全国高考数学试题及答案江苏卷

全国高考数学试题及答案江苏卷

绝密★启用前 ‎2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）‎ 数 学 本试卷分第I卷（填空题）和第II卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 注意事项：‎ ‎1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的 准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．‎ ‎2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择 题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．‎ ‎3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．‎ ‎4.保持卡面清洁，不折叠，不破损．‎ ‎5.作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．‎ 参考公式:‎ 锥体体积公式 其中为底面积，为高 球的表面积、体积公式 ‎，‎ 其中R为球的半径 样本数据,,,的标准差 其中为样本平均数 柱体体积公式 其中为底面积，为高 一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．‎ ‎1.的最小正周期为，其中，则= ▲ ．‎ ‎2．一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率 ▲ ．‎ ‎3.表示为，则= ▲ ．‎ ‎4.A=，则A Z 的元素的个数 ▲ ．‎ ‎5.，的夹角为，， 则 ▲ ．‎ ‎6.在平面直角坐标系中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投的点落入E 中的概率是 ▲ ．‎ ‎7.某地区为了解70-80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），随即选择了50为老人进行调查，下表是这50为老人日睡眠时间的频率分布表。‎ 序号 ‎（i）‎ 分组 ‎（睡眠时间）‎ 组中值 ‎（Gi）‎ 频数 ‎（人数）‎ 频率 ‎（Fi）‎ ‎1‎ ‎[4，5]‎ ‎4.5‎ ‎6‎ ‎0.12‎ ‎2‎ ‎[5，6]‎ ‎5.5‎ ‎10‎ ‎0.20‎ ‎3‎ ‎[6，7]‎ ‎6.5‎ ‎20‎ ‎0.40‎ ‎4‎ ‎[7，8]‎ ‎7.5‎ ‎10‎ ‎0.20‎ ‎5‎ ‎[8，9]‎ ‎8.5‎ ‎4‎ ‎0.08‎ 在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则输出的S的值是 ▲ 。‎ ‎8.设直线是曲线的一条切线，则实数b＝ ▲ ．‎ ‎9在平面直角坐标系xOy中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，点P（0，p）在线段AO 上的一点（异于端点），设a,b,c, p 均为非零实数，直线BP,CP 分别与边AC , AB 交于点E、F ，某同学已正确求得OE的方程：，请你完成直线OF的方程：（ ▲ ）.‎ ‎10．将全体正整数排成一个三角形数阵：‎ ‎1‎ ‎2 3‎ ‎4 5 6‎ ‎7 8 9 10‎ ‎ 11 12 13 14 15‎ ‎． ． ． ． ． ． ． ‎ 按照以上排列的规律，数阵中第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ▲ ．‎ ‎11.已知，满足，则的最小值是 ▲ ．‎ ‎12.在平面直角坐标系xOy中，设椭圆1( 0)的焦距为2c，以点O为圆心，为半径作圆M，若过点P 所作圆M的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为= ▲ ． ‎ ‎13．满足条件AB=2, AC=BC 的三角形ABC的面积的最大值是 ▲ ．‎ ‎14.设函数（x∈R），若对于任意，都有≥0 成立，则实数= ▲ ．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边做两个锐角,，它们的终边分别与单位圆相交于A、B 两点，已知A、B 的横坐标分别为．‎ ‎（Ⅰ）求tan()的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值．‎ ‎16．如图，在四面体ABCD 中，CB= CD, AD⊥BD，点E 、F分别是AB、BD 的中点，‎ 求证：（Ⅰ）直线EF ∥平面ACD ；‎ ‎（Ⅱ）平面EFC⊥平面BCD ．‎ ‎17．如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A、B 及CD的中点P 处，已知AB=20km, CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形ABCD 的区域上（含边界），且与A、B 等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为km．‎ ‎（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：‎ ‎①设∠BAO=(rad)，将表示成的函数关系式；‎ ‎②设OP(km) ，将表示成的函数关系式．‎ ‎（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．‎ ‎18．设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．‎ ‎（Ⅰ）求实数b 的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）求圆C 的方程；‎ ‎（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．‎ ‎19.（Ⅰ）设是各项均不为零的等差数列（），且公差，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：‎ ‎①当n =4时，求的数值；②求的所有可能值；‎ ‎（Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数n(n≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．‎ ‎20.若，，为常数，函数f (x)定义为：对每个给定的实数x，‎ ‎（Ⅰ）求对所有实数x成立的充要条件（用表示）；‎ ‎（Ⅱ）设为两实数，满足，且∈,若，求证：在区间上的单调增区间的长度之和为（闭区间的长度定义为）．‎ ‎2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）‎ 数学参考答案 一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．‎ ‎1. 【答案】10‎ ‎【解析】本小题考查三角函数的周期公式.‎ ‎2．【答案】‎ ‎【解析】本小题考查古典概型．基本事件共6×6 个，点数和为4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3 个，故 ‎3. 【答案】1‎ ‎【解析】本小题考查复数的除法运算．∵ ，∴＝0，＝1，因此 ‎4. 【答案】0‎ ‎【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．由得,∵Δ＜0，∴集合A 为 ，因此A Z 的元素不存在．‎ ‎5. 【答案】7‎ ‎【解析】本小题考查向量的线性运算．‎ ‎=，7‎ ‎6. 【答案】‎ ‎【解析】本小题考查古典概型．如图：区域D 表示边长为4 的正方形的内部（含边界），区域E 表示单位圆及其内部，因此．‎ ‎7. 【答案】6.42‎ ‎8. 【答案】ln2－1‎ ‎【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法． ，令得 ‎，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以b＝ln2－1．‎ ‎9【答案】‎ ‎【解析】本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填．事实上，由截距式可得直线AB：，直线CP： ，两式相减得，显然直线AB与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．‎ ‎10．【答案】‎ ‎【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n－1 行共有正整数1＋2＋…＋（n－1）个，即个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第＋3个，即为．‎ ‎11. 【答案】3‎ ‎【解析】本小题考查二元基本不等式的运用．由得，代入得 ‎，当且仅当＝3 时取“＝”．‎ ‎12. 【答案】‎ ‎【解析】设切线PA、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA，所以△OAP 是等腰直角三角形，故，解得．‎ ‎13．【答案】‎ ‎【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设BC＝，则AC＝ ，‎ 根据面积公式得=，根据余弦定理得 ‎，代入上式得 ‎=‎ 由三角形三边关系有解得，‎ 故当时取得最大值 ‎14. 【答案】4‎ ‎【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x＝0，则不论取何值，≥0显然成立；当x＞0 即时，≥0可化为，‎ 设，则， 所以 在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而≥4；‎ 当x＜0 即时，≥0可化为，‎ ‎ 在区间上单调递增，因此，从而≤4，综上＝4‎ 二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎15．【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式．‎ 解：由已知条件及三角函数的定义可知，，‎ 因为,为锐角，所以=‎ 因此 ‎（Ⅰ）tan()= ‎ ‎（Ⅱ） ，所以 ‎∵为锐角，∴，∴=‎ ‎16．【解析】本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定．‎ 解：（Ⅰ）∵ E,F 分别是AB,BD 的中点，‎ ‎∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF∥AD，‎ ‎∵EF面ACD ，AD 面ACD ，∴直线EF∥面ACD ．‎ ‎（Ⅱ）∵ AD⊥BD ，EF∥AD，∴ EF⊥BD.‎ ‎∵CB=CD, F 是BD的中点，∴CF⊥BD.‎ 又EFCF=F，∴BD⊥面EFC．∵BD面BCD，∴面EFC⊥面BCD ．‎ ‎17．【解析】本小题主要考查函数最值的应用．‎ 解：（Ⅰ）①延长PO交AB于点Q，由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=(rad) ，则, 故 ‎，又OP＝10－10ta，‎ 所以， ‎ 所求函数关系式为 ‎②若OP=(km) ，则OQ＝10－，所以OA =OB=‎ 所求函数关系式为 ‎（Ⅱ）选择函数模型①，‎ 令0 得sin ，因为，所以=，‎ 当时， ，是的减函数；当时， ，是的增函数，所以当=时，。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边 km处。‎ ‎18．【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．‎ 解：（Ⅰ）令＝0，得抛物线与轴交点是（0，b）；‎ 令，由题意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．‎ ‎（Ⅱ）设所求圆的一般方程为 令＝0 得这与＝0 是同一个方程，故D＝2，F＝．‎ 令＝0 得＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1．‎ 所以圆C 的方程为.‎ ‎（Ⅲ）圆C 必过定点（0，1）和（－2，1）．‎ 证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边＝0＋1＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右边＝0，‎ 所以圆C 必过定点（0，1）．‎ 同理可证圆C 必过定点（－2，1）．‎ ‎19.【解析】本小题主要考查等差数列、等比数列的有关知识，考查运用分类讨论的思想方法进行探索分析及论证的能力，满分16分。‎ 解：首先证明一个“基本事实”：‎ 一个等差数列中，若有连续三项成等比数列，则这个数列的公差d0=0‎ 事实上，设这个数列中的连续三项a-d0,a,d+d0成等比数列，则 a2=(d-d0)(a+d0)‎ 由此得d0=0‎ ‎（1）(i) 当n=4时, 由于数列的公差d≠0,故由“基本事实”推知，删去的项只可能为a2或a3‎ ‎①若删去，则由a1,a3,a4 成等比数列，得(a1+2d)2=a1(a1+3d)‎ 因d≠0，故由上式得a1=－4d，即=－4，此时数列为－4d, －3d, －2d, －d，满足题设。‎ ‎②若删去a3，则由a1,a2,a4 成等比数列，得(a1+d)2=a1(a1+3d)‎ 因d≠0，故由上式得a1=d，即=1，此时数列为d, 2d, 3d, 4d，满足题设。‎ 综上可知，的值为－4或1。‎ ‎(ii)若n≥6，则从满足题设的数列a1,a2,……,an中删去一项后得到的数列，必有原数列中的连续三项，从而这三项既成等差数列又成等比数列，故由“基本事实”知，数列a1,a2,……,an的公差必为0，这与题设矛盾，所以满足题设的数列的项数n≤5，又因题设n≥4，故n=4或5.‎ 当n=4时，由（i）中的讨论知存在满足题设的数列。‎ 当n=5时，若存在满足题设的数列a1,a2,a3,a4,a5，则由“基本事实”知，删去的项只能是a3，从而a1,a2,a4,a5成等比数列，故 ‎(a1+d)2=a1(a1+3d)‎ 及 ‎ (a1+3d)2=(a1+d)(a1+4d)‎ 分别化简上述两个等式，得a1d=d2及a1d=－5d,故d=0，矛盾。因此，不存在满足题设的项数为5的等差数列。‎ 综上可知，n只能为4.‎ ‎（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d′的n项等差数列b1,b1+ d′,……，b1+(n-1) d′(b1 d′≠0)，其中三项b1+m1 d′,b1+m2 d′,b1+m3 d′成等比数列，这里0≤m1

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