)得x3、4=±由=3(x4-x1)即 故l的方程为y=±‎ ‎②当b=0时，由(1)得x1、2=±，由(2)得x3、4=由=3(x4-x3)即综上所述：直线l的方程为：y=‎ ‎ [专家把脉] 用斜截式设直线方程时没有注意斜率是否存在，致使造成思维片面，漏解．‎ ‎ [对症下药] 解法一：首先讨论l不与x轴垂直时的，情况．‎ 设直线l的方程为y=kx+b，如图所示，l与椭圆、双曲线的交点为：A(x1，y1)、B(x2， y2)、C(x3，y3)、D(x4，y4)，依题意有．由得(16+25k2)x2+50bkx+(25b2-400)=0．(1) 所以x1+x2=-由得(1-k2+x2-2bkx-(b2+1)=0．‎ 若k=±1，则l与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故k≠±1．所以x3+x4=‎ 由x1+x2=x2+x4或 b=0．‎ ‎①当k=0时，由(1)得由(2)得x3、4=±由(x4-x3)．‎ 即故l的方程为 y=±‎ ‎②当b=0时，由(1)得x1、2=‎ 自(2)得x3、4=(x4-x3)．即 故l的方程为y=．再讨论l与x轴垂直时的情况．‎ 设直线l的方程为x=c，分别代入椭圆和双曲线方程可解得yl、2=‎ y3、4=即 综上所述，直线l的方程是：y=x、y=±和x=‎ ‎②当y0=0，x0≠0，由(2)得x4=x3≠0，这时l平行y轴．设l的方程为x=c，分别代入椭圆、双曲线方程得：yl、2=y3、4=∵y2-y1=3(y4-y3)‎ 故l的方程为：‎ ‎③当x0=0，y0=0时，这时l通过坐标原点且不与x轴垂直．设l的方程为y=kx，分别代入椭圆、双曲线方程得：x1、2=故l的方程为y=综上所述，直线l的方程是：y=、y=和x=‎ ‎5．设A、B是椭圆3x2+y2=λ上的两点，点N(1，3)是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点． (1)确定A的取值范围，并求直线AB的方程； (Ⅱ)试判断是否存在这样的A，使得A、B、C、D四点在同一个圆上?并说明理由．(此题不要求在答题卡上画图)‎ ‎[考场错解] (1)设A(x1，y1)B(x2，y2)则有:(x1-x2)(x1+x2)+(yl-y2)(yl+y2)=0‎ 依题意，x1≠x2∴kAB-∵N(1，3)是AB的中点，∴x1+x2=2,yl+y2=6从而kAB=-9又由N(1，3)在椭圆内，∴λ<3×12+32=12 ∴λ的取值范围是(-∞，12)直线AB的方程为y-3=-9(x-1)即9x+y-12=0‎ ‎[专家把脉] ①用“差比法”求斜率时kAB=这地方很容易出错．②N(1，3)在椭圆内，λ>3×12+32=12应用结论时也易混淆．‎ ‎[对症下药] (1)解法1：依题意，可设直线AB的方程为y=A(x-1)+3，代入3x2+y2=λ，整理得(k2+3)x2-2k(k-3)x+(k-3)2-λ=0．① 设A(x1，y1)、B(x2、y2)，则x1，x2是方程①的两个不同的根，‎ ‎∴△=4[λ(k2+3)-3(k-3)2]>0，② 且x1+x2=，由N(1，3)是线段AB的中点，得，∴A(k-3)=k2+3．解得k=-1，代入②得，λ>12，即λ的取值范围是(12，+∞)．于是，直线AB的方程为y-3=-(x-1)，即x+y-4=0．‎ ‎ 解法2：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0‎ ‎ 依题意，x1≠x2，∴kAB=-∵N(1，3)是AB的中点，∴x1+x2=2，yl+y2=6，从而kAB=-1．又由N(1，3)在椭圆内，∴λ>3×12+32=12， ∴λ的取值范围是(12，∞)．直线AB的方程为y-3=-(x-1)，即x+y-4=0．‎ ‎(Ⅱ)解法1：∵CD垂直平分AB，∴直线CD的方程为y-3 =x-1，即x-y+2=0，代入椭圆方程，整理得4x2+4x+4‎ 又设C(x3，y3)，D(x4，y4)，CD的中点为M(x0，y0)，则x3， x4是方程③的两根，∴x3+x4=-1，且x0=(x3+x4)=-，y0=x0+2=，即M(-，)．于是由弦长公式可得|CD|=④将直线AB的方程x+y-4=0，代入椭圆方程得4x2-8x+ 16-λ=0 ⑤同理可得|AB|=⑥∵当λ>12时，>,∴|AB|<|CD|‎ 假设存在λ>12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心．点M到直线AB的距离为d=⑦‎ 于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得 |MA|2=|MB|2=d2+‎ 故当λ>12时，A、B、C、D四点均在以M为圆心，为半径的圆上． ‎ ‎(注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：) A、B、C、D共圆△ACD为直角三角形，A为直角|AN|2 =|CN|·|DN|，即. ⑧‎ 专家会诊 ‎ ‎1．重点掌握椭圆的定义和性质，加强直线与椭圆位置关系问题的研究．2.注重思维的全面性，例如求椭圆方程时只考虑到焦点在，轴上的情形；研究直线与椭圆位置关系时忽略了斜率不存在的情形3．注重思想方法的训练，在分析直线与椭圆位置关系时要利用数形结合和设而不求法与弦长公式韦达定理联系去解决；关于参数范围问题常用思路有：判别式法，自身范围法等．求椭圆的方程常用方法有：定义法，直接法，待定系数法，相关点法，参数法等．‎ 命题角度2对双曲线相关知识的考查 ‎1．已知双曲线x2-=1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且，则点M到x轴的距离为 ( )‎ ‎ [考场错解] B ‎[专家把脉] 没有理解M到x轴的距离的意义．‎ ‎[对症下药] C 由题意得a=1，b=，c=可设M (x0，y0)|MF1|=|ex0+a|=|x0+1|，‎ ‎|MF2|= |ex0-a|=|x0-1| 由|MF1|2+|MF2|2=|F‎1F2|2得 x02=‎ 即点M到x轴的距离为 ‎2．已知双曲线=1(a>0，b>0)的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为(O为原点)，则两条渐近线的夹角为 ( )‎ ‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎ [考场错解] B ‎ [专家把脉] 把两条渐近线的夹角看成渐近线的倾斜角．‎ ‎ [对症下药] D 由题意得A()s△OAF=·c·，则两条渐近线为了y=x与y=-x则求两条渐近线的夹角为90°．‎ ‎ 3．双曲线=1(a>1，b>0)的焦距为‎2c，直线l过点(a，0)和(0,b)，且点(1，0)到直线l的距离与点(-1，0)到直线l的距离之和s≥c，求双曲线的离心率e的取值范围．‎ ‎ [考场错解] 直线l的方程为=1即bx+ay-ab=0点(-1，0)到直线l的距离：，点(1，0)到直线l的距离: ∴+=得‎5a于是得5‎ ‎ 即4e4-25e2+25≤0解不等式得≤e2≤5，所以e的取值范围是 ‎ [专家把脉] 没有理解双曲线离心率的意义及自身存在的范围e>1．‎ ‎ [对症下药] 解法：直线J的方程为=1，即 bx+ay-ab=0．‎ 由点到直线的距离公式，且a>1，得到点(1，0)到直线l的距离d1=‎ 同理得到点（-1，0）到直线l的距离d2=s=d1+d2=‎ 由 解不等式，得 专家会诊 1．注意双曲线两个定义的理解及应用，在第二定义中，要强调e>1，必须明确焦点与准线的对应性 2．由给定条件求出双曲线的方程，常用待定系数法，当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏． 3．掌握参数a、b、c、e的关系，渐近线及其几何意义，并注意灵活运用．‎ 命题角度3对抛物线相关知识的考查。‎ ‎1．过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 ( )‎ ‎ A.有且仅只有一条 B．有且仅有两条 C.有无穷多条 D．不存在 ‎ [考场错解] D 由题意得|AB|=5 p=4，通径长为 2×4=8 5<8，故不存在这样的直线．‎ ‎ [专家把脉] 没有理解抛物线焦点的弦长及p的意义．‎ ‎ [对症下药] B 解法一：由题意得P=2，通径长为4，而|AB|=x1+x2+p=7，由7>4，则这样的直线有且仅有两条，解法二：用待定系数法设直线方程为y=k(x-1)采用设而不求的方法求出k有两个值，即直线有且仅有两条． ‎ ‎2．设A(x1，y1)，B(x2，y2)两点在抛物线y=2x2上，l是AB的垂直平分线． (1)当且仅当x1+x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F?证明你的结论； (Ⅱ)当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围．‎ ‎ [考场错解] (Ⅱ)，设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y=2x+b，过点A、B的直线方程可写为y=与y=2x2联立得2x2+x-m=0．得x1+ x2=-；设AB的中点N的坐标为(x0，y0)‎ 则x0=(x1+x2)=-,y0=-x0+m=+m．由N∈l,得+m=-+b，于是b=即得l在y轴上截距的取值范围为[].‎ ‎ [专家把脉] 没有借助“△>‎0”‎来求出m>，无法进一步求出b的范围，只好胡乱地把m当作大于或等于0．‎ ‎ [对症下药] (1)F∈l|FA|=|FB|A、B两点到抛物线的准线的距离相等． ∵抛物线的准线是x轴的平行线，y1≥0，y2≥0，依题意 y1、y2不同时为0， ∴上述条件等价于yl=y2x12 =x22 (x1+x2)(x1-x2)=0；‎ ‎∵x1≠x2，∴上述条件等价于 x1+x2=0． 即当且仅当x1+x2=0时，l经过抛物线的焦点F。‎ ‎ (Ⅱ)设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y=2x+b过点A、B的直线方程可写为y=-x+m，所以x1、x2满足方程2x2+x-m=0，得x1+x2=-； A、B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式+‎8m>0，即m>设AB的中点N的坐标为(x0，y0)，则x0=(x1+x2)=-，y0=-x0+m=+m ‎ 由N∈l，得+m=-+b，于是b=+m> 即得l在y轴上截距的取值范围为(，+∞)．‎ ‎3．如图，过抛物线y2=2px(p>0)上一定点p(x0，y0)(y0>0)，作两条直线分别交抛物线于A (x1，y1)，B(x2，y2)．(1)求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离； (Ⅱ)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数．‎ ‎ [考场错解] (1)当y=时，x=又抛物线的准线方程为x=-P，由抛物线定义得，所求距离为 ‎(Ⅱ)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB由y21=2px1,y20=2px0‎ 相减得(yl-y0)(y1+y0)=2P(x1-x0) 故kPA= (x1≠x0)．‎ 同理可得kpB=(x2≠x0)由kPA=-kPB得y0=-2 (yl+y2)故 设直线AB的斜率为kAB。由y22=2px2,y21=2px1 相减得 (y2-y1)(y2+y1)=2P(x2-x1)‎ 故kAB=将y1+y2=-y0(y0>0)代入得kAB=-故kAB是非零常数．‎ ‎ [专家把脉] ①没有掌握抛物线的准线方程，②计算不够准确．‎ ‎ [对症下药] (1)当y=时，x=，又抛物线y2= 2px的准线方程为x=，‎ 由抛物线定义得，所求距离为-(-)=‎ ‎(Ⅱ)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB 由y12=2px1，y20=2px0相减得(y1-y0)(yl+y0)=2P(x1-x0)，‎ 故kPA=(x1≠x0)．同理可得kPB=(x2≠x0)．‎ 由PA、PB倾斜角互补知kPA=-kPB，即=-，所以yl+y2=-2y0，‎ 故=-2. 设直线AB的斜率为kAB 由y22=2px2，y21=2pxl 相减得(y2-y1)(y2+y1)=2p(x2-x1)，‎ 所以 将yl+y2=-2y0(y0>0)代入得 所以kAB是非零常数． ‎ ‎4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO(如图所示)．‎ ‎ (1)求△AOB的重心C(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程；‎ ‎ (Ⅱ)△AOB的面积是否存在最小值?若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． ‎ ‎[考场错解]（Ⅰ）设△AOB的重心为G(x,y)A(x1,y1)B(x2,y2)则 ‎∵OAx1x2+yly2=0(2)‎ 又点A、B在抛物线上，有y1=x12，y2=x22代入(2)化简得xlx2=0或-1‎ ‎∴y=[（x1+x2）2-2x1x2]=3x2+或3x2，故重心为G的轨迹方程为y=3x2或y=3x2+.‎ ‎[专家把脉]没有考虑到x1x2=0时，△AOB不存在 ‎[对症下药] （Ⅰ）设△AOB的重心为G(x,y)A(x1,y1)B(x2,y2)则 又点A、B在抛物线上，有y1=x12，y2=x22代入(2)化简得xlx2=-1‎ ‎∴y=[（x1+x2）2-2x1x2]==3x2+所以重心为G的轨迹方程为y=3x2+ ‎ ‎(Ⅱ)S△AOB=‎ 由(1)得S△AOB=‎ 当且仅当x16=x26即x1=-x2=-1时，等号成立。所以△AOB的面积存在最小值，最小值为1。‎ 专家会诊用待定系数法求抛物线标准方程，注意分类讨论思想。凡涉及抛物线的弦长，弦的中点，弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。‎ 消去x2得 ‎ [专家把脉] (1)没有考虑到1-a2≠0(Ⅱ)没有注意到题目本身的条件a>0．‎ ‎ [对症下药] (1)由C与l相交于两个不同的点，故知方程组 有两个不同的实数解，消去y并整理得(1-a2)x2+‎2a2x +‎2a2x‎-2a2=0所以解得0且e≠，即离心率e的取值范围为()∪()． ‎ ‎(Ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0，1)．∵∴(x1,y1-1)=(x2,y2-1)由此得x1=x2，由于x1，x2都是方程①的根，且1-a2≠0，所以x2=-，消x2，得-，由a>0，所以a=‎ ‎2．给定抛物线C：y2=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点 (1)设l的斜率为1，求与夹角的大小； (Ⅱ)设，若λ∈[4，9]，求l在y轴上截距的变化范围．‎ ‎ [考场错解] (1)设与夹角为α；由题意l的方程为了y=x-1，将y=x-1代入y2=4x得x2-6x+1=0设A(x1，y1)B(x2，y2)则有x1+x2=6，x1x2=1．易得·=x1x2+y1y2=-3，cosα=∴α=-arccos ‎(Ⅱ)由题意知，过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为A'、B'．‎ ‎∴|FB|=|BB'|，|AF|=|AA'| ∴|BB’|=λ|AA'|，λ∈[4， 9]‎ 设l的方程为y=k(x-1)由得k2x2-(2k2 +4)x+k2=0 ‎ ‎∴x=∴|AA'|=+l =‎ ‎|BB'|=‎ ‎ [专家把脉] (Ⅰ)没有理解反余弦的意义．(Ⅱ)思路不清晰．‎ ‎[对症下药] (1)C的焦点为F(1，0)，直线l的斜率为1，所以l的方程为了y=x-1．‎ 将y=x-1代入方程y2=4x，并整理得x2-6x+1=0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有xl+x2=6，x1x2=1． ‎ ‎=(x1，y1)·(x2,y2)=x1x2+yly2=2x1x2-(x1 +x2)+1=-3．‎ 所以与夹角的大小为π-arc cos(Ⅱ)由题设得 (x2-1，y2)=λ(1-x1，-y1)，‎ 即由②得y22=λ2y21．∵y21=4x1，y22=4x2，∴x2=λ2x1③‎ 联立①、③解得x2=λ，依题意有λ>0，∴B(λ，2 )或B (λ，-2 )，又9(1，0)，得直线l方程为(λ-1)y= (x-1)或(λ-1)y=2(x-1)．当λ∈[4，9]时，l在 y轴上的截距为或-‎ 由=，可知：在[4，9]上是递减的，∴≤≤，-≤-≤-‎ 直线l在y轴上截距的变化范围为[-，-]∪[，]．‎ ‎ (2)当|PF1|=|F‎1F2|时，同理可得解得e2=3于是λ=1-3=-2． ‎ ‎(3)当|PF2|=|F‎1F2|时，同理可得=‎4c2解得e2=1 于是λ=1-1=0‎ 综上所述，当λ=或-2或0时△PF‎1F2，F2为等腰三角形．‎ ‎ [专家把脉] (1)没有注意到因为PF1⊥l，所以∠PF‎1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF‎1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F‎1F2| (2)没有注意到椭圆离心率的范围．‎ ‎ [对症下药] (1)证法一：因为A、B分别是直线l：y= ex+a与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是(-)(0,a). 由 所以点M的坐标是(-c,)，由得(-c+)=λ(，a)．即 证法二：因为A、B分别是直线l:y=ex+a与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是(-，0)，(0，a)，设M的坐标是(x0，y0)，由得()，‎ 所以因为点M在椭圆上，所以=1，‎ 即e4-2(1-λ)e2+(1-λ)2=0，解得e2=1-λ即λ=1-e2．‎ ‎ (Ⅱ)解法一：因为PF1⊥l，所以∠PF‎1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF‎1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F‎1F2|,即|PF1|=c. 设点F1到l的距离为d，由|PF1|=d， =,得 ‎=e．所以e2=，于是λ=1-e2=.即当λ=时，△PF‎1F2为等腰三角形．‎ 解法二：因为PF1⊥l，所以，∠PF‎1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF‎1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F‎1F2|,设点P的坐标是(x0，y0)，‎ 则解得由|PF1|=|FlF2|得=‎4c2，‎ 两边同时除以‎4a2，化简得=e2．从而e2=于是λ=l-e2=．即当λ=时，△PF‎1F2为等腰三角形． ‎ ‎4．抛物线C的方程为y=ax2(a<0)，过抛物线C上一点P(x0，y0)(x0≠0)作斜率为k1，k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1，y1)B(x2，y2)两点(P、A、B三点互不相同)，且满足k2+λk1=0(λ≠0且λ≠-1)．‎ ‎ (Ⅰ)求抛物线C的焦点坐标和准线方程； (Ⅱ)设直线AB上一点M满足=λ，证明线段PM的中点在y轴上 (Ⅲ)当A=1时，若点P的坐标为(1，-1)，求∠PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围．‎ ‎ [考场错解] (1)抛物线C的方程y=ax2(a<0)得，焦点坐标为(，0)准线方程为x=-‎ ‎(Ⅲ)∵P(-1，1)在y=ax2上，故a=-1∴y=-x2‎ 由(Ⅱ)易得y1=-(k1+1)2，y2=(k2+1)2，因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为A(-k1 -1,-k21-2k1-1)，B(k1-1，-k21+2k1-1)‎ 于是= (k1+2,k21+2k1)，=(2k1，4k1)，2k1(k1+2)(2k1+1)因∠PAB为钝角且P、A、B三点互不相同，故必有·<0易得k1的取值范围是 k1<-2或0|‎ ‎ (Ⅱ)直线l1:kx-y=0 直线l2:kx+y=0由题意得·=d2即=d2‎ ‎∴k2x2-y2±(k2+1)d2=0故动点P的轨迹C的方程为k2x2-y2±(k2+1)d2=0‎ ‎ (Ⅲ)略 ‎ [专家把脉] 没有很好地理解题意，第二问出现两解，致使第三问过于复杂难以完成．‎ ‎[对症下药] 解：(I)W1={(x，y)|kx0}，‎ ‎(Ⅱ)直线l1:kx-y=0 直线l2:kx+y=0，由题意得·=d2，即=d2，‎ 由P(x，y)∈W，知k2x2-y2>0，所以=d2，即k2x2-y2-(k2+1)d2=0，‎ 所以动点P的轨迹C的方程为k2x2-y2-(k2+1)d2=0；‎ ‎(Ⅲ)当直线J与，轴垂直时，可设直线J的方程为，x=a (a≠0)．由于直线l，曲线C关于x轴对称，且l1与l2关于x轴对称，于是M‎1M2‎，M‎3M4的中点坐标都为(a，0)，所以△OM‎1M2‎，△OM‎3M4的重心坐标都为(a，0)，即它们的重心重合，‎ 当直线l1与x轴不垂直时，设直线J的方程为y=mx+n(n ≠0)．‎ 由, 得(k2-m2)x2-2mnx-n2-k2d2-d2=0‎ ‎ (Ⅱ)设点T的坐标为(x、y)由=0 得，‎ 在△QF‎1F2中故有x2+b2= a2(x=±a) ‎ ‎(Ⅲ)C上存在M(x0，y0)使s=b2的充要条件是：‎ 又=(-C-x0-y0)，=(c-x0,y0)由·=x02-c2+y20=a2-c2=b2‎ 即cos∠F1MF2=b2又s=sin∠FlMF2得tan ∠FlMF2=2‎ ‎ [专家把脉] (1)没有注意证明题的书写格式(2)思考问题不够全面．‎ ‎[对症下药] (1)证法一：设点P的坐标为(x，y)．由P(x，y)在椭圆上，得 ‎2‎ 由|x|≤a，知a+≥-c+a>0，所以=a+x．‎ 证法二：设点P的坐标为(x，y)．记 当且时，由又||=||，所以T为线段F2Q的中点．‎ 设点Q的坐标为(x'，y')，则因此①由=‎2a得(x'+c)2+y'2=‎4a2．②‎ 将①代入②，可得x2+y2=a2．综上所述，点T的轨迹C的方程是x2+y2=a2‎ ‎(Ⅲ)解法一：C上存在点M(x0，y0)使S=b2的充要条件是 由③得，|y0|≤a，由④得，|y0|≤，所以，当a≥时，存在点M，使S=b2；‎ 当a<时，不存在满足条件的点M．当a≥时，=(-c-c0,-y0)，=(c-c0,-y0)，‎ 由·=x02-c2+y20=a2-c2=b2，‎ 解法二：C上存在点M(x0，y0)使S=b2的充要条件是 由④得|y0|，上式代入③得x20=a2-=(a-) (a+)≥0．‎ 于是，当a≥时，存在点M，使s=b2;当a<时，不存在满足条件的点M．‎ 当a≥时，记k1=kF‎1M=‎ 由|F‎1F2|<‎2a,知∠F1MF2<90°，所以tan∠F1MF2==2．‎ 专家会诊(1)求轨迹方程的本质是用代数形式将动点的运动规律表示出来，实质上是一个翻译过程，故选取一定解题策略找到动点运动规律的一些表现形式是关键，往往和研究曲线几何性质，讨论直线与曲线位置关系等联系在一起．(2)求轨迹要注意取值范围和“杂点”的去除．‎ 综上所述：当x=时d取得最小值 ‎[专家把脉] 没有考虑到椭圆的分面有界性，致使思路不清晰，计算繁琐．‎ ‎ [对症下药] [解](1)由已知可得点A(-6，0)，F(0，4)‎ 设点P(x，y)，则=(x+6，y)，=(x-4，y)，由已知可得 则 2x2+9x-18=0，x=或x=-6．由于y>0，只能x=，于是y=点P的坐标是()‎ ‎(2)直线AP的方程是x-+6=0．设点M(m，0)，则M到直线AP的距离是．于是= |m-6|，又-6≤m≤6，解得m=2．椭圆上的点(x，y)到点M的距离d有，d2=(x-2)2+y2‎ AB的中点为M(2，1)，由，得线段AB的垂直平分线方程y-1=-2(x-2)．令y=-5，得x=5，∴Q(5，-5)．‎ ‎(2)直线OQ的方程为x+y=0，设P(x，-4)，∵点P到直线OQ的距离d=∵P为抛物线上位于线段AB下方点，且P不在直线OQ上．∴ -4≤x<4-4或4-40，y2>0．由y=x2，①得y'=x. ∴过点P的切线的斜率k切=x1, ∵x1=0不合题意，∴x1≠0．‎ ‎∴直线l的斜率k1=,直线l的方程为y-x21=(x-x1)．②‎ 方法一：联立①②消去y，得x2+-x21-2=0．∵M为PQ的中点，‎ 消去x1,得y0=x02++1(x0≠0)，∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0)，‎ 方法二：由y1=x21,y2=x22，x0=，得y1-y2=x21-x22=(x1+x2)(x1-x2)=x0(x1-x2)，则x0=k1=-∴x1=-,将上式代入②并整理，得y0=x20++1(x0≠0)，∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0)．‎ ‎(Ⅱ)设直线l：y=kx+b，依题意k≠0，b≠0，则T(0，b)．分别过P、Q作PP'⊥x轴，QQ'⊥y轴，垂足分别为p'、 Q'，则 由消去x，得y2-2(k2+b)y+b2=0．③则 方法三：由P、Q、T三点共线得kTQ=kTP,即则x1y2-bx1=x2y1-bx2，即b(x2-x1)=(x2y1-x1y2)．于是b=‎ 可取一切不等于l的正数，的取值范围是(2，+∞)．‎ 专家会诊①直线过定点的问题，常用直线系的思想处理．②定值问题常常用函数的思想处理，即把所求定值通过一些基本变量表示，最终化成常数．③最值问题往往用几何方法，函数或不等式等方法处理．‎ 四、典型习题导练 ‎1、已知椭圆右顶点与右焦点的距离为，短轴长为（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若三角形OAB的面积为求直线AB的方程。‎ ‎2、设椭圆的左焦点为，左、右顶点分别为，上顶点为，过三点做.（Ⅰ）若是的直径，求椭圆的离心率；（Ⅱ）若的圆心在直线上，求椭圆的方程。‎ ‎3、已知椭圆的中心是坐标原点，焦点在轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点与轴不垂直的直线交椭圆于，两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）在线段上是否存在点,使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎4、在平面直角坐标系中，设点，，以线段为直径的圆过原点.‎ ‎(Ⅰ)求动点的轨迹的方程；(Ⅱ)过点的直线与轨迹交于、两点，点关于轴的对称点为,试判断直线是否恒过一定点，并证明你的结论.‎ ‎5、设椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，且内切于圆。(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若直线交椭圆于A、B两点，椭圆上一点 ‎，求面积的最大值。‎ ‎6、已知椭圆的右焦点恰好是抛物线的焦点F，点A是椭圆E的右顶点. 过点A的直线交抛物线C于M，N两点，满足，其中是坐标原点. (Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)过椭圆E的左顶点B作轴平行线BQ，过点N作轴平行线NQ，直线BQ与NQ相交于点Q. 若是以MN为一条腰的等腰三角形，求直线MN的方程.‎ ‎7、在平面直角坐标系中，动点到定点的距离比它到轴的距离大，设动点的轨迹是曲线.(Ⅰ)求曲线的轨迹方程；(Ⅱ)设直线:与曲线相交于、两点，已知圆经过原点和两点，求圆的方程,并判断点关于直线的对称点是否在圆上.‎ ‎8、过抛物线上不同两点、分别作抛物线的切线相交于点)，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求证：直线恒过定点；（Ⅲ）设（Ⅱ）中直线恒过定点为，若恒成立，求的值.‎ ‎9、已知点,直线与直线斜率之积为，记点的轨迹为曲线.(Ⅰ)求曲线的方程；（Ⅱ）设是曲线上任意两点，且,是否存在以原点为圆心且与总相切的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎10、已知对称中心为坐标原点的椭圆与抛物线有一个相同的焦点，直线与抛物线只有一个公共点.（1）求直线的方程；（2）若椭圆经过直线上的点，当椭圆的的离心率取得最大值时，求椭圆的方程及点的坐标.‎ ‎11、已知椭圆:的右焦点与抛物线的焦点相同，且的离心率，又为椭圆的左右顶点，其上任一点（异于）.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若直线交直线于点，过作直线的垂线交轴于点，求的坐标; (Ⅲ)求点在直线上射影的轨迹方程.‎ ‎12、如图，是抛物线上的两动点（异于原点），且的角平分线垂直于轴，直线与轴，轴分别相交于.(Ⅰ) 求实数的值，使得；(Ⅱ)若中心在原点，焦点在轴上的椭圆经过. 求椭圆焦距的最大值及此时的方程.‎ ‎13、已知点P是圆F1：上任意一点，点F2与点F1关于原点对称. 线段PF2的中垂线与PF1交于M点．(Ⅰ)求点M的轨迹C的方程；(Ⅱ)设轨迹C与x轴的两个左右交点分别为A，B，点K 是轨迹C上异于A，B的任意一点，KH⊥x轴，H为垂足，延长HK到点Q使得HK=KQ，连结AQ延长交过B且垂直于x轴的直线l于点D，N为DB的中点．试判断直线QN与以AB为直径的 ‎15、已知分别为椭圆的左右焦点， 分别为其左右顶 点，过的直线与椭圆相交于两点. 当直线与轴垂直时，四边形的面积17、如图，过点作抛物线的切线，切点A在第二象限．（1）求切点A的纵坐标；（2）若离心率为的椭圆恰好经过切点A，设切 ‎（Ⅱ）设点B,C分别在曲线，上，分别为直线AB,AC的斜率,‎ 当时，问直线BC是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.‎ ‎19、在ΔABC中，顶点A,B, C所对三边分别是a,b,c已知B(-1, 0), C(1, 0),且b,a, c成等差数列.(I )求顶点A的轨迹方程；(II) 设顶点A的轨迹与直线y=kx+m相交于不同的两点M、N，如果存在过点P(0,-)的直线l,使得点M、N关于l对称，求实数m的取值范围.‎ ‎20、已知圆的圆心在坐标原点,且恰好与直线相切. (Ⅰ) 求圆的标准方程；（Ⅱ）设点为圆上一动点,轴于,若动点满足,(其中为非零常数),试求动点的轨迹方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的结论下，当时, 得到曲线，与垂直的直线与曲线交于、两点,求面积的最大值.‎ 立体几何 一、高考预测 立体几何由三部分组成，一是空间几何体，二是空间点、直线、平面的位置关系，三是立体几何中的向量方法．高考在命制立体几何试题中，对这三个部分的要求和考查方式是不同的．在空间几何体部分，主要是以空间几何体的三视图为主展开，考查空间几何体三视图的识别判断、考查通过三视图给出的空间几何体的表面积和体积的计算等问题，试题的题型主要是选择题或者填空题，在难度上也进行了一定的控制，尽管各地有所不同，但基本上都是中等难度或者较易的试题；在空间点、直线、平面的位置关系部分，主要以解答题的方法进行考查，考查的重点是空间线面平行关系和垂直关系的证明，而且一般是这个解答题的第一问；对立体几何中的向量方法部分，主要以解答题的方式进行考查，而且偏重在第二问或者第三问中使用这个方法，考查的重点是使用空间向量的方法进行空间角和距离等问题的计算，把立体几何问题转化为空间向量的运算问题．‎ ‎2。线面关系中三类平行的共同点是“无公共点”；三类垂直的共同点是“成角90°”.线面平行、面面平行，最终化归为线线平行；线面垂直、面面垂直，最终化归为线线垂直.‎ ‎3。直线与平面所成角的范围是；两异面直线所成角的范围是.一般情况下，求二面角往往是指定的二面角，若是求两平面所成二面角只要求出它们的锐角（直角）情况即可.‎ ‎4。立体几何中的计算主要是角、距离、体积、面积的计算.两异面直线所成角、直线与平面所成角的计算是重点.求两异面直线所成角可以利用平移的方法将角转化到三角形中去求解，也可以利用空间向量的方法，特别要注意的是两异面直线所成角的范围.当求出的余弦值为时，其所成角的大小应为.‎ 特别需要注意的是：两向量所成的角是两向量方向所成的角，它与两向量所在的异面直线所成角的概念是不一样的.本题中的向量与所成的角大小是两异面直线DE与BD1所成角的补角.‎ ‎8.正方体中线面关系可以说是高考中的重点内容，相当一部分的高考题是以正方体作为载体进行命题，或是截取正方体的一部分进行命题.请特别关注正方体表面按不同形式的展开图，会由展开的平面图形想象立体图形.‎ ‎9.三棱锥顶点在底面三角形内射影为三角形的外心、内心、垂心的条件要分清楚.外心：三侧棱相等或三侧棱与底面所成的角相等（充要条件）；内心：三侧面与底面所成的二面角相等（充要条件）；垂心：相对的棱垂直（充要条件）或三侧棱两两垂直（充分条件）.‎ ‎10.关注正棱锥中的几个直角三角形：（1）高、斜高、底面边心距组成的直角三角形；（2）侧棱、斜高、底面棱长的一半组成的直角三角形；（3）底面上的边心距、底面外接圆半径、底面棱长的一半组成的直角三角形.（4）高、侧棱、底面外接圆半径组成的直角三角形.进一步关注的是：侧棱与底面所成角、侧面与底面所成二面角的平面角都体现在这些直角三角形中.‎ ‎11。特别注意有一侧棱与底面垂直且底面为正方形、直角梯形、菱形等四棱锥，关注四个面都是直角三角形的三棱锥.它们之间的线面关系也是高考命题的热点内容.‎ ‎12。对平面图形的翻折问题要有所了解：翻折后，在同一半平面内的两点、点线及两线的位置关系是不变的，若两点分别在两个半平面中，两点之间的距离一般会发生变化.要认清从平面图形到空间图形之间的联系，能够从平面图形的关系过渡到空间图形的关系，根据问题画出空间图形.‎ 三、易错点点睛 ‎2.（1）正方体ABCD—A1 B‎1 C1 D1中，P、Q、R、分别是AB、AD、B‎1 C1的中点。那么正方体的过P、Q、R的截面图形是（）‎ ‎（A）三角形 （B）四边形 （C）五边形 （D）六边形 (答案：D) ‎ ‎（2）在正三棱柱-中，P、Q、R分别是、、的中点，作出过三点P、Q、R截正三棱柱的截面并说出该截面的形状。 答案：五边形。‎ ‎【知识点分类点拔】解决异面直线所成角的问题关键是定义，基本思想是平移，同时对本题来说是解决与两异面直线所成的等角的直线条数，将两异面直线平移到空间一点时，一方面考虑在平面内和两相交直线成等角的直线即角平分线是否满足题意，另一方面要思考在空间中与一平面内两相交直线成等角的直线的条数，此时关键是搞清平面外的直线与平面内的直线所成的角与平面内的直线与平面外的直线在平面内的射影所成的角的关系，由公式（其中是直线与平面所成的角）易知，（最小角定理）故一般地，若异面直线a、b所成的角为，L与a、b所成的角均为，据上式有如下结论：当时，这样的直线不存在；当时，这样的直线只有一条；当时，这样的直线有两条；当时这样的直线有3条；当时，这样的直线有四条 ‎2.如果异面直线a、b所在的角为,P为空间一定点，则过点P与a、b所成的角都是的直线有几条？‎ A、一条 B二条 C三条 D四条 (答案：C)‎ ‎【易错点4】求异面直线所成的角，若所成角为，容易忽视用证明垂直的方法来求夹角大小这一重要方法1、在三棱柱中，若，则所成角的大小为（ ）A、 B、 C、 D、‎ ‎【易错点分析】忽视垂直的特殊求法导致方法使用不当而浪费很多时间。‎ 解析：如图分别为中点， 连结，设 则AD为在平面上的射影。又而垂直。【知识点归类点拨】求异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角时，对特殊的角，如时，可以采用证明垂直的方法来求之 ‎【易错点5】对于经度和纬度两个概念，经度是二面角，纬度为线面角，二者容易混淆 ‎1、如图，在北纬的纬线圈上有B两点，它们分别在东经与东经 的经度上，设地球的半径为R，求B两点的球面距离。‎ 解析：设北纬圈的圆心为，地球中心为O，则 连结，则。故A、B两点间的球面距离为。‎ ‎【知识点归类点拨】数学上，某点的经度是：经过这点的经线与地轴确定的平面与本初子午线（经线）和地轴确定的半平面所成的二面角的度数。某点的纬度是：经过这点的球半径与赤道面所成的角的度数。如下图：‎ 图（1）：经度——P点的经度，也是的度数。图（2）：纬度——P点的纬度，也是的度数 ‎（III）由II知，平面，是在平面内的射影.是的中点，若点是的重心，则、、三点共线，直线在平面内的射影为直线.，即.反之，当时，三棱锥为正三棱锥，在平面内的射影为的重心.‎ 方法二:平面,‎ 以为原点，射线为非负轴，建立空间直角坐标系(如图)，设则,,.设, 则 ‎(I) D为PC的中点，＝，又,＝-‎ 平面.‎ ‎【知识点分类点拔】解决关于向量问题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识.二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想.向量的数量积常用于有关向量相等，两向量垂直、射影、夹角等问题中.常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题.用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考：①要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？②所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？③所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？④怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论 ‎【易错点7】常见几何体的体积计算公式，特别是棱锥，球的体积公式容易忽视公式系数，导致出错 ‎1如图四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=8，‎ AD=，侧面PAD为 等边三角形，并且与底面成二面角为。‎ 求四棱锥P—ABCD的体积。‎ 解析：如图，去AD的中点E，连结PE，则。作平面ABCD，‎ 垂足为O，连结OE。‎ 根据三垂线定理的逆定理得，所以为侧面PAD与底面所成二面角的平面角。由已知条件可，所以，四棱锥P—ABCD的体积 ‎。【知识点归类点拨】计算简单几何体的体积，要选择某个面作为底面，选择的前提条件是这个面上的高易求 ‎【知识点归类点拨】求点到平面的距离一般由该点向平面引垂线，确定垂足，转化为解三角形求边长，或者利用空间向量表示点到平面的垂线段，设法求出该向量，转化为计算向量的模，也可借助体积公式利用等积求高 ‎2、 如图，直三棱柱ABC—A1B‎1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，‎ 侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影 是△ABD的垂心G.（Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角 函数值表示）；(Ⅱ）求点A1到平面AED的距离.‎ 答案：（Ⅰ）（Ⅱ）.‎ ‎　解法2 如图3所示，延长CE与C1B1交于点F，连结AF，则截面A1EC∩面A1B‎1C＝AF．∵EB1⊥面A1B‎1C1，∴过B1作B‎1G⊥A‎1F交A‎1F于点G，连接EG，由三垂线定理知∠EGB1就是所求二面角的平面角．‎ 即所求二面角的度数为45°．【知识点归类点拨】二面角平面角的作法：（1）垂面法：是指根据平面角的定义，作垂直于棱的平面，通过这个平面和二面角两个面的交线得出平面角。（2）垂线法：是指在二面角的棱上取一特殊点，过此点在二面角的两个半平面内作两条射线垂直于棱，则此两条射线所成的角即为二面角的平面角；（3）三垂线法：是指利用三垂线定理或逆定理作出平面角 易错点10 三视图 一个棱锥的三视图如图，‎ 则该棱锥的全面积（单位：）为( )‎ ‎ （A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ 解析:棱锥的直观图如右，则有PO＝4，OD＝3，‎ 由勾股定理，得PD＝5，AB＝6，全面积为：‎ ‎×6×6＋2××6×5＋×6×4＝48＋12，故选.A。‎ ‎2、如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，∠ADB＝90°，AB＝2AD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；‎ ‎（Ⅱ）若PD＝AD，求二面角A-PB-C的余弦值．‎ ‎4、已知四棱柱中，,‎ ‎，，.‎ ‎⑴求证：； ⑵求二面角的正弦值;‎ ‎（3）求四面体的体积.‎ ‎5、如图，在四面体ABCD中，二面角的平面角为，且点、分别是、的中点.‎ ‎(Ⅰ)求作平面，使，且∥平面∥平面；‎ ‎（Ⅱ）求证：.‎ ‎7、如图，在三棱柱中，，为的中点，且.‎ ‎①求证：平面；‎ ‎②求多面体的体积.‎ ‎8、三棱锥O-ABC中，OA、OB、OC两两垂直，P为OC中点，PQ垂直BC于Q，OA=OB=OC=2，过PQ作一个截面，交AB、AO于R、S，使PQRS为梯形。‎ ‎（1）求、的值；‎ ‎（2）求五面体ACPQRS的体积。‎ ‎9、如图，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB上一点 ‎(I) 当点E为AB的中点时,求证；BD1//平面A1DE ‎(II)求点A1到平面BDD1的距离；‎ ‎(III) 当时，求二面角D1-EC-D的大小.‎ P C D E F B A ‎11、如图所示四棱锥中,底面,四边形中,,,,,为的中 点,为中点.（Ⅰ）求证:平面； ‎ ‎（Ⅱ）求证:平面；‎ ‎（Ⅲ）求直线与平面所成的角的正弦值；‎ ‎12、如右图所示，四棱锥P—ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形且与底面垂直，底面ABCD是∠ADC=60°的菱形，M为PB的中点．（1）求PA与底面ABCD所成角的大小；‎ ‎（2）求证：PA⊥平面CDM；‎ ‎（3）求二面角D—MC—B的余弦值．‎ ‎15、如图5，AB是圆柱ABFG的母线，C是点A关于点B对称的点，O是圆柱上底面的圆心，BF过O点，DE是过O点的动直径，且AB=2，BF=2AB.‎ ‎（1）求证：BE⊥平面ACD；‎ ‎（2）当三棱锥D—BCE的体积最大时，求二面角C—DE—A的平面角的余弦值.‎ ‎17、如图所示，圆柱的高为2,PA是圆柱的母线， ABCD为矩形, AB=2，BC=4， E、F、G分别是线段PA，PD，CD的中点。‎ ‎（1）求证：平面PDC平面PAD；‎ ‎（2）求证：PB//面EFG；‎ ‎（3）在线段BC上是否存在一点M，使得D到平面PAM的距离为2？若存在，求出BM；若不存在，请说明理由。‎ ‎18、如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，PA^CD，PA = 1，‎ ‎ PD＝，E为PD上一点，PE = 2ED．‎ ‎（Ⅰ）求证：PA ^平面ABCD；‎ ‎（Ⅱ）求二面角D－AC－E的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF // 平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．‎ ‎20、如图,在四棱锥中,底面为正方形, ⊥平面,已知 ‎.（Ⅰ）若为的中点,求证: //平面；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）如果四棱锥有外接球，求出四棱锥外接球的半径，没有的话请说明理由.‎